Shape-memory Alloys Handbook

382 Pages·2013·9.38 MB·English

by  Christian Lexcellent(auth.)

Shape-memoryAlloysHandbook
Shape-memory
Alloys Handbook
Christian Lexcellent
Firstpublished2013inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&Sons,Inc.
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LibraryofCongressControlNumber:2013930404
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ISBN:978-1-84821-434-7
PrintedandboundinGreatBritainbyCPIGroup(UK)Ltd.,Croydon,SurreyCR04YY
Table of Contents
Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Chapter1.SomeGeneralPointsaboutSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.WhyareSMAsofinterestforindustry? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.Crystallographictheoryofmartensitictransformation . . . . . . . . . . 5
1.4.Contentofthisbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1.Stateoftheartinthedomainandmainpublications . . . . . . . . 8
1.4.2.Contentofthisbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chapter2.TheWorldofShape-memoryAlloys . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.Introductionandgeneralpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.BasicmetallurgyofSMAs,byMichelMorin . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1.Copper-basedshape-memoryalloys . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2.Cu-Zn-Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.Cu-Al-Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4.Cu-Al-Be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5.Thephenomenaofaging,stabilizationandfatigue . . . . . . . . . 19
2.2.6.Methodsforcopper-basedSMAelaboration . . . . . . . . . . . . 21
2.2.7.Ti-Ni-basedalloys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.8.Ti-Nialloy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.9.Ti-Ni-Xalloys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.10.Elaboration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.11.Shaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.12.Finalheattreatments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.13.Tablecomparingthephysicalandmechanicalproperties . . . . . 26
vi Shape-memoryAlloysHandbook
2.2.14.BiocompatibilityofSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.Measurementsofphasetransformationtemperatures . . . . . . . . . . . 27
2.4.Self-accommodatingmartensiteandstress-inducedmartensite . . . . . 28
2.5.Fatigueresistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1.Causesofdegradationoftheproperties . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2.FatigueofaCu-Al-Bemonocrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.3.Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.FunctionalpropertiesofSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.1.Thepseudo-elasticeffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.2.One-wayshape-memoryeffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.3.Recoverystress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.4.Doubleshape-memoryeffect: training. . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.UseofNiTiforsecondarybatteries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.UseofSMAsinthedomainofcivilengineering . . . . . . . . . . . . . 42
Chapter3.MartensiticTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.Overviewofcontinuummechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1.Mainnotationsforvectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.Mainnotationsformatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.Additionalnotationsandreminders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1.Unitmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2.Rotationmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3.Symmetricmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.4.Positivedefinitesymmetricmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.5.Polardecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.Kinematicdescription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1.Straingradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2.Dilatationandstraintensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.3.Transformationofanelementofvolumeorsurface
(seeFigure3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.Kinematiccompatibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.Continuoustheoryofcrystallinesolids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.1.Bravaislattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.2.Deformationoflatticesandsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.3.Linkbetweenlatticesandthecontinuousmedium:
Cauchy–Bornhypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.4.Energydensityincrystallinesolids. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7.Martensitictransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7.2.Martensitictransformation: Bainmatrixor
transformationmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.Equationgoverningtheinterfacebetweentwomartensite
variantsM /M orthe“twinningequation” . . . . . . . . . . . . . . . . 70
i j
TableofContents vii
3.8.1.Cubic→quadratictransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8.2.Cubic→orthorhombictransformation. . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9.Originofthemicrostructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9.1.Simplifiedone-dimensionalcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.9.2.Simplifiedtwo-dimensionalcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.9.3.Three-dimensionalcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10.Specialmicrostructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10.1.Austenite-martensiteinterface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10.2.Phenomenologicaltheoryofmartensite . . . . . . . . . . . . . . 77
3.10.3.Crystallographictheoryofmartensite. . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.11.Fromthescaleofthecrystallinelatticetothemesoscopic
andthenthemacroscopicscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.11.1.Approachatthelevelofthecrystallinelattice . . . . . . . . . . . 85
