Séminaire d’Analyse P. Lelong — P. Dolbeault — H. Skoda: Années 1985/1986 PDF
Preview Séminaire d’Analyse P. Lelong — P. Dolbeault — H. Skoda: Années 1985/1986
Lecture Notes ni Mathematics Edited by .A Dold dna .B Eckmann 5921 | .P Lelong .P Dolbeault H. Skoda ).d6R( erianim6S esylanA'd .P Lelong- .P tluaebloD .H Skoda Ann6es 6891/5891 Springer-Verlag nilreB grebledieH Paris London NewYork oykoT Redacteurs Pierre Lelong Pierre Dolbeault Henri Skoda Universit6 Paris VI, Math6matiques Place Jussieu, Tour 45-46, 75252 Paris Cedex 05, France Mathematics Subject Classification (1980): 32 A 45, 32 C 05, 32 C 30, 32 F 05, 32F 15, 32L05, 34A20, 58E20 ISBN 3-540-18691-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-38?- 18691-3 Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg This work subject is to copyright. whether All reserved, the rights are whole or part of the material concerned, is specifically the rights of translation, reprinting, re-use of recitation, illustrations, broadcasting, reproduction microfilms on or storage ways, and other in ni data banks. Duplication of this publication or permitted thereof the provisions parts only under is of the German Copyright Law ofS eptember 9, 1965, ni version its of 24, June copyright and 1985, a fee always must be fall paid. the Violations under prosecution act of the German Copyright Law. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987 Printed ni Germany and binding: Printing Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210 I N T R O D U C T I O N Ce volume du S~minaire succ~de ~ de nombreux volumes precedents (voir la liste ~ la fin de eette introduction) et sera peut-~tre le der- nier non pas du S~minaire, mais de cette lengue s~rie ~dit~e par les soins de Springer dans ses Lecture-Notes. Indiquons-en bri~vement le contenu. I. Une place importante ayant ~t~ donn~e aux probl~mes concernant les espaces fibres analytiques, nous commencerons par ceux-ci. .I L'article de J.-P.Demailly fair faire des progr~s ~ l:estimation des formes harmoniques et plus g~n~ralement au contrSle des op~rateurs lin~aires sur les vari~t~s analytiques complexes et ~tablit une majora- tion asymptotique pour la dimension des groupes de cohomologie des puissances tensorielles k E , ffo E est un fibr~ hermitien holomorphe en droites au-dessua d'une vari~t~ analytique compacte X . D'ofi une simplification de la d~monstration r~cente (SIU) de la conjecture de Grauert-Riemenschneider donnant un remarquable crit~re pour qu'une vari~t~ soit de Moishezon L'int~ret du travail de J.-P.Demailly ~side ~galement dans le fait que les outils d'analyse r~elle utilizes sent tr~s ~lSmentaires alors que les majorations asymptotiques obtenues pour la cohomologie de k E sent d~j~ remarquablement pr~cises, presqu'optimales et en tout cas beaucoup plus fortes que celles obtenues par Y.T.Siu. Depuis, J.-P.De- mailly est parvenu ~ d~montrer des estimations ~ la"Morse-Witten" encore plus fortes mais au prix d'une analyse r~elle bien plus lourde et sot phistiqu~e. II nous a paru int~ressant de puhlier la premiere version dent les m~thodes ont leur int~r~t propre. 2. L'article de K.Filali compl~te les ~tudes de H.Skoda et J.-P.De- mailly sur les fibres holomorphes g base un disque de C et ~ fibre n C qui ne sent pas de Stein, et montre que non seulement les fonctions plurisousharmoniques, mais aussi les fonctions m~romorphes sent cons- tantes sur les fibres. Ce travail demande en fair une ~tude tr~s preci- se de la distribution des valeurs d'une fonction m~romorphe. VI II. L'~tud e de~ d~veloppements as ymptotiques" en liaison avec l'int~gra- tion sur les fibres d'une application holomorphe f : X ÷ ~ , o~ X est une vari~t~ analytique complexe est poursuivie ici par deux m~moires. a I L'article de D.Barlet donne des r~sultats nouveaux reliant les singularit~s, pSles et semi-pSles, pour les int~grales Ifl 2% et Ifl , ~ la monodromie. X X ° 2 L'article de D.Barlet et H.