Séminaire Bourbaki vol. 1979/80 Exposés 543 – 560: Avec table par noms d'auteurs de 1967/68 à 1979/80

321 Pages·1981·8.297 MB·French-English

by  Pierre Deligne (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
842
I III I I
Seminaire Bourbaki
vol. 1979/80
Exposes 543 - 560
Avec table par noms d'auteurs de 1967/68 & 1979/80
[ --~-I
gadeV-regnirpS
nilreB Heidelberg
New York 1981
AMS Subject Classifications (1980): 41 E 20, 15 N 35, 61 A 52, 3:5 A 35,
55Q40, 57 N00, 47A15, 21 B30, 46L50, 58F22, 58E20, 53C00,
58 F14, 53C20, 58G25, 22E27, 43A85, 35B65
N3ESI 3-540-10292-2 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-38?-10292-2 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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012345-0413/1412
TABLE DES MATIERES
17, 18, 19 novembre 1979
543 DELIGNE, Pierre Le groupe fondamental du compl~ment d'une courbe
plane n'ayant que des points doubles ordinaires est ab~lien
[d'apr~s W. Fulton] .................................................. |
544 DE~ZURE, Michel Caract~risations de l'espace projectif (conjec-
tures de Hartshorne et de Frankel) d'apr~s Shigefumi Mori ............ II
545 GABRIEL, Pierre Alg~bres auto-injectives de representation finie
[d'apr~s Christine Riedtmann] ....................................... 20
546 GROMOV, Micha~l Hyperbolic manifolds according to Thurston and
J~rgensen ........................................................... 40
547 HUSEMOLLER, Dale La d~composition des espaces des lacets et la
torsion impaire des groupes d'homotopie [d'apr~s F. Cohen, J.-C.
Moore, J. Neisendorfer et P. Selick] ................................ 54
548 TOGNOLI, Alberto Algebraic approximation of manifolds and spaces ..... 73
23, 24, 25 f~vrier 1980
549 BEAUZAMY, Bernard Sous-espaces invariants dans les espaces de
Banach .............................................................. 95
550 CARTIER, Pierre La conjecture locale de Langlands pour GL(2)
et la d~monstration de Ph. Kutzko ................................... If2
551 CONNES, Alain Feuilletages et alg~bres d'op~rateurs .................. ]39
552 DESOLNEUX-MOULIS, Nicole Orbites p~riodiques des syst~mes hamil-
toniens autonomes [d'apr~s Clarke, Ekeland-Lasry, Moser,
Rabinowitz, Weinstein] .............................................. 156
553 LEMAIRE, Luc Existence des applications harmoniques et courbure
des vari~t~s ........................................................ 174
554 SULLIVAN, Dennis Travaux de Thurston sur les groupes quasi-
fuchsiens et les vari~t~s hyperboliques de dimension 3 fibr~es
sur l S ............................................................ 196
14, 15, 16 juin 1980
555 BARDOS, Claude Apparition ~ventuelle de singularit~s dans des
probl~mes d'~volution non lin~aires [d'apr~s .S Klainerman,
B. Glassey, .J Chadam, F. John (et d'autres) ] ....................... 215
556 BERARD-BERGERY, Lionel La courbure scalaire des vari~t~s
riemanniennes ....................................................... 225
557 COLIN DE VERDIERE, Y. La matrice de scattering pour l'op~rateur
de SchrSdinger sur la droite r~elle ................................. 246
558 DUFLO, Michel Caract~res des groupes de Lie r~solubles ............... 257
559 FURSTENBERG, Harry Rigidity and cocycles for ergodic actions of
semi-simple Lie groups [after G.A. Margulis and R. Zimmer] .......... 273
560 MEYER, Yves R~gularit~ des solutions des ~quations aux d~riv~es
partielles non lin~aires [d'apr~s J.-M. Bony] ....................... 293
Table par noms d'auteurs .................................................... 303
IV
S~minaire BOURBAKI 543-O1
32e ann@e, 1979/80, ° n 543 Novembre 1979
LE GROUPE FONDAMENTAL DU COMPLEMENT
D'UNE COURBE PLANE N'AYANT QUE DES POINTS
DOUBLES ORDINAIRES EST ABELIEN
[d'apr~s W. FULTON]
par Pierre DELIGNE
Introduction
~ p2(C )
THEOREME 1.- Soit C C u_ne courbe iplane, dont les seules singularit6s sont des
points doubles ~ tangentes distinctes. Alors, le groupe fondamental de ~2(C) - C est
ab6!ien.
