Séminaire d'Analyse P.Lelong - P.Dolbeault - H. Skoda: Années 1981/1983

336 Pages·1983·4.81 MB·French

by  H. Airault (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by A. Dotd and B. Eckmann
1028
erianim6S esylanA'd
.P Lelong - .P Dolbeault-
H. Skoda
Ann6es 1981/1983
Edit6 par .P Lelong, .P Dolbeault et .H Skoda
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New York oykoT 1983
Editeurs
Pierre Lelong, Pierre Dolbeault, Henri Skoda
Universit6 Paris VI, Math¢matiques
Place Jussieu, Tour 4546, ?5230 Paris CEDEX 05, France
AM S Subject Classifications (1980): 32A45, 32 C05, 32C30, 32 F05,
32F15, 32H30, 32L05, 34A20, 35A20, 58E20
ISBN 3-540-12731-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo
ISBN 0-387-12731-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek.
S~minaire Lelong R - R Dolbeault - H. Skoda S6minaire (Analyse): R Lelong -
R Dolbeault - .H Skoda (Analyse): armies ... - Berlin; Heidelberg; New Tokyo: York; Springer
1980/81 u.d.T.: S6minaire Pierre Lelong, Henri Skoda Seminaire (Analyse): Pierre Lelong,
Henri 1981/83 Skoda (1983) (Analyse)
(Lecture notes in mathematics; Vol. 1028)
ISBN 3-540-12731-3 (Berlin, Heidelberg, New Tokyo) York,
ISBN 0-387-12731-3 Heidelberg, (New York, Berlin, Tokyo)
:EN GT
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© Springer-Verlag by Berlin Heidelberg 1983
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2146/3140-543210
INTRODUCTION
Le present volume contient les expos6s faits de la fin de 1981a u d6but de
1983 au S6minaire d'Analyse P.LELONG-P.DOLBEAULT-H.SKODA. II fait suite au
volume ° n 919 des Lecture Notes.
Les th~mes ~tudi6s concernent l'analyse et, en particulier l'analyse complexe,
mais aussi la g~om~trie kaehl6rienne, l'6tude des fibr6s vectoriels, et celle
des syst~mes diff6rentiels. Dormons un bref r6sum~ des probl~mes trait~s :
.I L'expos6 de L.GRUMAN donne des r6sultats sur la distribution des valeurs
des applications holomorphes.
Si X est un ensemble analytique de dimension pure p darts cnet ~EGq(C )n un sous-
espace de n C de dimensinn q~n-p, l'indicatrice Ox(r)=aire de X ~Bn(o,r) donne
une majoration asymptotique de OX(~ , r ) , l'aire de n X ~ n Bn(O,r ) pour
q ~ n-p , sauf pour les ~ appartenant ~ un ensemble exceptionnel X £ E Gq(C )n
qu'on 6tudie. On obtient aussi une minoration de OX(Z,r) hors d'un ensemble
E~ . Quand Ox(r ) est d'ordre fini, E~ N Y est localement pluripolaire sur
les sous-ensembles Y de la grassmanienne Gq l'expos6 compl~te un expos6 ant6-
rieur (Lecture Notes ° n 822) par des r6sultats r6cents.
.2 L'article de B.A.TAYLOR compare pour les compacts K de la boule unit~
de n C deux notions capacitaires ; on utilise la fonction extr~male de K dans
n C soit *
K • u
,
On ~tablit UK(Z)dO(z) 4ny(K) og y(K) est la lira sup de ) UK(Z - loglz I
Izl =1
pour Izl * + ~ • Si l'on pose r(K) = exp[ -sup *
Izl~ 1 UK(Z) ] , et c(K) = e -¥(K) ,
on obtient en .utiIisant Line in~galit~ de N.SIBONY, une comparaison
T(K) ~ C(K) 4 AT(K) ~ off les constantes A,6 >0 , sont ind~pendantes du compact
pris dans la boule unit~.
.3 L'article de P.LELONGmontre que l'op~rateur de Monge-Amp~re complexe s'an-
nule sur un ensemble partout dense pour I L dans le cSne des fonctions pluri-
loc
sousharmoniques positives et l'op~rateur est discontinu au voisinage de toute
fonction V de ce cSne.
