Séminaire Pierre Lelong (Analyse) Année 1972–1973

186 Pages·1974·2.83 MB·French

by  Prof. Dr. Pierre Lelong (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold dna .B Eckmann
014
Seminaire Pierre gnoleL
)esylanA(
Annee 3791-2791
galreV-regnirpS
Berlin. Heidelberg-New kroY 4791
Prof. Dr. Pierre Lelong
Universite Paris lV
Math6matiques
11, Quai Saint-Bernard
Paris 5e/France
AMS Subject Classifications (1970): 28A40, 32AXX, 32EXX,
32FXX, 32HXX, 46AXX,
46FXX, 46GXX, 53C65
ISBN 3-540-06858-9 Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York
ISBN 0-387-06858-9 Springer-Verlag New York • Heidelberg • Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1974. Library of Congress
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Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
A V A N T P R 0 P O S
Le S~minaire 1972-1973 fair suite aux precedents qui ont ~t~
publi~s aux Lecture-Notes - 71 (1967-1968), 116 (1969), 205 (1970),
275 (1970-1971), 332 (1971-1972) - . Ii concerne l'analyse complexe,
notamment en dimension infinie. On n'a publi~ ici que les exposes
pr~sentant des r~sultats nouveaux ou bien donnant un compte-rendu
d'un travail difficile ~ trouver (par exemple les travaux de V.PALA-
MODOV). Les quatre derniers exposgs se rapportent ~ des conferences
qui ont ~t~ donn~es apr~s la fin de l'ann~e scolaire.
Signalons au lecteur l'expos~ 5 de N.SIBONY qui est la premigre
r~daction d'un r~sultat int~ressant coneernant les particularit~s des
domaines d'holomorphie des fonctions born~es de > n I variables com-
plexes. Dans une autre direction l'expos~ IO de P.MAZET donne un
thgor~me qui paralt important pour l'~tude locale des images analyti-
ques dans les espaces de Banach.
Nous remercions la Librairie SPRINGER qui ~dite le Sgminaire dans
le$ Lecture-Notes et contribue ainsi efficacement ~ sa diffusion.
Pierre L E L O N G
T A B L E D E S M A T I ~ R E S
I. DESOLNEUX-MOULIS (Madame N.). - Un th~or~me de fonctions
implicites dans les espaces de Fr~chet. Application
un probl~me de d~formation de structures complexes ....
2. NOVERRAZ (Ph.). - Complltion pseudo-convexe en dimension
infinle ................................................ 15
3. HERVIER (Y.). Sur le probl~me de Levi banachique ........... 81
4. LITWIN (J,). - Probl~mes lin~aires d'analyse complexe d'apr~s
MITIAGUINE et HENKINE .................................. 28
5. SIBONY (M.). - Prolongement analytique des fonctions holomorphes
born~es ................................................ 44
6. LITWIN (Jo)° Complexe de Dolbeault sur les vari~t~s de Stein
(travaux de V.PALAMODOV) ............................... 67
7. GRUMAN (L.). - Majorations de type p L pour les fonctions pluri-
sousharmoniques d'apr~s HORMANDER ..................... 77
8. FERRIER (J.-P.). - Id~aux de fonctions holomorphes avec poids et
calcul fonctionnel .................................... 86
9. LELONG (P.). - Un th~or~me de support pour certains courants 97
10, MAEET (P.). - Un th~or~me d'image directe propre ............ 701
IV
11. SKODA (H.). - Nouvelle m~thode pour l'~tude des potentiels asso-
ci~s aux ensembles analytiques ........................ 117
/
]2 KREE (P.). - Solutions faibles d'~quations aux d~rivges fonc-
tionnelles I .......................................... 142
S~minair~ P.LELONG
(Analyse)
13e annie, 1972/73 28 Novembre 1973
UN THEOREME DE FONCTIONS IMPLICITES DANS LES ESPACES DE FRECHET.
\ /
APPLICATION A UN PROBLF~ME DE DEFORMATION DE STRUCTURES COMPLEXES.
par Madame N.DESOLNEUX-MOULIS
I. Introduction.
II est bien connu que, en route ggn~ralit~ un thgorgme de fonctions
implicites dans les espaces de Fr~chet ne peut ~tre vrai. Ii suffit,
pour s'en convaincre de consid~rer l'espace C~(~) des applications de
classe ~ C de la droite rgelle dans elle-m~me, muni de la topologie de la
convergence uniforme sur tout compact de toutes les d~rivges et l'appli-
cation E de C~(~) dans lui-m~me d~finie par : E(f) = exp(f) - i
En n'importe quel sens raisonnable E est de classe I C et sa diff~rentiel-
le en 0 est l'identitg. Mai$ on vgrifie que tout voisinage de 0 contient
des gl~ments qui n'appartiennent pas ~ l'image de E.
