Séminaire d’Analyse P. Lelong — P. Dolbeault — H. Skoda: Années 1985/1986

290 Pages·1987·4.87 MB·French

by  D. Barlet (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold dna .B Eckmann
5921
|
.P Lelong .P Dolbeault H. Skoda ).d6R(
erianim6S esylanA'd
.P Lelong- .P tluaebloD
.H Skoda
Ann6es 6891/5891
Springer-Verlag
nilreB grebledieH Paris London NewYork oykoT
Redacteurs
Pierre Lelong
Pierre Dolbeault
Henri Skoda
Universit6 Paris VI, Math6matiques
Place Jussieu, Tour 45-46, 75252 Paris Cedex 05, France
Mathematics Subject Classification (1980): 32 A 45, 32 C 05, 32 C 30, 32 F 05,
32F 15, 32L05, 34A20, 58E20
ISBN 3-540-18691-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-38?- 18691-3 Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg
This work subject is to copyright. whether All reserved, the rights are whole or part of the material
concerned, is specifically the rights of translation, reprinting, re-use of recitation, illustrations,
broadcasting, reproduction microfilms on or storage ways, and other in ni data banks. Duplication
of this publication or permitted thereof the provisions parts only under is of the German Copyright
Law ofS eptember 9, 1965, ni version its of 24, June copyright and 1985, a fee always must be
fall paid. the Violations under prosecution act of the German Copyright Law.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987
Printed ni Germany
and binding: Printing Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr.
2146/3140-543210
I N T R O D U C T I O N
Ce volume du S~minaire succ~de ~ de nombreux volumes precedents
(voir la liste ~ la fin de eette introduction) et sera peut-~tre le der-
nier non pas du S~minaire, mais de cette lengue s~rie ~dit~e par les
soins de Springer dans ses Lecture-Notes.
Indiquons-en bri~vement le contenu.
I. Une place importante ayant ~t~ donn~e aux probl~mes concernant les
espaces fibres analytiques, nous commencerons par ceux-ci.
.I L'article de J.-P.Demailly fair faire des progr~s ~ l:estimation
des formes harmoniques et plus g~n~ralement au contrSle des op~rateurs
lin~aires sur les vari~t~s analytiques complexes et ~tablit une majora-
tion asymptotique pour la dimension des groupes de cohomologie des
puissances tensorielles k E , ffo E est un fibr~ hermitien holomorphe
en droites au-dessua d'une vari~t~ analytique compacte X . D'ofi une
simplification de la d~monstration r~cente (SIU) de la conjecture de
Grauert-Riemenschneider donnant un remarquable crit~re pour qu'une
vari~t~ soit de Moishezon
L'int~ret du travail de J.-P.Demailly ~side ~galement dans le fait
que les outils d'analyse r~elle utilizes sent tr~s ~lSmentaires alors
que les majorations asymptotiques obtenues pour la cohomologie de k E
sent d~j~ remarquablement pr~cises, presqu'optimales et en tout cas
beaucoup plus fortes que celles obtenues par Y.T.Siu. Depuis, J.-P.De-
mailly est parvenu ~ d~montrer des estimations ~ la"Morse-Witten" encore
plus fortes mais au prix d'une analyse r~elle bien plus lourde et sot
phistiqu~e. II nous a paru int~ressant de puhlier la premiere version
dent les m~thodes ont leur int~r~t propre.
2. L'article de K.Filali compl~te les ~tudes de H.Skoda et J.-P.De-
mailly sur les fibres holomorphes g base un disque de C et ~ fibre
n C qui ne sent pas de Stein, et montre que non seulement les fonctions
plurisousharmoniques, mais aussi les fonctions m~romorphes sent cons-
tantes sur les fibres. Ce travail demande en fair une ~tude tr~s preci-
se de la distribution des valeurs d'une fonction m~romorphe.
VI
II. L'~tud e de~ d~veloppements as ymptotiques" en liaison avec l'int~gra-
tion sur les fibres d'une application holomorphe f : X ÷ ~ , o~ X
est une vari~t~ analytique complexe est poursuivie ici par deux
m~moires.
a I L'article de D.Barlet donne des r~sultats nouveaux reliant les
singularit~s, pSles et semi-pSles, pour les int~grales
Ifl 2% et Ifl , ~ la monodromie.
X X
° 2 L'article de D.Barlet et H.-M.Maire reprend en la pr~cisant
l'~tude de ~ ~ = ~(s) au voisinage de s = 0 , le r~sultat est ob-
J f-1(s )
tenu grace ~ un r~sultat du second auteur sur la transform~e de Mellin.
