Table Of Content

W.I. Fushchych Scientific Works Volume 6 1996–2000 Editor Vyacheslav Boyko Kyiv 2004 W.I. Fushchych, Scientific Works 2004, Vol. 6, 1–4. Про новий метод побудови розв’язкiв нелiнiйних хвильових рiвнянь В.I. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК We proposed a new simple method of constructing some classes of exact solutions of multidimensional nonlinear wave equations. Устаттiпропонуєтьсяконструктивнийiпростийспосiбпобудовидеякихкла- сiв точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики, який базується на iдеї редукцiї [1, 2]. Основнi положення нашого пiдходу ми викладатимемо на прикладах рiвнянь Даламбера i Шродiнгера. 1. Розглянемо нелiнiйне рiвняння Даламбера (cid:1)u=F(u), u=u(x0,x1,x2,x3), (1) (cid:1) — оператор Даламбера, F(u) — нелiнiйна гладка функцiя. Побудовi точних розв’язкiв рiвняння (1) присвячено багато робiт (див. [2, 3] i цитовану там лiте- ратуру). Дляпобудовирозв’язкiврiвняння(1)використаємосиметрiйний(абоумовно- симетрiйний) анзац [1, 2]. Нехай цей анзац має вигляд u=f(x)ϕ(ω1,...,ωk)+g(x) (2) або h(u)=f(x)ϕ(ω1,...,ωk)+g(x), де ω1 =ω1(x0,x1,x2,x3), ..., ωk =ωk(x0,x1,x2,x3) — новi незалежнi змiннi, h(u) — деяка задана функцiя. Пiдстановка (2) дозволяє побудувати бiльш загальний анзац, а саме: анзац (2) будемо вважати частинним випадком анзацу u=f(x)ϕ(ω1,...,ωk,ωk+1,...,ωl)+g(x) (3) де ωk+1,...,ωl — невiдомi змiннi, якi необхiдно визначити. Змiннi ωk+1,...,ωl будемо визначати з умови, що редуковане рiвняння, яке вiдповiдає анзацу (3), збiгається з редукованим рiвнянням, що вiдповiдає анзацу (2). Розглянемо, наприклад, симетрiйний анзац u=ϕ(ω1), ω1 =x20−x21−x22−x23. Узагальнений анзац u = ϕ(ω1,ω2) буде редукувати чотивимiрне рiвняння (1) до рiвняння 4ω1ϕ11+8ϕ1+2ϕ12AµBµ+ϕ2(cid:1)ω2+ϕ22(Bµ)2+F(ϕ)=0, A ≡ ∂ω1, B ≡ ∂ω1, ϕ ≡ ∂2ϕ , ϕ ≡ ∂ϕ . (4) µ ∂x µ ∂x kl ∂x ∂x k ∂x µ µ k l k Накладемо на рiвняння (4) умову, щоб воно збiгалося з редукованим рiвнянням 4ω1ϕ11+8ϕ1+F(ϕ)=0. (5) ДоповiдiНАНУкраїни,1996,№10,С.48–51. 2 В.I. Фущич, А.Ф. Баранник При цьому припущенi рiвняння (4) розпадається на два рiвняння 4ω1ϕ11+8ϕ1+F(ϕ)=0, (6) (Bµ)2ϕ22+ϕ2(cid:1)ω2+2ϕ12AµBµ =0. (7) Важливо пiдкреслити, що (6) є звичайним диференцiальним рiвнянням. Очеви- дно, що якщо знайти таке ϕ, яке задовольняє систему (6), (7), то ми побудуємо розв’язок (1). Рiвняння (7) буде виконутуватися для довiльної функцiї ϕ, якщо на змiнну ω2 накласти умови (cid:1)ω2 =0, (Bµ)2 = ∂∂xω1 ∂∂xωµ2 =0, (8) µ A Bµ ≡ ∂ω1 ∂ω2 =0. (9) µ ∂x ∂xµ µ Отже, якщо нову змiнну ω2 вибрати так, щоб задовольнялись умови (8), (9), то багатовимiрне рiвняння (1) редукується до звичайного диференцiального рiв- няння(6)iйогорозв’язкидадутьнамрозв’язкирiвняння(1).Проблемаредукцiї зведена до побудови загальних або частинних розв’язкiв системи (8), (9). Перевизначенасистема(8)детальновивченавроботах[4–6].