Depuis NASH [12] de nombreux th~or~mes plus ou moins voisins ont gt~
~labor~s sur ce sujet. Ils concernent tous le cas oO l'espace de Frg-
chet E peut ~tre consid~r~ comme limite (projective ou inductive) d'une
famille d'espaces de Banach E. (i ~ I). On s'intgresse alors aux applica-
i
tions diffgrentiables ~ de E dans E dont la diff~rentielle D~ peut
s'~tendre pour tout indice i en une application lin~aire de i E dans un
E. . II n'existe pas g ce jour de thgorgme g~n~ral englobant tous ceux
J
dont nous donnons les rgf~rences ci-dessous.
Le cas le plus simple est celui o~ E est un espace de sections de
classe ~ C d'un fibrg ayant pour base une varigt~ de classe ~ C compacte.
2
Les E. sont alors les espaces de sections de classe i C du m~me ~ibr~,
i
ou les espaces de $OBOLEV correspondant. E peut ~tre consid~r~ comme li-
mite projective de la famille des espaces E.
i
L'application ~ est donn~e
a/ par un op~rateur diff~rentiel elliptique ; c'est le cas du pre-
mier thgor~me d~montrg, d~ ~ NASH D2] et [15] , de l'article de
HAMILTON ~4] dont nous donnons les grandes lignes R la fin de cet expose.
Enfin nous signalons les th~orgmes trgs g~n~raux sum les opgrateurs dif-
f~rentiels polynomiaux d~s ~ GROMOV ]2[ j( 'ignore o~ se procurer une dg-
monstration d~taill~e)
b/ par une relation de conjugaison (par exemple, f ~tant un diff~o-
morphisme du tore, on peut se demander A quelle condition sur f il existe
un diff~omorphisme ~ du tore et une rotation R~ tels que
-j
Ces applications out 6t~ d~velopp6es par SERGERAERT [16], HERMAN ~] ,
RESOM ~ ]i
Des thgor~mes beaucoup plus subtiles out ~t~ dgmontr~s par des math~ma-
ticiens, musses pour la plupart : KOLMOGOROFF ~] , ARNOLD ]I[ , MOSER
1[ ]i , GROMOV ]3[ , JAKOBOWITZ [7] , RUSSMANN 04] . Ce type de theorY-
me trouve une application pratique trgs int~ressante au problgme des trois
corps en m~canique cgleste dans le livre de STERNBERG: Celestial Mecha-
~z 07]
nics
Darts tous ces th~or~mes, l'espace de fonctions consid~r~ est un espa-
ce de fonctions analytiques rgelles ou complexes muni d'une topologie
limite inductive d'espaces de Banach. L'application ~ peut ~tre donnge
par une relation de conjugaison ou plus g~ngralement une relation de com-
position de diff~omorphismes.
Dans cet expos~ nous d~finissons une cat~gorie dans laquelle un
th~orgme assez simple et assez g~n~ral de fonctions implicites est
vrai. Cette presentation est due ~ SERGERAERT. Sans entrer dans les
d~tails techniques nous donnons les grandes lignes de la d~monstra ~
tion. Nous donnons enfin de ce th~orgme une application due ~ HAMIL-
TON concernant l'~tude dans un cas particulier du complexe de DOLBEAULT
I][. Un th~or~me de fonetions implicites d'apr~s SEKGERAE T []6]
l °/ Ca t6$orie des ~-0bjets.
D~FINITION I. Un £-espaee est un espace de Frgchet E tel que
a/ La topologie de E est dgfinie par une suite croissante de
semron 1 il
b/ II existe une famille ~ un par.am~tre t( t ~]0, +~) d'op~ra-
teurs dits opgrateurs d'approximation notre S(t) telle que :
(i) pour tout ~ t S(t) est une application lingaire continue de
E dans E.
, x i
C et C' gtant deux constantes dgpendant de i et de k.
Exemples de ~espaces.
