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en matemáticas Mariana Sarrn. . Andrea de/ p· tento Díaz Giovanna C . tia, Mariño Wi/liam Ferna~s~:~nco Alvarez Carmen Sarnp trada García Vladirnir M er de Caicedo Mabe/ Lilianaº;:no _Gutiérrez Tar qu,ca Wiiche Jorge Gi/b iana Carvajal s erto Gonzá/ Sandra Orr Pe~ Camargo Luz Helena Si/ ti ena Ne/son Ed 11ª Calderón uardo Urreg _ O Pena Autores de textos Luz Helena Silva Calderón Giovanna Castiblanco Alvarez • Maestría en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica • Maestría en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica Nacional, Colombia. Nacional, Colombia. Nelson Eduardo Urrego Peña William Fernando Estrada García Doctorado en Ciencias Pedagógicas. Universidad de Ciencias • Maestría en Educación con especialidad en Matemáticas. Instituto Pedagógicas Enrique José Varona, Cuba Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México. Carmen Samper de Caicedo Autora Prueba Saber • Master of Arts (Mathematics). University of Maryland, E.U. Mariana Sarmiento Díaz Vladimir Moreno Gutiérrez Maestría en Investigación Educativa y Docencia Universitaria. • Maestría en Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Universidad Santo Tomás. Colombia Colombia. Mabel Liliana Toquica Wilches Autora alfabetismo en medios • Especialización en Matemáticas Aplicadas. Universidad Sergio Andrea del Pilar Mariño Arboleda. Colombia. Especialización en Educación en Tecnología. Universidad Distrital Tatiana Carvajal Francisco José de Caldas, Colombia. • Especialización en Educación Matemática. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Colombia. Adecuación a la equidad de género Jorge Gilberto González Ca margo y diversidad cultural • Especialización en Educación Matemática. Universidad Distrital Ángela Franco Silva Francisco José de Caldas. Colombia. Sandra Ortiz Peña Investigación de campo Maestría en Didáctica de la Matemática. Instituto Latinoamericano Área de Investigación y desarrollo y del Caribe IPLAC. Cuba. de Educactiva S. A. S. DirectQr editQrial Ser CQmpetente en M<1temáticas 6 José Tomás Henao Brigard © 20 19 Educactiva S. A. S. Editora jefe de área Avenida El Dorado n.0 90 · 1O María Claudia Malaver Fuentes Bogotá, Colombia Editora Depósito legal. Andrea Viviana Saavedra Garzón ISBN: 978-958-00-1426-3 Dirección de Centro de diseño Envíe sus comentarios al área de Matemáticas de Norma: Gloria Esperanza Vásquez Arévalo [email protected] Coordinación de arte y diagramación Prohibida la reproducción total o parcial de este libro. por cualquier medio. sin permiso de la Editorial. Maria Victoria Mora Hernández Diseño de la serie El editor ha realiZado una búsqueda minuciosa en la obtención Rocío Milena Marmolejo de los derechos de autor necesarios para la realización de los Diego Alexander Ríos Botina actos de reproducción, distribución y comunicación pública. En Diseño de cubierta caso de existencia de mulares legítimos de derechos pertenecientes a obras no identificadas incluidas en esta obra. y Eliécer Pérez no amparadas por excepción o límite legal alguno, estos pueden Ilustraciones contactar al editor a través del correo electrónico lván Lizcano [email protected] para su oportuna identificación. Mauricio Restrepo López Ignacio Martinez-Villalba Trillos Marcas y signos distintivos que contienen la denominación Fotografías "N"/Norma/Carvajal® bajo licencia de Grupo Carvajal (Colombia). Archivo gráfico Educactiva S. A S. Shutterstockphotos © 2014 a Querido estudiante: El libro que tienes en tus manos forma parte del proyecto educativo Ser competente. En este proyecto te damos las herramientas para que logres un aprendizaje duradero y pertinente. Ser competente te ofrece actividades para desarrollar las Competencias bá sicas del área, las Competencias de pensamiento crítico, las Competencias para el trabajo colaborativo, las Competencias en TIC y las Competencias en el manejo de la información. Además, te propone un programa para el desarrollo de una competencia particularmente importante: el programa de Alfabetismo en medios, con el que puedes formar tu sentido crítico frente a los