Séminaire de Probabilités XIV 1978/79

552 Pages·1980·6.978 MB·French-English

by  B. Heinkel (auth.), Jacques Azéma, Marc Yor (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
Series: Institut de Math6matiques,
Universit6 de Strasbourg
Adviser: .P .A Meyer
784
Seminaire de Probabilit6s XlV
1978/79
Edite par
.J Az6ma et .M Yor
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY 1980
Editeurs
Jacques Azema
Marc Yor
Laboratoire de Calcul des
Probabilit6s
Universit6 Paris 6
4, place Jussieu - Tour 56
75230 Paris Cedex 05
France
AMS Subject Classifications (1980): 60 G 07, 60 G 17, 60 G 44, 60 H 05,
60 H10, 60J 25, 60J55
ISBN 3-540-09760-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-09760-0 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
emhanfua~etitzruK-PIC der nehcstueD Bibliothek
erianimeS ed <14, Probabilites 8791 - ,9791 Paris>:
erianimeS Probabilites de VIX :]ezrotauQ[ / 1978/79 .d~ rap .J et Azema .M .reY - ,nilreB
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.reS Inst. ed ,seuqitamehtaM de Univ. )gruobsartS
Heidelberg, (Berlin, 3-540-09?60-0 ISBN weN )kroY
NBSI (New 0-387-09760-0 ,kroY Heidelberg, )nilreB
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980
Printed in Germany
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2141/3140-543210
ERIANIMES ED PROBABILITES XIV
Par la volont@ de "l'ancienne r@daction" (~)~ le S@minaire de Strasbourg se
d@centralise donc ~ Paris. Nous ne nous.donnerons pas le ridicule de pr@tendre
une quelconque succession ; tout le monde sait ce qu'il en est.
Nous essaierons de faire en sorte que chacun continue @ s'y sentir chez sol.
eC volume, qui se trouve domicili@ au Laboratoire de Calcul des Probabilit@s au
moment o~ son Directeur se prepare ~ le quitter, appara~tra pour ce qu'il est :
nU hommage rendu ~ Robert .TETROF
J.A./M.Y.
(2)
emmoC il est dit dans le volume precedent - (C. Dellacherie, P.A. Meyer,
.M Weil).
SEMINAIRE DE XlV PROBABILITES
TABLE DES MATIERES
.B HEINKEL. Deux exemples d'utilisation de mesures majorantes ............ i
E. GINE.Corrections to "Domains of attraction in Banach spaces" . ......... 71
.R CAIROLI. Sur l'extension de la d~finition d'int~grale stochastique ..... 81
.E ,TRALGNEL .D LEPINGLE, .M PRATELLI. Pr#sentation unifi~e de certaines
in~galit#s de la th6orie des martingales .................................. 62
E. .TRALGNEL Appendice ~ l'expos# precedent : in~galit~s de semi-
martingales ............................................................... 49
J. AZEMA, R.F. ,YDNUG .M YOR. Sur l'int6grabilit# uniforme des martinga-
les continues ............................................................. 35
M.T. ,WOLRAB .M YDR. Sur la construction d'une martingale continue de
valeur absolue donn#e ..................................................... 62
M.J. .EPRAHS Local times and singularities of continuous local martingales. 67
P.A. .REYEM Sur nu r~sultat de L. Schwartz ................................ 201
.C STRICKER. Prolongement des semi-martingales ............................ 401
.C STRICKER. Projection optionnelle et semi-martingales ................... 211
C.S. .UOHC enU caract~risation des semi-martingales sp~ciales ............. 611
.M .YREME Equations diff~rentielles stochastiques. La m~thode de
M#tivier-Pellaumail ....................................................... 811
.E .TRALGNEL Sur l'in~galit~ de M~tivier-Pellaumail ....................... 521
C.S. ,UOHC P.A. ,REYEM .C STRICKER. Sur les int~grales stochastiques de
processus pr6visibles non born~s .......................................... 821
.M .YREME M#trisabilit~ de quelques espaces de processus al~atoires ....... 041
J-A. YAN, Remarques sur l'int~grale stochastique de processus
non born6s ................................................................ 041
.M .YREME Compensation de processus ~ variation finie non localement
int~grables ............................................................... 251
J. JACOD. Int#grales stochastiques par rapport ~ une semi-martingale
vectorielle et changements de filtration .................................. 161
P.A. .REYEM Les r#sultats de Jeulin sur le grossissement des tribus ........ 371
.M YOR. Application d'un lemme de Jeulin ua grossissement de la filtra-
tion brownienne ........................................................... 981
J. ,NAHREUA .D LEPINGLE, .M YOR. Construction d'une martingale r~elle
continue de filtration naturelle donn#e ................................... 200
• . ./...