Soit ~ I~.~X un fibr~ de classe C o° , de base une vari~t~ X de classe
C°° compacte ; soit ~(~) l'espace des sections de classe CO° de~muni
de la topologie de la convergence uniforme de toutes les d~riv~es.
Soit p1(~) l'espace des sections de ~ de classe i C muni de la norme
de la convergence uniforme de toutes les d~riv~es jusqu'~ l'ordre i.
On peut alors consid~rer t~(~) comme limite projective des pi(~)
et poser pour tout ~- de In~°(~)
I li ° sup I i
o~ 61 xeX I I
Pour toute valeur duparamgtre t (tG~O,+m~ et tout indice i i( eN)
on construit, H l'aide du produit de convolution une application lin~-
aire continue .S (t)~ de ri(~) dana ~o(~ )- Chaque Si(t ) peut s'inter-
prater comme un op~rateur d'approximation d'une section de classe i C
par une section de classe ~ C
Pour route section t, Si(t) (o--) ~tant obtenu par produit de convo-
lution de o- et d'une fonction dSfinie sur X de classe C~ ind~pendante
de la valeur du paramStre i, la famille d'op~rateurs ~Si(t) ~ (i variable,
t fixg) d~finit un op~rateur unique S(t) qui eat une application lin~-
aire continue de E dana E.
Pour la construction explicite de S(t) vgrifiant lea propri~t~s
ii) et (iii)~ nous renvoyons ~ ~2] , [15J, I~ l~ .
Une variante de cet exemple tr6s utile dana lea problgmes faisant
intervenir des 6quations aux dgriv~es partielles eat donn6e par HAMIL-
TON ff4]
Lea notations ~tant lea m~mes que pr6c6demment , on pose :
i'
soit Hi(~) le compl~t~ de I~(~) pour la norme i
D'apr6s lea thgorgmes de SOBOLEV, l'application de Hi+k(~) dana
ui(~) eat continue pour k assez grand et j~ ~) peut s'interpr6ter
comme la limite projective des Hi(~) La construction de l'op~rateur
S(t) se fait de manigre analogue H la pr6c6dente.
D~FINITION .2 Un ~objet au sens de SERGERAERT eat un couple
(B, E) o~ E eat un ~- espace et Bun ouvert de E pour une des normes
i i " I (Dana la suite on posera cet indice i fixe i = ~(B)).
D{FINITION
.3 Soit (B, E) un ~objet, Fun ~-espace, j un entier
queloonque, j> ~(B) . On notera B., l'ensemble B muni de la topologie
3
d~finie par la norme J I I " Un ~morphisme de (B, E) dans F, de c]asse
k C est une application continue fde B dans F telle que :
(i) il existe un entier d fixe d( >/~o(B)) et pour tout entier j
une application .f de classe k C de Bj+ d dans F. , dont la restriction
J J
B co'incide avec f.
(ii) L'application D~f , de B × (Ed)~ dans F, lir~aire en les
k-~
derni~res variables peut s'~tendre en une application de classe c
de Bj+ d f (Ej+d)~ dans Fj, lin~aire en les~ derni~re variable, pour
tout entier j.
~[~H~: ~I est essentiel dans cette d~finition de supposer d
/n
ind~pendant de j. Si d d~pend de j ; on dira que f est un~-morphisme
faible.
On d~finit ensuite de manigre gvidente ~ l'aide des donn&es pr~-
e~dentes les notions de ~-vari~t~ ~ ~-groupe, ~-aetion ~6]
Exemple. M at N gtant deux vari~t~s de classe ~ C , M compact, l'en-
semb~e des applications de classe ~ C de M dans N a une structure de
~varigt~ model~e sur l'espace des sections de classe C~ du fibr~
vertical tangent ~ la fibration M N X ~-kM
2°/ Thgor~mes de fonctions implicites dans la ~-cat~gorie.
2
THEOREME ' ' . ] Soit (B, E) un 0bier, F un -espace, f une applica-
tion de B dans F qui soit un ~-morphisme de classe k C . On suppose
qu'il existe un ~morphisme L de classe C~ (O$ ~ $ k-I) de .~.B F dans
E, lin~aire en la seconde variable tel que, pour tout couple (x, y)
de F B × , on ait :
Df(x) .L(x, y) = y .
Soit (Xo, yo) un couple de F B ~ tel que f(Xo) = Yo " Alors il exi~te
un voisinage U de Yo dans F et un ~-morphisme faible s de classe ~ C