Séminaire de Probabilités XVI, 1980/81 Supplément: Géométrie Différentielle Stochastique

288 Pages·1982·4.529 MB·French

by  Laurent Schwartz (auth.), Jacques Azéma, Marc Yor (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by A. Dold and .B Eckmann
Series: Institut de Math6matiques, Universite de Strasbourg
Adviser: P.A. Meyer
129
erianim6S
ed Probabilites XVl, 18/0891
Supplement:
G6om~trie Diff6rentielle
Stochastique
Edit6 par .J Azema et .M Yor
II
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY 1982
Editeurs
Jacques Azema
Marc Yor
Laboratoire de Calcul des Probabilites, Universit6 Paris Vl
4, place Jussieu - Tour 56, 75230 Paris C6dex 05, France
AMS Subject Classifications (1980): 60 G XX, 60 H XX, 60 J XX
ISBN 3-540-11486-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-387-11486-6 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
G~om6trie diff6rentielle stechastique / 6d. par .J Azema et .M Yor. - Berlin; Heidelberg;
New York: Springer, 1982.
(Seminaire de Probabilit~s...; ,51 Suppl.)
(Lecture notes in mathematics; VoI. 921: Ser. Inst. de Math., Univ. de Strasbourg)
ISBN 3-540-11486-6 (Berlin, Heidelberg, New York)
ISBN 0-38?-11486-6 (New York, Heidelberg, Berlin)
:EN Azema, Jacques Hrsg.; 2. GT
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(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982
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2141/3140-543210
TABLE DES MATIERES
L. SCHWARTZ. G~om~trie diff~rentielle du 2~me ordre, semi-martin-
gales et ep quatzons . dlfferen. tlelles p . stochastlques sur
une varzete dzfferentlelle ..........................
L. SCHWARTZ. Errata .............................................. 149
P.A. MEYER. Variation des solutions d'une E.D.S. d'apr~s
J.M. Bismut ......................................... 151
P.A. MEYER. G~om~trie diff~rentielle stochastique ~bis) ......... 165
M. EMERY. En marge de l'expose / de Meyer: 'GeoI metrze (cid:12)9 P - diff~ren-
tielle stochastique". ............................... 208
R.W.R. DARLING. Martingales in manifolds Definition, examples,
and behaviour under maps ............................ 217
R. AZENCOTT. Formule de Taylor stochastique et d~veloppement
asymDtotique d'int~grales de Feynmann .............. 237
GEOMETRIE DIFFERENTIELLE DU 2 ~me ORDRE, SEMI-MARTINGALES
ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES
SURUNE VARIETE DIFFERENTIELLE
par Laurent SCHWARTZ
INTRODUCTION
11 y a longtemps qu'on a, sans vouloir vraiment le dire, utilis6 des semi-
martingales ~ valeurs darts une vari6t6 de casse C 2. J'ai formalis6 en d6tail
cette notion dans Schwartz Ell- Mais il y a deux points que je n'6tais pas bien
arriv6 ~ r&soudre. Le premier, c'est la g~ne constante introduite par la n6ces-
sit6 de v6rifier, dans une int6grale stochastique, que la fonction ~ int6grer
6tait v6ritablement int6grable ; voir par exemple Schwartz 1, th6oremes X et
XI et leurs d6monstrations. C'est ce qui m'a pouss6 ~ introduire les semi-mar-
tingales formelles, pour lesquelles aucune v6rification d'int6grabilit6 n'est
plus jamais n6cessaire ; c'est l'objet de Schwartz 2. I1 sera constamment
fair r6f6rence ~ ces deux articles, en les abr6geant par SEll et S2. Le deu-
xi~me point est relatif au calcul diff6rentiel du second ordre ; d'od l'obliga-
tion de ne consid6rer que J (cid:12)9 X c, sorte de composante martingale locale continue
d'une semi-martingale J (cid:12)9 X qui n'existe pas ; voir SIll, pages 66 et suivantes.
Je sentais bien alors qu'un J (cid:12)9 X devait exister (il se notera ici J (cid:12)9 X), mais
avec un calcul diff6rentiel du second ordre. Par ailleurs, il y longtemps aussi
qu'on a 6tudi6 des diffusions et des 6quations diff6rentielles stochastiques
sur des vari6t6s, et vu l'intervention des termes du second ordre (par suite
de la formule d'ItS) dans les changements de cartes. 11 est curieux qu'on n'ait
je crois, jamais not6 que ce changement de cartes faisait simplement intervenir
le calcul diff6rentiel du second ordre. Tout cela est l'objet du pr6sent arti-
cle.
