SEKUNDARSTUFE II Du hast die Wahl!

100 Pages·2015·3.37 MB·German

Dr. René M. Schröder, Michael Böttcher
MATHEMATIK
FORMELSAMMLUNG
SEKUNDARSTUFE II
1ü4b.e,r vaorbllesittäented ig
Auflage
ISBN 978-3-947656-03-5 EUR 9,50
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und Vielfalt ihrer Mitarbeiterinnen
und Mitarbeiter fördert. Hierbei unter-
stützen wir auch die Beschäftigung von
Menschen mit Behinderung.
Inhaltsverzeichnis 3
Inhaltsverzeichnis
1 VektorrechnungundanalytischeGeometrie 6
1.1 Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 OperationenmitVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Kugeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Abst¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Analysis 23
2.1 FolgenundReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Kurvenuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Tangente,NormaleundKru¨mmungskreis . . . . . . . . . 37
2.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 LineareAlgebra 48
3.1 Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 RechnenmitMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 LineareGleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Stochastik 60
4.1 BeschreibendeStatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 GrundlagenderWahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . 65
4.3 RechnenmitWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 SpezielleVerteilungsmodelleundZentralerGrenzwertsatz 75
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4 Inhaltsverzeichnis
4.7 N¨aherungsformelnfu¨rdieBinomialverteilung . . . . . . . 79
4.8 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9 Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Aussagenlogik 85
6 KomplexeZahlen 86
6.1 Darstellungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 RechnenmitkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . 88
Wahrscheinlichkeitstabellen 89
SummierteBinomialverteilung(n=1,2,...,7) . . . . . . . . . . 89
SummierteBinomialverteilung(n=8,9,10) . . . . . . . . . . . 90
SummierteBinomialverteilung(n=15,20) . . . . . . . . . . . 91
SummierteBinomialverteilung(n=25,50) . . . . . . . . . . . 92
SummierteBinomialverteilung(n=50) . . . . . . . . . . . . . 94
VerteilungsfunktionΦ(z)derStandardnormalverteilung . . . . 95
QuantilezpderStandardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . 96
Stichwortverzeichnis 98
Hinweis: Eine fu¨r alle Schulen einheitliche Symbolisierung ist leider
nichtrealisierbar.InsofernbittenwirumVerst¨andnis,fallsdieSymbole
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6 1.VektorrechnungundanalytischeGeometrie
1 Vektorrechnung und analytische
Geometrie
−A−→B: VektorzwischendenPunktenAundB
(cid:29)o: Nullvektor
(cid:29)a: L¨ange(Betrag)vonVektor(cid:29)a
(cid:29)a| |(cid:29)b: SkalarproduktderVektoren(cid:29)aund(cid:29)b
(cid:29)a· (cid:29)b: Vektorprodukt(Kreuzprodukt)derVektoren(cid:29)aund(cid:29)b
×
(cid:29)n: NormalenvektoreinerGeraden/Ebene
(cid:29)n0: NormaleneinheitsvektoreinerGeraden/Ebene
1.1 Vektorr¨aume
Definition eines Vektorraumes:
EinenichtleereMengeV heißtVektorraumu¨berdenreellenZahlenR,
wenn
(a)fu¨rderenElemente(denVektoren)(cid:29)a,(cid:29)b,...eineAddition(cid:29)a+(cid:29)b V
∈
undeineMultiplikationmitdenreellenZahlenr (cid:29)a V definiert
· ∈
istund
(b)fu¨rbeliebige(cid:29)a,(cid:29)b,(cid:29)c V undr,s Rgilt:
∈ ∈
(1)(cid:29)a+(cid:29)b=(cid:29)b+(cid:29)a (KommutativgesetzderAddition)
(2)((cid:29)a+(cid:29)b)+(cid:29)c=(cid:29)a+((cid:29)b+(cid:29)c) (AssoziativgesetzderAddition)
(3)EsgibteinElement(cid:29)o V,sodassfu¨rjeden(cid:29)a V gilt:
∈ ∈
(cid:29)a+(cid:29)o=(cid:29)a (NullelementderAddition)
(4)Zujedem(cid:29)a V existiertein (cid:29)a V,sodassgilt:
∈ − ∈
(cid:29)a+( (cid:29)a)=(cid:29)o (InversesElementderAddition)
−
(5)1 (cid:29)a=(cid:29)a (Einselement)
·
(6)r(s(cid:29)a)=(rs)(cid:29)a (AssoziativgesetzderMultiplikation)
(7)(r+s)(cid:29)a=r(cid:29)a+s(cid:29)a (Distributivgesetz)
(8)r((cid:29)a+(cid:29)b)=r(cid:29)a+r(cid:29)b (Distributivgesetz)
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(cid:25)
1.VektorrechnungundanalytischeGeometrie 7
Linearkombination:
EinVektor(cid:31)bheißtLinearkombinationderVektoren(cid:31)a1,(cid:31)a2,...,(cid:31)anmit
denKoeffizientenr1,r2,...,rn(ri∈R),wenngilt:
(cid:31)b=r1(cid:31)a1+r2(cid:31)a2+...+rn(cid:31)an
Lineare Unabh¨angigkeit:
DieVektorensindgenaudannlinearunabh¨angig,wenndieGleichung
r1(cid:31)a1+r2(cid:31)a2+...+rn(cid:31)an=(cid:31)omitri∈Rnurfu¨rr1=r2=...=rn=0
l¨osbarist.IstdiesnichtderFall,sinddieVektorenlinearabh¨angig.
