Séminaire Pierre Lelong-Henri Skoda (Analyse) Années 1980/81: Colloque de Wimereux, Mai 1981 “Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinie”, organisé en l'honneur de Pierre Lelong

393 Pages·1982·5.07 MB·French

by  Carlos A. Berenstein

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
919
S6minaire
Pierre Lelong - Henri Skoda
(Analyse) Annees 1980/81
et
Colloque de Wimereux, Mai 1891
"Les fonctions plurisousharmoniques
en dimension finie ou infinie",
organis6 en I'honneur de Pierre Lelong
Edit6 par Pierre Lelong et Henri Skoda
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 198 2
Editeurs
Pierre Lelong
Henri Skoda
Universit6 de Paris Vl, Mathematiques
Tour 45-46 -5eme 6tage,
4 Place Jussieu, 75005 Paris, France
AMS Subject Classifications(1980): 32-XX
ISBN 3-540-11482-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-387-11482-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
emhanfualetitzruK-PIC der Deutschen Bibliothek
Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda :)esylanA( Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda
:)esylanA( annees ... - Berlin; Heidelberg; New York: Springer
18/0891 .... tE Colloque de Wimereux, iaM ,1891 seL,, Fonctions seuqinomrahsuosirulP
ne Dimension Finie uo Infinie": organise ne I'honneur de Pierre Lelong. - .2891
(Lecture notes ni mathematics; Vol. 9t9)
NBSI 3-28411-045-3 (Berlin, Heidelberg, weN York)
NBSI 3-28411-783-0 (New York, Heidelberg, Berlin)
(cid:12)9 NE: Colloque seL Fonctions Plurisousharmoniques ne Dimension Finie uo
Infinie ,1891< Wimereux>; GT
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or
part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting,
re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or
similar means, and storage in data banks. Under w 54 of the German Copyright
Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to
"Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.
)@ by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982
Printed in Germany
Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
2141/3140-543210
Introduction au S~minaire P.LELONG,H.SKODA ;980-1981.
Ce volume est divis~ en deux parties.
La premiere partie se compose des exposes faits au s~minaire P.Lelong,H.Skoda
durant les annEes 1980 et 1981, qui n'ont pas d~jg ~tE publiEs ailleurs. La
deuxi~me partie reprend certains des exposes du Colloque de Wimereux , de Mai
1981, sous le titre : "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou
infinie", organisE en l'honneur de Pierre Lelong.
On a reproduit ici parmi les allocutions prononcEes ~ cette occasion celle
de G.Coeur~ et la r~ponse de P.Lelong.
Indiquons bri~vement les sujets trait~s dans les exposes des deux parties
en les regroupant suivant leurs th~mes scientifiques. Ii s'agit toujours de tra-
vaux apportant des r~sultats nouveaux dans le domaine de l'Analyse complexe,
domaine qui continue g se dEvelopper rapidement.
On retrouve dans ce volume des th~mes classiques qui sont d~j~ apparus plusieurs
fois dans ce sEminaire.
/I En premier lieu apparaissent les notions capacltaires et la th~orie des fonc-
tions plur~sousharmoniques.
L'expos~ de R.E.Molzon et B.Shiffman introduit des notions de capacitY, de
diam~tre transfini et de constante de Tchebycheff sur ~n-I en liaison avec la
th~orie quantitative des ensembles analytiques dans ~n et apporte des rEsultats
de comparaison entre ces diff~rentes notions.
E.Bedford Etend aux espaces analytiques complexes sa ~hEorie de llopErateur
de Mong~-Ampgre (ddC) n et la notion de capacit~ associ~e. Comme application, il
~tend le th~or~me de Josephson sur les ensembles localement pluripolaires
certains espaces analytiques (~ventuellement sans fonctions holomorphes).
IV
B.Gaveau et J.Lawrynowicz d~finissent ~ l'aide de la th~orie des jeux de Von
Neumann une int~grale de Dirichlet puis des notions capacitaires invariantes par
isomorphisme analytique. Leur approche semble assez diff~rente de celle qui utili-
se l'~quation de Monge-Amp~re complexe, lls donnent une application ~ la physique
th~orique des particules ~l~mentaires.
2/ C.O.Kiselman ~tudie le nombre de Lelong de la restriction d'une fonction pluri-
sousharmonique aux diff~rents germes de sous-vari~t~s analytiques passant par l'ori-
gine.
Ii montre que ce nombre est ind~pendant de la sous-vari~t~ sauf pour des sous-
vari~t~s appartenant ~ un ensemble exceptionnel. L'ensemble des germes de sous-
vari~t~ ~tant de dimension infinie, l'~tude des fonctions plurisousharmoniques sur
des espaces de dimension infinie apparalt ici comme particuligrement naturelle.
