Séminaire Bourbaki, Vol. 3, 1954-1956, Exp. 101-136

357 Pages·1956·19.82 MB·french

by  N. Bourbaki

Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1954)
GROUPES D’HOLONOMIE DES VARIETÉS À CONNEXION AFFINE,
par Marcel BERGER.
1. Connexions.
B est un espace fibre principal différentiable de base V (V~ , de dimension
m), de groupe structural de Lie connexe G ~ de projection p. L’application
g - b.g de G sur la fibre contenant b ~ B définit un isomorphisme de l’algèbre
de Lie f de G sur un sous-espace V(b) de l’espace T(b) tangent à B en b .
Une connexion sur V, de ou G, est la donnée en tout point b E B d’un pro-
jecteur h(b) parallèle à V(b) qui :
1°) dépend différentiablement de b ;
2°) est invariant par G ~ i.e. h(b,g) = h(b).g .
Le projecteur détermine en b un sous-espace H(b) de T(b) : les éléments de
H(b) .seront dits horizontaux. Une connexion est équivalente à la donnée d’une
1-forme différentielle cj sur B ~ à valeurs dans j’ ~ qui est telle que :
1°) w est l’identité sur V(b) ;
ad(g 1)
2°) w vérifie ~o(b.g) =
On associe canoniquement à w une 2-forme de courbure C3 sur B, à valeurs
dans ,i , définie par
Une connexion permet de définir la dérivée oovariante p T d’un tenseur quel-
conque T défini sur V .
Dans le cas où le fibre est celui des repères tangents à la variété m f le
groupe structural étant alors GL(m~R) ~ la connexion est dite.affine. ; en réali-
sant F par des m x m matrices, 03C9 est définie par des et w par le
Tk. ,la
tenseur de courbure R :" Si connexion est dite sans
torsion. R et VR satisfont alors aux relations :
7
2. Groupes d’holonomie d’une connexion.
Soit -Q_ l’espace des lacets (resp. hamotopes à l’identité) de
V , d’origine x , différentiables par morceaux. Supposons V munie d’une con-
nexion de groupe G : tout élément 03BB ~ n peut être remonté en un chemin hori-
zontal de B , d’origine z et d 1 extrémité z.g , tel que p. kb = 03BB . L t élé-
ment g ne dépend pas de z , d’où une application f : G ; g n’est
autre que le transport parallèle le long de X .
DÉFINITION. - On appelle groupe d’holonomie homogène (reep. restreint) et on note
f(~
Y~ (resp. l’image (resp. )).
Un chemin différentiable par morceaux joignant x et y définit un isomorphisme
entre ~ et y (resp. eT et ;r ); on écrira, par abus de langage : *~ ~
x y x
cr . Le groupe (3" est un groupe de Lie ~ car c’est un sous-groupe connexe par
arcs de G de Lie. Par passage .aux quotients, on déduit de f une application
f: T~~V)-.~ .
1
PROPOSITION 1 (Ambrose-Singer-Lichnerowicz). - c* est la composante connexe de
l’élément neutre dans 03C8 .
DEMONSTRATION. - Soit 03C3 la composante connexe de l’élément neutre dans 03C8 .
Puisque est dénombrable, f entraîne que est dénombrable* j-
est ouvert, sinon il serait de mesure nulle pour la mesure de Haar sur cr * Il
est donc fermée et v = F . C.Q.E.D.
Soit b~ donné E B . On notera B le sous-ensemble de B formé des b qui
peuvent être joints à b.. par un chemin horizontal différentiable par morceaux ;
B est fibre principal de base V, de groupe y . Dans toute la suite nous ne
considérerons que des tenseurs sur B . Dans ces conditions :
R.j t
PROPOSITION 2 (Nijenhuis). - Quels que soient s,t,u : et
appartiennent pour les indices i et j à l’algèbre de Lie O" .
Bien que la proposition 2 soit suffisante pour la suite, signalons que, plus
précisément :
PROPOSITION 3 (Ambrose-Singer). - ~ est engendré par les quand s
et t parcourent T(b) et b parcourt B.
3. 0- des variétés à connexion affine sans torsion.
Dans toute la suite V sera munie d’une connexion affine sans torsion et
irréductible.
sera
THEOREME 1. - 03C3 n’est pas quelconque.
ct doit prendre place dans une liste (liste I) assez longue, analogue à celle
des espaces riemanniens symétriques.
