Séminaire de Probabilités XIII: Université de Strasbourg 1977/78 PDF
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ON THE INTEGRABILITY OF BANACH SPACE VALUED WALSH POLYNOMIALS Christer Borell Department of Mathematics, Chalmers University of Technology, Faek, 402 20 Gothenburg, Sweden .I Introduction In 2 the author claims that the integrability of Banach space valued Wiener polynomials follows fr~ the Nelson hypercontractivity theorem 5. Here, using a similar idea~ we will study the integrability of Banach space valued Walsh poly- nomials. Our conclusion extends the familiar result of Khintchine-Kahane-Kwapiefi for the linear case 4. To start with we introduce several definitions. We let 5 denote the Dirac measure at the point a e R and set a = (5-I + 5+1)/2 . The functions eO(x) = 1 , el(x) = x , x c ~, form an orthono~al basis for L2(~R ) . We introduce the infinite product measure ~oo =iET~i (~i = u) on R ~ and define eJx) : ql e.(xi), x: x( i)~ ieN z for every ~ = (ci) eM, where {~ {0,~~; M = L~{ = z ~. < +oo. iel~ z Clearly, the e constitute an orthonormal basis for L 2 (~ ~m). (E,N )N Suppose now that E = is a fixed Bamaeh space. The vector space of all functions e:M--> E such that is denoted by ~(E) . For every fixed positive integer d , we define Wd(~) = Zecfc~ c • ,~(~), % = O, loll =/ d} and d(E) = closure of Wd(E) in L0(~co, E) , respectively. The elements of Wd(E ) are called E-valued d-homogeneous Walsh pol~ nomials. Theorem 1.1. The vector space Wd )E( is a closed subspace of Lp(~oo,E) for every p • 0,+oo . Moreover, for every fixed 1 < p < q <+oo, the norm of the carlo- nical in~eetion of (Wd(E),ll.llp,~oo) into (Wd(E),ll.llq,~o o) does not exceed (1.1) d (q -1)/(p -1) d/2 . In particular, exp(llfll m/d) • Ll(~oo~m) for all f • ~d(E) . In the special case d = 1 , Theorem 1.1 essentially reduces to the Khintchine- Kahane-Kwapie~ result 4. However, in the Banaeh space valued case the constant in I( I. I) is slightly better than in 4. 2. Proof of Theorem 1.1. Let 1 < p < q < +co be fixed and choose the real number k so that Ixl < (P- 1)/(q- )I ~/2 Theorem I I. turns out to be a simple consequence of the elementary inequality eL< O +qL I/q_< eiIq leo+ lOo c11P+ >PIIo÷OeI e ,o oi• 2, which is well-known (3, Th. 3, ,I pp. 180). To see this, we define K(x,y) = eO(x)e0(Y) + ke1(x)e1(Y) , and ~f= I K(.,y)f(y)dy, f • m ~, respectively. Then ~,ql~f~II ~ Ilfllp,~, ~, f c and by applying the Segal lemma I, Lemma 2 we also have n RRn II(~'K)fll n < llfll n ' f C , n • IN+, q~ I~ ~ P' I~ ~ that is (2. ~ ) II s x lalCcfcJlq,~o ° <_ II z CaecJlp,,c ° for every , the inequality (2.1) remains true c ~ ,~'(m) . Since ~ > 0 a.s. for every e ~ ~(E) . In particular, IIfllq,.co <_ (q- 1)/(p- 1)d/211fllp,.o o, f ~ )SeoW . ) o c . , p l l ,)E(dW( II Letting ~p denote the topology of the metric space we now have that Yp = ~q for all p, q e E0,+co E and Theorem 1.1 follows at once. 3. An unsolved problem Assume ~: E --> 0,+oo is a Borel measurable seminorm, which may take on the value +oo. Let f e Wd(E) and suppose ~(f) < + a.s. .