Séminaire de Probabilités IX Université de Strasbourg

593 Pages·1975·26.07 MB·English

by  Prof. P. A. Meyer (auth.), Prof. P. A. Meyer (eds.)

Lecture Notes in
Mathematics
Edited by A Dold and B. Eckmann
Series: Institut de Mathématique, Université de Strasbourg
Adviser: P. A Meyer
465
Séminaire
de Probabilités IX
Université de Strasbourg
Edited by P. A. Meyer
Springer-Verlag
Berlin· Heidelberg· New York 1975
Editor
Prof. P. A Meyer
Départment de Mathématique
Université de Strasbourg
Rue René Descartes
67 Strasbourg/France
Library of Congress Cataloging il') Publication Data (Revised)
Séminaire de probabilités, Université de Strasbourg.
(Lecture notes in mathematics, 39, 51, 88, 124, 191,
258, 321, 381, 465)
Inc1udes bibliographies.
1. Probabi1ities--Congresses. I. Series: Lec-
ture notes in mathematics (Berlin) 39 etc.
QA3.L28 no. 39 519.2 67-29618
AMS Subject Classifications (1970): 60 XX, 28A65, 31 XX, 60JXX,
60GXX
ISBN 3-540-07178-4 Springer-Verlag Berlin' Heidelberg' New York
ISBN 0-387-07178-4 Springer-Verlag New York' Heidelberg' Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1975
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Première partie QUESTIONS DE THEORIE DES FLOTS
SEMINAIRE 1972/73 (J. de SAM LAZARO et P.A. MEYER)
Exposé l Généralités. Flot sous une fonction •••..••...•.•..• 2
Exposé II Mesures de Palm, théorème d'Arnbrose-Kakutani ...••.•• 15
Exposé III Exemples de K-flots 30
Exposé IV Hélices croissantes et mesures de Palm •..•••...•..•• 38
Exposé V Hélices à accroissements orthogonaux et prédiction .. 52
Exposé VI Multiplicité spectrale, nombre d'hélices HAO •....•.. 73
Exposé VII Le théorème de Ni s io •••.....•..•.•....••..•.••.•••.• 89
PROCESSUS STATIONNAIRES ET MESURES DE PALH DU FLOT SPECIAL SOUS
UNE FONCTION, par A. BENVENISTE (1974) ......•...................• 97
Seconde partie EXPOSES 1973/74
F. NANOPOULOS. Mesures d'information et représentation de
semi-groupes associés ...•••..•.....•.....•..••.....•..•.•...•.... 154
C.S. CHOU. Les inégalités des surmartingales d'après A.M. Garsia.. 206
C.S. CHOU. Les méthodes d'A. Garsia en théorie des martingales.
Extensions au cas continu (1972/73) .............................. 213
C.S. CHOU et P.A. MEYER. Sur la représentation des martingales
comme intégrales stochastiques dans les processus ponctuels •..•.• 226
1
P.A. MEYER. Complément sur la dualité entre H et BMO •.......••.• 237
C. DELLACHERIE et P.A. MEYER. Un nouveau théorème de projection
et de section ........••...••...•..•••..•.......•.........•....•.• 239
D. DACUNHA-CASTELLE. Processus et espaces de Banach invariants
par réarrangement •...........•.........•..........•.............• 246
D~ DACUNHA-CASTELLE. Sous-espaces symétriques des espaces d'Orlicz 268
Ph. ARTZNER. Quelques résultats de décomposabilité en algèbre
linéaire et en algèbre quadratique aléatoires •..•.••.•..••...•••. 285
K. SIGMUND. Propriétés générales et exceptionnelles des états
statistiques de systèmes dynamiques stables ....•....•.......•...• 294
H. F5LLMER. Phase transition and Martin boundary ..•........•.•••• 305
X. FERNIQUE. Des résultats nouveaux sur les processus gaussiens.. 318
C. DELLACHERIE. Ensembles analytiques : théorèmes de séparation
et applications .•....•.•.•.•.•••..•••...••..•.•..•..•...••......• 336
C. DELLACHERIE et P.A. MEYER. Ensembles analytiques et temps
d'
IV
C. DELLACHERIE. Une remarque sur les espaces sousliniens de
Bourbaki •••••••••••••••••••••.•••••••••••••••.••••••••••••••••••• 406
