Semantica e Concorrenza Modulo di Semantica

38 Pages·2017·0.35 MB·Italian

by  Pietro Di Gianantonio

Presentazione
Modulo di 6 crediti (48 ore),
Semantica e Concorrenza Semantica dei linguaggi di programmazione
Definire in maniera formale e rigorosa il comportamento dei programmi.
Modulo di Semantica
• Vedremo 3 diversi approcci, metodi, alla semantica.
• Metodi applicati ad una serie linguaggi di programmazione via via piu`
Pietro Di Gianantonio
complessi.
corsodilaureaininformatica
Alcuni argomenti si sovrappongo al corso di Metodi Formali.
Propedeutico a:
• Modulo sulla Concorrenza (Lenisa),
• Interpretazione Astratta (Comini),
• una qualsiasi trattazione formale e rigorosa dei programmi.
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Semantica dei linguaggi di Approcci alla semantica
programmazione
Obiettivo: definire in maniera formale il comportamento dei programmi, e
dei costrutti di programmazione.
In contrapposizione alle definizioni informali, comunemente usate. • Semantica Operazionale. Descrivere come avviene l’esecuzione del
programma,
Utile per:
non su un vero calcalalatore, troppo complesso,
• evitare ambiguit`a nella definizione di un linguaggio di
su una semplice macchina formale (nello stile della macchine di
programmazione:
Turing).
• si mettono in evidenza i punti critici di un linguaggio di
• Semantica Operazionale Strutturata (SOS). La macchina formale
programmazione (es. ambiente statico – dinamico, valutazione e
passaggio dei parametri) costituita da un sistema di riscrittura: sistema di regole, sintattiche,
• utile nella costruzione di compilatori, di riscrittura.
• ragionare sui singolo programmi (definire logiche, principi di
ragionamento, sui programmi):
provare che un certo programma soddisfa una certa propriet`a, una
specifica, che `e corretto.
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Approcci alla semantica SOS pro
• Semantica Denotazionale. Il significato di un programma descritto da
un oggetto matematico.
Funzione parziale, elemento in un insieme ordinato.
Semplice, sintattica, intuitiva.
Un elemento di un insieme ordinato rappresenta il significato di un
programma, di una parte del programma, di un costrutto della Piuttosto flessibile.
programmazione.
• Pu`o facilmente gestire linguaggi di programmazione complessi.
Alternative, action semantics, semantica a giochi, categoriale.
• La struttura delle regole resta costante nei diversi linguaggi.
• Semantica Assiomatica. Il significato di un programma espresso in
termini di pre-condizioni e post-condizioni.
Tante semantiche perch´e nessuna completamente soddisfacente.
Ognuna descrive un aspetto del comportamento dei programmi, ha un
diverso obiettivo.
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SOS contra Semantica denotazionale
Obiettivi:
La semantica dipende dalla sintassi, `e formulata usando la sintassi.
• una semantica indipendente dalla sintassi, si possono confrontare
Difficile correlare programmi scritti in linguaggi differenti.
programmi scritti in linguaggi differenti.
La semantica non `e composizionale (la semantica di un elemento dipende • una semantica composizionale (la semantica di un elemento dipende
dalla semantica dei suoi componenti). dalla semantica dei suoi componenti).
Induce una nozione di equivalenza tra programmi difficile da verificare (ed • piu` astratta, fornisce strumenti per il ragionamento sui programmi.
utilizzare). Caratteristica principale: descrivere il comportamento di un programma
attraverso un oggetto matematico.
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Diverse caratteristiche dei linguaggi di Semantica assiomatica
programmazione
• non terminazione,
Descrizione indiretta di un programma,
• store (memoria, linguaggi imperativi)
mediante un insieme di asserzioni:
• environment, (ambiente)
• non determinismo,
{Pre} p {Post}
• concorrenza,
Fornisce immediatamente una logica per ragionare sui programmi.
• funzioni di ordine superiore (linguaggi funzionali),
• eccezioni, Complementare, e giustificata, dalle altre semantiche.
• ...
Al crescere della ricchezza del linguaggi cresce (rapidamente) la
complessit`a della semantica denotazionale.