(I • Does it follow that exp(~<f))2/d 6 LI(~oo; )ql ? At present, we do not know the answer to this question for any d e Z . Note, + however, that the corresponding question has an affirmative answer for Banaeh space valued Wiener polynomials if f is replaced by £f and £ > 0 is sufficiently small 2. REFERENCES I. Beekner, W., Inequalities in Fourier analysis. Annals of Math. 102, 159-182 (197~ 2. Borell, C., Tail probabilities in Gauss space. Lecture Notes in Math. 644, 71-82, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1978. 3. Gross, L.~ Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. J. Math. 97, 1061-1085 (1975). 4. Kwapie~, S., A theorem on the Rademacher series with vector valued coefficients. Lecture Notes in Math. 526, 157-158, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1976. 5. Nelson, E.~ The free Markoff field. J. Functional Anal. 12, 211-227 (1973). LE PRINCIPE DE SOUS-SUITES DANS LES ESPACES DE B~;ACH S.D. CHATTE~JI §I. Introduction. Ii y a quelques ann~es, j'ai pr~sent~ un principe de sous-suites de la th~orie des probabilit&s dans le cadre du S~minaire de Probabi- litds de Strasbourg 3(a). Ce principe peut s'~noncer ainsi: de toute suite de variables al~atoires (v.a.) r~elles, born~e dans un espace L p (ou une autre classe d'int~grabi!it~), on peut tirer une sous-suite telle que celle-ci satisfait des propri~t~s asymptotiques connues pour les suites de v.a. r~elles, ind~pendantes, ~galement r~parties et de m~me classe d'int~grabilit~. J'~tais motiv~ par deux r~sultats dos respectivement ~ R~v~sz 13 et Koml~s 10. Celui de R~v~sz dit que de toute suite fn e L 2 t.q. supl ifnl 21 < ~ , on peut extraire une sous- n suite {fnk} et trouver une f 6 L z t.q. k ak (fnk- )f converge p.s. d~s que ~lak 21 < ~. Le thdor~me de Xoml~s dit que de toute suite de k v.a. r~elles, born~e dans L l, on peut trouver une sous-suite telle que celle-ci (et tout autre sous-suite de celle-ci) converge (C,I) p.s. (o~ (C,I) veut dire la moyenne d'ordre I de Ces~ro). Ii est clair que le th~or~me de Komlos correspond ~ la loi des grands nombres de Kolmo- gorov pour les v.a. r~elles, ind~pendantes et de m~me loi. Dans une s~rie de travaux 3(c), (d),(e), (f), j'ai vdrifi~ le principe de sous- suites pour d'autres propri~t~s des suites de v.a. r6elles, ind~pen- dantes et de m~me loi, notamm.ent Dour la loi limite centrale et la loi du logarithme it~r~ (voir aussi 9). R~cem~ent, Aldous I a donn~ un ~nonc~ rigoureux du principe de sous-suites et d~montr~ un th~or~me sur l'existence des sous-suites de v.a. r~elles satisfaisant aux diff~- rentes propri~t~s des suites ind~pendantes et 6galement r~parties, en faisant simplement l'hypoth~se que la suite donn&e de v.a. r~elles est telle que leurs lois forment une famille relativement compacte (~qui- tendue). Ce th~or~me de Aldous contient comme cas particuliers les th~or~mes cites pr~cedemment car si une famille de v.a. r~elles est born~e dans L p, la famille de leurs lois est automatiquement ~quiten- due. Ce dernier fait ~tant en d6faut dans tousles espaces de Banach de dimension infini~, on ne peut pas appliquer le th~or~me de Aldous - m@me si ce dernier reste valable dans tousles espaces polonais (comme not6 par Aldous lui-m@me dans I) - aux v.a. ~ valeurs dans un espace de Banach E et satisfaisant des conditions de bornitude des normes dans L E p . Par