3.11.2.Microscopicapproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.11.3.Mesoscopicapproach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.11.4.Macroscopicapproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.12.Lineargeometrictheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.12.1.Linearizedkinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.12.2.Lineargeometrictheoryforphasetransformation . . . . . . . . . 91
3.12.3.Somemicrostructuresandcomparison . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.13.Chapterconclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter4.ThermodynamicFrameworkfortheModeling
ofSolidMaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.Conservationlaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1.Conceptofamaterialsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2.Conceptofaparticulatederivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.3.Massbalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.4.Motionbalanceequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.5.Energybalance: firstlawofthermodynamics . . . . . . . . . . . . 102
4.2.6.Variationofentropy: secondlawofthermodynamics . . . . . . . 103
4.3.Constitutivelaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1.Clausius-Duheminequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chapter5.Useofthe“CTM”toModelSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.Processofreorientationofthemartensitevariantsinamonocrystal . . 109
5.2.1.Internalvariablemodelofthethermomechanicalbehavior
ofanSMAmonocrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2.Experimentalprocedureandresultsobtained . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3.Modelingoftheexperiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.4.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
viii Shape-memoryAlloysHandbook
5.3.Processofcreationofmartensitevariantsinamonocrystal:
pseudoelasticbehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.1.Modelingthepseudoelasticbehaviorofthemonocrystal . . . . . 118
5.3.2.Tractioncurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.Predictionofthesurfacesfortheaustenite→martensite
phasetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4.1.Caseofamonocrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4.2.Caseofapolycrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Chapter6.PhenomenologicalandStatisticalApproachesforSMAs . . . . 129
6.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.Preisachmodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3.First-orderphasetransitionsandFalk’smodel. . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3.1.Falk’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3.2.ExtensionofFalk’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3.3.Descriptionofhysteresisloops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3.4.Phasedomainswithmovingboundaries . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.5.Propertiesofthemodelandvalidation . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.4.Constitutiveframeworkofthehomogenizedenergymodel . . . . . . . 142
6.4.1.One-dimensionalmesoscopicmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4.2.Thermalchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4.3.Macroscopicmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4.4.Performanceofthemodelandmaterialcharacterization . . . . . . 150
6.5.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Chapter7.MacroscopicModelswithInternalVariables . . . . . . . . . . . 157
7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2.R model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
L
7.2.1.ReversibleRmodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.2.R modelwithahysteresisloop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
L
7.2.3.Extensiontoreversiblephasetransformation:
austenite=⇒RphaseforNiTi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2.4.Multiaxialisothermalbehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.Anisothermalexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.1.Kineticsofphasetransformationorreorientation . . . . . . . . . . 176
7.3.2.CriticismoftheR approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
L
7.4.Internalvariablemodelinspiredbymicromechanics . . . . . . . . . . . 181
7.4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.4.2.Chemiskyetal.’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.4.3.KellyandBhattacharya’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.4.4.Internalvariablemodeltakingaccountofinitiation,reorientation
andsaturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.4.5.Certainconstraintsonsimulationandmodeling . . . . . . . . . . 204
TableofContents ix
7.4.6.Certainingredientsofthemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.7.Tractionandcompressionforanisotropicmaterial . . . . . . . . . 213
7.4.8.Pureshearingofanisotropicmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4.9.Examinationoftheparametersforauniaxial
extensioncombinedwithshearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.4.10.Digitalimplantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.5.Elastohysteresismodel: formalismanddigitalimplantation . . . . . . . 223
7.5.1.Experimentally-observedbehaviorsforshearingand
traction/compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.5.2.Elasto-hysteresismodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.5.3.Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.6.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Chapter8.DesignofSMAElements: CaseStudies . . . . . . . . . . . . . . 235
8.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.“Strengthofmaterials”-typecalculationsforbeamssubject
toflexionortorsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.1.Beamwitharectangularcross-section,subject
topureflexion: theoreticalstudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2.2.Experimentalandtheoreticalvalidation . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.2.3.Solvingpuretorsionproblem: relationbetweenthetwisting