Ce th6or~me a @ti inonci par Zariski en 1929 ([8]). Voir aussi [9] Ch. VIII. Sa
d6monstration utilisait le th6or~me de Severi, selon lequel l'espace des courbes planes
irr6ductibles de degr6 donn6, ayant un hombre donni de points doubles, est irr6duc-
tible (Vorlesungen Hber algebraische Geometrie, 192], Anhang F). On ignore toujours
si l'assertion de Severi est vraie ou non.
Le ~I consid6ri dans le th6or~me est le vrai groupe fondamental, celui des
topologues. Si C est remplac6 par un corps alg@briquement clos k de caractiris-
tique O quelconque, le m~me 6nonc6 vaut pour le groupe fondamental alg6brique, celui
qui classifie les rev~tements 6tales : le principe de Lefschetz nous famine ~ supposer
que k = 6 , auquel cas le groupe fondamental algibrique est le compl6t6 profini du
vrai groupe fondamental. En caract~ristique quelconque, on a la variante :
2
THEOREME 2 (Fulton [3]).- Soient k un corps al@6briquement closet, r~___us k , C c
une eourbe Blane, dont les seules sin~ularitis sont des Foints doubles ~ tangentes
distinctes. Alors, le ~roupe fondamental modir6 de 2 - C est ab61ien.
En d'autres termes, les revgtements (au sens 0.2) de p2 , ramifi6s seulement le
long de C , et mod6riment ramifiis, sont ab61iens. Rappelons que le caract6re mod6r6
de la ramification se teste apr~s changement de base, de 2 ~ ses localis6s en les
points g6n6riques des composantes irr6ductibles de C . Ces localis6s sont des traits
( = spectre d'anneau de valuation discrete).
Supposons k de caract6ristique p > O . Si C est comme dans le th6or~me 2,
2
il existe toujours dans l'espace projectif relatif ~ sur Spee(W(k)) un diviseur
croisements normaux relatif ~ , dont C se d6duise par passage ~ la fibre spi-
ciale (voir par exemple M~Iford, App. au chap. VIII de [9]). Ceci permet de d@duire
le th6or~me 2 du th6or~me I par un argument de s6cialisation.
543-02
Une fois que l'on sait que nl 2 ( (¢) - C) est ab61ien, des arguments homolo-
giques donnent imm6diatement sa structure : si C est r6union de courbes irriduc-
tibles de degris dl, .... r d , le groupe ni(~2 (C) - C) est le quotient de r par
le sous-groupe engendr6 par l'616ment (dl,...,dr) .
Dans sa d6monstration du th6or6me 2, Fulton utilise d'une part des mithodes
introduites par Abhyankar [I] pour prouver le cas partieulier du th6or~me 2 o~ l'on
suppose les composantes irriductibles de C lisses - m6thodes dont un expos6 tr~s
clair a 6t6 donn6 ici par Serre ([7]) - d'autre part le th6orSme 3 ci-dessous. Une
analyse de la d~monstration a ensuite permls au r6dacteur d'en donner une variante
qui fournisse le th6or~me .I
Abhyankar et Fulton utilisent tous deux des instances du principe selon !equel,
2
en g6om6trie alg6brique, ce qui est tr~s mobile est eonnexe. Soient C c ~ comme
2
dans le th6or6me 2, D une composante irriductible de C et f : X )--- ~ un rev~-
2
tement ramifi6 seulement le long de C , et de ramification mod6rie. Puisque D C
est tr~s mobile, f-1(D) est connexe. Plus pr6cisiment, le diviseur D C 2 est
-I
ample, le diviseur f (D) c X l'est donc aussi, puisque f est fini, et on applique
Bertini. Par une 6tude locale de f , Abhyankar montre que, si D est lisse, alors
(f-1(D))re d l'est aussi, et conclut que f-1(D) est irr6ductible.
mans le cas g6n6ral, soit g : D~--9 D le normalis6 de D . La m6me itude locale
montre que le produit fibr6 riduit (X x 2 D )red est lisse. C'est donc le normalis6
P
de f-1(D) . Si on peut montrer qu'il est eonnexe, on en diduira que f-1(D) est
irr6ductible, et on peut recopier la fin de la d6monstration d'Abhyankar, telle
qu'elle figure dans [7].
Rappelons la d6finition du produit fibri : si h : X × D~---~ 2 × ~ 2 est le
produit des applications f : X --* 2 et g : D~---) D m 2 , le produit fibr6
X x 2 D~ est l'image inverse h-I(£) de la diagonale • Puisque p2 a beaucoup
d'automorphismes, la diagonale £ C 2 2 ~ x est tr~s mobile, et h-l( £) est connexe.
