Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1987–88 PDF
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Progress in Mathematics Volume 81 Series Editors 1. Oesterle A. Weinstein Seminaire de Theorie des N ombres, Paris 1987-88 Edited by Catherine Goldstein 1990 Birkhauser Boston . Basel . Berlin Catherine Goldstein Mathematique, BMiment 425 Universite de Paris-Sud Centre d'Orsay 91405 Orsay Cedex France "The Library of Congress has cataloged this serial publication as follows:". Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Seminaire de theorie des nombres/Seminaire Delange-Pisot Poitou. - 1979-80-- Boston: Birkhiiuser, 1981- v.;24 cm. - (Progress in mathematics) Annual. English and French. Continues: Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Seminaire Delange-Pisot-Poi tou: [exposes) I. Numbers, Theory of-Periodicals. I. Title. II. Series: Progress in math ematics (Boston, Mass.) QA 24.S37a 5 I 2'.7'05-dcI 9 85-648844 Library of Congress [8510) AACR 2 MARC-S CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Seminaire de Theorie des Nombres: Seminaire de Theorie des Nombres. - Boston; Basel; Berlin : Bi rkhiiuser Teilw. auf d. Haupttitels. auch : Seminaire Delange Pisot-Poitou 1987/88. Paris 1987-88. - 1990. (Progress in mathematics ; Vol. 81) ISBN-13 :978-1-4612-8032-3 e-ISBN -13: 978 -1-4612-3460-9 DOl: 10,1007/978-1-4612-3460-9 NE:GT Printed on acid-free paper. © Birkhauser Boston, 1990 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1990 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without prior permission of the copyright owner. Permission to photocopy for internal or personal use, or the internal or personal use of specific clients, is granted by Birkhauser Boston, Inc., for libraries and other users registered with the Copyright Clearance Center (CCC), provided that the base fee of $0.00 per copy, plus $0.20 per page is paid directly to CCC, 21 Congress Street, Salem, MA 01970, U.S.A. Special re quests should be addressed directly to Birkhauser Boston, Inc., 675 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, U.S.A. 3458-4/90 $0.00 + .20 ISBN-13:978-1-4612-8032-3 Camera-ready text provided by the editor. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Les textes qui suivent sont pour la plupart des versions ecrites de conferences donnees pendant l'annee 1987-88 au Seminaire de TMorie des Nombres de Paris. Ce seminaire est organise par la R.C.P. 08 303 du C.N.R.S. qui regroupe des arithmeticiens de plusieurs universites et est dotee d'un conseil a editorial et scientifique. Ont ete aussi adjoints certains textes dont la mise la disposition d'un large public nous a paru interessante. Les papiers proposes ici exposent soit des resultats nouveaux, soit des syntheses origin ales de questions recentes ; ils ont en particulier to us fait l'objet d'un rapport. a a Ce recueil doit bien sUr beaucoup tous les participants du seminaire et a ceux qui ont accepte d'en reviser les textes. 11 doit surtout Monique Le Bronnec qui s'est chargee comme toujours du secretariat et de la frappe definitive du manuscrit ; son efficacite et sa tres agreable collaboration ont ete cruciales dans l'elaboration de ce livre. Pour Ie conseil editorial et scientifique C. GOLDSTEIN CONTENTS Comportement statistique du nombre de facteurs premiers des entiers M. Balazard 1 Sur les minorations geometriques des regulateurs A.-M. Berge et J. Martinet 23 Deformations of Galois Representations associated to the cusp form !J. N. Boston 51 Multiplicative functions 1 gl 5 1 and their convolutions: an overview P.D. T.A. Elliott 63 Arithmetic of 3 and 4 branch point covers. A bridge provided by noncongruence subgroups of SL2(71.) M. Fried 77 Minoration de hauteurs et analyse diophantienne sur les courbes elliptiques M. Hindry 119 Rang P-adique d'unites : un point de vue torique M. Laurent 131 Le groupe des classes ambiges (au sens strict) S. Louboutin 147 Sur l'arithmetique des corps de nombres p-rationnels A. Movahhedi et T. NGuyen Quang Do 155 viii Algebraic independence of certain power series K. Nishioka 201 Representations p-adiques, periodes et fonctions L p-adiques B. Perrin-Riou 213 Raising the levels of Modular Representations K. A. Ribet 259 Matrices dont les coefficients sont des formes lineaires D. Roy 273 Some new Hasse principles for conic bundle surfaces P. Salberger 283 Valeurs des formes quadratiques indefinies irrationnelles (d'apres G.A. Margulis) J.