Sindzwei/dreiVektorenlinearabh¨angig,sobezeichnetmandieseals
kollinear/komplanar.
Basis eines Vektorraumes:
DieVektoren(cid:31)a1,(cid:31)a2,...,(cid:31)annenntmanBasisvektorendesVektor-
raumesV,wennsielinearunabh¨angigsindundjederVektorvec(x) V
∈
alsLinearkombinationderVektoren(cid:31)a1,(cid:31)a2,...,(cid:31)andarstellbarist.
Dimension eines Vektorraumes:
DieDimensionneinesVektorraumesV istgleichderAnzahlder
BasisvektorenvonV.
1.2 Vektoren
Definitionen:
Vektor:
EineMengevonPfeilen,diediegleicheRichtung,diegleicheL¨ange
(Betrag)unddenselbenRichtungssinnhaben,stellendengleichen
Vektordar.JederPfeildieserMengeisteinRepr¨asentantdesVektors.
Nullvektor:
DerNullvektor(cid:31)ohatdenBetrag0undeineunbestimmteRichtung.
Einheitsvektor:
DerEinheitsvektorhatdenBetrag1undeinebeliebigeRichtung.
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(cid:30)
8 1.VektorrechnungundanalytischeGeometrie
Gegenvektor:
DerGegenvektor(cid:31)bdesVektors(cid:31)ahatdiegleicheRichtungunddie
gleicheL¨angewie(cid:31)a,jedochdenentgegengesetztenRichtungssinn.
Esgilt: (cid:31)a= (cid:31)b
−
Koordinatendarstellung eines Vektors:
ax
(cid:31)a=ay ax,ay,az: Koordinatenvon(cid:31)a
az
 
Komponentendarstellung eines Vektors:
Sind(cid:31)e1,(cid:31)e2und(cid:31)e3dieEinheitsvektoreninRichtungderKoordinaten-
achsen,dannlautetdieKomponentendarstellungfolgendermaßen:
(cid:31)a=ax(cid:31)e1+ay(cid:31)e2+az(cid:31)e3 ax(cid:31)e1,ay(cid:31)e2,az(cid:31)e3: Komponentenvon(cid:31)a
Ortsvektor:
DerOrtsvektorp(cid:31)desPunktesP(px;py;pz)istderVektorzwischen
demKoordinatenursprung0undPunktP:
px
p(cid:31)=−0→P =ppyz=px(cid:31)e1+py(cid:31)e2+pz(cid:31)e3 y ▲
Vektor zwischen zwei Punkten: f (x ) = y
a b ►x
VektorvonPunktA(ax;ay;az)zuPunktB(bx;by;bz):
−A−→B=−0→B−−0→A=(cid:31)b−(cid:31)a=bbxy−aaxy A b a B
bz az (cid:3) ⃗ ⃗ (cid:10)(cid:135)(cid:132)(cid:135)(cid:144)(cid:3)(cid:22)(cid:139)(cid:135)(cid:3)(cid:138)(cid:139)(cid:135)(cid:148)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:135)(cid:3)(cid:9)(cid:145)(cid:148)(cid:143)(cid:135)(cid:142)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:484)
bx−ax  (cid:10)(cid:135)(cid:132)(cid:135)(cid:144)(cid:3)(cid:22)(cid:139)(cid:135)(cid:3)(cid:138)(cid:139)(cid:135)(cid:148)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:135)(cid:3)(cid:9)(cid:145)(cid:148)(cid:143) (cid:135)a(cid:142)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:484) b