Ceci termine la dimonstration. Plus pr6cis6ment, on applique ~ h le cas particulier
r = 2 , m : 2 du th6or~me suivant :
THEOP~ME 3 (W. Fulton et J. Hansen [4]).- Soient P = (pm)r le produit de r copies
de l'espace projectif m , 6 l'application diagonale de m dans P , A : 6(~ m)
la diaqonale, Z une vari6ti compl~te irriductible, h : Z ~--- P , n = dim h(Z) t e
-I
c = (r- 1)m la codimension de £ dans P . Si n-c Z I , alors h (A) est
connexe.
Ce th6or~me a de nombreuses autres applications, pour lesquelles je renvoie
[4], et ~ l'article de T. Gaffney et R. Lazarsfeld [5].
Dans la fin de cette introduction, nous expliquons sur un exemple la m6thode
suivie pour transposer la d6monstration de Fulton du thiorSme 2 en une d6monstration
543-03
du th~or~me .I L'exemple est : comment transposer les arguments d'Abhyankar pour
prouver le th6or~me I dans le cas particulier o~ C est lisse (donc irr6ductible).
Soient U un voisinage tubulaire de C dans ~2(C) , U* = U - C et u C U* .
Pour tout rev~tement f : X ---*~2(C) ramifi6 seulement le long de C , on a
(f-1(C) connexe) ~ (f-!(U) connexe) ~ (f-1(U*) connexe) . Le r6sultat clef : quel que
soit le rev~tement X , la courbe f-1(C) est connexe, ~quivaut donc ~ celui-ci :
pour tout quotient fini H de ni(~2([) - C, u) , le morphisme compos~
J,
TTI(U*,u) ) Hi(~2(6) - C, u) H '
est surjectif. Un argument de th6orie de Morse permet de prouver mieux : la surjec-
tivit6 du morphisme j, : ~1(U*,u) ) nI(~2(C) -C, u) .
Une m6trique riemannienne 6tant choisie sur P2(C) , on peut, pour £ > O assez
petit, prendre pour U l'image par l'application exponentielle exp du sous-fibrl
en boules de rayon du fibri normal de C dans ~2(C) . Pour £ assez petit,
exp identifie U* un fibr6 en disques 6point6s orient@s sur C , d'o~ une suite
exacte :
~ n1(U*,u) ~ n1(C,[ ) I ~
( u image de u .) L'image de ~ est centrale ; celle de I 6 ~ est repr~sent~e
par un petit lacet 7 tournant une fois, dans le sens positif, autour de C .
Puisque j, est surjectif, 7 difinit encore un iliment central de ~I(~2(C) - C, u)
Le quotient de ui(~2(C) - C, u) par le sous-groupe distingu6 engendri par ~ (en
' 1 occurence, le sous-groupe cyclique engendri par Y ) est n1(m2(C), u) = [e] et le
cas particulier consid6r6 du th6or~me s'ensuit.
O. Terminoloqie
O.1. Connexe signifie connexe et non vide. De m~me pour irr4ductible.
O.2. Un rev~tement d'un sch@ma S , suppos6 normal et connexe, est un morphisme
f : T ~--- S , de source T normale et connexe, dont la restriction ~ un ouvert
dense de T est 6tale.
O.3. Darts toute la suite de cet expose, nous nous pla~ons sur C . Nous 6crirons
simplement ~n pour ~n(c) . Les sch6mas considir6s sont t ous suppos6s s~par6s.
543-04
.I Th~or~mes du type de Lefschetz et Bertini
Le cas particulier de 1.1, ci-dessous, o~ Z c n est le compliment d'une hyper-
surface est dimontri par Hamm et L~ [6], ~ l'aide de la th6orie de Morse. Notre but
dans ce § est d'en diduire la variante 1.6 du thiorime 3.
Assertion 1.1.- Soit Z C pn un ouvert de Zariski non vide. Si H est un hyperplan
94niral, le mor~hisme naturel ni(z N H) ---~ni(Z) est bijectif pour i < n- I , t~_e
surjectif pour i = n- I .
L'assertion 1.1 est inoncie dans [2], mais la dimonstration de Cheniot ne couvre
que le cas o~ le compliment de Z est de codimension ~ 2 . Sous cette hypoth~se, Z
et Z N H sont simplement connexes, et il est innocent de travailler, co,me il le
fait, avec les I.H plut~t qu'avec les ni . Le cas i = I peut aussi se diduire de
Lq ou [2 bis].