Une question posse g cette occasion ~ Wimereux par C.O.Kiselman a suscitg une r~-
ponse de P.Lelong qui donne un nouveau moyen de calculer ce nombre et en d~duit un
lemme de Schwarz en dimension infinie.
M.Blel approfondit dans son article les propri~t~s de sommabilit~ locale
de exp(-V) oh V est le potentiel canonique plurisousharmonique associ~ par
H.Skoda gun ensemble analytique X . Par une s~rie de contre-exemples, il montre
qu'il n'y a pas de liaison simple entre les propri~t~s alg~briques des singularit~s
de l'ensemble X (par exemple ~tre une intersection compl~te) et les singularit~s
du potentiel V .
V~ utilise la complexification et la notion de cellule d'harmoni-
cit~? introduite pour la premiere fois par Aronszajn et P.Lelong, pour l'~tude des
fonctions harmoniques d'ordre infini et donne des r~sultats sur celles d'entre
elles qui sont arithm~tiques, c'est-g-dire telles que f(~n) C~ .
3/ Un autre th~me classique du s~minaire est celui de l'analyse harmonique et de
la synth~se spectrale . Ii est bien eonnu depuis les travaux d'Ehrenpreis,
B.Malgrange et V.P.Palamodov, que ces questions se ram~nent ~ l'~tude des varifies
d'interpolationp c'est-~-dire au probl~me de l'extension d'une fonction holomorphe
V
avec croissance ~ partir d'une sous-vari~t~ V de ~n . C.A.Berenstein et
B.A.Taylor d'une part, J~ d'autre part montrent que si les mineurs
de la matrice jacobienne de l'application holomorphe d~finissant V , ne d~crois-
sent pas trop vite, alors V est d'interpolation. En fait, ils construisent une
bonne r~traction holomorphe sur V dans un voisinage de V , permettant d'utili-
ser ensuite les m~thodes semi-globales pour l'op~rateur ~ .
Plus g~n~ralement, J.-P.Demailly s'int~resse au probl~me du scindage holomorphe
avec croissance d'une suite exacte de fibres holomorphes au-dessus d'une vari~t~
de Stein . Le probl~me precedent correspond au cas de la suite exacte d~finissant
le fibr~ normal ~ V . Ii obtient des r~sultats ~ peu pros optimaux, dans le m~me
esprit que ceux obtenus par H.Skoda dans les precedents s~minaires pour les mor-
phismes de fibres vectoriels semi-positifs.
-Dans un article de la m~me veine, il introduit une troisi~me notion de positivi-
t~ pour les fibres vectoriels holomorphes, la positivit~ forte, compl~tant les no-
tions de positivit~ au sens de P.A.Griffiths et S.Nakano.
Ii compare ces diff~rentes notions et transpose les r~sultats obtenus ~ la positi-
vit~ des courants. II obtient ainsi d'int~ressantes relations entre les positivi-
t~s faibles et fortes des courants.
4/ L'article de B.Barlet concerne les op~rateurs diff~rentiels et l'~tude des sin-
gularit~s. II observe que l'int~gration d'une forme diffgrentielle C ~ g support
compact sur les fibres d'une application holomorphe d'un espace analytique X
valeurs dans ~ ne fournit pas en g~n~ral une fonction C ~ . Ii d~crit les sin-
gularit~s de cette derni~re fonction ~ l'aide d'un d~veloppement asymptotique dont
les coefficients sont des courants sur X . De plus, les nombres rationnels qui
interviennent dans ce d~veloppement sont reli~s ~ la r~solution des singularit~s
de X et aux racines du polynSme de Bernstein-Sato.
5/ Le th~me de la th~orie fine des fonctions holomorphes est repr~sent~ dans ce
volume par les articles de B.Gaveau et M.Range.
B.Gaveau d~crit des conditions n~cessaires quantitatives v~rifi~es par la
courbure scalaire des diviseurs d'une fonction holomorphe dans une r de Hardy
IV
de la boule de ~n . Des conditions de ce type, distinctes de la condition de
Blaschke et de celle de P~ sont en effet activement recherch~es. Un
r~sultat similaire est obtenu pour les diviseums dans ~n o
M. Range, dans un article de synth~se, fait le point sur la th~orie des esti-
mations hSlderiennes pour ~ dans un domaine pseudoconvexe. Cette th~orie n'est
encore satisfaisante que dans le cas strictement pseudoconvexe et dans le cas d'un
ouvert convexe de ~2 ~ fronti~re analytique r~elle. Ii ~tudie ~galement la r~gu
larit~ hSld~rienne des d~rivges d'ordre k des solutions explicites pour ~ en
bidegr~ (p,q) avec q ~ i . Le rgsultat nouveau, correspondant g q >1 , est
obtenu par une modification convenable de la solution de Henkin~
6/ Le thgme des applications ~ la Physique thgorique, quelque peu oubli~ dans le
precedent s~minaire, r~appparait ici.
