Selecta Mathematica V

271 Pages·1979·5.395 MB·German

by  Anatole Beck (auth.), Konrad Jacobs (eds.)

Heidelberger Taschenbücher Band 201
Erratum
Heidelberger Taschenbücher,
Bd. 201, Selecta Mathematica V
ISBN 3-540-09407-5
Aufgrund eines Versehens wurde
die Privatadresse von Herrn
Professor Rüssmann in das
Autorenverzeichnis übernommen.
Seine Institutsadresse lautet:
Professor Dr. Helmut Rüssmann
Fachbereich 17 der
Johannes Gutenberg-Universität
lttainz
Saarst.raße 21
D-6500 ltIainz
Selecta
Mathematica V
Herausgegeben von Konrad Jacobs
A. Beck Ein Paradoxon: Der Hase und die
Schildkröte .
a
H. Boerner Variationsrechnung la
Caratheodory und das Zermelo'sche
Navigationsproblem
M. Keane Geodätische Strömungen
H. Rüssmann Konvergente Reihen
entwicklungen in der Störungstheorie der
Himmelsmechanik
Mit 25 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1979
Herausgeber:
Konrad Jacobs
Mathematisches Institut der Universität Erlangen-Nürnberg
Bismarckstraße 11/2
D-8520 Erlangen
AMS Subject Classification (1970): 34D10, 49C05, 49C10,
49H05, 53A05, 53A35, 70F10, 70F15, 70H25, 70M10,
76-01, 76-03
ISBN-13: 978-3-540-09407-4 e-ISBN-13: 978-3-642-67321-4
DOI: 10.1007/978-3-642-67321-4
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Selecta mathematica / hrsg. von Konrad Jacobs. - Berlin, Heidelberg,
New York: Springer. (Heidelberger Taschenbücher; ... )
NE: Jacobs, Konrad [Hrsg.]; Sero
Bd. 5.-Beck, Anatole: Ein Paradoxon, der Hase und die Schildkröte
Beck, Anatole:
Ein Paradoxon, der Hase und die SChildkröte / A. Beck. Variations
rechnung a la Caratheodory und das Zermelo'sche Navigationsproblem /
H. Boerner. Geodätische Strömungen / M. Keane. Konvergente Reihen
entwicklungen in der Störungstheorie der Himmelsmechanik / H. Rüss
mann. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.
(Selecta mathematica; 5) (HeidelbergerTaschenbücher; Bd. 201)
NE: Boerner, Hermann: Variationsrechnung a la Caratheodory und das
Zermelo'sche Navigationsproblem; Keane, Michael: Geodätische
Strömungen; Rüssmann, Helmut: Konvergente Reihenentwicklungen in
der Störungstheorie der Himmelsmechanik; Sero
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1979
2142/3140-543210
Vorwort
Die im vorliegenden fünften Selecta-Band zusammengefaßten
Beiträge behandeln Themen, die etwa durch die Stichworte
"Bewegung, Strömung, Mechanik" zu umreißen sind. Zu jedem
Beitrag gehört eine Vorgeschichte, die ihn mit berühmten
alten Problemstellungen verbindet.
Fährt man von Neapel aus nach Süden über Paestum hinaus die
lukanische Küste entlang, so kommt man nach etwa einer Stunde
zu den ausgegrabenen Ruinen der alten griechischen Stadt
Elea (gegr. 540 v.ehr.), in der die Philosophen Parmenides
(ca. 510 - ca. 440 v.ehr.) und Zenon (ca. 490 - ca. 430 v.