C. STRICKER. Mesure de Fëllmer en théorie des quasimartingales ••• 408
C. STRICKER. Une caractérisation des quasimartingales •••••••••••• 420
M; E~RY. Primitive d'une mesure sur les compacts d'un espace
metr1.que •••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••• 425
G. MOKOBODZKI. Relèvement borélien compatible avec une classe
d'ensembles négligeables. Application à la désintégration des
mesures •••••••.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 437
+K.A. YEN. Forme mesurable de la théorie des ensembles sousliniens,
applications à la théorie de la mesure (résumé) (A para1tre dans
Scientia Sinica, Peking)
R.K. GETOOR. On the construction of kernels ••••••.••••••••••••••• 443
P.A. MEYER. Une remarque sur la construction de noyaux ••••••.•••• 464
P.A. MEYER et K.A. YEN. Génération d'une famille de tribus par un
processus croissant ••••••••••••••••.•••.•••••••.••••••••••••••••• 466
M. NAGASAWA. Multiplicative excessive measures and duality between
equations of Boltzmann and of branching processes •••..••••••••••• 471
M. WEIL. Surlois d'entrée ••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••• 486
+P.A. MEYER. Résumé du travail de Garcia-Alvarez sur la dualité
C. DELLACHERIE. Correction à "Intégrales stochastiques par rapport"494
C. DELLACHERIE. Une propriété des ensembles semi-polaires •••••••. 495
M.J. SHARPE. Homogeneous extensions of random measures ••••••••••• 496
D. HEATH. Skorokhod stopping in discrete time 515
B. MAISONNEUVE et P.A. MEYER. Ensembles aléatoires markoviens
homogènes. Mise au point et compléments ••••••••••••..•••••••••••. 518
B. MAISONNEUVE. Le comportement de dernière sortie ••••••••••••••• 522
P.A. MEYER. Sur la démonstration de préviSibilité de Chung et
Walsh ••••••.•••••••••••.•••••.••••••••.•••••••••••••••••••••••••• 530
N. ELKAROUI. Processus de reflexion dans Rn ••••••••.••••••••••••• 534
P.A. MEYER. Une remarque sur les processus de Markov ••••••••••••• 555
P.A. MEYER. Retour aux retournements ••••••••••••••••••••••••••••• 556
W. von WALDENFELS. Integral Partitions and Pair Interactions •.••• 565
N
E. KHALILI-FRANCON. Correction à ftprocessus de Galton-Watson •••• 589
+
These lectures were only available in the form of resumés
~ithout proofs. Such resumés being contrary to the
policy of the series, they were rejected by the editors
of the series.
Université de Strasbourg
Séminaire de Probabilités 1974/75
QUESTIONS DE THEORIE DES FLOTS
Nous présentons sous ce titre, d'une part sept exposés d'un
séminaire consacré aux flots, qui a eu lieu pendant l'année uni-
versitaire 1972/73, et dont les conférenciers étaient J. de Sam
Lazaro et P.A.Meyer, et l'auditeur J. Bretagnolle, et d'autre part
un travail récent d'A.Benveniste.
Ces deux parties peuvent être lues indépendamment l'une de l'au-
tre. En fait, elles se recouvrent partiellement. Le travail de
Benveniste reprend certaines questions traitées dans les exposés,
avec des améliorations techniques et une plus grande généralité,
et d'autre part résout plusieurs problèmes laissés ouverts dans le
séminaire.
Le lecteur pourra en outre se reporter à un article de J.Lazaro,
• sur les hélices du flot spécial sous une fonction", à paraitre
dans le Z. fur W-theorie. Cet article est résumé, sans détails de
démonstration, dans l'exposé VI.
Université de Strasbourg
Séminaire de Probabilités 1971/72
QUESTIONS DE THEORIE DES FLOTS (1)
par J. de SAM LAZARO et P .A.MEYER
Il Y a beaucoup de livres et de séminaires de théorie ergodique.