-M.Maire reprend en la pr~cisant l'~tude de ~ ~ = ~(s) au voisinage de s = 0 , le r~sultat est ob- J f-1(s ) tenu grace ~ un r~sultat du second auteur sur la transform~e de Mellin. III. L'~tude des formes diff~rentielles et des courants sur les va~ ri~t~s ou les ensembles analytiques a donn~ lieu ~ plusieurs travaux qui concernent aussi bien la g~om~trie que l'analyse complexe. ° I Le m~moire de G.Raby compl~te d'abord les r~sultats de G.de Rham, de J.-B.Poly et de J.King sur les op~rateurs A qui donnent sur une vari~t~ des formules d'homotopie entre le complexe des courants et celui des formes diff~rentielles (les propri~t~s de r~gularit~ de AT sont importantes ainsi que les propri~t~s de recollement sur une va- rietY). Cette technique permet alors une description des ~lasses de co- homologie du compl~mentaire d'un sous-ensemble analytique ferm~ Y d'une vari~t~ analytique complexe X , pour des formes ~ C sur X\Y singularit~s le long de Y . ° 2 L'article de A.Yger est consacr~ ~ la d~finition des courants r~siduels ~[ ] I ... ~[~] associ~ ~ des fonctions holomorphes "I P fl' "'°' f " A.Yger reprend un travail de M.Passare mais alors que P ce dernier adoptait un point de vue proche de celui de Coleff-Herrera, A.Yger s'inspire lui de la m~thode d'Atiyah utilisant le prolongement m~romorphe en 1 du courant Ifl 2~ . Ceci lui permet de faire le lien avec les formules de division "explicites" d'Anderson-Berndtsson. Des applications diverses sont donn6es par exemple g l'interpolation alg6- brique. Enfin ces eourants sont ~ rapproeher des int6grales de l'article de Barlet. ° 3 M.Passare a introduit pr~cgdemment des courants r~siduels g~n~ralisant ceux de Coleff-Herrera par introduction de plusieurs facteurs valeur principale au lieu d'un au plus. Tr~s r~cemment il a introduit des courants r~siduels en faisant une moy~nne des pr~c~- dents; les deux notions coincident dans le cas d'intersection com- pl~te. L'article de M.Passare est d'un grand int~r~t car son theorY- me montre l'identitg de ces derniers courants et de ceux de l'arti- cle de Yger. ° 4 La recherche de prolongements au moyen de formules int~grales, ~l~gante en dimension un, pr~sente de grosses difficult~s en dimension n > I. De ce type est la formule de Bochner-Martinelli F(z) = ~ f(~)k(z,~) o~ f( ~ ) sont des donn~es continues sur une ) V hypersurface V lisse r~elle de classe ~I dans n C . Le travail de Mme Laurent, ~ partir des noyaux de Henkin et de Leiterer,dans une va- ri~t~ de Stein)fair une ~tude des valeurs des deux c~t~s de V l'approche de V , puis applique la m~thode au prolongement des formes diff~rentielles et g l'~tude des valeurs au bord de certains courantso IV. ° I L'~tude de A.M~ril apporte des th~or~mes de prolongement pour les solutions de syst~mes ~j * f = O , ! ! J ! r , les ~j ~tant des distributions ~ support compact, et les produits de convolution pouvant ~tre ~tendus au eas o~ f est dans des espaees de distributions. Ii met en ~vidence un ph~nom~ne de prolongement ~ la'~artogs" ~ travers un compactjdes solutions du systgme. L.Ehrenpreis avait d~jg observ~ que le ph~nom~ne de "Hartogs" de p rolongement des fonctions holomorphes ~ n variables (n ~ 2) ~ tra - vers un compact ~tait un cas particulier d'un ph~nom~ne semblable pour les solutions de certains syst~mes d'E.D.P, homog~nes ~ coefficients constants. ° 2 L'article de G.Laville concerne l'alg~bre non commutative des op~rateurs de Feymann, pr~sentant aussi bien des critiques du travail de 1951 de cet auteur qu'une remise en ordre ~ partir des propri~t~s des alg~bres de Banach non commutatives ; la non commutativit~ fait apparaltre des probl~mes nouveaux par rapport aux ~tudes