Scientific Works

577 Pages·2002·3.374 MB·English

by  Fushchych W.I., Boyko V.M. (ed.)

W.I. Fushchych
Scientific Works
Volume 4
1990–1992
Editor
Vyacheslav Boyko
Kyiv 2002

W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 1–20.
Редукция и точные решения уравнения
Гамильтона–Якоби
А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ
Проведена классификация с точностью до эквивалентности подалгебр алгебры
AC(1,4),являющейсяалгебройЛигруппыC(1,4)конформныхпреобразованийпро-
странстваМинковскогоR1,4.Сиспользованиемподалгебрранга3алгебрыAC(1,4)
построены анзацы, редуцирующие уравнение Гамильтона–Якоби к обыкновенным
дифференциальным уравнениям. По решениям редуцированных уравнений найдены
широкие классы точных решений уравнения Гамильтона–Якоби. Исследуется также
зависимость между уравнениями Гамильтона–Якоби и эйконала.
Введение
В настоящей работе изучается уравнение Гамильтона–Якоби
1
u + (∇u)2 =0, (1.1)
t 2m
где u = u(t,(cid:1)x), (cid:1)x = (x ,x ,x ), m — постоянная (масса частицы). Максимальной
1 2 3
алгеброй инвариантности уравнения (1.1) является конформная алгебра AC(1,4),
являющаяся алгеброй Ли группы C(1,4) конформных преобразований пространс-
тва Минковского R . Это позволяет использовать подалгебры алгебры AC(1,4)
1,4
для редукции и нахождения точных решений уравнения (1.1). Работа состоит из
7 параграфов. В § 1 выделяются подалгебры алгебры AC(1,4), которые позволяют
находитьвещественныерешенияуравнения(1.1),атакжеисследуетсязависимость
между уравнением Гамильтона–Якоби и релятивистским уравнением Гамильтона
(cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2)
∂u 2 ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2
− − − =1. (1.2)
∂x ∂x ∂x ∂x
0 1 2 3
В § 2 проведена классификация подалгебр алгебры AC(1,4) с точностью до
C(1,4)-еквивалентности.ДвеподалгебрыL ,L ⊂AC(1,4)называютсяC(1,4)-эк-
1 2
вивалентными, если с точностью до C(1,4)-сoпряженности они обладают одними
и теми же инвариантами. В § 3 для каждой подалгебры ранга 3 алгебры AC(1,4)
находится полная система ее инвариантов. Это позволяет в §§ 4–7 построить ан-
зацы, редуцирующие уравнение (1.1) к обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям.Порешениямредуцированныхуравненийполученыширокиеклассыточных
решений уравнения (1.1).
§ 1. Алгебра инвариантности уравнения Гамильтона–Якоби
Максимальной алгеброй инвариантности уравнения Гамильтона–Якоби являет-
ся конформная алгебра AC(1,4) [1], обладающая базисом
1
J =x ∂ −x ∂ , P =∂ , P =−√ (∂ +m∂ ),
ab b a a b a a 0 0 u
2
Препринт90.41,Киев,ИнститутматематикиАНУССР,1990,40c.
2 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
1
P =−√ (∂ −m∂ ), D =−(t∂ +xa∂ +u∂ ),
4 0 u 0 a u
2 (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:4)
1 1
J =t∂ −u∂ , J =−√ x ∂ + t+ u ∂ +mx ∂ ,
04 0 (cid:3) u 0a (cid:1) 2(cid:2) a 0 (cid:4)m a a u
1 1
J =−√ −x ∂ + t− ∂ +mx ∂ ,
a4 2 a 0 m a a u
(cid:5)(cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:6)
√ (cid:1)x2 1 m u2
K =− 2 t2+ ∂ + t+ u xa∂ + (cid:1)x2+ ∂ ,
0 2 0 m a 2 m u
√ (cid:7)(cid:8) (cid:9) (cid:10) (cid:11) (cid:8) (cid:9) (cid:12)
K = 2 t2− (cid:1)x2 ∂ + t− 1u xa∂ + m(cid:1)x2− u2 ∂ ,
4 (cid:1)2 0 (cid:2) m a 2 m u
2
K =−2x D+ tu−(cid:1)x2 P ,
a a m a
где (cid:1)x2 =x2+x2+x2 (a,b=1,2,3).