A. SEYNOU. Sur la compatibilit# temporelle d'une tribu et d'une filtration
discrete .................................................................. 205
J. PELLAUMAIL. Remarques sur l'int~grale stochastique ..................... 209
J-A. YAN.Caract#risation d'une classe d'ensembles convexes de I L ou I H ... 220
J-A. YAN, Remarques sur certaines classes de semi-martingales et sur les
int~grales stochastiques optionnelles ..................................... 223
J. JACOD, J. MEMIN. Sur la convergence des semi-martingales vers un
processus ~ accroissements ind~pendants ................................... 227
C. YOEURP. Sur la d~rivation des int~grales stochastiques ................. 249
C. YOEURP. Rectificatif ~ l'expos~ de C.S. Chou (p. 441, S~m. XIII) ....... 254
R. REBOLLEDO.Correction~ : "D#composition de martingales locales et
rarefaction des sauts" . ............................................ 255
.M FUJISAKI. Contr61e stochastique continuet martingales ................. 256
H. KUNITA. nO the representation of solutions of stochastic differential
equations ................................................................. 282
J-A. YAN.Sur une ~quation diff~rentielle stochastique g@n@rale ........... 305
.M EMERY. Une propri@t@ des temps pr6visibles ............................. 316
.M EMERY. Annongabilit@ des temps pr#visibles. Deux contre-exemples ....... 318
M.T. BARLOW, L.C.G. ROGERS, D. WILLIAMS. Wiener - Hopf factorization for
matrices .................................................................. 324
L.C.G. ROGERS, D. WILLIAMS. Time-substitution based on fluctuating
additive functionals ...................................................... 332
.M YOR. Remarques sur une formule de Paul L@vy ............................ 343
K.L. CHUNG. nO stopped Feynman - Kac functionals .......................... 347
N. FALKNER. nO Skorohod embedding in n-dimensional Brownian motion by
means of natural stopping times ........................................... 357
M. PIERRE. Le probl@me de Skorokhod : une remarque sur la d@monstration
d'Az@ma - Yor ............................................................. 392
R.K. GETOOR. Transience and recurrence of Markov processes ................ 397
J. JACOD, B. MAISONNEUVE. Remarques sur les fonctionnelles additives
non adapt@es des processus de Markov ..................................... 410
.M RAO. A note on Revuz measure ......................................... 418
M.I. TAKSAR. Regenerative sets on real line ............................... 437
HV
SESOPXE ,SERIATNEMELPPUS
.M WEBER. Sur un th~Qr~me de Maruyama ...................................... 475
.R CAIROLI. Int~grale stochastique curviligne ]e long d'une courbe
rectifiable ................................................................ 489
C. COCCOZ~A, .M YOR. D~monstration d'un th~or~me de F. Knight ~ l'aide de
martingales exponentielles ................................................. 496
E. LENGLART. Tribus de Meyer et th#orie des processus ...................... 500
S~mino~re de Probabilit~s XIV
1978/79
XUED SELPMEXE D'UTILISATION ED SERUSEM SETNAROJAM
par B. LEKNIEH
Les mesures majorantes sont devenues des outils essentiels dans l'6tude
des £onctions al@atoires gaussiennes (X. Fernique [3], [4]) et du th@or@me
central-limite dans C(S) (B. Heinkel [6], [7], [8]). Ainsi les principaux r6-
sultats obtenus pr@c6demment par la m@thode d'entropie dans le domaine des £onc-
tions al~atoires gaussiennes (R.M. Dudley [I]) et dans celui du th6or@me central-
limite dans C(S) (R.M. Dudley, V. Strassen [2], E. Gin6 [5], N.C. Jain et
M.B. Marcus [12]) apparaissent comme des corollaires des 6nonc@s utilisant des
mesures majorantes.
Dans cet expos6, on se propose d'@tudier en d6tails deux exemples de
situations dans lesquelles la m@thode des mesures majorantes s'applique alors
que la m6thode d'entropie est impuissante.
EXEMPLE .I UNE FONCTION ALEATOIRE GAUSSIENNE VERIFIANT L'HYPOTHESE DE MESURE MA-
JORANTE ET NE VERIFIANT PAS L'HYPOTHESE D'ENTROPIE.
Avant de donner cet exemple, on va rappeler les di££6rentes d6£initions
qui vont intervenir.