ant~rieures et aux representations int~grales con~ues autrefois pour un calcul symbolique des op~rateurs commutatifs. IV Historique du S~minaire. Comme il a ~t~ dit il se peut que ce volume soit non pas le dernier volume du S~minaire mais seulement le dernier volume publi~ par les Lecture Notes. Tout en remerciant l'~diteur Springer d'une collaboration de 20 ans, la directiQn du S~minaire se pf~occupe de continuer son ~ditian. Rappelons que le S~minaire a d~j~ connu deux s~ries Aet B . S~rie A . Edit~e ~ l'Institut Henri Poincar~ par P.Belgod~re (S~minaire d'Analyse P.Lelong) , correspondant aux ann~es 1958,1959,1961,1962,1963,1966,1967. S~rie B . Edit~e aux Lecture Notes Springer -S~minaire d'Analyse .P( Lelong), de 1968 ~ 1976, 9 volumes sous les ° n 71,116,205,275,338,410,474,524,578. -S~minaire d'Analyse (P.Lelong-H.Skoda), de |977 g 1981, 3 volumes ° n 624,822,919. -S~minaire d'Analyse (P.Lelong-P.Dolbeault-H.Skoda), 2 volumes ° n 1028,1198. Nous remercions tout particuli~rement les auteurs qui nous ont confi~ leurs textes. P.LELONG,P.DOLBEAULT,H.SKODA \ T A B L E D E S M A T I E R E S [I] BARLET (D.). - Sym~trie de Hodge pour le polynSme de Bernstein-Sato ..................................... 1 ~ BARLET (D.), H.-M.MAIRE. - D~veloppements asymptotiques, transformation de Mellin complexe et integration sur les fibres ......................................... II [3] DEMAILLY (J.-P.). - U~e preuve simple de la conjecture de ~rauert-Riemenschneider ............................ 24 [4] DEMAILLY (J.-P.). - Sur les th~or~mes d'annulation et de finitude de T.Ohsawa et O.Abdelkader ............... 48 [5] FILALI (Khalid). - Etude des fonctians m~romorphes sur certains espaces fibres ............................ 59 [6] LAURENT-THI~BAUT (Ch.). - Transformation de Boehner-Martinelli dans une vari~t~ de Stein ....... 96 [7~ LAVILLE (G.). - Sur un calcul symbolique de Feynmann ...... 132 [8] MERIL (A.), STRUPPA (D.C.), - Ph~nom~ne de Hartogs et ~quations de convolution ........................... 146 [9] PASSARE (M.). - Courants m~romorphes et ~galit~ de la valeur principale et de la partie finie ................... 157 [I0] RABY (G.). - Param~trix, cohomologie et formes m~romorphes 167 Ill] YGER (A.). - Formules de division et prolongement meromorphe 226 EIRT*EMYS ED EGDOH RUOP EL EM~(NYLOP ED OTAS-NIETSNREB D.Barlet Universit~ de Nancy I Math~matiques B.P. 239 F-54506 VANDOEUVRE LES NANCY NOITCUDORTNI Dans la premiere partie nous montrons comment les m~thodes introduites dans [0], [I] et [2] permettent d'arriver ~ des propri~t~s de "sym~trie de Hodge" pour les racines du polyn6me de Bernstein-Sato d'un germe de fonction holomorphe f : ($n+l,o) ~ (~,0) . Les techniques utilis~es donnent en fait des renseignements beaucoup plus precis que ce qui peut 6tre lu au niveau ud polyn6me de Bernstein- Sato. Ceci nous conduit dans la seconde partie ~ introduire d'abord la notion de profondeur pour nu bloc de Jordan de la monodromie de f en 0 . Cet entier repr~- sente la "distance" des sections horizontales correspondant ua bloc de Jordan au complexe de eD mahR relatif de f . Ensuite nous introduisons la notion de "semi- p61e" (effectif en codimension p) pour le prolongement m~romorphe de I " Ifl2~O • J X Cette notion est adapt~e ~ une approche de type Hodge de la structure de p61es de I f~ avec ~-p E ~ (ceci correspond ~ la transformation de Mellin complexe X introduite dans IBM]). L'aspect "effectif en codimension p " de cette d~finition permet de reconna~tre que certains p61es proviennent de la monodromie en degr~ plus grands que le degr~ que l'on consid~re, ce qui permet de n~gliger de tels p61es dans la version pr~cis~e du th~or~me 1, donn~e dans cette seconde partie. enU premiere version de cet article a circul~ avec le titre peu adapt~ suivant "un peu mieux sur le polyn~me de Bernstein-Sato" ~ partir de d~cembre 1985. 