1 2 3
Алгебра AC(1,4) содержит алгебру Пуанкаре AP(1,4) = (cid:4)P ,P ,P ,P ,P (cid:5)+⊃
0 1 2 3 4
AO(1,4), где AO(1,4) = (cid:4)J |µ,ν = 0,1,...,4(cid:5), расширенную алгебру Пуанкаре
µν
AP˜(1,4) = AP(1,4)+⊃ (cid:4)D(cid:5), а также оптическую алгебру AOpt(3), обладающую
базисом
(cid:3)(cid:1) (cid:2) (cid:4)
√
1 m
S +T =− 2 t2+ ∂ +txa∂ + (cid:1)x2∂ ,
1 1 2 0 a 2 u
Z =−J −D =x ∂ +x ∂ +x ∂ +2u∂ ,
1 04 1 1 2 2 3 3 u
C =J −D =2t∂ +x ∂ +x ∂ +x ∂ ,
1 0√4 0 1 1 2 2 3 3
√
2
T =− ∂ , M =− 2m∂ , P =∂ ,
1 2 0 1√ u a a
G =J +J =− 2(t∂ +mx ∂ ), J .
a 0a a4 a a u ab
ВпредлагаемойработеполалгебрыконформнойалгебрыAC(1,4)используются
для редукции и поиска точных решений уравнения (1.1). Уравнение (1.1) неинва-
риантно относительно преобразования Ψ: t→−t, x →x , u→u, а потому неин-
a a
вариантноотносительногруппыC(1,4).Этоозначает,чтоподалгебрыконформной
алгебры AC(1,4) следует изучать с точностью до G -эквивалентности, где G —
1 1
собственный нормальный делитель группы C(1,4), причем G λ{Ψ}=C(1,4). При
1
этом две подалгебры L ,L ⊂ AC(1,4) называются G -эквивалентными, если с
1 2 1
точностью до G -сопряженности они обладают одними и теми же инварианта-
1
ми. Эта задача эквивалентна задаче классификации подалгебр алгебры AC(1,4) с
точностью до C(1,4)-эквивалентности, которую мы и будем в дальнейшем рассма-
тривать. Исходя из этого, проводим вначале классификацию подалгебр, алгебры
AC(1,4) с точностью до C(1,4)-эквивалентности, выписываем редуцированные
уравнения, соответствующие этим подалгебрам, и находим, где это возможно, то-
чные решения уравнения (1.1). Преобразование Ψ легко учесть в окончательном
результате, подействовав, если это необходимо, на редуцированные уравнения или
найденные решения уравнения (1.1).
Так как мы ищем только вещественные решения уравнения (1.1), то достаточно
ограничиться рассмотрением лишь тех подалгебр L ⊂ AC(1,4), которые с точно-
стью до C(1,4)-эквивалентности не содержат P и P +P . Действительно, пусть,
0 0 4
например, P ∈L. Поскольку P = √1 (∂ +m∂ ), то полная система инвариантов
0 0 0 u
2
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 3
алгебры (cid:4)P (cid:5) состоит из функций mx −u, x , x , x . Любое решение уравнения
0 0 1 2 3
(1.1), инвариантное относительно L, инвариантно и относительно (cid:4)P (cid:5) и потому
0
имеет вид u = mx −f(x ,x ,x ). Но тогда 2m2 +(∇u)2 = 0, и мы приходим к
0 1 2 3
противоречию. Аналогично рассматривается случай P +P ∈L.
0 4
Уравнение(1.1)тесносвязаносрелятивистскимуравнениемГамильтона.Чтобы
установить эту связь между двумя уравнениями, рассмотрим пространства X ×U
t
и X × V, где и X = {(x ,x ,x ,x )} и X = {(t,x ,x ,x )} — пространства,
0 1 2 3 t 1 2 3
представляющие независимые переменные, а U = {u} и V = {v} пространства
зависимых переменных. Отображение θ : (t,(cid:1)x,u) → (x ,(cid:1)x,v), определенное с по-
0
мощью формул
(cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9)
1 u 1 u
x = √ t+ , x =x , v = √ t− ,
0 2 m a a 2 m
является отображением пространства X ×U на пространство X ×V. В предпо-
t
ложении, что ∂v +1 (cid:9)= 0, подстановка θ переводит уравнение (1.2) в уравнение
(1.1). Аналогич∂нxо0, отображение θ : (x ,(cid:1)x,v) → (t,(cid:1)x,u), определенное с помощью
1 0
формул
1 m
t= √ (x +v), x =x , u= √ (x −v),
0 a a 0
2 2
является отображением пространства X × V на пространство X × U, и если
t
m+u (cid:9)= 0, то подстановка θ переводит уравнение (1.1) в (1.2). Так как θθ —
t 1 1
тождественное преобразование пространства X ×V, а θ θ — тождественное пре-
1
образование пространства X ×U, то θ =θ−1.
t 1
Исследуем зависимость между уравнениями (1.1) и (1.2) более подробно. С
этой целью рассмотрим пространства X ×U ×U(1) и X ×V ×V(1), координаты
t
которых представляют независимые переменные, зависимые переменные и прои-
зводные первого порядка от зависимых переменных. Выделим в X × U × U(1)
t
открытое подпространство M , состоящее из тех векторов (t,(cid:1)x,u,u ,u ,u ,u )
1 0 1 2 3
у которых u +m(cid:9)=0, а в X ×V ×V(1) — открытое подпространство M , состо-
0 2
ящее из тех векторов (x ,(cid:1)x,v,v ,v ,v ,v ), у которых v +1 (cid:9)= 0. Покажем, что
0 0 1 2 3 0
отображениеθ :X ×U →X×V можнопродолжить доотображенияθˆ:M →M .