VI
.3 Le m~meire de J.-P.DEMAILLY et B°GAVEAU traite unprobl~me voisin du precedent
en prenant un point de vue statistique : g ~tant un domaine pseudo-convexe de n , C
et F = (FI,...,Fp) une application holomorphe ~ + C , avec croissance donn~e, on
~tudie la courbure de Ricci des surfaces de niveau a = F X I- )a( lorsque a X est
sans singularit~ (on munit a X de la m6trique ¼ = ~ dd c llzII )2 ; on donne un contrSle
de croissance "enmoyenne" par rapport ~ a pour la forme de courbure R ~ l'appro-
che de b~ , en utilisant essentiellement des majorations de formes diff~rentielles
et de courants positifs.
.4 L'expos6 de H. BEN MESSAOUD montre que si @ est un courant positif fermi, de
dimension p dans n , C li existe pour tout Z , p<~<n-1 un courant T de
dimension ~ qui a m~menombre de Lelong que @ en tout point de n , C ce qui ~tend
le r~sultat connu relatif ~ ~ = n-I . La construction de T peut se faire avec
contrSle de croissance de l'indicatrice vT(r ) par ~@(r) .
.S L'article de N.MOKmentre qu'une vari~t~ kaehl~rienne X de courbure bisec-
tionnelle positive est analytiquement isomorphe ~ une vari6t~ affine d~s qu'est v~-
rifi~e une certaine majoration de la courbure scalaire en fonction de la distance
g~od~sique, en m~me temps qu'une majoration du volume des tranches B(O,r) n X .
.6 Le probl~me de Neumarm pour le ~ et ses estimations sous-elliptiques, strad
les domaines pseudo-convexes de n C fait l'objet de l'article de A.TAIHAOUI ;
il donne des conditions locales suffisantes en un point fronti~re pour l'existence
d'une solution dans le cas d'une pseudo-convexit~ faible du bord b~ . En un
point de sous-ellipticit~ il ~tablit pour les ordres de contact des courbes analy-
tiques complexes avec b~ une borne sup~rieure conjectur6e par "I~.BLOOM.
.7 L'article de J.LE POTIER apporte des r~sultats concernant l'existence de fibres
vectoriels holomorphes de rang r = 2 sur une surface complexe non alg~brique M ,
compacte avec hombre de Betti I = b rang HI( M , Z ) = O et avec fibr6 canonique
K(~ = det. T*(~ trivial , quand on se fixe les classes de Chern I c et 2 c
de E . Le probl~me conduit ~ l'6tude des classes d'isomorphismes de fibr6s sur M
en supposant nul le groupe de Picard.
.8 L'expos~ de P.de BARTO~IS 6tudie les al~lications harmoniques N ÷ M
de vari~t~s riemanniennes; les applications holomorphes ou antil~lomorphes sont har-
moniques si N, M sont kaehl6riennes, et l'on cI~rche des cas o~ l'implication in-
verse est vraie ce qui conduit ~ ~tudier le cas des applications pluriharm~niques. On
donne un ~nonc~ oh N poss~de une exhaustion plurisousharn~nique et M a une cour-
bure positive ; les applications harmoniques qui minimisent l'~nergie sont alors
holomorphes .
.9 L'expos~ de B.FUGLEDE vise ~ ~tendre la th~orie des fonctions finement holomor-
phes de ¢ ~ d d , > I C ; ceci suppose d'abord le choix d'une topologie "fine"
sur d . C On compare d T (topologie produit des topologies fines sur C ) ,
Tps h la moins fine qui rend continues les fonctions plurisousharmoniques , et enfin
Z2d , qui est la topologie fine sur R 2d ; on a d T ~pshCT2d et l'expos~ donne
pour d T des r~sultats assez analogues au cas n = I , d T d~pendant toutefois du
choix des axes. On obtient 18 une approche du cas Zps h , qui est peut @tre le plus
int~ressant pour la suite de cette recherche.