Rappelons que l'adjectif "g6nlral", qualifiant un 61ement H d'une variitl
alg~brique irrlductible S (ici, l'espaee projeetif dual P nv ,) est un quantifi-
cateur. I1 signifie l'existence d'un ouvert de Zariski non vide (et donc dense) S'
de S , tel que pour tout H dans S' , ....
1.2.- Soit y C pn x P nv l'espace des couples (z,H) tels que z £ Z et z £ H .
v n
Le thior~me d'isotopie, appliqui ~ la seconde projection pr 2 : Y --~ ~ , fournit
l'existence d'un ouvert de Zariski non vide U de P nv , au-dessus duquel Y est
un espace fibrl - topologiquement localement trivial. I1 suffit de prendre pour U
l'ensemble des hyperplans transverses aux strates d'une stratification de Whithney
algibrique du compliment de Z dans pn Localement sur U et si on choisit une
-I
trivialisation locale de ce fibri, l'inclusion de Z ]~ H : pr 2 ({HI) dans Z apparalt
comme une application dipendant contin~ment de H d'un espace fixe dans Z . La con-
clusion de 1.1 ne peut donc valoir pour un H dans U que si elle vaut pour tous,
et 1.1 6quivaut ~ dire qu'elle vaut pour tout H dans U .
Supposons que Z dipende de paramitres : on se donne un schima irriductible S ,
un ouvert Z de S x n • on pose Pr2Pr -I I (Is}) = Z(s) et on suppose chaque Z(s)
non vide. $oit y c S x pnx P n~ l'espace des triples (s,z,H) tels que z £ Z(s)
et z [ H . Le thior~me d'isotopie, appliqu6 ~ la projection de Y sur S x P nv
(resp. de Z sur S ,) fournit l'existence d'un ouvert de Zariski non vide U de
v n
S × ~ (resp. V de S ,) au-dessus duquel Y (resp. Z ) est un espace fibr6 -
topologiquement local trivial.
Comme ci-dessus, si s £ V et que (s,H) £ U , la conclusion de 1.1 vaut pour
Z(s) et H . Cette variante - avec param~tres - de 1.1 sera utilis~e implicitement
dans la preuve de 1.4.
Je conjecture que, plus geniralement :
Consecture I • 3.- Soient Z lisse et connexe de dimension n , f : Z ~--- N ~ un
morphisme ~ fibres finies, c un entier, I n_u s0us-espace liniaire de N ! __d e
543-05
codimension c et n* = n - c . Choisissons une metrique riemannienne sur pN , et
N
soit V(~) l'ensemble des points p de ~ tels que d(p,L) < ~ Alors, pour £
assez petit, le morphisme naturel
n~(f-1(V(~))) ~T) (Z)
1 1
est bijectif pour i < n* , et surjectif pour i : n* .
On notera que pour L g6n@ral, l'inclusion de f-1(L) darts f-1(V(£)) est,
pour C assez petit, une 6quivalence d'homotopie : 1.3 est bien une g6n~ralisation
de 1.1.
Si on ne suppose plus f quasi-fini, et que l'ensemble des points de N o6
la fibre de f est de dimension k est de dimension g(k) , il y a lieu de red6finir
n* comme ~tant n* : 2 dim Z - s~p(2k + iF(k) + inf(~(k) , c- I)) - I .
La conjecture 1.3 devrait par ailleurs se d6duire d'un 6nonc6 plus pr6cis, comme
-1
quoi Z se d6duit de f (V([)) par adjonction d'anses tuant des spheres de
dimension A n* .
Nous nous contenterons de r6sultats plus faibles que 1.3. Nous les d6duirons du
cas particulier de 1.1 o~ Z est le compl6ment d'une hypersurface.
Lemme 1.4.- Soient Z normal et connexe, f : Z ~ ~N un morphisme, n la dimension
e~_d f(Z) t~_e c un entier. On suppose que n - c ~ I . i~_S L est un sous-espace
lin6aire de codimension c 9in6ral de N , alors f-1(L) est connexe et, pour
z ~ f-1(L) , le morphisme nature l de n1(f-1(L),z) dans n1(Z,z) est surjeetif.
Ii est loisible de remplacer Z par un ouvert de Zariski non vide Z' : pour L
g6niral, f-1(L) est encore normal, et Z' (resp. Z' N f-1(L) ) se d~duit de Z
(resp. f-1(L) ) par soustraetion d'une pattie algibrique d'intlrieur vide. Vu l'hypo-
these de normaliti, ceci ne change pas les n , ne peut qu'augmenter le u1 et on
o
contemple le diagramme commutatif
n1(Z' A f-1(L) , z) )) U1(f-1(L) , z)
1 i
~1(Z',z) )~ ~I (Z,z)
En particulier, on peut supposer, et on suppose, que Z est lisse. Le lecteur
int6ressi seulement par la preuve du th~orEme I aurait d'ailleurs pule supposer
d'embl4e ; il remplacera "normal" par "lisse" dans la suite du §.