Mais la théorie ergodique qui s'y trouve est plus proche, dans bien
des cas, de la théorie des groupes que de celle des processus sto-
chastiques, car il y manque l'idée probabiliste essentielle: celle
d'une évolution dans la temps. Si l'on regarde par exemple les admi-
rables théorèmes récents sur les isomorphismes de flots de BERNOULLI,
on constate que ces isomorphismes semblent détruire complètement la
structure temporelle du processus ( savoir s'il en est nécessairement
ainsi, ou si cela tient à la démonstration, est un autre problème ~ ).
Ce séminaire-ci, tenu à Strasbourg à partir de Mars 1972, avait
pour objet l'étude de mémoires récents concernant les aspects proba-
bilistes de la théorie des flots. Nous ne publions ici qu'une partie
des exposés, la moitié environ. Les résultats nouveaux seront si-
gnalés au passage ( on les trouvera surtout dans les derniers expo-
sés, où l'on présente une partie de la thèse du premier auteur ;
les spécialistes ont dégonflé nos illusions quant à l'originalité
des premiers exposés ).
1. DICTIONNAIRE
Malgré le titre, les définitions ci-dessous ne figurent pas dans
l'ordre alphabétique. Nous avons cherché à indiquer un langage com-
mode, et non à couvrir des situations très générales, ce qui explique
que plusieurs termes soient pris.en un sens plus restrictif que d'
habitude.
DEFINITIONS
~~~gmg~g~~m~ d'un espace mesurable (O,~) : bijection s : O~ 0 ,
mesurable ainsi que son inverse.
~~~gmg~gg~~m~ d'un espace mesuré (O,~,~) il préserve de plus la
mesure.
~~g~=~è~~~~! ou ~~~~~de : groupe (On)neZ d'automorphismes. Cette
notion se réduit en fait à celle d'aufomorphisme, car si l'on pose
g1=s , on a g =sn pour tout neZ. Il n'en va pas de même dans le
n ...,
cas continu :
~~g~ sur (O,~,~) : groupe à un paramètre (gt)tem d'automorphismes
de (O,~,~). Cette définition est trop générale, et nOUS nous
3
intéresserons seulement, en principe, à la situation suivante :
- La mesure ~ est bornée •
- Il existe une sous-tribu ~o de ~ telle que &s oit la tribu oomplé-
tée de &0 pour ~ , et que l'applioation (t,IIl)-.;..Qtlll soit mesura-
ble de la tribu produit B(m)xAO dans AO.
=1 = 1=
- Le flot est oontinu1dans L (pour feL (J1), Ilf oGt -fl11 ~ 0 avec t
- Enfin, il nous arrivera de supposer que ~o est une tribu de BLACK-
vŒLL. Pour ne pas suroharger l'exposé à oette plaoe-ci, nous ren-
verrons le lecteur à l'appendice sur les tribus de BLACKWELL, à la
fin de l'exposé.
Sauf mention expresse du contraire, ohaque fois que nous parlons d'un
flot ( en temps continu) dans la suite, nous supposons que les trois
premières propriétés ci-dessus sont satisfaites. L'utilisation de la
quatrième sera toujours explicitement signalée. Il faut également no-
ter que la théorie en temps continu, avec une mesure ~ bOrnée. nous
amènera parfois à des situations disc~ètes sur des espaces mesurés
a-finis.
~~g~g~~~~~~~=~~=~ég~~. Nous choisissons la définition la plus faible
possible, à la manière de l'équivalence en loi des processus. A tout
flot ~o:~:~, (Gt)te~ ), on peut faire correspondre un objet algébri-
que (~,~,Qt ) comme suit soit ~ la classe des ensembles ~-négli­
geables ;! sera l'algèbre de Boole ~/~ , munie de la mesure bornée
~ d~duite de ~ par passage au quotient ; d'autre part, les applica-
tions A~ Qï1(A) de &d ans ~ passent au quotient suivant ~, donnant
un groupe d'automorphismes Ôt de (~ ,~ ). On di~ alors que deux flots
sont isomorphes si les objets algébriques (!,~,Qt) sont algébriquement
isomorphes.