mensajes del mundo digital y de los medios de comunicación. El filósofo y premio Nobel Henri Bergson afirmó: "El porvenir no es lo que va a llegar sino lo que vamos a hacer". Queremos que seas artífice de tu porve nir y que seas capaz de desenvolverte en un mundo dinámico, cambiante, en el que la cantidad de información se multiplica cada día. Así, ponemos en tus manos una propuesta que te orientará para formarte como una persona creativa, capaz de manejar con sentido crítico la informa ción del mundo digital y de los medios de comunicación, que sabe trabajar en equipo y cuenta con las habilidades y las actitudes necesarias para tomar decisiones y resolver problemas en el complejo mundo actual. Cordialmente, Editorial Norma a fil) •• Unidad >N úmeros naturales y sistemas Unidad > 2 Números fraccionarios. de numet'ación. Números decimales Conjuntos y teor1ía de números Tema Tema 1.1 Números naturales y sistemas 2.1 Números fraccionarios de numeración 20 Significados de la fracción ..................................... 84 Números naturales ............... ................................. 8 21 Clases de fracciones y fracciones 2 Otros sistemas de numeración .............................. 11 equivalentes ......................................................... 89 3 Orden en los números naturales ............................ 16 22 Relación de orden y la recta numérica ................... 95 4 Aproximación de números naturales ..................... 19 23 Adición y sustracción de fracciones ....................... 98 5 Adición y sustracción de números 24 Situaciones aditivas. Ecuaciones .......................... 101 naturales. ......................................................... .... 22 25 Multiplicación y división de 6 Situaciones aditivas y ecuaciones ..................... .... 26 fracciones ........................................................... 104 7 Multiplicación y división de números 26 Situaciones multiplicativas. naturales. .............................................................. 30 Ecuaciones............ . ....................................... 107 8 Situaciones multiplicativas y ecuaciones. .............. 34 27 Potenciación y radicación de fracciones. Propiedades ........................................................ 110 9 Potenciación de números naturales ...................... 38 28 Orden de las operaciones 10 Radicación y logaritmación de con fracciones ..................................................... 115 números naturales ................................................ 41 11 Polinomios aritméticos. ........................................ 44 2.2 Números decimales 29 Fracciones y decimales ....................................... 118 1.2 Conjuntos y teoría de números 30 Expresiones decimales en la recta. 12 Proposiciones simples y proposiciones Comparación de decimales ................................. 121 compuestas .......................................................... 46 31 Adición y sustracción de números 13 Conjuntos ............................................................. 52 decimales ........................................................... 126 14 Operaciones entre conjuntos ................................. 56 32 Situaciones aditivas. Ecuaciones .......................... 129 15 Múltiplos y divisores .............................................. 62 33 Multiplicación de números decimales. ................. 132 16 Criterios de divisibilidad ........................................ 65 34 División de números decimales ........................... 135 17 Números primos y números compuestos. 35 Situaciones multiplicativas. Ecuaciones ............... 138 Factorización prima ............................................... 68 36 Potenciación de números decimales. ................... 140 18 Máximo común divisor .......................................... 72 37 Decimales periódicos ......................................... 142 19 Mínimo común múltiplo ........................................ 75 Prueba Saber......... . ...................................... 144 Prueba Saber. ....................................................... 