PRINCIPE DE LA DEMONSTRATION. - Elle repose sur les faits suivants :s
R vérifie la proposition 2.
-
R satisfait la condition (1).
-
- ~ ~ algèbre de Lie d’un groupe de Lie irréductible, n’est pas ;quelconque.
Il faut examiner toutes les formes possibles pour ~ , à l’aide des résultats
d’Elie CARTAN sur les groupes de Lie linéaires irréductibles. On constate alors
que (l) entraîne R = 0 "presque toujours".
EXEMPLE. - 03C3 est la représentation tensorielle du produit direct d’au moine
trois groupes cr. 1 C-GL(n. 1 ,R) (i = 1,2,3) . Alors :
où a,b,c,d = 1,...,n~ (resp. i,j,k,h = 1,...,n2 et m,n,p,.q = 1,...,n3)
et c~ a la signification classique. La proposition 1 et la formule (3) montrent
qu’une composante non nulle de R est de la forme R = Rbimaim,ckp,dhg (et les
autres composantes analogues). Supposons a 1= b. R est alors indépendant de i
et m ; si nz et n3 sont ~ 3 , on peut choisir i ~ k ~ h et m ~ p,q . Les
relations (3) et (1) entraînent que R = 0 .. On montre que R est encore nul quand
a = b .
4. c~’ des espaces affines symétriques.
Prenons maintenant les cr de la liste I et les ~ correspondantes. On ne peut
plus montrer que R = 0 J mais en utilisant i7 R , la proposition 2 et la relation
(2) , on peut montrer que "presque toujours" Q R = 0 .
EXEMPLE. - 03C3 est la représentation tensorielle du produit direct d’au moins
deux groupes (i = 1,2) . Avec les mêmes notations qu’au n° 3, on
~ :
a pour
Une composante non nulle de R est de la forme R = et est indépen-
dante de i. Mais de 1 a b déduit de (4) et (1) que si n 2>, 3 ,
1
R ne peut être que du type qui est indépendant de i et j .
Alors on déduit de (2) que .. = 0 , car il suffit de choisir j ~ k .
Les variétés pour lesquelles 0 et T=0 ont une structure géométrique
particulière : NOMIZU a montré en effet (Séminaire BOURBAKI : Mai 1954)
qu’une telle variété est localement isomorphe à un espace homogène symétrique. Les
0" restants forment une liste II, réduite à une vingtaine d’éléments : ce sont
ceux qui peuvent être groupes d’holonomie homogène restreint d’une variété à con-
nexion affine sans torsion pour laquelle ’7 R / 0 .
5. (j des variétés riemanniennes.
Désormais V sera une variété riemannienne, c’est-à-dire munie d’une métrique
définie positive et de la connexion affine sans torsion canonique. Dans ce
irréductible n’est pas une restriction. On a en effet :
PROPOSITION 4 (Lichnerowicz-de Rham). - Si 03C3 est réductible et V complète,
ce est un produit direct de 03C3i irréductibles de variétés riemanniennes Vi .
D’après de RHAM, le revêtement universel V de V est un produit riemannien
Vi
, d’où déduit le théorème en remarquant que q7 est le
de V.
03C8
Pour obtenir les 03C3 possibles pour une variété riemannienne, il suffit de pren-
dre dans les listes I et II les groupes qui sont orthogonaux. La liste l redonne
les espaces riemanniens symétriques déterminés par Elie CARTAN. La liste II montre
que :
THEOREME 2. - Pour une variété riemannienne V telle que ~ R ~ 0 , 03C3, irré-
ductible ne peut être que : SO(m) ;3 U(n) ou SU(n) si m = 2n ; Sp(1) » Sp(n)
ou Sp(n) si m = 4n . Il y a trois exceptions : Gz pour V7 , Spin(7) pour
Spin(9) V16 .
Les variétés pour lesquelles est U(n) ou SU(n) sont les suivantes :
si V 2n est pseudo-kählérienne. Il est équivalent de dire qu’il existe
sur V2n une forme 2-forme échangeable avec la métrique, de rang maximum et à
dérivée covariante nulle, soit ~ telle que Q ~ = 0 , t~’ = SU(n) s’il existe
en plus sur la variété précédente une forme 6 de type (n,0) telle que ~03B8=0.