t 1 2
Возьмем произвольную функцию u=f(t,(cid:1)x), и пусть
Γ ={(t,(cid:1)x,f(t,(cid:1)x))|(t,(cid:1)x)∈Ω}⊂X ×U
f t
— ее график, где Ω — область определения функции f. Отображение θ переводит
Γ в
f
θ·Γ ={x ,(cid:1)x,v)=θ(t,(cid:1)x,v)|(t,(cid:1)x,u)∈Γ }.
f 0 f
Множество θ·Γ в общем случае не является графиком какой-либо однозначной
f
функции v = fˆ(x ,(cid:1)x). Однако, поскольку m+u (cid:9)= 0, то результат преобразо-
0 t
вания θ · Γ = Γ является графиком некоторой однозначной гладкой функции
f fˆ
v =fˆ(x ,(cid:1)x). Докажем это. Действительно, имеем
0
(cid:1) (cid:2)
m 1
√ (x −v)−u √ (x +v),x ,x ,x =0. (1.3)
0 0 1 2 3
2 2
4 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
Найдем производную по v:
m 1 1
−√ −u · √ =−√ (m+u ).
t t
2 2 2
По условию m+u (cid:9)= 0. Поэтому уравнение (1.3) определяет в некоторой окре-
t
стности точки (x ,x ,x ,x ,v) v как однозначную функцию fˆ от x ,x ,x ,x .
0 1 2 3 0 1 2 3
Функция fˆ называется образом f при отображении θ и обозначается fˆ = θ ·f
[3]. Отметим такжe, что если u = 0, то уравнение Гамильтона–Якоби не имеет
t
действительных решений. Поэтому следует предполагать, что u (cid:9)=0 и m+u (cid:9)=0.
t t
При таком предположении из допущения v −1 = 0 вытекает, что v = 1. В то
0 0
же время из уравнения (1.3) получаем 1 + v = 0, т.е. v = −1. Таким обра-
0 0
зом, v +1 (cid:9)= 0. Продолжение θˆ : M → M отображения θ определяется так,
0 1 2
что оно преобразует производные функции u = f(t,(cid:1)x) в соответствующие прои-
зводные преобразованных функций v = f(x ,(cid:1)x). Продолженное действие отобра-
0
жения θ определено корректно. Действительно, пусть (t0,(cid:1)x0,u0,u0,u0,u0,u0) —
1 2 2 3
заданная точка в M . Выберем произвольную гладкую функцию u = f(t,(cid:1)x),
1
определенную в окрестности точки (t0,(cid:1)x0), график которой лежит в M и ко-
1
торая имеет данные производные u0, u0, u0, u0 в точке (t0,(cid:1)x0). Преобразованная
0 1 2 3
функция θ · f определена в окрестности соответствующей точки (x0,(cid:1)x0,v0) =
0
θ(t0,(cid:1)x0,u0). Мы определим теперь действие продолженного преобразования θˆ на
точку (t0,(cid:1)x0,u0,u0,u0,u0,u0) вычисляя производные преобразованной функции
0 1 2 3
θ·f в точке (x0,(cid:1)x0). Пользуясь цепным правилом, получаем, что это определение
0
зависит лишь от производных функции f в точке (t0,(cid:1)x0), т.е. от самой точки
(t0,(cid:1)x0,u0,u0,u0,u0,u0), и, следовательно, не зависит от выбора функции f, пред-
0 1 2 3
ставляющей точку (t0,(cid:1)x0,u0,u0,u0,u0,u0).
0 1 2 3
Максимальной алгеброй инвариантности уравнения (1.2) является конформная
алгебра AˆC(1,4) [4], реализующаяся следующими операторами:
Pˆ =∂ , Jˆ =gανx ∂ −gβνx ∂ , Dˆ =−xα∂ ,
α α αβ ν β ν α α
Kˆ =−2(gαβx )Dˆ −(gβνx x )∂ ,
α β β ν α
где x = u, g = −g = −g = −g = −g = 1, g = 0 при α (cid:9)= β
4 00 11 22 33 44 αβ
(α,β,ν = 0,1,...,4). Пусть ∆ и ∆ — многообразия, которые определяются
1 2
уравнениями (1.1) и (1.2) соответственно, M(cid:2) — множество, состоящее из всех
1
точек многообразия ∆ , для которых u +m (cid:9)= 0, а M(cid:2) — множество, состоящее
1 t 2
из всех точек многообразия ∆ , для которых u +1(cid:9)=0. Очевидно, M(cid:2) =M ∩∆ ,
2 0 1 1 1
M(cid:2) =M ∩∆ ,всилувышеизложенногоθˆотображаетM(cid:2) наM(cid:2).Инвариантность
2 2 2 1 2
уравнения (1.1) относительно группы G = expAC(1,4) означает, что многообра-
1
зие ∆ инвариантно относительно действия продолженной группы G˜ . Аналоги-
1 1
чно, многообразие ∆ инвариантно относительно продолженной группы G˜ , где
2 2
G = expAˆC(1,4). Отсюда вытекает, что если g ∈ G˜ , то θˆg θˆ ∈ G и обратно,
2 1 1 1 1 2
если g ∈ G˜ , то θˆ g θˆ∈ G˜ . Таким образом, отображение θ индуцирует изомор-
2 2 1 2 1
физм ϕ : X → θXθ алгебры AC(1,4) на алгебру AˆC(1,4), который действует
θ 1
следующим образом:
P →−Pˆ , P →−Pˆ , J →Jˆ , J →−Jˆ , J →Jˆ ,
0 0 4 4 ab ab a4 a4 04 04
J →−Jˆ , K →−Kˆ , K →−Kˆ , K →Kˆ .