ai!leurs, on verra dans la suite aue_ les propri~- t@s structurelles de E jouent un r61e important dans l'affaire. Le but de cet article est de d@gager un certain nombre de propri~t~s du type "sous-suites" et initier l'~tude de ces propri6t~s pour diffdrents espaces E. Dans mon article 3(a) prdsent~ au S@minaire de Probabilit~s VI, j'ai ddj~ mentionn6 la possiblit6 d'6tudier ces questions pour les v.a. ~ valeurs dans un espace de Banach E ; j'ai m@me 6crit, un peu trop h~tivement sans doute, que ces propridt@s sont vraies sans autre pour les espaces hilbertiens. Ii se trouve effectivement que pour les espaces hilbertiens, certains cas particuliers du princine de sous- suites restent vrais mais les d@monstrations sont loin d'@tre trivi- ales. C'est ~ne. A.M. Suchanek 14 qui a donn& pour la premiere fois une d~monstration compl~te pour l'analogue du th~or~me de R6v~sz dans les cas des v.a. ~ valeurs dans un espace hilbertien. Dans !a suite, je donne quelques g6n~ralisations de ce r@sultat. En ce qui concerne la d~monstration de ~ime. Suchanek du th6or@me de Koml~s dans le cas hilbertien, je !'ai trouv6 erronn6e. L'erreur est du m@me type que celle que j'ai commis moi-m@me (3(b) p.l16) en essayant de donner une d6monstration rapide du th6orgme de Xoml~s dans un cas particulier; la d6monstration correcte (dOe ~ Koml~s) se trouve aussi dans (3(b) , p.i17-122). Au moment de la composition de cet article, je ne sais pas si le th~or@me de Xoml~s vaut dans les espaces hilbertiens. Le present article n'est qu'un d~but. Ii est tr~s incomplet du point de vue des r6sultats ; il a simplement l'ambition de presenter la position du probl~me, de donner quelques indications sur les tech- niques ~ utiliser et de faire un premier dessin du type de rdsultats esp~rer. §2. La position du probl~me. Dans la suite, l'espace de probabilit6 (~,~,P) sera fixe mais quel- conque; on pourra passer ensuite aux mesures D quelconques. Par L p - E r 0 < p < ~ , E @tant un espace de Banach (rT_el ou complexe), on notera l'espace (des classes de P-6quivalences) des fonctions f : ~÷E, forte- ment mesurables at telles que .... I;( Ifl I p dp) I/p < ~. Pour m>. I , L~Jp i L P est un espace de Banach. Par L E 0 on notera 1 'espace corresnondant toutes les v.a. (fortement mesurables) ~ valeurs dans E. Six' G E', (E' = l'espace de Banach dual ~ E) on notera x' )x( = <x, x'> pour x 6E. Dans la suite, on aura besoin de la convergence faible dans les espaces L p I( <, p < ~) surtout lorsque E est r@flexif. Les faits sui- vants donc sont ~ noter lorsque E est rTflexif (ils sont vrais g@n@- ralement sous les conditions plus larges sur E). D'abord, le dual ! (L p) est isom~triquement isomorphe ~ L pE'' o~ p--I + 'm--I = I ; si m~ =I , co p' = ~ et l'on d@finit LE, comme l'espace (des classes de P-~quiva- lences) des fonctions f' : ~÷E' , fortement mesurables et telles que p , f' = ess.sup, l if' (~)! i < ~. La dualitY, entre L et LE, se r~alise par la formule <f ' f'> = I <f(~o) , f' (~)> P(do~) Une suite fn ~ L~ converge faiblement vers f 6 L~ si et seulement si sup fn p < ~ et n lim < f dP , x'> = < f dP , x'> n÷~ A n A pour tout A6 E et x' £ E' • On peut montrer que L p E I( & p< ~ , E r@fle- xif dans toute cette