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Libro di testo Propedeuticit`a
Glynn Winskel: Alcuni argomenti della logica:
The Formal Semantics of Programming Languages. An introduction.
• calcolo dei predicati,
Un classico, presentazione semplice, completa, con pochi fronzoli, e poche • costruzione insiemistiche: prodotto, somma disgiunta, spazio di
considerazioni generali. funzione, insiemi delle parti,
Tre copie in biblioteca. • grammatiche (libere dal contesto),
• definizione induttive e principio di induzione,
Presentiamo buona parte del libro, saltando le dimostrazioni.
Argomenti aggiuntivi. • dualit`a: linguaggio e modello, (sintassi e semantica).
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Un semplice linguaggio imperativo: IMP IMP
Categorie sintattiche:
Sintassi astratta, piu` semplice della sintassi concreta
Numeri interi (N): n, valori booleani (T), locazioni (Loc): X,
Sintassi incompleta: non definiti la sintassi per le costanti intere, le
Espressioni aritmetiche (AExp): locazioni.
Poco interessanti, ortogonali alla nostra trattazione.
a ::= n | X | a +a | a −a | a ×a
0 1 0 1 0 1 Linguaggio minimale capace di calcolare tutte le funzioni computabili
(Turing-completo), se le locazioni possono memorizzare interi
Espressioni booleane (BExp):
arbitrariamente grandi.
b ::= true | false | a = a | a ≤ a | not b | b or b | b and b
0 1 0 1 0 1 0 1 Manca:
• le variabili (l’ambiente, (environment)),
Comandi (Com):
• definizioni di procedure, funzioni,
c ::= skip | X := a | c ;c | if b then c else c | while b do c
0 1 0 1 • definizioni ricorsive.
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Semantica operazionale per IMP IMP: regole SOS
Un insieme di regole per descrivere il comportamento di espressive
Alle espressioni composte regole di derivazione:
aritmetiche, booleane, comandi.
(cid:104)a ,σ(cid:105) ⇒ n (cid:104)a ,σ(cid:105) ⇒ n
All’espressioni aritmetiche si associano asserzioni, giudizi (judgments) 0 0 1 1
n +n = n
0 1
(cid:104)a +a ,σ(cid:105) ⇒ n
0 1
(cid:104)a,σ(cid:105) ⇒ n
...
dove σ : Loc → N, stato (memoria, store).
Giudizi derivati attraverso regole in deduzione naturale, • Valutare un espressione aritmetica `e banale, quindi: regole banali.
Regole guidate dalla sintassi (stuctured operational semantics). • Ad ogni espressione associata una, o piu` regole determinate dal suo
Alle espressioni base si associano assiomi: connettivo principale.
• Regole sottintendono un algoritmo di valutazione (deterministico).
• Regole assumono che un preesistente meccanismo di rappresentazione
(cid:104)n,σ(cid:105) ⇒ n
dei numeri e di calcolo delle operazione aritmetiche.
Si astrae dal problema di eseguire le operazioni.
(cid:104)X,σ(cid:105) ⇒ σ(X)
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Espressione booleane: regole SOS Esercizi
Dare regole alternative per in connettivo and .
Assiomi ...
Attraverso le regole posso definire in maniera esplicite per le operazione
(cid:104)a ,σ(cid:105) ⇒ n (cid:104)a ,σ(cid:105) ⇒ n
0 1 aritmetiche. Senza demandare alle side condition.
(cid:104)a = a ,σ(cid:105) ⇒ true
0 1 Semplificazione: rappresentiamo i naturali e non gli interi
(cid:104)a ,σ(cid:105) ⇒ n (cid:104)a ,σ(cid:105) ⇒ m
0 1
n (cid:54)= m n ::= 0 | Sn
(cid:104)a = a ,σ(cid:105) ⇒ false
0 1
... Regole per l’addizione, prodotto, confronto.
(cid:104)b ,σ(cid:105) ⇒ t (cid:104)b ,σ(cid:105) ⇒ t
0 0 1 1 n ::= 0 | n : 0 | n : 1
(cid:104)b and b ,σ(cid:105) ⇒ t
0 1
Dove n : 0 = 2× n
dove t ≡ true se t ≡ true e t ≡ true. Altrimenti t ≡ false.