.01 C)est encore une extension de l'analyse complexe que traite l'expos~ de G.RABY,
en d~montrant tme version du N~Istellensatz pour deux fonctions sous-analytiuc~ de
classe r r , ~ 0 C . II montre que les fonctions continues, sous-analytiques surun
ensemble ferm~ et sous-analytique Y dans n = ~ R sont des restrictions de fonc-
tions continues et sous-analytiques dans ~ .
.11 Les exposes suivants concernent l'~tude des syst~mes diff~rentiels . Celui de
H.AIRAULT reprend l'6tude classique (R.FUOIS,PAINLEVE,R.GARNIER) des conditions
d'int~grabilit~ d'un syst~me lin~aire ; des exemples permettent d'explorer la liaison
entre le syst~me lin~aire et les ~quations qui expriment la condition d'int~grabilit~ ;
on examine le cas o~ elles conduisent ~ des @quations ~ points critiques fixes ;
dans certains cas on peut se ramener ~ un syst~me hamiltonien ; une ~tude plus pous-
s~e concerne les ~quations 3 et 5 de Painlev~.
IV
.21 L'~tude des syst}mes de Pfaff ayant une singularit~ polaire no,hale est
l'objet d'un gros m~moire de B.KLARES et C.SADLER ; ce cas se ram~ne if celui d'une
singularit~ Rune seule variable pour une forme polyn~me et l'on donne des d~velop-
pements de la solution et une version convergente pour la monodromie.
.31 L'expos6 de J.-P.DEblAILLY concerne les op~rateurs microdiff6rentiels analyti-
ques ; il donne une d~monstration d'un th~or~me de KASHINkRA de la constructibilit~
du faisceau des solutions d'un syst~me holonome en utilisant des stratifications
particuli~res de Whitney d'un syst}me diff6rentiel sur un ouvert g fronti~re non
caract6ristique.
.41 L'article de H.QIARRIERE 6tudie l'existence de secteurs spiral6s dans C
ou n C de so~et l'origine snalc lesquels on a une solution holomorphe de l'6qua-
tion ru = F(x, u) admettant un d6veloppement asymptotique en O , oO , est un
n
champ de vecteurs singulier en O du type , = Z I , .~z .x -~i , et ceci pour F
holomorphe au voisinage de (O,O) ; elle obtient des ~nonc6s qui g6n~ralisent ceux
de S.KAPLAN dans ce probl~me ~tudi6 par H.Poincar6 et qui b6n~ficie d'un int~rgt
nouveau.
Nous remercions les auteurs qui nous ont confi6 leurs textes, Madame Orion qui
a pr~par~ les manuscrits, et l'6dition Springer qui ~dite et diffuse ce s6minaire
en contribuant ainsi R faire conna~tre rapidement des r~sultats nouveaux.
P.LELONG, P.DOLBEAULT, H.SKODA
TABLE DES MATIERES
[]]
AIRAULT (H.). - Etude des conditions d'int6grabi[it~ associ~es
a un syst~me diff~rentiel lin~aire ...................... I
12] de BARTOLOMEIS (P.). - Sur l'analyticit~ complexe de certaines
applications harmoniques ............................... 27
[31 BEN MESSAOUD (H.). - Courants interm6diaires associ~s ~ un courant
positif ferm~ .......................................... 41
[4] CHARRI~;RE (H.). - Etude asymptotique dans des secteurs spiral@s
n ~u
autour de l'origine de l'~quation E %i xi .x'~ = F(x,u)
i=l l
et th~or~me de BOREL-RITT .............................. 6q
~5] DEMAILLY (J.-P.). - Constructibilit~ des faisceaux de solutions
des syst~mes diff6rentiels holonomes d'apr~s
Masaki KASHIWARA ...................................... 83
[6] DEMAILLY (J.-P.) et GAVEAU (B.). - Majoration statistique de la cour-
bure d'une vari~t~ analytique ......................... 96
[7] GRUMAN (L.). - Ensembles exceptionnels pour les applications
holomorphes dans ~n ................................. 125
8 ] [ KLARES (B.) et SADLER (Ch.). - Syst~mes de Pfaff et alg~bres de Lie
libres, 6tude d'une singularit~ polaire normale ....... 163
[9] LELONG (P.). - Discontinuit~ et annulation de l'op6rateur de Monge-
Ampere complexe ..................................... 219
11IV
[I0] LE POTIER (J.). - Fibres vectoriels sur les surfaces K3 ..... 225
[|]] MOK (M.). - Application of an Extension Theorem for Closed Positive
Currents to Kghler Geometry ........................ 239
[|2] RABY (G.). - Th~or~me des z~ros sous-analytiques et in~galit~s de
KOJASIEWIUZ ......................................... 253
] 13 [ TALHAOUI (A.). - Le probl~me ~ de Neumann et ses estimations sous-
elliptiques ........................................ 266
[ ]4] TAYLOR (B.A.). - An estimate for an extremal plurisubharm~nie function
on ~n ............................................. 3]8
S~minaire ADOKS.H,TLUAEBLOD.P,GNOLEL.P
(Analyse)
e22 et e32 annie, 1982/1983.