Рiвняння(8)має унiкальнi властивостi: а) загальний розв’язок (8) задається формулою [5] aµ(ω2)xµ+b(ω2)=0, (10) aµ(ω2)aµ(ω2)=a20−a21−a22−a23 =0; (11) б) довiльна функцiя вiд розв’язку (8) є знову розв’язком [6]. Використаємо формули (10), (11) для побудови у явному виглядi функцiй ω2. З (9)–(11) випли- ває, що b(ω2)=0. Отже, рiвняння aµ(ω2)xµ =a0(ω2)x0−a1(ω2)x1−a2(ω2)x2−a3(ω2)x3 =0, (12) a2−a2−a2−a2 =0, (13) 0 1 2 3 задають умови, коли рiвняння (1) редукується до звичайного диференцiального рiвняння(6).Розв’язавшисистему(12),(13),знаходимоявнийвиглядзмiнноїω2. 2. Побудуємо за наведеним способом деякi класи точних розв’язкiв рiвняння Даламбера (cid:1)u+λuk =0, k (cid:2)=1. (14) Шукаємо розв’язки (14) у виглядi u=ϕ(ω1,ω2), ω1 =βµxµ, βµβµ =−1, (15) β — довiльнi параметри. µ У цьому випадку система для визначення ω2 має вигляд (10), (11) з додатко- вою умовою β ∂ω2 =0, β βµ =−1. (16) µ∂xµ µ Про новий метод побудови розв’язкiв нелiнiйних хвильових рiвнянь 3 Рiвняння (14) редукується до d2ϕ(ω1ω2) −λϕk =0. (17) dω2 1 Багатопараметрична сiм’я розв’язкiв рiвняння (19) має вигляд (cid:1) (cid:2) u= λ(1−k)2(βµxµ+ω2) 1−1k , k (cid:2)=−1, (18) 2(k+1) де ω2 — довiльний розв’язок системи функцiональних рiвнянь a0(ω2)x0−a1(ω2)x1−a2(ω2)x2−a3(ω2)x3 =0, (19) a20−a21−a22−a23 =0, aµ(ω2)βµ =0. Такимчином,формула(18)визначаєрозв’язокрiвняння(14),якщоω2 єбудь- яким розв’язком системи (19). Розв’язки (14), якi одержанi в [2] методом симе- трiйної редукцiї, належать множинi (18). 3. Побудуємо розв’язки (14) за допомогою анзацу u=ϕ(ω1,ω2,ω3). (20) Задамо функцiї ω1 i ω2 у виглядi [7] ω1 =x20−x21−x22, ω2 =x3. (21) Анзац (20), (21) редукує (14) до рiвняння 4ω1ϕ11+6ϕ1−ϕ22+λϕk =0, (22) якщо (cid:3) (cid:4) 2 (cid:1)ω3 =0, ∂ω3 =0, (23) ∂x µ ∂ω1 ∂ω3 ∂ω2 ∂ω3 =0, =0. (24) ∂x ∂xµ ∂x ∂xµ µ µ Розв’язок рiвняння (14) задається формулою λ(1−k)2 (cid:5) (cid:6) u1−k = 4(k−2) x20−x21−x22−(x3+h(ω3))2 , (25) λ(cid:2)=0, h(ω3) — довiльна функцiя вiд розв’язку системи (22), (23). Розв’язки рiвняння Лiувiлля (cid:1)u+λexp(u)=0, побудованi за наведеним способом, задаються формулою 4 u=ln . λ[x20−x21−x22−(x3+h(ω3))2] 4 В.I. Фущич, А.Ф. Баранник 4. Розглянемо нелiнiйне рiвняння Шродiнгера ∂Ψ i =χ∆Ψ+F (|ϕ|)Ψ, Ψ=Ψ(t,x1,x2,x3). (26) ∂t Формула (cid:1) (cid:2) i(x2+x2+x2) 1 2 3 Ψ=exp ϕ(ω1,ω2) 4χt є анзацем для рiвняння (25), якщо ω1 =t, а ω2 задовольняє рiвнянням ∂ω2 i =χ∆ω2, (27) ∂t (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) 2 2 2 ∂ω2 ∂ω2 ∂ω2 + + =0. (28) ∂x1 ∂x2 ∂x3 Редуковане рiвняння має вигляд ∂ϕ 3i i − ϕ−ϕF(|ϕ|)=0. (29) ∂ω1 2ω1 Таким чином, формула (26) задає сiм’ю розв’язкiв нелiнiйного багатовимiр- ного рiвняння Шродiнгера (25), якщо ϕ задовольняє (29), а ω2 є розв’язком (27), (28). 1. ФущичВ.,Симметриявзадачахматематическойфизики,всб.Теоретико-алгебраичес- киеисследованиявматематическойфизике,Киев,Институтматематики,1981,6–28. 