torqueCandtheunitaryangleoftorsionα . . . . . . . . . . . . . 242
8.3.ElementsofcalculationsforSMAactuators . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.3.1.Stress/positiondiagram: temperatureparameterization . . . . . . 245
8.3.2.Workprovideddependingonthenatureoftheloading. . . . . . . 248
8.3.3.Torsionofacylindricalwire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3.4.Flexionofabeam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3.5.Comparisonofthedifferentmodesofloading . . . . . . . . . . . 249
8.3.6.Afewremarksaboutthedurationofheatingand
coolingofSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.4.Casestudies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.4.1.Studyoftheflexionofaprismaticbarsubjected
toapointforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.4.2.Slendertubesubjecttotwistingtorques . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.4.3.Studyofa“parallel”hybridstructure . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.4.4.Studyofa“series”hybridstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.4.5.Designofanapplication: breakageofamechanicallink . . . . . 257
Chapter9.BehaviorofMagneticSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.2.Somemodelsofthethermo-magneto-mechanical
behaviorofMSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2.1.O’HandleyandMurrayetal.’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . 262
x Shape-memoryAlloysHandbook
9.2.2.Micromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.2.3.LikhachevandUllakko’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.2.4.Originalapproaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.2.5.Overlapsbetweentheseapproaches . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.3.CrystallographyofNi-Mn-Ga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.3.1.Thedifferentphasesandvariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.3.2.Rearrangementandtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.3.3.Calculationsofmicrostructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.4.Modelofthemagneto-thermo-mechanicalbehavior
ofamonocrystalofmagneticshape-memoryalloy . . . . . . . . . . . . 270
9.4.1.ExpressionoftheGibbsfreeenergyassociated
withmagneto-thermo-mechanicalloading . . . . . . . . . . . . . . 271
9.4.2.Choiceoftherepresentativeelementaryvolume . . . . . . . . . . 271
9.4.3.Expressionofchemicalenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.4.4.Expressionofthermalenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.4.5.Expressionofmechanicalenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.4.6.Expressionofmagneticenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.4.7.Generalexpressionofthefreeenergy . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.4.8.Clausius-Duheminequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.4.9.Kineticsofphasetransformationorreorientation . . . . . . . . . . 281
9.4.10.Heatbalanceequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.4.11.Identificationoftheparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4.12.Application: creationofa“push/pull”actuator . . . . . . . . . . 292
9.5.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Chapter10.FractureMechanicsofSMAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.2.Theelasticstressfieldaroundacracktip . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.2.1.Basicmodesoffractureandstressintensityfactors . . . . . . . . 296
10.2.2.Complexpotentialmethodforplaneelasticity(the
Kolosov-Muskhelishviliformulae) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.2.3.Westergaardstressfunctionsmethod . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.2.4.SolutionsbytheWestergaardfunctionmethod . . . . . . . . . . 304
10.3.Predictionofthephasetransformationsurfacesaround
thecracktip(nocurvatureatthecracktip) . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.3.1.ModeI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.3.2.ModeII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.3.3.ModeIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3.4. Mixed Mode I + II: analytical prediction of the transformation
surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.4.Predictionofthephasetransformationsurfaces
aroundthecracktip(curvatureρatthecracktip) . . . . . . . . . . . . . 322
TableofContents xi
10.4.1.Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
10.5.SomeexperimentalresultsaboutfractureofSMAs . . . . . . . . . . . 325
10.6.ProblemofdelaminationbetweenaSMAandanelastic
solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Chapter11.GeneralConclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.1.Resolvedproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.2.Unresolvedproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
11.3.Suggestionsforfuturedirections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Appendix1.IntrinsicPropertiesofRotationMatrices(seeChapter3) . . . 341
A1.1.Characterizationofrotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Appendix2.“TwinningEquation”Demonstration(seeChapter3) . . . . . 345
A2.1.Question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
A2.2.Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Appendix3.CalculationoftheParametersa, nandQfromthe
“Twinning”Equation(seeChapter3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A3.1.Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A3.2.Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A3.3.Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
A3.3.1.Case1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
A3.3.2.Case2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
A3.3.3.Case3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
A3.3.4.Case4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Appendix4.“Twinned”Austenite/MartensiteEquation(seeChapter3) . . 355
A4.1.Proposition1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A4.2.Proposition2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A4.3.Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377