III. L'~tude des formes diff~rentielles et des courants sur les va~
ri~t~s ou les ensembles analytiques a donn~ lieu ~ plusieurs travaux
qui concernent aussi bien la g~om~trie que l'analyse complexe.
° I Le m~moire de G.Raby compl~te d'abord les r~sultats de G.de Rham,
de J.-B.Poly et de J.King sur les op~rateurs A qui donnent sur une
vari~t~ des formules d'homotopie entre le complexe des courants et
celui des formes diff~rentielles (les propri~t~s de r~gularit~ de AT
sont importantes ainsi que les propri~t~s de recollement sur une va-
rietY). Cette technique permet alors une description des ~lasses de co-
homologie du compl~mentaire d'un sous-ensemble analytique ferm~ Y
d'une vari~t~ analytique complexe X , pour des formes ~ C sur X\Y
singularit~s le long de Y .
° 2 L'article de A.Yger est consacr~ ~ la d~finition des courants
r~siduels ~[ ] I ... ~[~] associ~ ~ des fonctions holomorphes
"I P
fl' "'°' f " A.Yger reprend un travail de M.Passare mais alors que
P
ce dernier adoptait un point de vue proche de celui de Coleff-Herrera,
A.Yger s'inspire lui de la m~thode d'Atiyah utilisant le prolongement
m~romorphe en 1 du courant Ifl 2~ . Ceci lui permet de faire le lien
avec les formules de division "explicites" d'Anderson-Berndtsson. Des
applications diverses sont donn6es par exemple g l'interpolation alg6-
brique. Enfin ces eourants sont ~ rapproeher des int6grales de l'article
de Barlet.
° 3 M.Passare a introduit pr~cgdemment des courants r~siduels
g~n~ralisant ceux de Coleff-Herrera par introduction de plusieurs
facteurs valeur principale au lieu d'un au plus. Tr~s r~cemment il
a introduit des courants r~siduels en faisant une moy~nne des pr~c~-
dents; les deux notions coincident dans le cas d'intersection com-
pl~te. L'article de M.Passare est d'un grand int~r~t car son theorY-
me montre l'identitg de ces derniers courants et de ceux de l'arti-
cle de Yger.
° 4 La recherche de prolongements au moyen de formules int~grales,
~l~gante en dimension un, pr~sente de grosses difficult~s en dimension
n > I. De ce type est la formule de Bochner-Martinelli
F(z) = ~ f(~)k(z,~) o~ f( ~ ) sont des donn~es continues sur une
) V
hypersurface V lisse r~elle de classe ~I dans n C . Le travail de
Mme Laurent, ~ partir des noyaux de Henkin et de Leiterer,dans une va-
ri~t~ de Stein)fair une ~tude des valeurs des deux c~t~s de V
l'approche de V , puis applique la m~thode au prolongement des
formes diff~rentielles et g l'~tude des valeurs au bord de certains
courantso
IV. ° I L'~tude de A.M~ril apporte des th~or~mes de prolongement pour
les solutions de syst~mes ~j * f = O , ! ! J ! r , les ~j ~tant des
distributions ~ support compact, et les produits de convolution pouvant
~tre ~tendus au eas o~ f est dans des espaees de distributions. Ii
met en ~vidence un ph~nom~ne de prolongement ~ la'~artogs" ~ travers
un compactjdes solutions du systgme.
L.Ehrenpreis avait d~jg observ~ que le ph~nom~ne de "Hartogs" de
p rolongement des fonctions holomorphes ~ n variables (n ~ 2) ~ tra -
vers un compact ~tait un cas particulier d'un ph~nom~ne semblable pour
les solutions de certains syst~mes d'E.D.P, homog~nes ~ coefficients
constants.
° 2 L'article de G.Laville concerne l'alg~bre non commutative des
op~rateurs de Feymann, pr~sentant aussi bien des critiques du travail
de 1951 de cet auteur qu'une remise en ordre ~ partir des propri~t~s
des alg~bres de Banach non commutatives ; la non commutativit~ fait
apparaltre des probl~mes nouveaux par rapport aux ~tudes ant~rieures
et aux representations int~grales con~ues autrefois pour un calcul
symbolique des op~rateurs commutatifs.
IV
Historique du S~minaire. Comme il a ~t~ dit il se peut que ce volume
soit non pas le dernier volume du S~minaire mais seulement le dernier
volume publi~ par les Lecture Notes. Tout en remerciant l'~diteur
Springer d'une collaboration de 20 ans, la directiQn du S~minaire se
pf~occupe de continuer son ~ditian.
Rappelons que le S~minaire a d~j~ connu deux s~ries Aet B .