0a 0a 0 0 4 4 a a
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 5
Докажем, например, что ϕ (P ) = −Pˆ . Действительно, пусть f(x ,(cid:1)x,v) — прои-
θ 0 0 0
звольная дифференцируемая функция. Тогда
(cid:1) (cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9)(cid:2)
1 u 1 u
θ f(x ,(cid:1)x,v)=f √ t+ ,(cid:1)x,√ t− ,
1 0 2 m 2 m
и, значит, P ·θ f(x ,(cid:1)x,v)=− ∂f . Следовательно, θP θ =− ∂ =−Pˆ , а потому
0 1 0 ∂x0 0 1 ∂x0 0
ϕ (P )=−Pˆ .
θ 0 0
Пусть H произвольная подалгебра алгебры AC(1,4), тогда ϕ (H) = Hˆ явля-
θ
ется подалгеброй алгебры AˆC(1,4), причем ранги алгебр H и Hˆ совпадают. Из
предыдущих результатов вытекает, что если ω ,...,ω — полная система инва-
1 s
риантов алгебры H, то θ(ω ),...,θ(ω ) — полная система инвариантов алгебры
1 s
Hˆ. Анзац ωs =ϕ(ω1,...,ωs−1), соответствующие подалгебре H, редуцирует урав-
нение (1.1) к дифференциальному уравнению F(ω1,...,ωs−1,ϕ,ϕ1,...,ϕs−1) = 0,
содержащему только переменные ω1,...,ωs−1, функцию ϕ и частные производные
ϕ1,ϕ2,...,ϕs−1 от ϕ по переменным ω1,...,ωs−1 соответственно. Анзац θ(ωs) =
ϕ(θ(ω1),...,θ(ωs−1)), соответствующий подалгебре Hˆ, редуцирует уравнение (1.2)
к дифференциальному уравнению F(θ(ω1),...,θ(ωs−1),ϕ,ϕ1,...,ϕs−1) = 0, име-
ющему тот же вид, что и предыдущее. Это утверждение вытекает из равенства
(cid:1) (cid:2)
4m 1
u2−u2−u2−u2−1=− v + (∆v)2
0 1 2 3 (m+v )2 t 2m
t
и соотношений
√
m−v 2
u = t, u = v (a=1,2,3),
0 m+v a m+v a
t t
которые связывают производные функций u=u(x ,x ,x ,x ) и v =θu.
0 1 2 3
§ 2. Подалгебры конформной алгебры AC(1,4)
В настоящем параграфе мы проводим классификацию подалгебр алгебры
AC(1,4) с точностью до C(1,4)-эквивалентности. Как уже отмечалось в § 1, мы
рассматриваем лишь те подалгебры L⊂AC(1,4), которые с точностью до C(1,4)-
эквивалентностинесодержатP иP +P .Прирешенииэтойзадачииспользуется
0 0 4
классификация подалгебр конформной алгебры AC(1,4) с точностью до C(1,4)-
сопряженности, изложенная в [5]. Положим H =J −J .