=bbyz−−aayz (cid:10)(cid:135)⃗ (cid:132)(cid:135)(cid:144)(cid:3)(cid:22)(cid:139)(cid:135)(cid:3)(cid:138)(cid:139)(cid:135)(cid:148)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:135)(cid:3)(cid:9)(cid:145)(cid:148)(cid:143)(cid:135)(cid:142)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:484) 0 (cid:10)(cid:135)⃗ (cid:132)(cid:135)(cid:144)(cid:3)(cid:22)(cid:139)(cid:135)(cid:3)(cid:138)(cid:139)(cid:135)(cid:148)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:135)(cid:3)(cid:9)(cid:145)(cid:148)(cid:143)(cid:135)(cid:142)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:484)
 
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(cid:29)
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WIRKLICH
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10 1.VektorrechnungundanalytischeGeometrie
L¨ange (Betrag) eines Vektors:
ax
L¨angedesVektors(cid:31)a: |(cid:31)a|=(cid:31)(cid:31)(cid:31)aayz(cid:31)(cid:31)(cid:31)=(cid:26)y ▲a 2x+a2y+a2z
L¨angedesVektors−A−→B: |−A−→B|=(cid:31)(cid:31)(cid:31) (bx(cid:31)(cid:31)(cid:31)−ax)2+(by−f (ax y) =)2 y +(bz−az)2
(cid:25) a b ►x
1.3 Operationen mit Vektoren
3.2y
3
(cid:31)Aa±dd(cid:31)bi=tionaaaxyzun±dSubbbxyzbtr=aktaa23ia..832oyxyzn112222......6822468±±±:bbbxyz y a ⃗ ▲ (cid:3) a(cid:10) (cid:135)b⃗ (cid:132)⃗ (cid:135)(cid:144)a(cid:3) (cid:22) (cid:139)(cid:135)(cid:3)(cid:138) (cid:139)(cid:135)(cid:148)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:135)(cid:3)(cid:9)(cid:145)(cid:148)(cid:143)(cid:135)(cid:142)(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:484) f b (x ) = y b a⃗ +►x b⃗
Multiplikation mit eine2.6r reellen Zahl:
rS(cid:31)aka=larrpaaarxyzodu=kt:rrraaaxyz 1122....68224 (cid:3) 2 2.2 2.4 2.6 a⃗ 2. 8 3 3.2⃗23.4 2(cid:10)a(cid:135)⃗ (cid:132)(cid:135)3.(cid:144) 6a (cid:3)(cid:22) ⃗ (cid:139)(cid:135) (cid:3)(cid:138) 3(cid:139). (cid:135)8(cid:148) (cid:3)(cid:135) (cid:139)(cid:144) (cid:135)4(cid:3)(cid:9)(cid:145)(cid:148)(cid:143)(cid:135)4(cid:142).2(cid:3)(cid:135)(cid:139)(cid:144)(cid:484) 4.4 4.6 4.8 5 x
DasSkalarprodukt(cid:31)a (cid:31)bisteinereelleZahl:
·
ax bx
(cid:31)a·(cid:31)b=|(cid:31)a|·|(cid:31)b|·cos ((cid:31)a;(cid:31)b)=ay·by=a2x2.2bx2.4 +2.6 2.8a3yb3.2y3.4+3.6a3.8zb4z4.2 4.4 4.6 4.8 5 x
(cid:31) az bz
Eigenschaften: (cid:31)a (cid:31)b=0  (cid:31)a (cid:31)b  mit(cid:31)a,(cid:31)b=(cid:31)o
(cid:31)a·(cid:31)b=(cid:31)b (cid:31)a⇔ ⊥ (Kommu(cid:24)tativgesetz)
((cid:31)a·+(cid:31)b) (cid:31)·c=(cid:31)a (cid:31)c+(cid:31)b (cid:31)c (Distributivgesetz)
r(cid:31)a (cid:31)b=·r((cid:31)a (cid:31)b)· · mitr R
· · ∈
√(cid:31)a (cid:31)a= (cid:31)a
· | |
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(cid:21)