discussion) est faiblement s@quentiellement com- olet (ce qui est @vident pour p > I car alors L pest r@flexif) A " E " cause de la r@flexivit@ de L , p > I, un sous-ensemble K de Lh (p> )I est faiblement relativement compact si et seulement si K est born@ dans ~TEp " Pour la relative compacit@ fiable de KCL; on ales conditions n@cessaires et suffisantes suivantes: (i) K est born@ dans L I et E (ii) la famille {Ilfll : f 8 K} est uniform@ment int@grable c.a.d. I I I f l dP + 0 lorsque N + ~ uniform~ment dans f 6 K . Une Llf!l >N condition nEcessaire et suffisante pour (ii est que r sup i ~( f(0J) ! )! P(d~) < feK J pour une fonction ~ : 0 , ~ + 0, ~ croissante, convexe, lim %(x)/x = ~ avec ¢(0) = 0 Les propri~t~s de L p cities ci-dessus n+~ • E sont bien connues~ elles apparaissent exactement sous cette forme dans mon article 3(g) qui est peut-@tre un peu inaccessible. On pourra consulter 5 ou 6 aussi. Nous consid~rons maintenant les propri6t6s suivantes Dour un espace E ~ il est sous-entendu que ces propri~t6s doivent @tre valables par rapport ~ tousles espaces de probabilit6 (~,Z,P) : (Pp - e) : 0 < .D< ~ , 0 < ~ < ~ ; pour toute suite born@e {fn de m~L il existe une sous-suite {fnk} et f 6 L E 0 t.q. (avec gj = fnj) N lim N -~ {gj(~) - f(<~)} = 0 p.s ............ (I) N÷~ j = 1 (la limite 6tant toujours prise dans la topologie forte de E, sauf mention du contraire). (P* - ~) : 0 < p< ~ , 0 < e< ~ ; Dour toute suite born@e {f } de L p il p ~ n E ' existe une sous-suite {fnk} et f £ E°L t.q. .Dour toute sous-suite {gj} de {fnk} on a la relation (I). (Q)-: Pour toute suite born~e {fn de L E 2 ' i! existe une sous-suite co {fnk} et f 8 E°L t.q. ~ a k {fnk(~) - f(w)} converge p.s. d~s aue k=1 - Jan 12 < oc , a e ~ n=1 n On peut 6videm~ent formuler d'autres propridt6s de ce genre en s'inspirant du principe de sous-suites. Dans cet article, nous nous bornons seulement ~ ces trois propri@t~s. Une question pr~liminaire qui se pose est !a suivante : est-i!-vrai que (P - ~) :> (P; - ~) (l'inverse ~tant automatique) ? Pour certaines P questions de convergence m@trique (et non de convergence p.s.) ce genre d'implication est d6duisible d'un th6or~me de Ramsay pour les ensembles infinis (cf.7, 8). Cette implication g@n@rale simplifie certaines considerations pour la d6monstration des propri6t@s (P* - ~). P La propri6t@ (P~ - 1) correspond au thEorgme de Kom!~s. En prenant pour {fn } une suite born6e des vecteurs non-al6atoires x n e E , on voit que (Pp - I) => BS (Banach-Saks) ou BS est la propri@t@ sui- vante de E : toute suite born~e de E contient une sous-suite qui con- verge (C,I) fortement vers un @l@ment de E. Pour la propri@t@ BS voir 4, 3(f). On sait que BS entraine la reflexivit@ de E (cf 15; aussi 3(f) pour une autre preuve simple). On d@montrera par la suite (Prop.l) que tout esDace E poss~de la propri~t@ (P* - I/D) pour p - 0 < p < I ; une consideration des v.a. r6e!les indEpendantes et 6quir@- parties (thdor@me de Marcinkiewicz) donne que aucun espace E ~ {0} ne poss@de la propri@t@ (Pp - ~) pour 0 < p < I et 0 < e < I/p. Comme (Pp - e) => (Pp - B) pour ~ < B on voit que les propri~t@s (P*p - e) pour 0 < p< I sont faciles ~ 6tudier. Ceci est essentiellement dO au fait que