V.S.Vladimirov pr~sente dans son article un panorama actuel des liens entre
la Physique Th~orique et les fonctions holomorphes de plusieurs variables. Ii mon-
tre tour ~ tour le rSle jou~ en Physique Th~orique par le th~or~me du "edge of
the wedge" , le thgor~me de l'enveloppe C-convexe, le th~or~me de covariance finie
et l'~tude des fonctions holomorphes de partie r~elle> O d~finies dans un tube.
B.Gaveau et G.Laville montrent le lien entre les fonctions propres d'un cer-
tain hamiltonien et les fonctions holomorphes v~rifiant les ~quations de Cauchy-
Riemann tangentielles sur le groupe de Heisenberg. Ce lien est ~tablit par l'in-
term~diaire d'une transform~e de Fourier partielle sur le groupe de Heisenberg.
B.Gaveau et J.Lawrynowicz dans leur travail d~j~ cit~ donnent ~galement
une application g la Physique Th~orique.
Nous remercions les auteurs qui nous ont confi~ leurs textes , Madame Orion
qui a pr~par~ de nombreux manuscrits et la librairie Springer qui gdite ce s~mi-
naire et qui contribue ainsi ~ la diffusion rapide de r~sultats nouveaux.
Pierre LELONG - Henri SKODA
T A B L E DES M A T I E R E S
/
I SEMINAIRE d'ANALYSE (PARIS) .
I BERENSTEIN (C.A.) et TAYLOR (B.A.). -On the geometry of interpolating
varieties .......................................... I
2 BLF~ (M.). - Fonctions plurisousharmoniques et ideal d~finissant un
ensemble analytique ................................ 26
3 DEMAILLY (J.-p.). - Relations entre les diff~rentes notions de fibres
et de courants positifs ............................ 56
4 " - Scindage holomorphe d'un morphisme de fibres vecto-
riels semi-positifs avec estimations L 2 ........... 77
5 GAVEAU (B.). - Int~grales de courbure et potentiels sur les hypersur-
faces analytiques de C n ........................... 108
6 GAVEAU (B.) et LAVILLE (G.). - Fonctions holomorphes et particule
charg~e dans un champ magn~tique uniforme .......... 123
7 GAVEAU (B.) et ~AWRYNOWICZ (J.). - Int~grale de Dirichlet sur une va-
ri~t~ complexe I ................................... 131
8 LELONG (P.)~ - Calcul du nombre densit~ 9(x,f) et lemme de Schwarz
pour les fonctions plurisousharmoniques dans un
espace vectoriel topologique ....................... 167
9 RANGE (M.). - Boundary regularity for the Cauchy-Riemann complex .... 177
llI COLLOQUE de WIMEREUX , Mai 198| .
Allocution prononcge par G. COEUR~ en l'honneur du Professeur P.LELONG. 187
R~ponse de P.LELONG ....................................... 190
AVANISSIAN (V.). - Sur les fonctions harmoniques d'ordre quelconque et
leur prolongement analytique dans ~n .............. 192
BARLET (D.). - D~veloppements asymptotiques des fonctions obtenues par
integration sur les fibres ........................ 282
BEDFORD (E.). - "The operator (ddC) n on complex spaces ............ 294
KISELMAN (Ch.O.). - Stabilit~ du nombre de LELONG par restriction
une sous-vari~t~ ................................... 324
MOLZON (R.E.) et SHIFFMAN (B.). - Capacity , Tehebycheff constant , and
transfinite hyperdiameter on complex projective
space .............................................. 337
VLADIMIROV (V.S.). - Several complex variables in Mathematical
physics ............................................ 358
Exposes faits ~ WIMEREUX dont les r~sultats paraltront ailleurs :
DIEDERICH (K.) , DINEEN (S.) , GRAUERT (H.) , HARVEY (R.) , NACHBIN (L.) ,
SIMONY (N.) , SICIAK (J.) , SIU (Y.T.) , STOLL (W.) .
S~minaire P.LELONG,H. SKODA
(Analyse)
20e et 21e annie, |980-1985.
NO EHT YRTEMOEG FO INTERPOLATING VARIETIES
Carlos A. Berenstein and B. A. Taylor
i. The problem we want to consider here is the following. Let V
be an analytic variety in C n and p a plurisubharmonie weight func-
tion. What are the necessary and sufficient conditions on V such that
every analytic function ~ on V satisfying an estimate of the form
)i( ~(z) I _< A exp(Bp(z)) , for all z 6 V,
has an extension to an entire function (cid:12)9 satisfying the same kind of
estimate for all z ( {n, namely
(2) %(z) I <_ A' exp(B'p(z) ) .