R6tr6cissant Z , on peut supposer, et on suppose, que f(Z) est localement
ferm6 et que Z est un espace fibr6 - topologiquement localement trivial - sur f(Z) .
Si c = I et que f est dominant, f(Z) est un ouvert de Zariski de ~N - r~tr~-
cissant Z , on peut supposer que c'est le compl~ment d'une hypersurface - et il ne
reste qu'~ appliquer 1.1 ~ f(Z) , et ~ comparer les suites exactes longues d'homo-
topie pour Z *--- f(Z) et f-1(L) --~L N f(Z) .
Continuons ~ supposer que c = I . Si f n'est pas dominant, soient A un
543-06
sous-espace lin~aire de dimension N- n- I , B l'espace projectif des sous-espaces
lin~aires de dimension N- n contenant A et q : N - A --~ B : x ~ le sous-espace
le contenant. Pour A disjoint de f(Z) , la restriction de q ~ f(Z) est un
morphisme fini, donc dominant puisque dim f(Z) = dim B , et qf : Z ~--- B est
dominant. Du lemme, appliqu6 ~ qf et ~ c : I , on d6duit la conclusion du lemme
pour L un hyperplan g6n6ral parmi ceux contenant A . Le sous-espace A @tant
seulement assu3etti ~ se trouver dans un ouvert dense d'une grassmannienne convenable,
la conclusion du lemme vaut aussi pour L g6n6ral (cf. 1.2).
On finit la d6monstration par une r6currence sur c : un sous-espace lin@aire
g6n6ral de codimension c - I d'un hyperplan g6n6ral est un sous-espace lin6aire de
codimension c g6n6ral (cf. 1.2).
Lemme 1.5.- Soient Z , f, n t e c comme en 1 . 4. To ut. ............s.ou.s-.es P ace lin6aire ........... L de
codimension c eed N admet un syst~me fondamental de voisina~es ouverts V tels
-I
~ue f (V) soit connexe, et que, pour z { f-1(V) , le morphisme naturel de
~1(f-1(V) , z) dans n1(Z,z) soit surjectif.
Soient Gr la grassmannienne des sous-espaces lin6aires de codimension c de
p N , y C Z x Gr l'ensemble des couples (z,L) tels que f(z) 6 L , et G un ouvert
de Zariski non vide de Gr tel que, au-dessus de G , Y soit un fibr~ - topologi-
quement localement trivial. La conclusion de 1.4 vaut alors pour L C G (cf. 1.2).
Pour chaque ouvert U de Gr , nous noterons U* l'ouvert de N r6union des
L [ U . Nous allons prouver que si U est connexe, la conclusion de 1.5 vaut pour
V = U* . Le lemme en suivra.
-I
Prouvons que, si U est connexe, f (U*) l'est aussi. L'intersection
U' = U N G est connexe, car d6duite de U par soustraction d'une partie (triangu-
lable) de codimension r6elle ~ 2 . D'apr6s 1.4, la r6union f-1(U'*) des f-1(L)
pour L 6 U' est donc connexe. Nous allons montrer qu'elle est dense dans f-1(U*) .
L'image f(Z) de Z n'est pas dans le complement F de G* : puisque
n- c > O , les L 6 G rencontrent f(Z) . Si z 6 Z , l'image d'un quelconque
voisinage de z n'est pas dans F , sinon celle de Z le serait, par prolongement
analytique. Si z 6 f-1(U*) , il existe donc arbitrairement pros un point z' tel
que f(z') 6 G* . Dans l'ensemble des L 6 Gr contenant z' , la trace de G est
dense, puisque non vide. Si z 6 f-l(L) , avec L 6 U , ceci permet de trouver z'
-I
comme ci-dessus, contenu dans un f (L') , avec L' dans G arbitrairement proche
de L . En particulier, on peut prendre L' 6 U' , auquel cas z' 6 f-1(U'*) . Ceci
prouve la densit~ de f-1(U'*) dans f-1(U*) , et la connexitl de f-1(U*) .
Soit enfin L 6 U' . On a f-1(L) C f-1(U*) c Z . D'apr~s 1.4, le ~I de
f-1(L) s'envoie sur celui de Z . Afortiori celui de f-l(u*) .
Nous allons en d~duire une variante du th6or~me 3.