0 1 (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
e n : 1 = 2× n +1
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
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Comandi Comandi, regole
(cid:104)skip,σ(cid:105) ⇒ σ
L’esecuzione di un comando ha l’effetto di modificare la memoria, store:
(cid:104)a,σ(cid:105) ⇒ n
(cid:104)c,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
(cid:104)X := a, σ(cid:105) ⇒ σ[n/X]
Per rappresentare lo store modificato si usa la notazione σ[m/X] (cid:104)c ,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48) (cid:104)c ,σ(cid:48)(cid:105) ⇒ σ(cid:48)(cid:48)
0 1
(cid:104)c ;c , σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)(cid:48)
σ[m/X](X) = m 0 1
σ[m/X](Y) = σ(Y) se X (cid:54)= Y (cid:104)b,σ(cid:105) ⇒ true (cid:104)c ,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
0
(cid:104)if b then c else c , σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
In un approccio completamente operazionale lo stato dovrebbe essere un 0 1
oggetto sintattico:
...
grammatica per definire gli stati,
insieme di regole che ne definiscono il comportamento.
(cid:104)b,σ(cid:105) ⇒ true (cid:104)c,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)(cid:48) (cid:104)while b do c ,σ(cid:48)(cid:48)(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
(cid:104)while b do c, σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
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Equivalenze Esercizi
Dalla semantica, una nozione di equivalenza tra espressioni, comandi.
c ∼ c
0 1
• Codificare in Haskell le regole della semantica operazionale.
se per ogni coppia di store σ,σ(cid:48):
• Posto:
(cid:104)c ,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48) se e solo se (cid:104)c ,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48) w ≡ while b do c
0 1
dimostrare che:
Piu` nozione di equivalenza:
w ∼ if b then c;w else skip
c ≡ c e
0 1
w ∼ if b then w else skip
Se i comandi c e c , formulati nella sintassi astratta, sono uguali.
0 1
σ = σ
0 1
se σ e σ sono la stessa funzione Loc → N
0 1
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Determinismo Big-step, small-step SOS
Formulazione alternativa: descrive un passo di computazione.
Le regole sono deterministiche: (cid:104)c,σ(cid:105) → (cid:104)c(cid:48),σ(cid:48)(cid:105)
Nuove regole per il while
• Formulazione forte:
Per ogni c,σ esiste al piu` un σ(cid:48) ed una singola dimostrazione di: (cid:104)b,σ(cid:105) → true
(cid:104)while b do c, σ(cid:105) → (cid:104)c;while b do c, σ(cid:105)
(cid:104)c,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
Seconda regole per il while ...
• Formulazione debole: Vengono usate entrambe le formulazioni:
Per ogni c,σ esiste al piu` un σ(cid:48) per cui valga
• Per alcuni linguaggi `e piu` semplice fornire la big-step semantics. Piu`
astratta.
(cid:104)c,σ(cid:105) ⇒ σ(cid:48)
• Nei linguaggi per la concorrenza `e fondamentale considerare la
small-step semantics. Contiene informazioni aggiuntive sui passi di
computazione, e sull’ordine di esecuzione.
• pu`o essere non banale dimostrare l’equivalenza tra le due formulazioni.
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Induzione Induzione
In matematica e informatica molte definizione induttive: Sulle strutture induttive:
• numeri naturali, • definizioni per ricorsione,
• liste, • dimostrazioni per induzione.
• grammatiche,
Rafforzamenti, estensioni:
• derivazioni, dimostrazioni
• induzione generalizzata,
Insiemi di costruttori:
∀n.(∀m < n.P(m)) ⇒ P(n)
• zero, successore;
• lista vuota, concantenazione; allora
• costrutti della grammatica; ∀n.P(n)
• assiomi, regol di derivazione. • insiemi ben fondati.
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Semantica denotazionale per IMP Funzioni di interpretazione
A ogni categoria sintattica si associa una funzione di interpretazione:
Associo a espressioni di IMP oggetti matematici (funzioni (parziali))
• A : AExp → (Σ → N)
in maniera composizionale.
(cid:74) (cid:75)
un’espressione aritmetica rappresenta una funzione da stato a numero
Elementi basi della costruzione: intero.