Ceci est équivalent à la nullité de la courbure de Ricci de première
classe de Chem est alors nulle.
REMARQUE. - Les groupes obtenus, exceptions comprises, sont transitifs sur la
sphère S~ ~ des vecteurs unités tangents. Il serait agréable de pouvoir le mon-
trer directement, auquel ças la démonstration du théorème 2 serait réduite à l’é-
Ti
limination du groupe x Sp(n) , qui est facile.
6. Formes à dérivée covariante nulle des variétés riemanniennes.
Soit ~ une forme extérieure sur V ; " Q 2 = 0 " est équivalent à "
est invariante par " en tout x E V . Nous avons déjà rencontré de telles
formes au n° 5 : quand est réductible, les formes monômes définissant les sous-
espaces stables pour ’f sont à dérivée covariante nulle ; quand (resp.
SU(n)) ~ la forme lp et ses puissances ~ P(p = 1~.,.,n-1) (resp. 8) sont aussi
à dérivée covariante nulle.
R4n
La représentation linéaire de Sp(n) x Sp(1) (resp. Spin (9)) dans (resp.
R16)
laisse invariante une 4-forme et ses puissances (resp. une 8--forme . Le thé-
orème 2 montre que, si 0 , les formes précédentes sont les seules formes à
dérivée covariante nulle que l’on puisse rencontrer sur une variété riemannienne.
Car les représentations rencontrées de G2 et Spin(7) ne laissent inva-
riante aucune forme extérieure. On peut encore dire :
COROLLAIRE 1. - S’il existe sur une variété riemannienne V une forme ’C non trivia-
le telle que " soit V est symétrique, soit V est réductible,
soit Y est pseudo-kahlérienne, soit le groupe d’holonomie homogène de V est
Sp(n) x Sp(1) ou Spin(9) .
7. ~ des variétés riemanniennes orientables.
Dans ce numéro, supposons V orientable ; alors D’après le théorème
2, ne peut différer de cr pour car ce est distingué
dans ’~’ (proposition 1). Si eT = U(n) , il est classique que ’t~ peut avoir au plus
une composante connexe dans 0(2n) autre que U(n) ; cette composante est définie
par l’élément k : z-~ z , k n’appartient d’ailleurs à SO(2n) que si n est
pair. Ainsi :
COROLLAIRE 2. - Si une variété orientable V4n+2 admet un revêtement à cour-
bure de Ricci non nulle qui est : pseudo-kählérien, non réductible, et tel que
0 , alors V4n+2 elle-même est pseudo-kahlérienneo Si une variété V4n
admet un revêtement du type précédent, alors elle est orientable et admet un re-
vêtement à 2 feuillets qui est pseudo-kählérien.
12
Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1954)
DÉVELOPPEMENTS DE FONCTIONS ARBITRAIRES
DIFFÉRENTIEL
SUIVANT LES FONCTIONS PROPRES D’UN OPÉRATEUR
par Pierre CARTIER
1. Sommes mesurables d’espaces de Hilbert.
Nous renvoyons à BOURBAKI pour la théorie de la mesure employée ici. Nous allons
rappeler, en les modifiant un peu,les définitions de von NEUMANN sur les sommes me-
surables d’espaces de Hilbert. Une telle somme se compose tout d’abord d’un espace
mesuré (E, p) , d’une f amille d’espaces de Hilbert H(03BE) paramétrée par les élé-
ments de l’espace E et d’une famille n de "champs de vecteurs sur E" (i.e. de
fonctions f dont la valeur f (’~ ) en 3 est dans H (’~ ) ) . Ces données sont as-
sujetties aux axiomes suivants :
(Al) La famille /~ est un sous-espace vectoriel de l’espace de tous les champs
de vecteurs.
(039B2) Pour tout f 6 1B , la fonction scalaire Il est de carré sommable.
Pour tout et toute fonction scalaire g mesurable et bornée, le
g ( )~ ( 3 )
champ de vecteurs)’ -4 est dans A .
?(~) f’ ( )
(~ ) Si ) = presque partout et si /~ ~ alors A .