Soient T un ensemble et [Z(t) C t , T] une £onction al@atoire gaussien-
ne centr6e. D6signons par T l'6cart induit par sa covariance, i.e. :
W s , t ~ T , <s t) , = jE(Z(s) -Z(t)) 2 .
Posons pour simplii°ier :
g : [1, +~] ~ + R
X ~ -~ Lo~-o-~ ,
et :
V u>O , NT(u) = card[ensemble minimal de m-boules de rayon ~u
suffisant A recouvrir T].
On a alors les deux d@Finitions suivantes :
DEFINITIONS.
)1 Z v6ri£ie la condition d'entropie si :
g(N (u))du < +~ .
o
2) Une mesure de probabilit6 k sur T muni de la tribu T-bor@lienne
~T est ~ne mesure majorante pour Z _~_s :
(*) lim sup ~ g(x[x: T(Ix,t)<u])du : 0 .
[~o t6T o
~_S (*) est satis£aite r on dit que Z "v6ri£ie l'hypoth@se de mesure ma~iorante".
Rappelons les £aits suivants :
a) Chacune des conditions (I), (2) est suJ~£isante pour que Z soit A
trajectoires p.s. continues (C£. [1], [4])
b) Dans le cas oh = est statio~aire su~ [0, 1] , la condition (1)
@quivaut & la condition (2) avec ~ 6gale ~ la mesure de Lebesgue et, de plus,
(I) est n@cessaire et su££isante pour la continuit@ p.s. des trajectoires de Z
(C.~. [4]).
c) Si (I) est v6ri£i~e il e×iste ~e mesuro X v~ri~i~t (2) (Cf. [4]).
d) Un exemple construit par M.B. Marcus [14] montre que dans le cas non
stationnaire, (I) n'est pas n@cessaire pour la continuit@ p.s, des trajectoires
de Z .
La question qui reste donc posde est la suivante : "L'existence d'une
mesure majorante est-elle n6cessaire pour la continuit@ p.s. des trajectoires de
Z , dans tousles cas o"
Ceci montre l'int@rSt de l'exemple construit ci-dessous qmi 6tablit que
la condition (2) est strictement plus forte que (I).
Considdrons la smite (q)j)j E Z] d'@l@ments de C[O, 9] d@finie par "
~j(t) : 0 si t~]2 -j , 2-J+I[ ,
_ 1 si t= 3.2 -j-1 ,
JL-I J L4
lin@aire ailleurs.
On a pos6 pour simplifier :
Vn=l, 2 .... 6 , , V ×~0 :
Ln(X) = Log(Log ...)x , si x~exp(exp ...)e ,
n n-1
L (x) = I sinon.
n
On gardera cette notation tout au long de l'expos6.
D@signant par (@j)j EI~ une suite de v.a.r, gaussiennes, centr@es, r@-
duites et ind@pendantes, on pose :
Y(t) = z e ~j(t) .
j=1 J
Ii est clair que [Y(t), e t [0, 1]] est une £onction al@atoire gaussienne, cen-
tr@e, ~ trajectoires p.s. continues.
Soit m l'@cart induit par sa covariance ; on va commencer par montrer
(en s'inspirant de [14]) que Y ne v@ri£ie pas la condition d'entropie.
Les supports des £onctions j0q @rant disjoints, on aura A partir d'un certain
rang m :
o
NT(2 -m) ~ 222m m-3/2 ,
D'od :
:-/s.
m=1 m 2 m=1
La £onction al@atoire Y ne v6rifie donc pas la condition d'entropie
car la s@rie consid@r@e ci-dessus est de m@me nature que l'int@grale intervenant
darts (I).
Par contre, elle v@rifie la condition de mesure majorante pour la mesure sui-
vante :
+~
1=j a
o~ pour tout entier j , ~, d@signe la mesure uniForme concentr@e sur l'in-
J .-(L~J)/(L6J)
]2 -j , 2-J+1[
tervalle de masse totale cg ( c @rant une cons-
tante num@rique choisie de telle £acon :ue ~ soit une mesure de probabilit6).
Pour montrer que la condition de mesure majorante est bien satis£aite,
on va commencer par poser, pour simplifier les notations :
)i v~>0, ~(:) : sup ] (g i ) d~,
×~[o,I] o X(y-T(x,y)<u)
£
::) v~>o, v×~[o,1] , ~(:,~) =~ (g 7 ) d~,
o x(y: T(x,y)<u)
iii) V n61~ , ~ _ I
~L-I nL4n y
n
3 2 -n-1
iv) V nE ~I , n x = .
v) n~ n(LSn)/(L6n) :
II surf it @videmment de montrer que :
lim