Il est clair que deux flots isomorphes au sens banal ( existence d'
une bijection ensembliste, bimesurable, préservant la mesure et commu-
tant avec les flots ) sont isomorphes en ce sens. Clair aussi qu'un
flot est isomorphe à sa restriction à une partie 0' de Q , ~-mesura­
ble, stable par les Qt et portant ~ • Ce sont les deux prooédés qui
permettent, en pratique, de montrer que deux flots sont isomorphes. On
peut pro.ver, en fait, que deux flots sur de bons espaces mesurés,
isomorphes au sens précédent, admettent des restrictions isomorphes au
sens banal. Mais nous n'aurons pas besoin de ce résultat.
DEFINITIONS 2
On se borne au cas continu.
~~~~m~~~=~~x~~~an~ par le flot: ensemble Ae~ tel que Qï1(A)=A pour
tout t. On a une notion de flot induit sur un ensemble invariant A.
Cl·ette hypothèse est en fait une cons&quence de la prf!c&den te.
4
Les ensembles invariants forment une tribu l : si cette tribu est
==
~-dégénérée, le flot est dit ergodique • Nous reviendrons sur cette
question au paragraphe II.
~~~g~=~~X~~~~~~ : tribu g~ telle que 0t1(g)C g pour tout t - donc
en fait 0t (g)=G • On a une notion de flot induit sur g ( les flots
isomorphes à un tel flot induit sur une tribu invariante sont sou-
vent appelés facteurs du flot donné ). Noter que la mesurabilité
de l'application (t,w)~ 0tW peut se perdre dans cette transfor-
mation, et consulter l'appendice.
~~~g~=èè~~~~t~ : tribu ~~ telle que 0t1(~)~ pour t~O. On pose
alors pour tout t ~t=Otr (!O) ( donc ~s+t=Ot1 (~s» : c'est une famil-
le croissante de tribus telle que !~O ' et l'on définit !-CD =~ !t'
~+CD == ~ ~t ' deux tribus invariantes.
La donnée d'une tribu filtrante F est une filtration du flot. La
=
filtration est dite exhaustive si F =A aux ensembles ~-nég1ige~b1es
=CD = pres.
On part souvent d'une tribu filtrante EO ( non nécessairement
contenue dans '0 ! ) et on prend pour ~ la complétée de !O ~ !,
qui contient donc tous les ensembles ~-nég1igeab1es. Noter que
dans ce cas ~t = ~t+ pour tout t, car si f est l'indicatrice d'un
élément de ~t+ ' foO_& est ~l=mesurable pour tout &>0, donc f l'est
aussi par convergence dans L • En revanche, la famille (~t) n'est
pas forcément continue à droite.
L'objet essentiel de ce séminaire est l'étude des flots filtrés, la
donnée d'une filtration introduisant une notion de "passé à l'instant
tIf , qui fait que le temps n'est plus seulement un élément d'un groupe
commutatif, mais bien un temps au sens '~hysique" du terme.
~~èè~~~~~èon : la tribu !-CD est dégénérée pour ~ •
~~è~g~ : flot admettant une K-fi1tration exhaustive •
Noter la différence entre ces deux notions : dans le premier cas,
on considère une propriété d'une filtration donnée , dans le second
cas, une propriété d'un flot.
Au lieu de K- filtration, on dit parfois filtration purement sto-
chastique, ou purement indéterministe ; une filtration est dite(pure-
ment)déterministe si !-oo= ~+CD aux ensembles de mesure nulle près.
Par exemple, la filtration triviale : !t=! pour tout t •
E~g~~~~~~=~~~~èg~~~~ dans un flot : processus (Xt)tem à valeurs
dans un espace d'états (E,~), tel que XsOOt = Xs+t identiquement.
5
Un tel processus est stationnaire au sens usuel ( en loi ), mais
il s'agit ici d'une notion beaucoup plus précise, puisqu.'on se donne
le flot sous-jacent. Chaque fois que l'on se donne un processus sta-
tionnaire, il lui correspond une filtration du flot, au moyen de la
famille de tribus "naturelle" du processus
(1.1) ~t = ~( Xs ' -co <S~ )
I~versement, si ~ est une tribu filtrante, (~t) est la famille de
tribus naturelle du processus stationnaire (Xt ) ainsi défini
Xt=Ot ' considérée comme application de (n,~) dans (n,~).