(/~~) Muni de la seni-norme l’espace /B est
complet. ---.J
Si les deux premiers axiomes seulement sont vérifiés, A s’appelle une famille fon-
d amentale ; dans ce cas, il existe une manière canonique de prolonger n en une fa-
mille ( ) satisfaisant tous les axiomes précédents, qui est parfaitement ana-
logue à la manière de construire les espaces LP ordinaires. ’Si l’on identifie deux
champs de vecteurs égaux presque partout et que l’on munisse n du produit scalaire
(f , g > _ ~f (’~ ) , g ( ) ~ obtient un espace de Hilbert noté
L~(~) .
. On suppose, à partir de maintenant, toutes les hypothèses de séparabilité
L~
nécessaires remplies, à savoir que les H( ) et sont des espaces de Hilbert
séparables et que E est réunion dénombrable d’ensembles mesurables de mesuré finie
(bien que ces hypothèses ne soient pas absolument indispensables). Un champ de vec-
h( )
teurs sera alors dit mesurable si pour tout f E A ~ la fonction scalaire
,
] est me sur able , ou , ce qui revient au même ic i , si h(03BE) , f(03BE)>
e st mesurable pour tout f ~ A .
13
L~
Nous allons maintenant considérer des opérateurs dans l’espace H = et des
algèbres de tels opérateurs. En particulier si pour un opérateur Ay il existe une
fonction numérique ~(~)
) telle que le domaine de définition de A se compose des
que ~ ( ) .~( ) _ ~ ) f ( ) ,
f tels soit dans A et que (Af) ( ) ( on dit
que A est diagonal. Les opérateurs diagonaux continus forment un anneau d’opéra-
teurs au sens de von Neumann, i.e. une algèbre autoadjointe identique à son bicom-
mutant (il est clair que ce.t anneau est commutatif). Un des résultats fondamentaux
de von NEUMANN est que si l’on se donne à l’avance un espace de Hilbert séparable et
un anneau d opérateurs commutatif A, on peut construire une somme mesurable et une
LA
isométrie T de H sur qui fait correspondre à A l’algèbre des opérateurs
diagonaux.
On peut présenter la démonstration de ce fait comme suit : on part d’une algèbre
A que l’on suppose seulement autoadj ointe, commutative et uniformément fermée. En
tant que *-algèbre normée et espace vectoriel ordonnée A est alors isomorphe à l’al-
~
gèbre de toutes les fonctions continues "nulles à l’infini" sur un espace lo-
00
calement compact ,le spectre de A . Pour g soit T l’opérateur de H
qui lui correspond dans cet isomorphisme ; pour a, b E. H on considère la forme
linéaire u (g) = (T a c’est donc par définition même une mesure
de Radon bornée sur .Cl.. Pour h borélienne et bornée sur considérons alors
bilinéaire §
la forme h (x) du a,b (x) sur H. Elle est continue donc de la forme
b ~ où Th est un opérateur borné de H . On a donc prolongé la correspon-
3K
dance g ~ T de e avec A en une correspondance entre l’algèbre des fonc-
g co
tions boréliennes et bornées sur .~. avec une algèbre d’opérateurs que l’on démontre
facilement être le bicommutant A" de A , correspondance qui possède toutes les pro-
priétés algébriques et de continuité souhaitées. En particulier, si h est la fonc-
tion caractéristique fw d’un ensemble borélien, E (W) _ s’ appelle un pro-
jecteur spectral. De plus, si un opérateur self-adjoint non borné P commute (au sens
strict, i.e. avec conservation du domaine de définition) à tous les opérateurs uni-
taires qui commutent à A, il existe une fonction p(x) borélienne mais non bornée
nécessairement sur .iZ telle que P = Tp en un sens convenable qui concerne aussi
le domaine de définition de P .