78 G Unidad > Unid4ad > 3 Geometría. Estadística. Medición Números enteros Tema Tema 3.1 Geometría 4.1 Estadística 38 Elementos de la geometría ............. ,. ................... 150 52 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa para 39 Definiciones ........................................................ 1S S datos no agrupados ............................................ 212 40 Segmentos y rayos .............................................. 159 53 Pictogramas y diagramas 41 Angulos y su clasificación .................................... 164 de barras ............................................................. 216 42 Rectas paralelas y rectas perpendiculares ............ 169 54 Diagramas circulares ........................................... 220 43 Triángulos ........................................................... 17 4 55 Diagramas de líneas ............................................ 224 44 Cuadriláteros. ...................................................... 178 56 Medidas de tendencia central 45 Polígonos. ...................................... ,. ................... 182 para datos no agrupados. .................................... 227 46 Circunferencias ................................................... 186 4.2 Números enteros 3.2 Medición 57 Números signados y números relativos .............................................................. 232 47 Unidades de longitud ......................................... 190 58 Números enteros. Valor absoluto 48 Perímetro ............................................................ 193 y orden .......................................................•...... 237 49 Unidades de superficie. ....................................... 196 59 Adición y sustracción de 50 Area de polígonos ............................................... 199 números enteros ................................................. 243 51 Area del círculo y de regiones 60 Multiplicación y división de de una figura. ...................................................... 203 números enteros ................................................. 248 Prueba Saber ................................................... 206 Prueba Saber. ................................................... 252 Glosario. ...................... , ......................................2 56 Bibliografía ................. ,, .............................. ,. ..... 256 Números naturales y sistemas de numeración. Conjuntos y teoría de números I r a da:rna. ............ $ 15 ooO corte de cabello par to ············ $ 8000 Cepillado cabello cor. . $ 10 000 cepillado cabello medio. ............ $ 13 000 Cepillado cabello largo... $ 22 000 Corte de cabello y cepi11ado ..... ••····:.-. $ 7000 Manicure. ........ . Pedicure ............. $ sooo hombre. ............ $ 12 000 corte de cabello paraT inturas. .... ········ $ 30 000 rcedes Rojas . • villa Linda . [email protected] ail: rnec ~ Alfabetismo en medios desde las Matemáticas 1. ¿Quiénes estarían interesados en difundir este tipo de tarjetas? 2. ¿Quiénes estarían interesados en recibir este tipo de tarjetas? 3. ¿Qué información encuentras en la tarjeta MECHAS Y MÁS7 4. ¿En qué otros medios puedes encontrar este tipo de información? 1. ¿Qué es una tarjeta de servicios? 2. ¿Qué diferencias encuentras entre los precios de los servicios que se ofrecen en esta tarjeta y los servicios que se ofrecen en un salón de belleza de tu barrio? 3. ¿Cuánto más cuesta un cepillado de cabello largo que uno de cabello corto? 4. ¿Cuánto menos cuesta un cepillado de cabello medio que uno de cabello largo? s. ¿Cuánto pagarían 20 personas por el servicio de manicure y pedicure? 6. Hoy, Rocío quiere solicitar el servicio de cepillado de su cabello largo, pero tiene planeado cortarlo en una semana. ¿Cuál opción económica le favorece? 7. ¿Qué tipo de servicios se podrían adquirir por$ 60 000? s. El precio de un peinado para niña es 5% menos que un cepillado de cabello largo. ¿Cuánto cuesta el peinado para niña? 1. ¿Cómo crees que eran las peluquerías de hace 40 años? Pregúntales a tus padres y abuelos. 