ehr.) gewirkt haben. Von den vier sog. Paradoxien des Zenon
(sie sind in der Physik des Aristoteles überliefert und
kommentiert) gehören drei zum allgemeinen Gesprächsstoff der
sog. Gebildeten: 1. Man kann nicht gehen, denn um ein Stadion
zurückzulegen, muß man erst ein halbes Stadion zurücklegen,
dazu vorher ein Viertelstadion usw., ein unendliches Pensum,
das man nicht bewältigen kann. 2. Achilles kann die Schild
kröte nicht überholen, denn er muß erst einmal deren Start
punkt erreichen, dann ist sie aber schon zu einem neuen Punkt
vorgerückt, den Achilles als nächstes besuchen muß etc.,
wieder ein unendliches und folglich nicht zu bewältigendes
Pensum für den armen Helden. 3. Der abgeschossene Pfeil
bleibt in der Luft stehen, denn aus den in 1. genannten
Gründen kann er keine positive Strecke zurücklegen. - Der
eilige moderne Mensch lächelt natürlich über Zenons an
scheinende Meinung, man müsse überall, wo man hinkommt, erst
einmal eine Tasse Kaffee trinken, und der Mathematiker des
20. Jahrhunderts weiß, daß Zenon eben nur ungeschickt mit den
reellen Zahlen umgegangen ist (man kann seinen Fehler natür-
VI
lich schon mit den rationalen Zahlen machen). Anatole Beck
stellt sich in seinem Beitrag der Herausforderung, die
Aporie Zenons in erstaunliche Mathematik zu verwandeln, und
ich möchte wünschen, daß die seiner vertieften Version der
Fabel vom Hasen und der Schildkröte zugrunde liegenden Ideen
genauso zum allgemeinen Gesprächsstoff wenigstens der Mathe
matiker werden, wie Zenons uraltes Kopfschütteln.
a
Hermann Boerners Beitrag "Variationsrechnung la Caratheodory
und das Zermelo'sche Navigationsproblem" gibt dem Leser Ge
legenheit, fleißig nebenher mit Bleistift und Papier arbei
tend in kurzer Anstrengung Caratheodory's Vision der Varia
tionsrechnung und der klassischen Mechanik zu erarbeiten.
Caratheodory (1873-1950) selbst hat seine Variationsrechnung
als ein mit Recht zu Ruhm gelangtes, aber anstrengendes Buch
veröffentlicht. Um so mehr hatte ich mir für die Selecta
Herrn Boerners Beitrag gewünscht, der diesen Schatz für
Mathematiker, die nicht gleich zu Spezialisten werden wollen,
aufschließt. Als Anwendung wird eine der reizvollsten Frage
stellungen der Variationsrechnung behandelt: Zermelo's Navi
gationsproblem. Ernst Zermelo (1871-1953) hat es 1930/31 ge
stellt und gelöst, u.z. sowohl für gewöhnliche als auch für
Luftschiffe. Die Tatsache, daß letztere als Transportmittel
in unerschlossenen Landstrichen neuerdings wieder Interesse
finden, mag für sich schon Grund genug sein, dies Thema, das
seinerzeit auch von Levi-Civita und v.Mises aufgegriffen
wurde, erneut einem weiteren Leserkreis nahezubringen. Der
Mathematiker wird es zudem begrüßen, einem durch seine
frühen Leistungen in der Mengenlehre (Wohlordnungssatz,
Axiomatisierung) berühmten Meister auf einem völlig anderen
Gebiet erneut zu begegnen. Zu Herrn Boerners "Cara-Beitrag"
erscheinen mir noch zwei Bemerkungen angebracht.
1. Caratheodory's Gesammelte Mathematische Schriften sind
eine kostbare Lektüre und in broschierter Ausgabe erstaunlich
billig zu haben; Band V dieser Schriften enthält u.a. einen
autobiographischen Text, ferner mehrere Schriften, die Cara
theodory's Universalität als Mathematiker, Ingenieur und
Organisator bekunden: frühe Arbeiten über Messungen an der
Cheopspyramide und am Parthenon, ein Memorandum zur Reorga-
VII
nisation der Universität Athen, und seine Theorie des
Schmidt'schen Spiegelteleskops; ich bin versucht zu sagen:
"Wir werden nimmer seinesgleichen sehen".
