Series de Fourier Absolument Convergentes

181 Pages·1970·5.664 MB·French

by  Kahane, J.

Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete
Band 50
Herausgegeben von
P.R. Halmos ' P. J. Hilton - R. Remmert ' B. Szdkefalvi-Nagy
Unter Mitwirkung von
L. V.Ahlfors ' R. Baer - F. L. Bauer - R. Courant - A. Dold
J. L. Doob - S. Eilenberg - M. Kneser - G. H. Mfiller - M. M.Postnikov
B. Segre- E. Sperner
Gesch'eiftsfiihrender Herausgeber: P. J. Hilton

Jean-Pierre Kahane
Séries de Fourier
absolument convergentes
Springer-Verlag Berlin - Heidelberg - NewYork 1970
ProfesseurJEAN-PIERRE KAHANE
Université de Paris, Faculté des Sciences d’Orsay
F-Orsay
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Berlin - Heidelberg 1970. Library ofCongress Catalog Card Number 79-100693.
Printed in Germany.
Titel-Nr.4594
Table des matiéres
Introduction . . . . ................... —
Chapitre 1: Series de Fourier des fonctions continues ..... w
‘ Notations ..................... w
l w
’ Quelques polynomes trigonométriques .........
\ h
!
’ Theoremes fondamentaux surlaconvergence ...... m
P
‘“ Definition de U(11) ................. m
‘: Definition de A(‘Il') ................. x
‘P o
° Résultats sur U(‘l]') .................
. u
.“ Premiers résultats sur A(T).............. o
°
° Autres classes ................... o
.
Chapitre II: Théorie descriptive ..... . ......... o
H. Conditions nécessaires et suffisantes .......... c
N. Condition de Riesz ................. E
W
-. Condition de Stetchkine ......... Ho
F
-. Propriété locale. Appartenance‘a A(T), A(R), BUR). H—
A. Classes A, “V, “V” Hy
L H
N. Théoremesde Bernstein et de Zygmund ........ w
O. Réciproque du théoreme de Bernstein ......... Hw
Q —
W. Réciproque du théoréme de Zygmund ........ . b
t
O\. Classes A(E) et A¢(E) ................ ‘o
10. Une condition nécessaire d’appartenance a A ...... —o
11. Ensembles de niveau desfonctions de la classe A No
N‘
12. Cas des fonctions croissantes .............
N—
13. Constructiondefonctionscroissantesn’appartenantpasaA
NN
14. Fonctions paires et fonctions impaires ......... NN
15. Fonctions paires et fonctions impaires (suite) ...... N
w
Chapitre III: Pseudomesures et classes A(E) ......... g
e. Pseudomesures ................... Nn
m. Espaces M et PM. Supports ............. g
$. L’espace PM(IR) .................. g
1. Mailles . . . ................... »O
L
0. Mesures aléatoires sur une maille. Application aux ensem-
bles de Helson et de Sidon . . . . .......... )N
.
O\. Mesures de Rudin-Shapiro .............. umA
I. Mesuresde Rudin-Shapirosurunensembleparfaitsymétri-
\
que..... ................... ).aL.)t
VI Tabledesmatiércs
8. Construction d’une fonction n’appartenant pas a A(E) . 36
9. Construction d’une fonction dont aucune composée
non constante n’appartient a A(E) . 37
10. Idempotents de A(E), quand mesE = 0. 39
11. Idempotents de A(E), quand mesE > O . 40
12. Algebres de Stone-Weierstrass . 43
Chapitre IV: Pseudomesures et classes A(E) (suite). Condition de
Krein. Ensembles de Helson . . . . . . . 44
44
k. Pseudofonctions . . ..... .