Nous supposerons toujours donn~ un ensemble Q, une tribu O sur Q~ une pro-
babilit6 k sur (~,0), et une filtration (~t)t6~,_. famille croissante et conti-
nue a droite de tribus k-mesurables X-completes. Tousles processus serout donc
index6s par le temps t C ~+ , comme dans SI et S2. Par ailleurs, toutes les
int6graies stochastiques song prises en excluant le temps
o : (f-x) t = ~30,t~ f dX ~ comme dans SI et S2. Ces diff6rences mises
s s
part, mes notations sont les m~mes que dans P.A. Meyer 1, auquel je renverrai
par MIll. Sauf dans le cas particulier ou la vari6t6 est un groupe de Lie~ les
discontinoit6s des semi-martingales semblent plut~t pathologiques.
Semi-martingale voudra donc toujours dire semi-martingale continue, martingale
voudra dire martingale locale continue. Par contre on n'imposera pas du tout
une semi-martingale d'etre nulle au temps O, parce qu'en g6n6ral elle sera d6fi-
nie seulement sur un ouvert A de ~ (cid:141) , eta valeurs dans une vari6t6 ~ Avant
+
de r6diger cet article, j'ai expos6 mes id6es a Paul Andr6 Meyer. Nous avons
ensuite discut@~ et @chang@ des versions successives de manuscrits~ et finale-
ment publi6 chacun un article, le sien est P.A. Meyer 2, le mien est celui
ci. Nous avons e~say& chacun de rendre ~ C6sar ce qui lui appartenait, sans
aller jusqu'h l'obsession. Les deux articles se ressemblent beaucoup, mats
valent tous les deux la peine d'etre publi~s, car ils tournent autour de points
de rue qui ne sont pas exactement les m~mes ; il a travaill6 surtout avee des
ouverts de ~N (cartes), et des tenseurs avec indices~ mot avec des espaces
tangents et cotangents sans cartes ; chaque point de rue a ses avantages et ses
. . . . (~
~nconven~enLs .Meyer a intitul6 son article "G&om6trie stochastique sans larmes" ;
je ne suis pas s~r qu'il n'y ait pas de larmes, mats suis a peo pros s~r qu'il
yen a dams le mien. Les tarmes paraissent un peu in6vitablement li6es au calcul
du second ordre ~ on ne pleure pas au premier ordre~ on pleure au second, depuis
d6ja des g6n6rations.
3,'-
(*)
Les notations tensorielles utilis~es par Meyer et mot ne sont pas partout
les m~mes~ de sorte qu'h~las il y a des facteurs 2~ = 2 en plus chez lui
ou chez moi.
3
w 1. LES ESPACES TANGENTS ET COTANGENTS D'ORDRE 2 RUS ENU VARIETE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R6sum6 du w 1. Ce paragraphe d6finit les notions essentielles du calcul diff6-
rentiel du second ordre. (1.1) d~finit les espaces l-cotangent T~I(V,v) et
2-cotangent T*~2(V,v) en un point v d'une vari6t6 ~V et les diff6rentielles
~D et D2~ d'une fonction ~ sur V. On examine le cas ou Y est un espace
vectoriel ~E muni d'une base. On passe aux structures duales, espaces
-tangent Tl(V,v) et 2-tangent T2(V,v) ~ V en v~ avec le cas V = E, muni
d'une base. Puts (1.8) traite des images par une application C 2 d'une
vari6t6 dans une autre~ avec l'exemple de l'acc616ration complete d'une
trajectoire.