2. Die klassische Mechanik ist in den letzten Jahrzehnten
unter differentialtopologischen Gesichtspunkten neu durch
drungen und gestaltet worden; als zusammenfassende Dar
stellung sei S. Sternberg, Celestial Mechanics, 2 Bde. New
York (Benjamin) 1969, erwähnt; die Verbindung zur Klassik
hält das berühmte Werk Siegel-Moser, Lectures on Celestial
Mechanics, Berlin-Heidelberg-New York (Springer-Verlag)
a
1971; neuere Entwicklungen der qualitativen Dynamic la
Smale findet man zusammenfassend in dem Buch Z. Nitecki,
Differentiable Dynamics (M.I.T. Press 1971) dargestellt.
Will man in diesen Zweig neuer Mechanik eindringen, so hat
man ein mindestens einjähriges Studium aufwendiger Beweis
techniken zu absolvieren; eine ganz neuartige Klarheit, All
gemeinheit und Strenge sind der Lohn solcher Mühen; Ideen
und Probleme, die vor allem auf H. Poincare (1854-1912) zu
rückgehen, finden in den neuen Theorien ihre reine Dar
stellung und z.T. ihre Lösung; demgegenüber ist H. Boerners
Beitrag an den klassischen Grundgedanken von Lagrange (1805-
1865), Weierstraß (1815-1897) und Hilbert (1862-1943)
orientiert, sowie sie von Caratheodory (1873-1950) neu durch
drungen und erweitert wurden; er steht damit Darstellungen
der Mechanik, die in Lehrbüchern der Physik zu finden sind,
näher als die oben erwähnte Literatur, die übrigens das Ge
biet der Variationsrechnung noch nicht erreicht zu haben
scheint.
Der Beitrag "Geodätische Strömungen" von Michael Keane han
delt von der Bewegung längs kürzester Linien und schließt
damit an klassische Prinzipien der Optik und der Mechanik
an. Geodätische Strömungen sind bis in die jüngste Zeit
Gegenstand intensiver Forschung geblieben. Um sich mit ihnen
adäquat zu beschäftigen, benötigt man normalerweise ein be
achtliches Rüstzeug aus der Differentialgeometrie. Herr
Keane hat es jedoch verstanden, charakteristische Teile der
Theorie mit ganz elementaren Mitteln zugänglich zu machen.
Eine gewisse Vertrautheit mit den komplexen Zahlen genügt
VIII
vollauf. Bewiesen wird die topologische Unzerlegbarkeit der
geodätischen Strömung im Fundamentalbereich einer speziellen
diskreten Gruppe konformer Abbildungen der oberen komplexen
Halbebene. Einfache und aufschlußreiche Uberlegungen über
Bewegungen auf der Kugel, auf dem flachen Torus und über das
Billiard in einem Dreieck umgeben dies zentrale Resultat.
Der Beitrag "Konvergente Reihenentwd.cklungen in der Störungs
theorie der Himmelsmechanik" von Helmut Rüssmann hat kein ge
ringeres Ziel, als die berühmte "KAM-Theorie" (Kolmogoroff
Arnold-Moser-Theorie) wenigstens für den Fall des sog.