We will then say that V is an interpolating variety (for the weight
p). Actually one has to impose some minimal conditions on V and p
in order that the problem does not become trivial (e.g., no functions
on V satisfy )i( except for the constants), and in applications to
harmonic analysis one also needs to consider the problem of multiplici-
ties. Rather than burden the reader with unnecessary details we refer
to our paper 5, where essentially the opposite problem is considered,
i.e. given V find the necessary and sufficient conditions on ~ such
that it has an extension 9 satisfying (2). We also refer to 4 and
5 for an explanation of the relevance of this kind of questions to
mean-periodicity and related subjects in harmonic analysis.
To simplify the exposition we will assume throughout that p(z) =
z and point out whether the results below hold for more general weight
functions. Hence, A := {9 entire functions in C n satisfying (2)} =
P
space of functions of exponential type, which is a space of considerable
interest by itself i0, 4. We remind the reader though, that even
simple looking variations of this weight z I like p(z) = IIm z I +
log(l+Iz ) often lead to considerable extra difficulties. In this se-
cond example, A = 6' (JR n) = space of Fourier transforms of distribu-
P
tions in IR n with compact support.
Consider first in more detail the case n = 1 where the above
problem is settled (at least for p(z) = Izl) . If v = v(f) :=
{z ( c : f(z) = o} (counted with multiplicities) for some f ( A , then
P
V = { (zk,mk) : Zk zero of f of multiplicity mk} ' any analytic func-
tion on V is just a doubly indexed sequence {akj } 0( ~ j < m k) and
we have a restriction map
p : A(C) ~ A(V)
from the space of entire functions to the analytic functions on V, given
by
i
v )j( (Zk) 1
(3) )m(P = !j
In this case p(Ap) E Ap(V) :: {{akj : akj i ~ A exp(BZki) }. And
the interpolation problem is simply put: Is the map p : A ~ A (V)
P P
onto? In 3 we showed that the necessary and sufficient condition for
V to be interpolating (for the weight izl) is
(m k )
f (z k )
(4) ~ exp(-ClZkl )
m k l
for some s, C > 0. In particular', if all the points z k in V are
simple, this condition reduces to
(5) If' (Zk) I > s exp(-ClZkl) ,
a result due to A. F. Leont'ev. (Similar statements hold for arbitrary
weights p, see 3.)
Recall that the function f defining V in the case V = V(f)
is unique up to an exponential factor and hence (4) is really a condi-
tion on V. More generally, one assumes only that V ~ V(f), f ( A .
P
As it is well known 19, this condition V ~ V(f) is equivalent to
the geometric condition
(6) n(r) :: ~ m k : O(r) as r ~ ~,
Zkl~r
which measures the (0-dimensional) area of V 0B(0,r), B(a,r) :=
{z ( C : Iz-al ~ r}. (Similarly one can describe geometrically the
statement V = V(f), f E A , p(z) = z I , see i0 ). Under this weaker
P
~ssumption (6) one can describe V as the set of common zeroes of sev-
eral functions in A and correspondingly a statement similar to (4)
P
holds, see 3, Theorem 4. This analytic condition (4) has been trans-
lated into geometric terms by W. A. Squires 26. He shows that V is
an interpolating variety (for p(z) : Izl) if and only if for some
fixed constants A,B > 0 one has
)7( lkzI
0J n(zk,t)-- dt ~ < Ai z k ' + B for every z k ( V,
where
(8) n(zk,r ) = ~ m.
0<izj_zkl~ r 3
is the "area" of V n (B(zk,r)\{Zk}) . It was shown by Gelfond that
every exponential-polynomial satisfies (7) (see e.g. 30 where sharp
estimates for the constants A and B are given). Let us also point
out that the corresponding geometric characterization for p(z) =
lira zl + ieg(l+Izl) is not known although (4) still holds when V = V(f),
f slowly decreasing, see 3. While the technical condition of f
being slowly decreasing is a generic condition for this weight, 26
shows that some interpolating varieties cannot be defined by slowly de-
creasing f.
We discuss also other natural definitions of interpolating vari-
eties in 3, 5. In fact, there is a whole scale of such interpolat-
ing problems and the corresponsing geometric characterizations are not
always completely known. In relation to this let us finish this secion
by pointing out a small misprint in formula (23), 3, p. 121, it should
read
m k- 1
lakr$1r ~ < i exp(BP(Zk;r)) , k ~ lr O ~f ....
$:0
2,
In the case of several variables we can give sufficient condi-
tions for interpolation when V is a smooth manifold of codimension k,
say
(9) V : V(f I, .... fN ) : {z ( {n : f!(z) ..... fN(z) = 0}, fl ..... fN ( Ap,
and
~fk
(i0) at each point z ( V, the rank of the jacobian matrix Df =
is k.
Skoda has shown in 23 that if V is a subvariety of C n of pure
dimension n -k, then (for p(z) : Izl) (9) is a consequence of the
area condition