2. Imagina los servicios de belleza que se ofrecerán en 20 años. ¿Cuáles podrían ser7 ¿Cuáles serían sus costos? Temas 1. Números naturales 11. Polinomios aritméticos 2. Otros sistemas de numeración 12. Proposiciones simples y proposiciones compuestas 3. Orden en los números naturales 13. Conjuntos 4. Aproximación de números naturales 14. Operaciones entre conjuntos S. Adición y sustracción de números naturales 1 s. Múltiplos y divisores 6. Situaciones aditivas y ecuaciones 16. Criterios de divisibilidad 7. Multiplicación y división de números naturales 17. Números primos y números compuestos. 8. Situaciones multiplicativas y ecuaciones Factorización prima 9. Potenciación de números naturales 18. Máximo común divisor 1O . Radicación y logaritmación de números naturales 19. Mínimo común múltiplo Números naturales y sistemas de numeración Números naturales - Ideas previas _________ _......__ ______ Pensamiento numérico Si pones una pera al lado de otra pera, tienes dos peras; entonces, ¿por qué 11 significa once y no dos? Nuestro sistema de numeración se denomina decimal, porque se apoya en agrupaciones de 1O e n 1O , es decir, cada unidad de orden superior se forma a partir de la agrupación de diez unidades del orden inmediatamente inferior (ver figura 1.1 ). ■ fl 1111111111 I 10 100 1000 Figura 1.1 La tabla 1.1 presenta algunos valores posicionales de nuestro sistema de numeración. Tabla 1.1 Tenemos tres formas de escribir un número, a saber: • En palabras: doce mil ochocientos cincuenta y tres • En forma estándar o con cifras: 12 853 • Como polinomio aritmético: 1 x 104 + 2 x 103 + 8 x 102 + 5 x 101 + 3 » Ejemplo 1 Completemos cada expresión matemática. Luego, escribamos el número en letras. a. 5462 = X 1000 + X 100+ X 10+ 2 b. 93 751 = X 10 000 + 3 X + x100+5x + 1 Solución 1 decena = 1O u nidades 1 centena= 10 decenas a. 5462 = 5 X 1000 + 4 X 100 + 6 X 10 + 2 1 unidad de mil = ¿Cómo se lee? Cinco mil cuatrocientos sesenta y dos. 10 centenas 1 unidad de diez mil = J b. 93 751 = 9 X 10 000 + 3 X 1000 + 7 X 100 + 5 X 10 + 1 1O u nidades de mil ¿Cómo se lee? Noventa y tres mil setecientos cincuenta y uno. Evldenda: Comprende el valor posicional en el sistema de numeraciónd ecimal. r • Ejemplo2 Escribamos cada número como un polinomio aritmético. a. 9087 b. 142945 Solución a. 9087 = 9 X 103 + Ü X 102 + 8 X 1Ü + 7 • b. 142 945 = 1 X ,os+ 4 X 104 + 2 X 103 + 9 X 102 + 4 X 101 + 5 El conjunto de los números naturales, denominados también de conteo, se simbo liza con la letra N. N = {O, 1, 2, 3, ..., 678, ... , 5678, ... } Podemos usarlos para contar (como cardinal), para establecer orden (como ordinal), para medir o para identificar objetos o lugares (como código). r a Ejemplo 3 Determinemos el uso de los números naturales en los siguientes casos. a. Julia tuvo a su tercer hijo. b. La ruta del bus que debo tomar es la K 23. Solución a. En esta frase estamos usando el número como ordinal. b. El número 23 en la frase corresponde al uso del número como código. • "a] Desarrolla competencias 1. Relaciona cada número con su escritura en letras. 3. Escribe el número que corresponda a cada escri tura polinómica. Un millón cuatrocientos cin- a. 145 876 a. 2 X 104 + 8 X 103 + 6 X 102 + Ü X 101 + 7 X ,oo cuenta mil setenta y seis Cuatro millones quinientos b. 9 X 1O s + 7 X 10 4 + 0 X 10 3 + 9 X 10 2 + b. 1 450076 ochenta y siete mil seis 1 X 101 + 0 X 1O º Ciento cuarenta y cinco C. 2 X 105 + 8 X 103 + 6 X 101 + 7 X 10º c. 14587006 millones ochocientos setenta d. 5 X 106 + 9 X 103 + 6 X 102 + 1 X 101 y seis mil 4. En el número 123 495, el dígito de las unidades de Ciento cuarenta y cinco mil d. 145 876 000 mil es 3, el número tiene 123 unidades de mil com ochocientos setenta y seis pletas y 495 unidades más con las que no se alcanza Catorce millones quinientos e. 4 587 006 ochenta y siete mil seis a formar otra unidad de mil. Completa los espacios en blanco de acuerdo con el ejemplo anterior. Un millón cincuenta mil setenta y seis 94156 = 9 ___ ,4 ___ , l ___ 5_ __ y 6 unidades 2. Expresa cada número como un polinomio aritmé- = 94 ____ y 156_ __ tico. = a. 5741 b. 67009 941 ___ y 56_ ___ = c. 705 785 d. 4 605 076 9415 y6 ___ a