H étant séparable, on peut trouver une suite de vecteurs de H qui jouit
de la propriété suivante : H désignant le sous-espace fermé engendré par Ax ,
les Hn forment une partition orthogonale de H . Le sous-espace formé des sommes
finies 03A3
a.x ta. E A) se notera H . On peut alors choisir des scalaires k > 0
Lk n
tels que la somme soit finie, ce qui implique que la série
converge et représente une mesure positive et bornée. Pour que (03C9) = 0 pour
un ensemble ta , il faut et il suffit que xn,xn (03C9) = 0 pour tout n, ce qui
équivaut à xn? = 0 ou encore à = 0 , ou finalement puisque
E (w) commute à A , c.eci équivaut à E (W) - 0 .Il Si y n’ est pas uniquement dé-
terminée, ses ensembles de mesure nulle par contre le sont donc ; , (W) - 0 im-
plique = E(03C9)a , b> = 0s donc les mesures a,b sont toutes absolument
continues par rapport à et il existe dl après LEBESGUE-NIKODYM des éléments
£ E L ( ) qui sont des densités pour a,b . On va, ce qui est fondamental pour
la suite, choisi.r simultanément des représentants mesurables pour les b , pour
représentants ~
a et b dans H : en effet on choisit ces lorsque a et b
xn
sont pris dans la suite ce qui est possible puisque cette suite est dénombrable,
b = 03A3Thn
03A3Tgn
puis si a’; x et x (sommes finies) on pose
ce qui a un sens puisque les décompositions de a et b sont uniques et que les
fonctions gn et hm sont continues (et sont donc déterminées partout sur -OL et
non seulement à un ensemble de mesure nulle près).
Pour x fixe dans .5~. , l’expression est une forme hermitienne positive
sur H , d’où un espace de Hilbert et une application linéaire a..~ a(x) de
H~ dans H (x) définis à ~ne équivalence près et tels que 8 a ~b ~x) _ ~~~x) ~ ’~ (x)>,
donc
Autrement dit si l’on prend pour /B la famille des a (a E H ) on obtient une
famille fondamentale et l’application ao â se prolonge en une isométrie T de H
Lz
sur ( ) r les opérateurs diagonaux de cette somme mesurable correspondant exac-
tement aux T g (g i.e. aux éléments de l’anneau d’opérateurs engendré par A .
Enfin on peut trivialiser toute somme mesurable au sens suivant : on forme une par-
tition convenable de E (ici = en une suite d’ensembles compacts E,(( = S1 )
et un ensemble N de mesure nulle et l’on peut identifier les H(x) pour x E Ek
à un même espace de Hilbert 36 une famille fondamentale /~’ donnant la même som-
me mesurable que A étant formée des champs de vecteurs constants dans chaque E k
et nuls dans N .
2. Développements suivants les fonctions propres.
Pour pouvoir dire quelque chose de plus précis sur la diagonalisation d’une famille
d’opérateurs, on supposera, ce qui est le cas le plus fréquent dans la pratique,
que l’ espace de Hilbert H est de la forme L z ( ~) où (F ~ ~) est une variété
différentiable munie d’une mesure V. L’espace H est donc pour ainsi dire, repré-
senté comme somme mesurable d’espaces de Hilbert à une dimension et le problème qui
se pose est en os, d’étudier les relations entre deux décompositions en somme me-
surable d’un même espace de Hilbert.
On considère n opérateurs self-adjoints D. J. (non bornés), définis en tous cas
sur l’espace (~)(F) des fonctions COO à support compact sur F et qui commutent
au sens suivant :
(1) Il existe une algèbre autoadj ointe commutative et uniformément fermée A telle
que les opérateurs unitaires qui commutent aux Di soient exactement ceux qui co~-
mutent à A .
Dans ces conditions, Di est de la forme T gi où gi est une
fonction mesurable non nécessairement bornée sur le spectre .C1. de A . L’application
g : x -~(gi(x)) permet dans les constructions de la somme mesurable de remplacer
Rn
par un sous-ensemble de i.e. on peut supposer qu’il existe une isométrie T
de H sur une somme mesurable par rapport à une mesure u sur Rn dans
D.T*
laquelle les T sont diagonaux. On suppose aussi que cette somme mesurable est
triviale au sens de la fin du paragraphe 1 et l’on appelle Hk le sous-espace des
f telles que Tf soit nul en dehors de ~.k . On pose enfin 1(x) = (Tf) (x)
(x E Rn et f E Û~ (F)) .Par construction de la somme mesurable on a en tous cas la
formule de Plancherel :
et le problème qui se pose est de donner une forme assez concrète à la transformation
f -+ f . Considérons 03C6 6 t et (dual de et la forme
trilinéaire Hk(~ , ~ , a) = (x) ~ (x) , a> elle est continue
sur 03BE(Rn) x x car si l’ on note 11111 la borne supérieure de |03C6| sur le
oo
compact 03A9k
on a : , , A