a 0a a4
I. Подалгебры ранга 4 алгебры AC(1,4):
1) (cid:4)P ,P ,P ,P (cid:5); 2) (cid:4)J ,P ,P ,P (cid:5); 3) (cid:4)G ,J ,P ,P (cid:5);
1 2 3 4 04 1 2 3 3 04 1 2
4) (cid:4)J ,J ,J ,P ,P (cid:5),
03 0,4 34 1 2
5) AO(cid:2)(1,3)⊕(cid:4)P (cid:5), где AO(cid:2)(1,3)=(cid:4)J |α,β =0,1,2,4(cid:5); 6) AO(1,4);
3 αβ
7) (cid:4)J ,D,P ,P (cid:5); 8) (cid:4)D,P ,P ,P (cid:5); 9) (cid:4)J ,D,P ,P (cid:5);
12 3 4 1 2 3 04 1 2
10) (cid:4)J +αD ,P ,P ,P (cid:5); 11) (cid:4)J ,J ,D,P (cid:5); 12) (cid:4)G ,J ,D,P (cid:5);
04 1 1 2 3 04 12 3 3 04 1
13) (cid:4)G +αD,J +βD,P ,P (cid:5) (α2+β2 (cid:9)=0); 14) (cid:4)J ,J ,J ,D,P (cid:5);
3 04 1 2 12 14 24 3
15) (cid:4)J ,J ,J ,D,P (cid:5); 16) AO(4)⊕(cid:4)D(cid:5); 17) (cid:4)J ,J ,J ,J ,D(cid:5);
03 04 34 1 03 04 34 12
18)(cid:4)J ,J ,J ,J ,D(cid:5); 19)AO(cid:2)(1,3)⊕(cid:4)D,P (cid:5); 20)(cid:4)J −D+2T,P ,P ,P (cid:5);
12 13 23 04 3 04 1 2 3
21) (cid:4)J −2D,G +2T,P ,P (cid:5); 22) (cid:4)J +D+M,G ,P ,P (cid:5);
04 3 1 2 04 3 1 2
23) (cid:4)J04−D,G1,G2+P2,P3(cid:5); √ √
24) (cid:4)Z ,S +T +2J ,G +P + 2P ,G −P − 2G (cid:5);
1 1 1 12 1 2 3 2 1 3
25) AO(3)⊕(cid:4)S +T ,Z (cid:5);
1 1 1
6 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
26) (cid:4)P0+K0−√2J12−2J34,P1+K1+2J02,P3+K3+√2J04,J13+J24(cid:5);
27)(cid:4)P +K + 3(P +K )+2J ,−P −K +2J −2 3J ,P +K −4J ,K −
2 2 1 1 03 3 3 02 01 0 0 23 4
P (cid:5);
4
28) (cid:4)J −J +α(P +K )(cid:5)⊕(cid:4)J +J ,J −J ,J +J (cid:5) (α>0);
12 34 0 0 12 34 13 24 14 23
29) (cid:4)P +K (cid:5)⊕AO(3)⊕(cid:4)K −P (cid:5);
0 0 4 4 √ √
30) (cid:4)P +K (cid:5)⊕(cid:4)2J +J ,J +J − 3(K −P ),J +J + 3(K −P )(cid:5);
0 0 12 34 13 24 2 4 4 23 14 2 3 3
31) (cid:4)P +K (cid:5)⊕AO(4);
0 0
32) (cid:4)J ,J ,J ,J ,J ,J ,K −P ,K −P ,K −P ,K −P (cid:5);
12 13 14 23 24 34 1 1 2 2 3 3 4 4
33) (cid:4)P +K ,P +K ,J (cid:5)⊕(cid:4)J ,J ,J (cid:5);
1 1 2 2 12 03 04 34
34) (cid:4)P +K ,P +K ,J (cid:5)⊕(cid:4)K −P ,K −P ,J (cid:5).
1 1 2 2 12 3 3 4 4 34
II. Подалгебры ранга 3 алгебры AC(1,4):
1) (cid:4)J ,P ,P (cid:5); 2) (cid:4)J ,J ,J (cid:5); 3) (cid:4)J ,J ,J ,J (cid:5); 4) (cid:4)J +P ,P ,P (cid:5);
04 1 2 04 12 3 12 13 23 04 04 3 1 2
5) (cid:4)J +αD,P ,P (cid:5) (α(cid:9)=0); 6) (cid:4)J ,D,P (cid:5); 7) (cid:4)J +cJ ,D,P (cid:5) (c>0);
04 1 2 04 1 12 04 3
8) (cid:4)J ,J ,D(cid:5); 9) (cid:4)J ,J ,J ,J +αD(cid:5);
04 12 12 13 23 04
10) (cid:4)J +D+M,J +αM,P (cid:5) (α≥0); 11) (cid:4)J +D,J +M,P (cid:5);
04 12 3 04 12 3
12) (cid:4)P ,P ,P (cid:5); 13) (cid:4)J ,P ,P (cid:5); 14) (cid:4)G ,J ,P (cid:5); 15) (cid:4)J ,J ,J ,P (cid:5);
1 2 4 12 3 4 3 04 1 12 13 23 4
16) (cid:4)G ,J ,J (cid:5); 17) (cid:4)G ,G ,J (cid:5); 18) (cid:4)J ,J ,J ,J (cid:5);
3 04 12 1 2 04 03 04 34 12
19) (cid:4)J +P ,P ,P (cid:5); 20) (cid:4)J +αD,P ,P (cid:5) (α>0); 21) (cid:4)J ,J ,J ,D(cid:5);
12 0 3 4 12 3 4 03 04 34