—. Espaces 1(E) et Ad(E). Théoreme de Krein . 45
I
46
N. Une condition sulfisante pour A(E): A(E)
W. Exemple de Katznelson et McGehee. 47
B
-. Pseudomesures de type presque--périodique . 48
M 49
N. Ensembles de Helson. Lemme . . .
O. Definitions équivalentes des ensembles deHelson . . . 50
N
W.Nouvelle construction d’une fonction dont aucune com-
posée non constante n’appartient a A(E). 53
D. Conditions nécessaires, conditions suffisantes, etproblemes
\
ouverts sur les ensembles de Helson . 53
Chapitre V: Idéaux fermés. Role des HeinfflpM . 56
1. Théoréme de Wiener-Ditkin . . . 56
2. Théoréme de Wiener-Levy . 57
3 Théoréme de Herz ....... 58
4 Fonctionsquisatisfontalasynthese. Ensemblesdesynthese 59
5. Théoréme de Beurling-Pollard . . 61
6 Contre exemple a la synthese. Théoréme et lemme delVIaI-
liavin. . . ......... 63
7
Méthode aléatoire 64
8. Méthode directe Ensembles denon--résolution 68
9. Localisation des idéaux. Un théoreme de Helson 72
Chapitre VI: Fonctions composées Roledes ||einf"A 74
. Classes A(w) et croissance de [le 74
—
N. Croissance dc lei"r |A quandfest lineaire par morceaux . 75
J
U. Croissance de |einl' A quandfest de classe C2. 76
- 77
h. La méthode de Marcinkiewicz
-. Fonctions qui opérent dans A(E) . 80
I
81
‘. Théoreme de Katznelson. . . . . . . .....
U. Ensembles d’analyticité, caractérisation 32
N
O. Ensembles d’analyticité, exemples . 83
Q 84
W. Théoréme de Beurling et Helson
W 86
y...O. Automorphismes de A(I).
Tabledcs matieres VII
Chapitre VII: Ensembles minces et méthodes de Baire ..... 88
1. Ensembles minces............. . 88
2. Ensembles de Kronecker et ensembles de Dirichlet. . . . 89
3. La méthode de Kaufman. . ............. 90
4. Ensembles de Kronecker dans un parfait donné . . . . . 91
5. Ensembles tangents par translation . ......... 92
6. Théoreme de Wik......... . . . ..... 94
7. Propriétés des ensembles de Kronecker ........ 95
8. Propriétés des ensembles de Dirichlet ......... 97
9. Réarrangements des fonctions de la classe A ...... 98
Chapitre VIII: Algebres tensorielles et applications ...... 102
1. Classe A d’un groupe abélien compact ......... 102
2. Algébres tensorielles................. 103
3. Relevement de A(K) dans V(K) ............ 103
4. Premieres applications................ 105
5. Etalement de V(ID) dans A(S). . . . ........ . 106
6. La classe A(ID) ................... 107
7. Ensembles de non--résolution . . . . ......... 109
8. Ensembles danalyticité ............. . 110
9. Calcul symbolique individuel dans A(D) ........ 111
10. Calcul symbolique individuel dans A(T). . . . . . 114
Chapitre IX: Isomorphisme des algebres A(E) ........ . 116
1. Un principe des soucoupes .............. 116
2. Principe général des soucoupes ............ 118
3. Ensembles symétriques minces . . . ......... 120
4. Ensembles non isomorphes.............. 121
5. Isomorphismes isométriques . . . . ......... 123
6. Isomorphismes isométriques triviaux ......... 124
Chapitre X: Séries lacunaires ................ 127
l. Ensembles de Sidon ................. 127
2. Ensembles de type I0 ................ 128
3. Ensembles lacunaires a la Hadamard ......... 129
4. Produits de Riesz .................. 131
5. Complements sur les ensembles de Sidon ........ 132
6. Densité uniforme extérieure . . . . ......... 133
7. Lemmes sur les densités ...... . ....... . I34
8. Intervalles associés a A ...... . ....... . 136
9. Gas 01‘; I > 21rA(/1) ............ . . . . 138
10. Cas 01‘: 1 < 2nA(A) ............ . . . . 139
11. Commentaires ................... 140
v111 Tabledesmatiércs
Chapitre XI: Séries de Taylor absolument convergentes..... 141
1. Un théoreme de Hardy et Littlewood . . . . ..... 141
2. A+ comme algébre de Banach ............ 143
3. Idéaux primaires dans d+ . . .......... 144
4. Ensembles d’interpolation dans le disque ........ 145
5. Algebres quotients ....... . . . . . ..... 145
6. Exemples d’ensembles du type ZA+ .......... 146
7. Ensembles de type AA+ ............... 148
8. Mesures de Hausdorffet ensembles de type ZAJr . . . . 149
9. Ensembles de type ZAA ............... 150
Notes et complements . . . . . . . . . . . . i ...... 153
Bibliographic. . . .................... 157
Index des noms cités ................... 165
Index terminologique ................... 167
Index des notations .................... 169
Introduction
Celivreapour objet d’étudierles fonctionsde laclasseA, c’est-é—dire
lesfonctionscontinuessurlecercledont1asériedeFourierestabsolument
convergente.