(I.I) V sera une vari6t6 diff6rentielle ed classe C 2, de dimension .N enU
fonction ~ r6elle ed classe C 2, ~E C2(V;~) = C2(V) C= 2 ~ est dire k-plate en
vE ~V k= 0~1,2, si (cid:12)9 et ses d6riv6es d'ordre ~ k sont nulles en v (d6finition
sur une earte~ ind6pendante de la carte). L'espace vectoriel des fonctions
nulles en ~v modulo les fonctions k-plates, k = I~2~ se note T k~ (V~v)~ et s'ap-
pelle espace des vecteurs k-cotangents a V en v ; l'image ed ~ dans cet espace
se note Dk~(v), k = 1,2 ~ si (cid:12)9 ne s'annule pas en ~v no pose
~1 ~2
Dk~(v) = Dk(~ - ~(v))(v)~ uo Dkl(v)= 0 ; '1 (V,v) est ed dimension ~N T (V~v)
de dimension N + N(N+I) . nO app611era P (V~v) le sous-espaee de T~e2(V,v)~ for-
2
)I+N(N
6m des classes des fonctions l-plates en v, ed dimension ---~--~ ; le quotient
T (V,v)/P (V,v) est 6videmment l'espace des fonctions nulles en v, modulo les
fonctions l-plates en ~v c-a-d. T (V,v). Si ~,~E C 2 sont nulles en v, ~ est
l-plate en v, donc D2(~)(v)C P~(V~v), et si l'une d'elle est l-plates leur
pro~uit est 2-plat ; on d~finit donc ainsi une application bilin6aire
(D~(v),D~(v))~ D2(~)(v) de T~V~v) (cid:141) T~I(v,v) dans P (V~v), donc une applica-
tion lin6aire de T (V~v)| T~I(v,v) ( | est le produit tensoriel sym6trique)
dans P (V~v), qu'une carte mont~e etre une bijection. Par cette bijection,
nous identifierons T~I(v,v)o T~I(v,v) et P~(V,v) et poserons, pour (cid:12)9 et
nulles en v, D~(v)o D~(v) = D2(~)(v). Si ~ et ~ ne s'annulent pas en v, ~- ~(v)
et ~- ~(v) s'annulent, d'ou
l D~(v)O D,(v) :~ D(~- W(v))(v)O D(~- ~(v))(v)
(1.2)
= D2((~-~P(v))(~- ~(v)))(v) = D2(9~)(v)- ~(v)D2~(v)- ~(v)D2~(v) (cid:12)9
(1.2bis) Tout produit tensoriel FO F est muni d'une structure d'ordre naturel-
le ; on dit qu'un 616ment de FO F est (cid:12)9 O s'il est une somme finie
E f 0 f , f ~ F. Si (fk)k=l~. ~ est une base de F, E x. j f. | f ,
"" i,j=l 1 I J
x. .= x. ., est ~ 0 si et seulement la matrice des x. est (sym6trique) (cid:12)9 0.
Done P (Y,v) a une structure d'ordre ; les 516ments (cid:12)9 0 de P sont exacte-
ment les E D~ (v)| D~ (v) ~ ~ C~(V;~o ) ou encore les 2(D 2 ~2)(v) ou les ~k
sont des fonctions C 2 nulles en v.
R6sumons quelques-uns des r6sultats pr6c6dents
(1.3) T (V,v) est de dimension N+ ~_____I+N.N le sous-espace P (V,v) des
2
classes des fonctions 1-plates en vest de dimension N(N+I) 6gal
2
Tr T+s(V,v) par (1.2), t~__e T (V,v)/P (V,v) = (V,v) ; l'image de
D2~p(v) E T (V,v) dans le quotient T (V,v) est D~P(v).
Si Vest un espace vectoriel E de dimension N, )q C C 2 admet une d6riv6e
~P'(v), forme lin6aire sur E done ~ g , et une d6riv6e seconde ~P"(v), forme
bilin6aire sym6trique sur E(cid:141) E, ~P'(v)(X) = ~Xq~(v), ~P"(v)(X,Y) = ~X~y(V) ; alors
q)"(v) est une forme lin6aire sur E~ E ; done ~P"(v)~ (E| = E | E , si l'on
met EoE et E o E en dualit~ par le produit scalaire
(1)
(1.4) (aoBXOY) ~,~ ~ = (~IX) ~ (plY) s~ + (air) ~ (~y) e~
E | E ,EOE E ,E E ,E E ,E E ,E
hlors ~ (~'(v)~"(v)) est une application lin~aire de C2(E;~) dans
E~G (E~O E~), ~gale ~ 0 sur les fonctions nulles en vet 2-plates en v, donc
D2~(v)o (~'(v),O"(v)), que nous 6crirons plutSt (~'(v) ~"(v)), matrice horizon-
tale h 1 ligne et 2 colonnes, est une application lin6aire de T~2(E,v) dans
5
E @ e~E( (cid:12)9 o E ~ ) =T*el(~v)~ (T~I(E,v)O I~*T (E,v)), qui est bijective ; on identifiera
~2
donc T (E,v) ~ E~ (E'~o E ~) en posant
(l.4bis) D2~(v) = (m'(v) ~"(v))
On voit aussit~t que le 2&me sous-espace, E OE edt exactement P (V,v), avec
la structure tensorielle de (1.3) ; mais ici la structure sous-espace et quo-
tient de (1.3) devient une structure de somme directe : un ~lbment (0 ~"(v))
de E o E est la diff~rentielle D 2 d'une fonction plate en v (ce qui garde son
sens, d~jh vu, sur une vari6t6), un ~16ment (~'(v) O) de E est 6gal & la dif-
f6rentielle D 2 d'une fonction affine, ce qui n'a pas de sens sur une vari6t~.