restringierten Dreikörperproblems vom Himmel der wenigen
Eingeweihten herunter in unsere Seminare zu holen. Für Pro
seminare und Wochenendstudien ist dieser auf das doppelte
Maß eines normalen Selecta-Beitrags angelegte Text sicher
zu schwer. Der Leser muß zahlreiche einfache Zwischenrech
nungen selbst ausführen. Für Seminarzwecke scheint mir dieser
Beitrag jedoch bestens geeignet; es handelt sich, soviel ich
weiß, um die erste geschlossene und nahezu elementare Dar
stellung eines zentralen Resultats aus jener Theorie, die
man vielleicht als den bedeutendsten Beitrag zur Himmels
mechanik seit Poincare bezeichnen kann. In ihr geht es um
die Existenz quasiperiodischer Bewegungen; sie trägt zur Be
antwortung der seit über 100 Jahren im Zentrum des Interesses
der Himmelsmechaniker stehenden Frage nach der Stabilität
unseres Planetensystems bei. Sie löst insbesondere die
Preisaufgabe von Weierstraß aus dem Jahre 1885 endgültig
(1889 hatte Poincare für seinen Lösungsbeitrag den Preis
erhalten). Der Kenner wird wissen, was gemeint ist, wenn ich
das Stichwort "kleine Nenner" (Weierstraß) anführe und auf
Kolmogoroffs bahnbrechendes Referat auf dem Amsterdamer
Kongreß 1954 hinweise. - Herr Rüssmann gibt in seinem Bei
trag zugleich eine umfassende Einführung in die grundlegen
den Probleme der Himmelsmechanik einschließlich ihrer Ge
schichte. Dabei kommen in einer auf die spezielle Thematik
zugeschnittenen Weise auch allgemeine Ideen der Mechanik
zur Sprache, die im Beitrag von H. Boerner behandelt werden.
Die weitgespannten Ziele dieses Selecta-Bändchens erforder
ten ungewöhnlich intensive Vorarbeiten. Ich habe den Mit-
arbeitern eines Seminars in Erlangen, in dem die Beiträge
erprobt wurden, für viele Hinweise zu danken, voran den
Herrn Dr. C.C.Brown und Dr. E.Zehnder. Ganz besonders fühle
ich mich den Autoren verpflichtet, die z.T. ganz außeror
dentliche Mühen auf sich genommen haben, ohne mir als einern
der Schuldigen gram zu werden. Anatole Beck war so freund
lich, sich eine von mir besorgte Uberarbeitung seines in
reizvollem Privatdeutsch vorgelegten Originalmanuskripts zu
eigen zu machen.
Die Kostenkalkulation hat es leider unvermeidlich gemacht,
vorn normalen Buchdruck auf den Schreibsatz überzugehen. Im
Rahmen dieser Bedingungen wurde ausgezeichnete Verlags
arbeit geleistet. Dem Springer-Verlag gilt mein herzlicher
Dank für die wohlwollende und sorgfältige Betreuung auch
dieses Selecta-Bandes.
Erlangen im Frühjahr 1979 KONRAD JACOBS
Herausgeber
Inhaltsverzeichnis
Ein Paradoxon: Der Hase und die Schildkröte,
von Anatole BECK ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
§ 1. Vorberei tungen •••••••••••••••••••••••••••••••.••• 2
§ 2. Die Schildkröte ••••••.•••••••••••••.••••••.•••••• 5
§ 3. Le lapin agile ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 6
§ 4. Der Hase ••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••• 7
§ 5. Anwendungen des Paradoxons ••••••••••••••••••••••• 10
§ 6. Schlußbemerkung ••••••••••.••••••••••••••••••••••• 20
Li teratur ............................................. 21
variationsrechnung ä la Caratheodory und das
Zermelo'sche Navigationsproblem, von Hermann BOERNER •• 23
I. Gewöhnliche Variationsprobleme ••••••••••••••••••••• 26
§ 1. Problemstellung und Vorbemerkung •••••••••••••• 26
§ 2. Feldtheorie ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33
§ 3. Hamilton'sche Theorie ••••••••••••••••••••••••• 39
II. Variationsprobleme in Parameterdarstellung •••••••• 44
§ 4. Einführung •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 44
§ 5. Die Indikatrix ••••••••••••••••••••••••••••.••• 47
§ 6. Felder und Hamilton'sche Theorie bei
Parameterdarstellung •••••••••••••••••••••••••• 47
III. Zermelo' s Problem •••••••••••••••••••••••••••••••• 52
§ 7. Stationäre Meeresströmung ••••••••.•••••••••••• 52
§ 8. Ein Beispiel •••.••••••.••••••••••••••••••••••• 60
Literatur •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 66