22) (cid:4)J ,J ,J ,J +αD(cid:5) (α>0); 23) (cid:4)J −D+2T,P ,P (cid:5);
03 04 34 12 04 1 2
24) (cid:4)J ,J ,J ,J −D+2T(cid:5); 25) AO(3)⊕(cid:4)S +T +γM (cid:5) (γ <0);
12 13 23 04 1 1 1
26) (cid:4)S +T ,J ,Z (cid:5); 27) AO(3)⊕(cid:4)S +T +αZ (cid:5);
1 1 12 1 1 1 1
28) (cid:4)S1+T1+J12,Z1,H1+P2(cid:5); √ √
29) (cid:4)S1+T1+2J12+γM1,H1+P2+√2P3,H2−P1−√2H3(cid:5) (γ <0);
30) (cid:4)αZ +S +T +2J ,H +P + 2P ,H −P − 2H (cid:5) (α∈R);
1 1 1 12 1 2 3 2 1 3
31) (cid:4)J +D,H +P ,H +αP +βP (cid:5) (α>0, β ≥0); 32) (cid:4)G ,P ,P (cid:5);
04 1 3 2 2 3 3 1 2
33) (cid:4)G ,G ,G −J (cid:5); 34) (cid:4)J ,J ,J ,J ,J ,J (cid:5); 35) (cid:4)G +2T,P ,P (cid:5);
1 2 3 12 01 02 03 12 13 23 3 1 2
36) (cid:4)G ,G −P ,P (cid:5); 37) (cid:4)G ,J +P ,P (cid:5); 38) (cid:4)G ,G ,J +P (cid:5);
1 2 2 3 3 04 2 1 1 2 04 3
39) (cid:4)J +αD,J +βD,P (cid:5) (α2+β2 (cid:9)=0); 40) (cid:4)G ,J +αD,P (cid:5);
04 12 3 3 04 1
41) (cid:4)J ,J ,D(cid:5); 42) (cid:4)J −2D,G +2T,P (cid:5); 43) (cid:4)J +D+M,G ,P (cid:5);
12 34 04 3 1 04 3 1
44) (cid:4)J ,J −2D,G +2T(cid:5); 45) (cid:4)J +J ,J −J ,J +J (cid:5);
12 04 3 12 34 13 24 23 14
46) (cid:4)P +K +2J ,P +K +2J ,J +J (cid:5); 47) (cid:4)P +K ,J ,J (cid:5);
1 1 03 2 2 04 12 34 0 0 12 34
48) AO(3)⊕(cid:4)P0√+K0(cid:5); 49) (cid:4)P0−K0−α(K4−P4),J12,J√13,J23(cid:5) (α>0, α(cid:9)=1);
50) (cid:4)P2+K2+ 3(P1+K1)+2J03,−√P3−K3+2J02−2 3J01,P√0+K0−4J23(cid:5);
51) (cid:4)2J +J ,2J +2J +2J − 3(K −P ),2J −2J + 3(K −P )(cid:5).
12 34 13 13 24 4 4 23 14 3 3
III. Подалгебры ранга 2 алгебры AC(1,4):
1) (cid:4)P ,P (cid:5); 2) (cid:4)J ,P (cid:5); 3) (cid:4)J ,P (cid:5); 4) (cid:4)J +cJ ,P (cid:5) (c>0);
2 3 12 3 04 1 12 04 3
5) (cid:4)G ,P (cid:5); 6) (cid:4)J ,J (cid:5); 7) (cid:4)J ,J (cid:5); 8) (cid:4)G ,J +cJ (cid:5) (c>0);
3 1 12 34 04 12 3 12 04
9) (cid:4)J ,J ,J (cid:5); 10) (cid:4)J ,J ,J (cid:5); 11) (cid:4)J +P ,P (cid:5); 12) (cid:4)J +P ,P (cid:5);
12 13 23 03 04 34 12 0 3 14 3 2
13) (cid:4)J +M,P (cid:5); 14) (cid:4)J +P ,P (cid:5); 15) (cid:4)G +P ,P (cid:5); 16) (cid:4)G +2T,P (cid:5);
12 3 04 2 1 3 2 1 3 1
17) (cid:4)J +P ,J +δP (cid:5) (δ ≥0); 18) (cid:4)J +P ,J +δP (cid:5) (δ ≥0);
12 0 34 0 04 3 12 3
19) (cid:4)J ,J +P (cid:5); 20) (cid:4)J +M,G +δT(cid:5) (δ =0;2); 21) (cid:4)J ,G +2T(cid:5);
04 12 3 12 3 12 3
22) (cid:4)G +P ,G +µP +δP +δP (cid:5) (µ>0, δ ≥0); 23) (cid:4)G ,J +P (cid:5);
1 3 2 2 2 3 3 04 1
24) (cid:4)J +J ,D(cid:5); 25) (cid:4)J +cJ ,D(cid:5) (0<c<1); 26) (cid:4)J ,D(cid:5);
12 34 12 34 04
27) (cid:4)J +cJ ,D(cid:5) (c>0); 28) (cid:4)J +αD,P (cid:5) (α>0);
12 04 04 1
29) (cid:4)J +cJ (cid:5) (c>0, β >0); 30) (cid:4)J +αD,J +βD(cid:5) (α>0, β ≥0);
12 04 12 34
31) (cid:4)J +αD,J +βD(cid:5) (α>0, β ≥0); 32) (cid:4)J ,J +αD(cid:5);
04 12 04 12
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 7