• N = {...,−2,−1,0,1,2,...}, l’insieme dei numeri interi. • B : BExp → (Σ → T)
(cid:74) (cid:75)
• T = {true,false}, l’insieme dei valori booleani. • C : Com → (Σ (cid:42) Σ)
(cid:74) (cid:75)
un comando rappresenta una funzione parziale, da stato in stato.
• Σ = Loc → N, l’insieme dei possibili stati (configurazioni della
memoria,dello store).
Riprendo le idee della semantica operazionale ma le esprimo in maniera
differente.
Notare la differenza tra N e N.
Uso la doppia parentesi per racchiudere gli elementi della sintassi
(cid:74) (cid:75)
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Semantica delle espressioni (aritmetiche, Semantica dei comandi
booleane)
Le funzioni di interpretazione vengono definite per induzione sulla
Comandi rappresentano funzioni parziali.
grammatica (sulla struttura del termine).
Nelle definizioni, rappresento le funzioni parziali attraverso il loro grafi
(l’insieme di coppie “argomento, valore”).
A n (σ) = n
(cid:74) (cid:75)
C skip = {(σ,σ) | σ ∈ Σ}
A X (σ) = σ(X) (cid:74) (cid:75)
(cid:74) (cid:75) C X := a = {(σ,σ[n/X]) | σ ∈ Σ, A a (σ) = n}
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
A ao +a1 (σ) = (A ao (σ))+(A a1 (σ)) C c0;c1 = C c1 ◦C c0
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
... C if b then c0 else c1 = {(σ,σ(cid:48)) ∈ C c0 | B b (σ) = true} ∪
(cid:74) (cid:75) {(σ,σ(cid:48)) ∈ C(cid:74)c (cid:75) | B(cid:74)b(cid:75)(σ) = false}
1
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
B a ≤ a (σ) = (A a (σ)) ≤ (A a (σ))
o 1 o 1
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
Ogni elemento, ogni operatore, viene interpretato con il suo corrispondente
semantico.
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Il caso difficile: il costruttore while Idea di fondo
C while b do c = C if b then c;while b do c else skip =
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) Posto
{(σ,σ) | σ ∈ Σ, B b (σ) = false} ∪
{(σ,σ(cid:48)) ∈ (C while(cid:74) b(cid:75)do c ◦C c ) | B b (σ) = true} Ω ≡ while true do skip
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
Definizione ricorsiva. Definisco
C while b do c
Esistenza delle soluzione:
(cid:74) (cid:75)
• riduco il problema ad un problema di punto fisso, Come limite delle sue approssimazioni:
• considero l’operatore:
C Ω
Γ(R) = {(σ,σ) | σ ∈ Σ, B b (σ) = false}∪ (cid:74) (cid:75)
{(σ,σ(cid:48)) ∈ (R ◦C c(cid:74)) |(cid:75)B b (σ) = true} C if b then c;Ω else skip
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75)
Γ trasforma una relazione tra Σ e Σ in un’ altra relazione. C if b then c;(if b then c;Ω else skip) else skip
(cid:74) (cid:75)
Γ : Rel(Σ,Σ) → Rel(Σ,Σ)
• Definisco C while b do c come minimo punto fisso per Γ.
(cid:74) (cid:75)
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Teoremi di punto fisso (su ordini) Strutture ordinate
Un ordine parziale (P,(cid:118)) `e formato da un insieme P e una relazione
Forniscono soluzione al problema precedente.
binaria (cid:118) su P t.c. per ogni p,q,r ∈ P
• teorema di Knaster-Tarski: in un reticolo completo, ogni funzione
• p (cid:118) p, (riflessiva)
monotona ha un minimo (e un massimo) punto fisso,
• p (cid:118) q e q (cid:118) r allora p (cid:118) r, (transitiva)
(importante in matematica)
• p (cid:118) q e q (cid:118) p allora p = q, (antisimmetrica)
• in un ordine parziale completo ogni funzione monotona e continua ha
un minimo punto fisso. Dato sottoinsieme X di P,
(fondamentale nella semantica denotazionale) • X ha un maggiorante (upper bound) se esiste p ∈ P t.c per ogni
(si indeboliscono le propriet`a dell’ordine, si rafforzano le propriet`a q ∈ X, q (cid:118) p.
della funzione). • l’estremo superiore di X, (cid:70)X se esiste, `e un maggiorante piu` piccolo
di tutti gli altri,
• in uno spazio metrico completo, ogni funzione contrattiva ha un unico
(cid:70)
punto fisso, • q ∈X, q (cid:118) X, inoltre
(cid:70)
• per ogni p se ∀q ∈X . q (cid:118)p allora X (cid:118) p
(usata in analisi)
l’estremo superiore `e unico (dimostrare per esercizio).