-C. Sikorav 307 P-adic heights on abelian varieties Yuri G. Zarhin 317 Erratum: "Diagonale de fractions rationnelles" (STNP 1986-87) G. Christal 343 Erratum: "On the arithmetic of conic bundle surfaces" (STNP 1985-86) P. Salberger 347 Liste des conferenciers 349 1 Seminaire de Theorie des Nombres Paris 1987-88 COMPORTEMENT STATISTIQUE DU NOMBRE DE FACTEURS PREMIERS DES ENTIERS M.BALAZARD I.-Introduction. Si n est un entier positif, on note f/ (n) Ie nombre de facteurs premiers de n, comptes avec leurs multiplicites : L L (1) f/(n) = 1 = a II n p~ln ou p designe un nombre premier generique et a un entier positif generique. La fonction arithmetique f/ est comph3tement additive, c'est-a-dire que f/ (ab) = f/ ( a) + f/ (b) , quels que soient les entiers naturels a et b. Dans cet expose, nous etudions Ie comportement local de f/. Posons: (2) ou x est un entier posit if tendant vers l'infini, et k un entier positif. Dans (2), v x designe la probabilite uniforme sur l'ensemble des entiers 1,2, ... ,x; comme .j!( n) ~ n, on a v x(f/( n) = k) = 0 pour k> t~~ ~ et il suffit d'etudier (2) pour k< tog x . - og 2 Depuis Ie debut de notre siecle, de nombreux auteurs ont donne des equivalents asymptotiques ou des majorations pour v if/(n) = k). Nous resumons ci-dessous ces travaux ; pour ne pas alourdir cette presentation, nous omettons les termes d'erreurs effectifs connus pour les resultats (6) et (10). 2 (3) v x( !1(n) = k) N (log X)-l (l ogl(okg- l)x.~ k-l quand x -+ + (f) , pour tout k fIxe (Landau 1900, cf. [11]). uniformement pour x ~ 3 et k ~ 1, ou Co et ~ sont des constantes positives k-l L absolues et Sk-l (X) = ~ est la (k-l)-ieme somme partielle de la serie i=O z. exponentielle (Hardy et Ramanujan 1917, cf. [8]). Signalons qu'une inegalite cl- fausse (v x(!1(n) = k) ~ co(log xtl(loglog x + l j(k-l)!) a parfois ete utili see imprudemment it la place de (4). et I k -loglog xl ~ B (loglog x) 12 ou Best positif, arbitraire mais fIxe (Erdos 1948, cf. [5]). k-l (6) v x( f!( n) = k) N F( IogkIo-lg x) (log X)-l (log(lokg- I)x.~ quand x -+ + (f) , uniformement pour 1 ~ k ~ (2--£ )loglog x, ou E > 0 est fIxe et F(z) =r(~+I) ~ (l-jl(1-it1 (Sathe-Selberg 1953-54, cf. [19]). (7) v x(f!( n) = k) N C(log x)2-k quand x -+ + (f) , uniformement pour (2+E )loglog x ~ k ~ B loglog x ou E et B sont positifs et 1 1 fIxes et C = 4 ~3 (1 + P(p-2») (Selberg 1954, cf. [19]). (8) 3 uniformement pour x ~ 3 et k ~ 1, ou ~ est une constante positive absolue (Erd6s-Sark6zy 1980, d. [6]). (9) uniformement pour x ~ 3 et k ~ 1, ou c3 est une constante positive absolue (Norton 1981, cf. [14]). uniformement pour k ~ (2+E )loglog x, E > 0 etant fixe (Nicolas 1984, d. [13]). Signalons des travaux recents d'Azzouza, dormant des majorations explicites de viQ(n) = k), et utilisant la demonstration du tMoreme de Nicolas. Le rapprochement entre les lois de repartition des fonctions arithmetiques et les lois probabilistiques classiques est l'un des objectifs de la tMorie probabiliste des nombres. Ainsi (6) montre que, pour k~ (2--E)loglog x, Q(n) se comporte it peu pres comme une variable de Poisson de parametre loglog x et (10) indique une loi locale it peu pres geometrique de raison ~ pour k ~ (2+E )loglog x . 11 est naturel de s'interroger sur ce brusque changement de nature des formules asymptotiques pour v iQ( n) = k). La solution du probleme est donnee par la consideration d'une nouvelle loi probabiliste simple. II.-La loi Poisson-goometrique. Considerons une loi de Poisson de parametre ). ~ 0, definie par la formule -). ).k-l (11) Pk = e f7i=I)T k = 1,2, ... , et une loi geometrique de raison r: (12) gk = (l-r)rk k = 0,1,2, ... Nous appelons loi POisson-geometrique de parametre ). et de raison r Ie produit de convolution:
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