Cependant, il existe des processus stationnaires, mettons réels,
qui ne sont pas du tout triviaux et tels pourtant que ~IXt#OI=O pour
tout t. La famille de tribus naturelle d'un tel processus est alors
dégénérée. Nous en verrons des exemples très importants par la suite.
~gg~!~~=!=~gg~è~~~~R~~=~~~~èg~~~~, g~=~~~!g~ tout processus
(Zt)t.~ l valeurs réelles finies, continu à droite, tel que ZOcO et
satisfaisant l l'identité suivante
(1.2) Zt+h-ZS+h a (Zt-ZS)oQh quels que soient s,t,h
Dans le cas d'un flot filtré, nous réserverons le nom d'hélice aux
processus (Zt) tels que Zt soit Et-mesurable pour tout ~O •
Traditionnellement, les hélices ci-dessus sont appelées hélices
parfaites , le mot hélice désignant des processus satisfaisant à
(1.2) avec un ensemble exceptionnel négligeable ( dépendant de h).
Nous continuerons dans ces exposés l utiliser le mot "parfaite fi de
maniêre informelle.
2. THEOREME ERGODIQUE. APPLICATION AUX PROCESSUS PONCTUELS
La forme discrète du théorème ergodique est très bien connue,
et nous cherchons surtout, dans ce paragraphe, à donner une démons-
tration rapide de la forme continue, et du théorème ergodique local.
Nous en donnerons ensuite une application aux processus ponctuels
discrets.
Notations • (n,A,~) est un espace mesuré ~ , s un automorphisme.
- k
Nous posons Sf = fos , Ckf = (f+Sf+ ••• +S f)/k+l. De même, si (Ot) est
un flot, on pose Ttf= fOOt et Mtf = t/tTsf ds [ si f est ~o-mesurable
bornée, ........ foOsw est borélienne pou~ tout w, et Mtf ~o-mesurable ;
si f est A-mesurable bornée, sr-+ foO w est Iœsurable au sens de Lebes-
= s
gue pour ~-presque tout w, et Mtf, définie ~-P.P., est ~-mesurable ;
extension facile à f positive et à feL1 J.
6
On rappelle le lemme de HOPF ( dont il existe une démonstration
très simple, due à GARSIA ) : si feL l , si A est invariant par s, on
a pour tout n ~ 0
1
An! sup
k:::;n
remplaoant f par f-a , on trouve
1 f djl ~ a.jl(Anj ••• !)
Anj sup Cë > al
k~
Passons au flot : prenons heLl et prenons s=G , A invariant par
2-flt
rapport au flot, donc aussi pour s, et f = 2-nt/2- nt hoG du
o u
avec heLl • La formule précédente s'écrit
1 f djl ~ ajl(Anj ••• I)
Anjsup M h > a 1
k~n k2-nt
Soit e>O ; pour ~N suffisamment grand on a lif-hlll<e, et alors
in! sup ~ _ h > a Ih djl ~ ajl(An! ••• I)-e
k<2n -11:2 flt
Faisons tendre=n vers +00 : la fonction M.h(w) est continue pour pro
tout w, et l'ensemble j ••• 1 tend p.s. en croissant vers sup Msh >al
Comme e est arbitraire, on a étendu le lemme de HOPF au s~
cas continu :
Ll LEMME. Si A est invariant pour le flot, et heL l , ~
( 2.1) 1
An{sup M h > al
sd s
et de même =
On fait maintenant tendre t vers +00 : les inégalités restent
vraies. Puis on prend A= { lim inf M h<b<a<lim sup M hl, et on
s~oo s s~ s
voit que jl(A)=O, d'où l'on déduit que Msh converge jl-p.s. lorsque
s~+oo. La convergence dans Ll (jl) vers E[hl~), l'espérance condition-
nelle de h par rapport à la tribu ~ des ensembles invariants, peut
se démontrer très rapidement : voir M.SMORODINSKY , Ergodic theory,
entropy, p.l0 ( Lecture Notes in M. vol 214, 1971 ). On a ainsi
étendu aux flots le théorème ergodique :
Tl THEOREME. Si heL1, M h converge p.s. et dans Ll ~ E[hl _I_ ] lorsque
- s
s-o>+oo •