S~rie A . Edit~e ~ l'Institut Henri Poincar~ par P.Belgod~re (S~minaire
d'Analyse P.Lelong) , correspondant aux ann~es
1958,1959,1961,1962,1963,1966,1967.
S~rie B . Edit~e aux Lecture Notes Springer
-S~minaire d'Analyse .P( Lelong), de 1968 ~ 1976, 9 volumes
sous les ° n 71,116,205,275,338,410,474,524,578.
-S~minaire d'Analyse (P.Lelong-H.Skoda), de |977 g 1981,
3 volumes ° n 624,822,919.
-S~minaire d'Analyse (P.Lelong-P.Dolbeault-H.Skoda),
2 volumes ° n 1028,1198.
Nous remercions tout particuli~rement les auteurs qui nous ont
confi~ leurs textes.
P.LELONG,P.DOLBEAULT,H.SKODA
\
T A B L E D E S M A T I E R E S
[I] BARLET (D.). - Sym~trie de Hodge pour le polynSme de
Bernstein-Sato ..................................... 1
~ BARLET (D.), H.-M.MAIRE. - D~veloppements asymptotiques,
transformation de Mellin complexe et integration sur
les fibres ......................................... II
[3] DEMAILLY (J.-P.). - U~e preuve simple de la conjecture de
~rauert-Riemenschneider ............................ 24
[4] DEMAILLY (J.-P.). - Sur les th~or~mes d'annulation et de
finitude de T.Ohsawa et O.Abdelkader ............... 48
[5] FILALI (Khalid). - Etude des fonctians m~romorphes sur
certains espaces fibres ............................ 59
[6] LAURENT-THI~BAUT (Ch.). - Transformation de
Boehner-Martinelli dans une vari~t~ de Stein ....... 96
[7~ LAVILLE (G.). - Sur un calcul symbolique de Feynmann ...... 132
[8] MERIL (A.), STRUPPA (D.C.), - Ph~nom~ne de Hartogs et
~quations de convolution ........................... 146
[9] PASSARE (M.). - Courants m~romorphes et ~galit~ de la valeur
principale et de la partie finie ................... 157
[I0] RABY (G.). - Param~trix, cohomologie et formes m~romorphes 167
Ill] YGER (A.). - Formules de division et prolongement meromorphe 226
EIRT*EMYS ED EGDOH RUOP EL EM~(NYLOP ED OTAS-NIETSNREB
D.Barlet
Universit~ de Nancy I
Math~matiques
B.P. 239
F-54506 VANDOEUVRE LES NANCY
NOITCUDORTNI
Dans la premiere partie nous montrons comment les m~thodes introduites dans
[0], [I] et [2] permettent d'arriver ~ des propri~t~s de "sym~trie de Hodge" pour
les racines du polyn6me de Bernstein-Sato d'un germe de fonction holomorphe
f : ($n+l,o) ~ (~,0) . Les techniques utilis~es donnent en fait des renseignements
beaucoup plus precis que ce qui peut 6tre lu au niveau ud polyn6me de Bernstein-
Sato. Ceci nous conduit dans la seconde partie ~ introduire d'abord la notion de
profondeur pour nu bloc de Jordan de la monodromie de f en 0 . Cet entier repr~-
sente la "distance" des sections horizontales correspondant ua bloc de Jordan au
complexe de eD mahR relatif de f . Ensuite nous introduisons la notion de "semi-
p61e" (effectif en codimension p) pour le prolongement m~romorphe de I " Ifl2~O •
J X
Cette notion est adapt~e ~ une approche de type Hodge de la structure de p61es de
I f~ avec ~-p E ~ (ceci correspond ~ la transformation de Mellin complexe
X
introduite dans IBM]). L'aspect "effectif en codimension p " de cette d~finition
permet de reconna~tre que certains p61es proviennent de la monodromie en degr~ plus
grands que le degr~ que l'on consid~re, ce qui permet de n~gliger de tels p61es dans
la version pr~cis~e du th~or~me 1, donn~e dans cette seconde partie.
enU premiere version de cet article a circul~ avec le titre peu adapt~ suivant
"un peu mieux sur le polyn~me de Bernstein-Sato" ~ partir de d~cembre 1985.
1. Nous reprenons ici les notations de [1].
Th~or~me :
Soit f : X~ D un repr~sentant de Milnor (*) d'un germe non constant de fonc-
tion holomorphe f : (~n+l,0) ~ (~,0) , Supposons que pour 0 ~ u < I , e -2i~u
soit valeur propre de multiplicit~ k de la monodromie agissant sur le p-i~me
(*) Voir [1].
groupe (pml) de cohomologie de la fibre de Milnor de f , D~signons par b E {[~]
le polyn6me de Bernstein-Sato de f en 0 et posons v = 1 -u .