1. Nous reprenons ici les notations de [1]. Th~or~me : Soit f : X~ D un repr~sentant de Milnor (*) d'un germe non constant de fonc- tion holomorphe f : (~n+l,0) ~ (~,0) , Supposons que pour 0 ~ u < I , e -2i~u soit valeur propre de multiplicit~ k de la monodromie agissant sur le p-i~me (*) Voir [1]. groupe (pml) de cohomologie de la fibre de Milnor de f , D~signons par b E {[~] le polyn6me de Bernstein-Sato de f en 0 et posons v = 1 -u . Soit o le plus petit entier tel que b admette au moins k racines (en comptant les multiplicit~s) de la forme -q-u avec q entier 0 ~ q ~ o . D~finissons T de mani~re analogue ~ o mais relativement aux racines de b congrues ~ -v modulo ~ . Alors on a o+~ ~ p . Remarques : 1) L'hypoth~se fait jouer des r61es sym~triques A u et v car ia monodromie ~tant r~elle (car d~finie sur ~ !) e -2iRu est valeur propre de multiplicit~ k si et seulement si e -2i~v l'est ; d'oO l'aspect sym~trique de la conclusion du th~or~me. 2) Le th~or~me ci-dessus est ~ comparer avec la remarque 1) qui suit le th~o- r~me 2 de [I] : sous la m~me hypoth~se on obtenait alors l'in6galit~ o ~ p (et donc aussi • < p par sym~trie). (*)' 3) Dans le cas d'une singularit~ isol~e A.N. Varchenko a obtenu nu r~sultat plus precis ; voir [V], th, 8.3. D~monstration du th~or~me : Grace aux r~sultats de [1] (corollaire 1 du th~or~me I) et de [0] (lemme A), notre hypoth~se implique l'existence d'un entier m E [0,p] et de p-formes holomorphes I w , .... k w sur X v~rifiant ° ) 1 a dw (m+u) = --dff-A W a+ ~_ A _aW I Va E [l,k] avec la convention 0 w ~ 0 . ) ° 2 Les WalX(s0) , Qo X(s0) = f-1(s0) d~signe la fibre de Milnor de f induisent nu bloc de Jordan de taille (k,k) de la monodromie T , agissant sur Hp(X(s0),{ ) , pour la valeur propre e -2i~u Notons par ~ (resp. T) le plus petit entier tel que b , le polyn6me de Bernstein-Sato de f en 0 , admette k racines de la forme -q-u (resp. de la forme -q-v avec v = l-u) avec q E • et q E [0,o] (resp. q E [0,~]) en comptant les multiplicit~s. Soit 0~ le plus petit entier relatif qui v~rifie que le prolongement m~ro- morphe du courant I Ifl2X ~o -~-A WkA• X (*) Mais nu r~sultat precis sur les p61es de | r ill2 ~ [] ! J X n'ait pas de p01e d'ordre _> k ne I = -m-u (*) . nO aura en particulier nu p01e d'ordre m k en I = -m-u pour I IfI21 f~°-I ~ ^ kW A n . X Effectuons le prolongement analytique de ce courant de la mani~re suivante : partons d'une identit# de Bernstein it#r~e N+tf)z~,Z, fl 1 : b(X) b(X+l)...b(l+N-l) NP (l QO NP est nu op~rateur diff~rentiel holomorphe qui d~pend polynomialement ed I . nO en d~duit, puisque b est ~ coefficients r~els (en fait rationnels) ~i+~o-1 = 5(~÷~0:I) i ~N(X,~,~){I+~o+N ...b(l+~o+N-i ) ~ Qo N~ est un op~rateur diff#rentiel anti-holomorphe d~pendant polynomialement de ~ . Si N~ d~signe l'adjoint formel de N~ , on aura, puisque N~ agit @x-lin~airement : I I-°~ ~ If12~ Awk ^ #= X 1 I ifl2~ ~o+N df b(l+~o-Z ) . . . b ~ X T A kw ^ ~N(~) pour ~ E C~(X) , de type (n-p,n+l) , N >> 0 et Re(1) >> 0 . emmoC le membre de droite est m~romorphe sur toute r~gion Re(1) > -a si N est assez grand, on obtient ainsi le prolongement m~romorphe ud membre de gauche. nO constate ainsi que l'existence d'un pOle d'ordre ~ k ne -m-u pour le prolongement du dit erbmem ed gauche implique que l'in~galit~ -u-m+~o-1 ~ -~-u est v~rifi~e : cette in~galit~ est une condition n~cessaire (non suffisante, a priori au moins) puisque pour N >> 0 X sera holomorphe pour Re(X) > -m-1 ; le pole d'ordre m k en -m-u ud prolonge- ment m~romorphe ud membre de gauche implique donc l'existence d'une racine d'ordre k en -m-u pour le polynOme b(l+~o-1 ) b(l+~o).., b(l+~0+N-1 ) . (.) nO a o~ > -~ d'apr~s [1] ; on retrouvera ce fait plus loin.
The list of books you might like