Si E est muni d'une base (ek)k=l,2,..., N , donc E de la base duale
(ek)k=l,2,...,N ~ sk est la forme lin&aire coordonn6e x k, donc aussi
Dxk(v) = D2xk(v) = x k = c k~ E ~ , donc Dx~(v) " o Dx3(v) = si o cJ = (O c i ~ s j) =
D2((x i xi(v))(x j xJ(v)))(v) ~ E | E
N
Comme ~-~(v)- Z 8 k ~9(v)(xk- xk(v)) est 1-plate en v, et
k=l
N N
~-~(v)- E 3 k ~(v)(xk-xk(v))-~ ~ 3.3. q)(V)(xl " -- XI(v) . (X j - xJ(v))
k=l i,j=l x 3
2-plate en v (formule de Taylor)~on aura
N
I D~(v) = ~ 8k ~(v) c k
k=l
(1.5)
N N
D2Cp(v) = ( E bk q~ k + E 1 z 3.~ m(v) sloe j)
1 3
k=l i,j=l
La fonction ~ est 1-plate en vE E ssi les 5Tk(V) sont nulles, et alors
D2~(v) E E ~o E ~ est a 0 (suivant 1.2bis) ssi la matrice des 5.~. ~(v) est
13
(sym6trique) ~ O.
Passons aux structures duales. L'espace k-tangent en v, k= 1,2, dual de
T~k(y,v), est l'espace des distributions sur Y (formes lin6aires continues sur
C 2 (Y)), d'ordre g k, de support c Iv}, sans terme en 5 (i.e. nulles sur les
comp
fonctions constantes). Un champ de vecteurs k-tangents est un op6rateur diff6-
rentiel d'ordre ~ k, sans terme d'ordre O. Si Lest un tel op6rateur diff6ren-
tiel, (cid:12)9 une fonction r6elle C 2 sur V, on aura
(L~)(v) = (Lv D2*(V))T2(V *o (cid:12)9 La formule (1.2) donne
,v),T ~(V,v)
(1-6) (L(',P*) -~L*- ~L'-P)(v) = (L I Dk~174 D'~4(v)) o ~2
v "
T~,T
tt
L'orthogonal de P (V,v) dans T2(V,v) est le sous-espace Tl(V,v) (une distribu-
tion en v, d'ordre < 1, est une distribution d'ordre ~ 2, nulle sur les fonctions
1-plates '). La structure (1.3) montre alors que le dual de
T*2(V~v)/P * (V,v) = T * 1 (V,v) est T 1 (V,v), ce que nous savions d@ja, mais aussi que
le dual de P * (V,v) = T*I(V)o T*I (V,v) est P(V,v)= T2(V,v)/T1(V,v) et dolt ~tre
canoniquement isomorphe ~ Tl(V,v)| TI(V,v). On peut retrouver cette structure
d'une autre maniere. Soient ~v' vlT ' deux vecteurs l-tangents en v. Prolongeons-
les n'importe comment en champs de vecteurs de classe C1, ~, ~, qui sont donc
des op@rateurs diff~rentiels d'ordre 1. Alors leur produit ~ est un op6rateur
diff6rentiel d'ordre 2 ~ (~~)(v) d6pend des prolongements choisis, et d'ailleurs
{~/ ~~. Mais, si 0~ est -plate, (~~)(v) = ('l~)(v) ne d@pendent que de D2~p(v)~
~v , ~v ; ou encore (~)v et (~)v sont bgaux mod TI(v,v) et ne d@pendent, modu-
lo TI(v,v)~ que de ~v ' ~v " On d6finit donc une application bilin6aire sym6tri-
ctue (~v,~v)~ (~'~)v = (~/~) v de TI(V,v) (cid:141) darts P(V,v), clone lin6aire de
Tl(V,v)e Tl(V,v) dans P(V,v)= T2(V,v)/TI(V,v), et on voit que c'est une bi3ec-
tion. Cea donne bien une identification de P(V,v) avec TI(v,v)| Tl(V,v), et on
v@rifie ais6ment qu'elle est compatible avec sa structure de dual de
P * (V,v) T*l(v,v)| T*I (V,v).