Soit o le plus petit entier tel que b admette au moins k racines (en
comptant les multiplicit~s) de la forme -q-u avec q entier 0 ~ q ~ o .
D~finissons T de mani~re analogue ~ o mais relativement aux racines de b
congrues ~ -v modulo ~ .
Alors on a o+~ ~ p .
Remarques :
1) L'hypoth~se fait jouer des r61es sym~triques A u et v car ia monodromie
~tant r~elle (car d~finie sur ~ !) e -2iRu est valeur propre de multiplicit~ k
si et seulement si e -2i~v l'est ; d'oO l'aspect sym~trique de la conclusion du
th~or~me.
2) Le th~or~me ci-dessus est ~ comparer avec la remarque 1) qui suit le th~o-
r~me 2 de [I] : sous la m~me hypoth~se on obtenait alors l'in6galit~ o ~ p (et
donc aussi • < p par sym~trie). (*)'
3) Dans le cas d'une singularit~ isol~e A.N. Varchenko a obtenu nu r~sultat
plus precis ; voir [V], th, 8.3.
D~monstration du th~or~me :
Grace aux r~sultats de [1] (corollaire 1 du th~or~me I) et de [0] (lemme A),
notre hypoth~se implique l'existence d'un entier m E [0,p] et de p-formes
holomorphes I w , .... k w sur X v~rifiant
° ) 1 a dw (m+u) = --dff-A W a+ ~_ A _aW I Va E [l,k] avec la convention 0 w ~ 0 .
) ° 2 Les WalX(s0) , Qo X(s0) = f-1(s0) d~signe la fibre de Milnor de f
induisent nu bloc de Jordan de taille (k,k) de la monodromie T ,
agissant sur Hp(X(s0),{ ) , pour la valeur propre e -2i~u
Notons par ~ (resp. T) le plus petit entier tel que b , le polyn6me de
Bernstein-Sato de f en 0 , admette k racines de la forme -q-u (resp. de la
forme -q-v avec v = l-u) avec q E • et q E [0,o] (resp. q E [0,~]) en
comptant les multiplicit~s.
Soit 0~ le plus petit entier relatif qui v~rifie que le prolongement m~ro-
morphe du courant
I Ifl2X ~o -~-A WkA•
X
(*) Mais nu r~sultat precis sur les p61es de | r ill2 ~ [] !
J X
n'ait pas de p01e d'ordre _> k ne I = -m-u (*) . nO aura en particulier nu p01e
d'ordre m k en I = -m-u pour
I IfI21 f~°-I ~ ^ kW A n .
X
Effectuons le prolongement analytique de ce courant de la mani~re suivante :
partons d'une identit# de Bernstein it#r~e
N+tf)z~,Z,
fl 1
: b(X) b(X+l)...b(l+N-l) NP (l
QO NP est nu op~rateur diff~rentiel holomorphe qui d~pend polynomialement ed I .
nO en d~duit, puisque b est ~ coefficients r~els (en fait rationnels)
~i+~o-1 = 5(~÷~0:I) i ~N(X,~,~){I+~o+N
...b(l+~o+N-i ) ~
Qo N~ est un op~rateur diff#rentiel anti-holomorphe d~pendant polynomialement de
~ . Si N~ d~signe l'adjoint formel de N~ , on aura, puisque N~ agit
@x-lin~airement :
I I-°~ ~
If12~ Awk ^ #=
X
1 I ifl2~ ~o+N df
b(l+~o-Z ) . . . b ~ X T A kw ^ ~N(~)
pour ~ E C~(X) , de type (n-p,n+l) , N >> 0 et Re(1) >> 0 . emmoC le membre de
droite est m~romorphe sur toute r~gion Re(1) > -a si N est assez grand, on
obtient ainsi le prolongement m~romorphe ud membre de gauche. nO constate ainsi que
l'existence d'un pOle d'ordre ~ k ne -m-u pour le prolongement du dit erbmem
ed gauche implique que l'in~galit~ -u-m+~o-1 ~ -~-u est v~rifi~e :
cette in~galit~ est une condition n~cessaire (non suffisante, a priori au moins)
puisque pour N >> 0
X
sera holomorphe pour Re(X) > -m-1 ; le pole d'ordre m k en -m-u ud prolonge-
ment m~romorphe ud membre de gauche implique donc l'existence d'une racine d'ordre
k en -m-u pour le polynOme b(l+~o-1 ) b(l+~o).., b(l+~0+N-1 ) .
(.) nO a o~ > -~ d'apr~s [1] ; on retrouvera ce fait plus loin.