n -I/p < ~ si 0 < p < I. Les m@mes consid@rations des v.a. n r6elles donnent que seules les propri~t6s (Pp - e) , 1 6 p < 2 , ~ ~ I/p ou p ~ 2 et e > 1/2 (de m@me Dour (P* - e)) sont int@ressantes; les - p autres cas pour p~ I ne peuvent subsister dans aucun espace E # {0} Par ailleurs, (P - ~) avec p ~ 1 et ~ > Iest toujours vraie ~e m@me P pour (P~ - e)) ~ cause de la relation n-~ Ifnl I dP = ~ n ~fn I n 6 ~ n ~np 6 M n < ~ n n (si fnp <, M) d'o~ n -~ i Ifn(~) ! I < ~ p.s. et n n lim n -a fn(e) = 0 p.s. En rdsum6, les seuls cas qui restent n÷~ j = I 1 I Etudier sont (Pp - ~), 1 6 p< 2 et p-- <. a <, I ou p ~> 2 et ~ < e g I (de m@me Dour (P~ -a)). lotons aussi que (Q) => (P* - e) avec D >-2 et P p > I/2 et que (Pp - e) => (Pq - e) => (Pq - B) si p6 q et e < B (de m@me que pour (P~ - ~) Dans la suite on va montrer que l'espace hilbertien poss~de les propri~t@s (Q) et (P* - I/o) Dour tous p t.q. I < p< 2. Le cas (P~ - I) reste ouvert, comlae nous avons d6j~ mentionn@. Dans une autre publication nous ~tablirons que (Q) et (P* -. I/o), I < p < 2 restent valable pour un espace L ~ r ~< ~< ~- Si E est tel que (PD - e) est vraie pour un ~ ~ I , alors E doit avoir la proprifit@ suivante : de toute suite born~e (x } de E, on n peut tirer une sous-suite Yk = Xn k et un x e E t.q. N lim N -~ ~ kY(- - x) = 0 . On voit ceci en Drenant f (~) = x et en N+~ k=1 - n n s'assurant facilement que le seul choix de f dans ce cas est celui de f(~) ~ x pour un x convenable. De cette remarque on peut d@duire deux choses: (I) il suffit de consid@rer les espaces E ayant la pro- pri6t~ BS ; (2) si E = Z ~ , I < ~ < 2, et p > ~ alors E ne poss~de pas la propri@t@ (Pp - I/p). Ii suffit de prendre x n = (~k,n) 5 £e (~k,n = I si k = net = 0 si k ~ n) et de se renere compte que Dour toute sous-suite x n k I I n N-1/Pll Z II = l~ ~ P ÷ ~ k=l xnk De m@me, on voit que E = l ~, I < ~ < 2, ne poss~de pas la propri5t5 (~) non plus. Faisons une derni~re remarque. La fonction f qui figure dans les propri~t6s (Pp - ~) pour p ~ Iet e g I sont en fait ~ans L~ _ et celle dans (Q) est forc@ment un @l~ment de L E- 2 C'est une cons@quence du lemme de Fatou car dans tous ces cas, l'on a n f = lim ~ ~ gj avec sup r D = M < n ~ ~gj n+~ j=1 j f J In d'o~ I Ifl i p dP <, lim inf i I n gj I I p dP n÷~ j = I 10 p t I n dP (car p ~ I) n+~ j=1 <~ M < ~. Dans la section 3 nous d@montrons les principaux r~sultats; les lemmes techniques n~cessaires sont @nonces et prouv6s dans la derniSre section 4. §3. Les principaux r@sultats. Proposition I. La propri@t~ (P; - I/p) , 0 < p < I, est valable (avec f = 0) pour tout espace de Banach E. N.B. Comme not@ auparavent, (P* - ~) avec 0 < p < Iet ~ ~ I/o est alors p valable pour tout E et (P - e) avec 0 < p < Iet 0 < ~ ~ I/p est P valable pour aucun E # {O}. D@monstration : Soit {fn } une suite born@e dans L p 0 < p< I ; grace au !em~ne 2, E ' §4, on peut choisir une sous-suite {fn } t.q. pour toute sous-suite {gk }de cette derni~re on a : 3 )i( X P{ilgkll > k I/p} < ~ k (ii) X k-I/P I iigkil dP < k {ligkL I ~ kl/p} De (i) et (ii) on a immSdiatement que k -I/p rlgk(~IIl < ~ 2.s. k d'o~ N lim N -I/p ~ gk(~) = 0 p.s. N+~o k= 1 Q.E.D.
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