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Reticoli Teorema di Knaster-Tarski
Definizione
Definizione
• Un reticolo (lattice) `e un ordine parziale in cui ogni coppia di elementi Una funzione f : P → Q tra ordini `e monotona se rispetta l’ordine.
ha un estremo superiore, ed estremo inferiore (cid:117). Se p (cid:118) p allora f(p ) (cid:118) f(p )
1 2 1 2
(cid:70)
Possiamo scrivere {p,q} come p(cid:116)q.
Teorema (Knaster-Tarski)
Segue che in un reticolo ogni insieme finito ha insieme superiore.
Ogni funzione monotona f su un reticolo completo P possiede un minimo
• Un reticolo completo `e un ordine parziale in cui ogni sottoinsieme ha
(massimo) punto fisso.
estremo superiore.
Si mostra che (cid:100){p | f(p) (cid:118) p} `e un punto fisso per f (ossia
Esercizio. Mostrare che in un reticolo completo ogni sottoinsieme ha anche (cid:100){p | f(p) (cid:118) p} = f((cid:100){p | f(p) (cid:118) p})
estremo inferiore.
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Relazioni Relazioni
Le funzioni parziali non formano un reticolo.
Le relazioni sono un estensione delle funzioni parziali e formano un reticolo.
Definizione (Composizione)
Funzioni e funzioni parziali possono essere viste come casi particolari di
relazioni. Data due relazione R tra X e Y e S tra Y e Z definiamo S ◦R come
Definizione
(x,z) ∈ S ◦R ⇔ ∃y . (x,y) ∈ R ∧(y,z) ∈ S
• Una relazione tra X e Y `e caratterizzata da un sottoinsieme di X ×Y.
• Una funzione parziale f : X (cid:42) Y `e un relazione tale che Notare l’inversione nell’ordine.
∀x ∈ X,y,y(cid:48) ∈ Y . (x,y) ∈ f ∧(x,y(cid:48)) ∈ f → y = y(cid:48)
Nel caso che le relazioni siano funzione, questa composizione coincide con
• una funzione totale `e una funzione parziale tale che ∀x∃y(x,y) ∈ f la composizione di funzioni.
(x,y) ∈ f si scrive anche y = f(x)
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Applicazione alla semantica Strutture per la semantica denotazionale
• E` preferibile usare funzioni parziali e non relazioni.
• l’insieme di relazioni su Σ×Σ forma un reticolo completo,
La soluzione precedente non prova che il punto fisso sia una funzione
• l’operatore:
parziale, potrebbe essere una relazione generica.
• In IMP la semantica di un comando : Σ (cid:42) Σ.
Γ(R) = {(σ,σ) | B b (σ) = false}∪
{(σ,σ(cid:48)) ∈ ((cid:74)R(cid:75)◦C c ) | B b (σ) = true} • Lo spazio delle funzioni parziali forma un ordine,
(cid:74) (cid:75) (cid:74) (cid:75) f (cid:118) g quando le seguenti condizioni equivalenti sono soddisfatte:
`e monotono, • g `e piu` definita di f,
• ∀x.f(x)↓⇒f(x)=g(x)
• il teorema di Knaster-Tarski prova l’esistenza un punto fisso per
• come insieme di coppie (argomento, risultato) f ⊆g
l’operatore Γ (soluzione delle definizione ricorsiva della semantica).
questo spazio non `e un reticolo.
La definizione ricorsiva possiede piu` soluzioni, la soluzione minima `e quella
• E` necessario usare un secondo teorema di punto fisso.
che descrive correttamente il comportamento del programma.
.
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