33) (cid:4)J −D+2T,P (cid:5); 34) (cid:4)J +c(J −D+2T),P (cid:5) (c>0);
04 1 12 04 3
35) (cid:4)J +D+M,J +αM(cid:5) (α≥0); 36) (cid:4)J +D,J +M(cid:5);
04 12 04 12
37) (cid:4)J −2D,G +2T(cid:5); 38) (cid:4)J −D,G +P (cid:5);
04 3 04 3 1
39) (cid:4)J +c(J −2D),G +2T(cid:5) (c>0); 40) (cid:4)S +T +J ,G +P (cid:5);
12 04 3 1 1 12 1 2
41) (cid:4)J ,S+T(cid:5); 42) (cid:4)S +T +J +M,G +P (cid:5); 43) (cid:4)S +T ,Z (cid:5);
12 1 1 12 1 2 1 1 1
44) (cid:4)S +T +αJ ,Z (cid:5) (α>0); 45) (cid:4)S +T +J +λZ ,G +P (cid:5) (λ>0);
1 1 12 1 1 1 12 1 1 2
46) (cid:4)J +αZ ,S +T +βZ (cid:5) (α>0); 47) (cid:4)J ,S +T +αZ (cid:5) (α>0);
12 1 1 1 1 12 1 1 1
48) (cid:4)J +M,S +T +γM(cid:5); 49) (cid:4)J ,S +T +M(cid:5); 50) (cid:4)P +K ,J (cid:5);
12 1 1 12 1 1 0 0 12
51) (cid:4)P +K ,J +αJ (cid:5) (0<α≤1);
0 0 12 34
52) (cid:4)J +α(P +K ),J +β(P +K )(cid:5) (α>0, β ≥0, 2α(cid:9)=1 при β =0).
12 0 0 34 0 0
IV. Подалгебры ранга 1 алгебры AC(1,4):
1) (cid:4)P (cid:5); 2) (cid:4)J (cid:5); 3) (cid:4)J +cJ (cid:5) (0<c≤1); 4) (cid:4)J (cid:5);
1 12 12 34 04
5) (cid:4)J +cJ (cid:5) (c>0); 6) (cid:4)J +P (cid:5); 7) (cid:4)J +P (cid:5); 8) (cid:4)J +M(cid:5);
12 04 12 0 12 3 12
9) (cid:4)J +J +P (cid:5); 10) (cid:4)J +cJ +P (cid:5) (0<c<1); 11) (cid:4)J +P (cid:5);
12 34 0 12 34 0 04 1
12)(cid:4)J +cJ +P (cid:5)(c>0); 13)(cid:4)G +P (cid:5); 14)(cid:4)G +2T(cid:5); 15)(cid:4)G −J +2T(cid:5);
12 04 3 3 1 3 3 12
16) (cid:4)J +cJ +αD(cid:5) (0<c≤1, α>0); 17) (cid:4)J +αD(cid:5) (0<α≤1);
12 34 04
18) (cid:4)J +cJ +αD(cid:5) (0<c≤α); 19) (cid:4)J −D+2T(cid:5);
12 04 04
20) (cid:4)J +c(J −D+2T)(cid:5); 21) (cid:4)S+T(cid:5); 22) (cid:4)S+T +M(cid:5);
12 04
23) (cid:4)S+T +αJ ,M(cid:5) (α>0); 24) (cid:4)S +T +αJ (cid:5) (α>0);
12 1 1 12
25) (cid:4)S +T +J +G +P (cid:5); 26) (cid:4)S +T +αZ (cid:5) (α(cid:9)=0);
1 1 12 1 2 1 1 1
27) (cid:4)S +T +αJ +βZ (cid:5) (α>0, β (cid:9)=0); 28) (cid:4)P +K +αJ (cid:5) (α>0, α(cid:9)=2);
1 1 12 1 0 0 12
29) (cid:4)P +K +αJ +βJ (cid:5) (0<α≤β; α,β (cid:9)=2); 30) (cid:4)P +K (cid:5).
0 0 12 34 0 0
3. Инварианты подалгебр ранга 3 конформной алгебры AC(1,4)
В настоящем параграфе мы находим инварианты подалгебр ранга 3 конформ-
ной алгебры AC(1,4), представленных в § 2. Запись L:f ,...,f будет означать,
1 s
что функции f ,...,f образуют полную систему инвариантов алгебры L. Будем
1 s
предполагать, что AC(1,4) реализуется дифференциальными операторами на мно-
жестве решений уравнения Гамильтона–Якоби.
(cid:4)J ,P ,P (cid:5): tu, x .
04 1 2 3
(cid:10) (cid:11)
(cid:4)J ,J ,P (cid:5): tu, x2+x2 1/2.
04 12 3 1 (cid:10) 2 (cid:11)
(cid:4)J ,J ,J ,J (cid:5): tu, x2+x2+x2 1/2.
12 13 23 04 1 2 3
(cid:4)J +P ,P ,P (cid:5): tu, te−x3.
04 3 1 2
(cid:4)J04+αD,P1,P2(cid:5) (α(cid:9)=0;1): ut11−+αα, tx31−αα.
u
(cid:4)J +D,P ,P (cid:5): , t.