EDUTEt SE DSNOITIDNOC ETILIBARGETNI'D ~ SEEIC/ OSSA / A N EUMETSYS LEITNEREFFID / ERIAENIL
par H. A I R A U L T
TABLE DES MATIERES. x
Exemples let 2 o
R~duction des conditions d'int~grabilit~ d'un syst~me lin~aire ~ une
~quation non lin~aire a points critiques fixes [I;2;3].
Exemple 3 .
Mise sous forme hamiltonienne des conditions d'int~grabilit~ associ~es
un syst~me lin~aire.
Exemple 4 .
Une ~quation avec des points critiques mobiles qui peut-%tre mise sous
forme de syst~me hamiltonien.
Appendice l .
Calculs pour la r~duction de l'~quation 3 de Painlev~.
Appendice 2 .
Calculs pour la r~duction de l'~quation 5 de Painlev~.
On donnedesexemples de syst~mes diff~rentiels lin~aires de type "Flaschka-Newell"
[4] dont les conditions d'int~grabilit~ se ram~nent ~ une ~quation diff~rentielle
du 2~me ordre " ~ points critiques fixes", [1,2], ou bien ~ un syst~me hamiltonien.
Puis on ~tudie de faGon directe les hamiltoniens associ~s aux ~quations 3 et 5
de Painlev~. [5,6,7].
INTRODUCTION
La r~duction des conditions d'int~grabilit~ d'un syst~me lin~aire de
la forme :
)I( Y~ = p(~,x)y
Yx = ay + by~
rut d'abord faite par .R Fuchs ]8[ qui obtint ainsi l'~quation transcendante 6
de Painlev~ [ .]2
L'~tude rut poursuivie par .R Garnier[ ]3 qui obtint toutes les ~quations
transcendantes I+-~6 de Painlev~ comme conditions d'int~grabilit~ d'un syst~me
de la forme )I( avee un potentiel appropri~ p(~,x).
Le probl~me "inverse" suivant s'~tait pos~ : "Etant donn~ une ~quation
de Painlev~ (E), trouver un syst~me lin~aire )S( telles que les conditions
d'int~grabilit~ de )S( se ram~nent ~ l'~quation (E)".
Ce probl~me fut abord~ par Flaschka et Newell ]4[ avec un syst~me
lin~aire (So) different de celui de Fuchs : ] 8 [ on peut dans ce sac aussi
associer un syst~me (So) g chacune des six transcendantes de Painlev~ [4,6].
Dans les exemples qui suivent, nous partons d'un syst~me lin~aire du type
)o S( et nous consid~rons les ~quations qui donnent les conditions d'int~grabilit~
de ce syst~me ; ces ~quations semblent toujours es ramener g des ~quations a
points critiques fixes !
D'autre part, l'approche hamiltonienne pour les ~quations transcendantes
de Painlev~ a ~t~ faite par Malmquist [5 let chaque ~quation transcendante de
Painlev~ peut ~tre mise sous forme d'un syst~me hamiltonien. II est donc naturel
d'essayer d'~crire sous forme de syst~me hamiltonien, les conditions d'int~grabilit~
d'un syst~me diff~rentiel lin~aire.
On donnera l'exemple d'un hamiltonien associ~ aux conditions d'int~grabilit~
d'un syst~me lin~aire du type Flasehka-Newell 4]. I On utilisera deux solutions
particuligres du syst~me pour obtenir l'hamiltonien [9].