L’appartenance a A est une propriété locale. La théorie descriptive
consiste a comparer cette propriété locale a d’autres propriétés (in-
téressant le module de continuité, par exemple). C’est la direction
d’étude la plus ancienne; elle remonte a S.Bernstein. Ses développe-
ments récents concernent surtout les restrictions des fonctions de la
classe A a des ensembles fermés E du cercle; ces restrictions constituent
uneclassedefonctions quenousnoteronsA(E). Pourcertainsensembles
fermés E du cercle, toute fonction sur E appartient a A(E); on dit alors
que E est un ensemble de Helson. En general, plus E est «gros», plus
severe est la condition a imposer au module de continuité d’une
fonction, définie sur E, pour entrainer son appartenance a A(E); la
question est loin d’étre simple, car les propriétés arithmétiques de E y
jouent un role important.
A estunealgebredeBanach (1anormed’unefonctionétantla somme
des valeurs absolues des coefficients de Fourier). Cette structure, dé-
couverte par Wiener, suggere un grand nombre de problémes. Elle
suggereaussi d’interpréter les A(E), définis cidessus, comme des algebres
quotients de A:
A(E) = A/IE,
IEétantl’idéalfermé de A constituéparlesfonctions de A qui s’annulent
sur E. On aura l’occasion d’étudier les questions suivantes:
l. Quels sont les endomorphismes de A?
2. Quelles sont les fonctions qui operent dans A, c’est-a-dire les
fonctions F (délinies, par exemple, sur un intervalle réel I) telles que,
pour toute f de A 2‘1 valeurs dans I, on ait F(f)eA?
3. Quels sont les idéaux fermés de A?
4. Quelles sont les sous-algebres fermées de A?
5. Etant donnée une fonction fde A, quelles sont les fonctions F,
définies sur l’ensemble des valeurs def, telles que F(f)6A?
Les questions 1 et 2 ont été posées par Paul Lévy en 1934. Elles
sont été résolues completement en 1953 (Beurling et Helson) et 1958
(Katznelson). Un cas particulierde la question 3 est le probleme suivant
qui,pourdesraisonshistoriques,estappeléproblemedelasynthésespec-
2 Introduction
trale:toutidéalfermedeAest-i1unIE?laréponse,negative,estdueaMal-
liavin [1959]. Lesquestions4et5sonliées.Laquestion5aétéposéesous
cetteformepar Malliavinen 1959,sous lenomde«calculsymboliquein-
dividuel», mais déja Marcinkiewicz en 1939 avait travaillé dans cette
direction. Malgré le lien évident des questions 5 et 2, cc n’est que récem-
ment [1966—67] que le calcul symbolique individuel a permis de
retrouver le théoréme de Katznelson.
Tous les problémes ci-dessus, posés pour A, se transcrivent a A(E).
Mieux, il se trouve que (sauf pour le premier), 1a meilleure voie d’accés
pour leur étude dans A est leur etude dans certains A(E). La méthode
puissantedesalgebrestensorielles,introduiteparVaropoulos[1965—67],
consisteencffetaidentifiercertainsA(E)adesalgebres V([D)dcfonctions
définies sur le carré [IZD2 du groupe compact [D = {—l, 1}” (01‘1 l’addition
est définie comme 1a multiplication des coordonnécs). A son tour, une
sous-algebre fermée de V(|D) est identifiée a A(ID), algébre des sérics dc
Fourier absolument convergentes sur le groupe ID (et non plus sur le
cerclel).
A([D)peutencore s’interprétercomme l’algébredes seriesdeFourier-
Walsh absolument convergentes. Nous devrons, eu égard a sa simplicité
et a sa place dans la théoric de Varopoulos, lui consacrer une courte
étude.
BeaucoupdequestionsrestentouvertessurlesA(E).Enparticulier,on
connait mal la signification de l’isomorphisme de deux algebres A(E)
et A(E’). On donnera, suivant 1a méthode d’Yves Meyer [1967], des
exemples non triviaux de tels isomorphismes.
Enfin, on dira un mot de la relation entre l’appartenance a A et le
caractére lacunaire de la série de Fourier. On montrera en particulier
que, lorsque la série de Fourier a des petites lacunes, l’appartenance a
A sur un intervalle (dependant des lacunes) entraine l’appartenance a
A sur le cercle.
Un dernier chapitre groupe quelques résultats, classiques ou récents,
sur les series de Taylor absolument convergentes.