04 1 2 x2
3
tu x
(cid:4)J ,D,P (cid:5): , 2.
04 1 x2 x
3 3
tu x
(cid:4)J +cJ ,D,P (cid:5) (c>0): , 2lnt−ln(x2+x2)+2carctg 2.
12 04 3 x2+x2 1 2 x
1 2 1
tu x2+x2
(cid:4)J ,J ,D(cid:5): , 1 2.
04 12 x2+x2 x2
1 2 3
8 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
(cid:10) (cid:11)
(cid:4)J12,J13,J23,J04+αD(cid:5) (α(cid:9)=1): x2+xtu2+x2, x21+x22+x23 t12−αα.
1 2 3
u
(cid:4)J ,J ,J ,J +D(cid:5): , t.
12 13 23 04 x2+x2+x2
1 2 3 (cid:10) (cid:11) √
(cid:4)J04+D+M,J12+αM,P3(cid:5) (α≥0): x2+u x2, x21+x22 e2αarctgxx21− 2t.
√ 1 2
u x
(cid:4)J +D,J +M,P (cid:5): , 2arctg 2 −t.
04 12 3 x2+x2 x
1 2 1
(cid:4)P ,P ,P (cid:5): u+mt, x .
1 2 4 3
(cid:10) (cid:11)
(cid:4)J ,P ,P (cid:5): u+mt, x2+x2 1/2.
12 3 4 1 2
m
(cid:4)G ,J ,P (cid:5): ut− x2, x .
3 04 1 2 3 2
(cid:10) (cid:11)
(cid:4)J ,J ,J ,P (cid:5): u+mt, x2+x2+x2 1/2.
12 13 23 4 (cid:10) 1 2(cid:11) 3
(cid:4)G ,J ,J (cid:5): ut− mx2, x2+x2 1/2.
3 04 12 2 3 1 2
(cid:10) (cid:11)
m
(cid:4)G ,G ,J (cid:5): ut− x2+x2 , x .
1 2 04 2 1 √2 3 (cid:10) (cid:11)
(cid:4)J +P ,P ,P (cid:5): u+mt− 2marctg x2, x2+x2 1/2.
12 0 3 4 x 1 2
1 (cid:10) (cid:11)
(cid:4)J12+αD,P3,P4(cid:5) (α>0): (u+mt)e−αarctgxx21, ln x21+x22 −2αarctg xx2.
1
2ut−mx2 x
(cid:4)J ,J ,J ,D(cid:5): 3, 1.
03 04 34 x2 x
1 2
2ut−mx2 x (cid:10) (cid:11)
(cid:4)J ,J ,J ,J +αD(cid:5) (α>0): 3, 2αarctg 2 ln x2+x2 .
03 04 34 12 x2+x2 x 1 2
1 2 1
m t1/2
(cid:4)J −D+2T,P ,P (cid:5): u+ √ lnt, .
04 1 2 2 x3
m x2+x2+x2
(cid:4)J ,J ,J ,J −D+2T(cid:5): u+ √ lnt, 1 2 3.
12 13 23 04 2 t
(cid:1)x2 mt(cid:1)x2 √ √
AO(3)⊕(cid:4)S +T +γM (cid:5)(γ <0): , u− − 2γmarctg( 2t).
1 1 (cid:10) 1 (cid:11) 2t2+1 2t2+1
2t2+1 u−mt(cid:1)x2 x2+x2
(cid:4)S +T ,J ,Z (cid:5): , 1 2.
1 1 12 1 (cid:1)x2 x2
(cid:10) (cid:11) 3
2t2+1 u−mt(cid:1)x2 2t2+1 √
AO(3)⊕(cid:4)S +T +αZ (cid:5): , ln −2αarctg( 2t).
1 1 1 (cid:1)x2 (cid:1)x2
(cid:10) √ (cid:11)
2
x + 2x
(cid:4)S +T +J ,Z ,H +P (cid:5): 1 2 ,
1 1 12 1 1 2 (2t2+1)x2
√ (cid:10) (cid:11) (cid:13)√ (cid:10) 3 (cid:11)√ (cid:10) (cid:11)(cid:14)
2 2t2+1 u 2t(cid:1)x2 x2−x2 2t+x x 2t2−1
−m +2 1 2 1 2 .
x2 x2 x2
3 3 √ √3
(cid:4)S +T +2J +γM ,H +P + 2P ,H −P − 2H (cid:5)(γ <0):
1 1 √ 12 (cid:10) 1 1 (cid:11) 2 (cid:10) 3 2 (cid:11) 1 3
2 2tx + 2t2−1 x + √1 2t2+1 x
1 2 3
ω = 2 ,
(2t2+1)3/2
(cid:13) (cid:10) (cid:11) √ (cid:10) (cid:11)
√ m t 2t2−3 (cid:10) (cid:11) 2 1−6t2
u− 2mtω2− √ x2−x2 + x x −
2 (2t2+1)2 1 2 (2t2+1)2 1 2