=
La proposition duale de (1.3) est donc :
(1.7) TI(v,v) est un sous-espace vectoriel de T2(V~v), c'est l'orthogonal
e.e_d P*(V,v)= T*l(v,v)O T (V,v) ; le quotient T2(V,v)/Tl(V,v) est le dual P(V,v)
d_~eP (V,v), et il est canoni~uement isomorphe a Tl(v,v)| Tl(v,v).
En liaison avec (1.2bis), en identifiant suivant (1.4) le dual de F| F ~ F | F ,
Ies structures d'ordre de ces deux espaces sont duaies : un @16ment de F | F
est a 0 si et seulement si son produit scalaire avec tout @l@ment (cid:12)9 0 de F| F
est >_ O, ou encore ssi son produit scalaire avec tous les carr~s f o f, f C F,
est > O, ou encore ssi il d~finit une forme bilin6aire (symbtrique) _> 0 sur
F(cid:141) F. Donc Tt(V,v)| TI(V,v)= T2(V,v)/TI(V,v) est muni d'une structure d'ordre,
et par cons6quent T2(V,v) d'une structure de pr6ordre,en appeiant >_ 0 un 61~ment
de T2(V,v) donc l'image dans le quotient est _~ O. Le c~ne ~ 0 de T2(V,v) est
alors engendr~ par TI(v,v) et les (~2) v ~ champ de vecteurs de classe C 1 on
op~rateur diff6rentiel d'ordre 1 gans terme d'ordre O, ou encore c'est l'ensem-
sans terme d ~ordre ~O
ble des traces en v d'op6rateurs diff~rentiels continus~semi-elliptiques k O.
Si V = E, espace vectorieI de dimension N, T1(V,v) = E, T2(V,v) = E@ (E| la
structure sous-espace et quotient devient une structure de somme directe.
D'ailleurs un op6rateur diff6rentiel L d'ordre 2 sans terme d'ordre O s'~crit
comme somme L= g+ h d'un op6rateur diff6rentiel homog~ne d'ordre 1, g~ et d'un
op~rateur diff~rentiel homog~ne d'ordre 2, A, ce qui n'a pas de sens sur une
vari6t6 ; on ~crira L = , ~.v~ E, A ~ EoE, matrice verticale~ h 2 lignes
v A v
v
et une coIonne ; si (cid:12)9 est de classe C 2, le produit scalaire entre
D2~(v) = (~'(v) ~"(v)) et L = est le produit de matrices, soit
v Av
~P'(v)(~v) +~"(v)(Av) : ((~§ (v) ; Lv~ E, i.e. L : , ssi il annule les
v 0 / O/
fonetions plates en v (c'est aussi vrai sur une varietY), et L ~ EO E, L = 1,
v v
v
ssi ii annuIe les fonctions affines (ce qui n'a pas de sens sur une varietY).
Si ~ et T I sont deux op~rateurs diff6rentiels homog~nes d'ordre 1~ de cIasse
C 1, g~ n'est pas homog~ne d'ordre 2, mais on voit aisbment que sa composante
homog~ne d'ordre 1 est 5~ (0) ; donc
CvO'Qv ou : (C'~-aC~) v : ('~-a~C) v ,
gv o ~v
(1.7bis) ((~vl)v/~.v 0 vI1 - =/~ 1__ ~ -
ou aussi (~n)v : / ' ou g~ \Co~/
Remarquons aussi que (agv~)=3'(v)(g v) ; gvEE, l' E2(E;E), ~'(v)(gv)EE.
Si g et ~ sont des op6rateurs diff6rentiels & coefficients constants,