2. FushchychW.,ShtelenW.,SerovN.,Symmetryanalysisandexactsolutionsofequationsof nonlinearmathematicalphysics,Dordrecht,KluwerAcademicPublishers,1993,436p. 3. ФущичВ.И.,Симметрияиточныерешениямногомерныхнелинейныхволновыхуравне- ний,Укр. мат. журн.,1987,39,№1,116–123. 4. СмирновВ.И.,СоболевС.Л.,Новыйметодрешенияплоскойзадачиупругихколебаний, Труды сейсмического института АН СССР,1932,20,37–42. 5. Fushchych W., Zhdanov R., Revenko I., On the general solution of the d’Alambert equation with nonlinear eikonal constraint, in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Physics,Kiev,InstituteofMathematics,1992,68–90. 6. Шульга М., Симметрия и некоторые частные решения уравнения Даламбера с нели- нейным условием, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнения математической физики,Київ,Iн-тматем.,1985,36–38. 7. ФущичВ.,БаранникЛ.,БаранникА.,ПодгрупповойанализгруппГалилея,Пуанкареи редукциянелинейныхуравнений,Киев,Науковадумка,1991,300c. W.I. Fushchych, Scientific Works 2004, Vol. 6, 5–9. Симетрiйна редукцiя як метод розмноження розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь В.I. ФУЩИЧ, Л.Л. БАРАННИК Weproposetousethesymmetryreductionmethodtoreproducesolutionsforsystems of linear differential equations on their traces with respect to generators of invari- ancealgebra.Bymeansofthisapproach,newexactsolutionsoftheone-dimensional Schro¨dinger equation with potential are constructed. Постановка задачi.НехайS —системалiнiйнихдиференцiальнихрiвняньз n незалежними змiнними x1,...,xn i m шуканими функцiями u1,...,um. Кожен лiнiйний оператор симетрiї [1] ∂ Y =ξi(x)∂x +B(x), x=(x1,...,xn) i системи S переводить будь-який її розв’язок в розв’язок цiєї ж системи (по iнде- ксах, що повторюються, проводиться пiдсумовування). У цiй роботi метод редукцiї [2] буде використано для вiдтворення розв’язку системиS зайогообразамивiдносногенераторiвалгебрисиметрiїрозглядуваної системи. За допомогою цього пiдходу знайдено новi точнi розв’язки лiнiйного рiвняння Шрoдiнгера з потенцiалом. Обгрунтуванняпiдходу.Надалi,говорячипроалгебрусиметрiйсистемиS, ми маємо на увазi алгебру симетрiй в сенсi Лi [1–3]. Припустимо, що для S iснує нетривiальнаалгебрасиметрiй.Нехайвонапороджуєтьсяскiнченновимiрноюал- геброю Лi K операторiв вигляду ∂ ∂ ξ (x) +b (x)u (1) i ∂x kq q∂u i k i операторами ∂ X =f (x) , j ∂u j (cid:7) (cid:8) де u = f1(x),...,fm(x) є довiльним розв’язком системи S. Для проведення симетрiйної редукцiї нам потрiбнi тiльки такi пiдалгебри Лi алгебри K, якi не мiстять операторiв виду (1) з умовою ξ (x) = 0 для всiх i = 1,...,n. Нехай L — i одна з цих пiдалгебр i нехай Y1,Y2,...,Ys — її базис. Припустимо, що [Y ,Y ]=Cγ Y (α,β,γ =1,2,...,s). (2) α β αβ γ ДоповiдiНАНУкраїни,1996,№12,С.44–49. 6 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник (cid:7) (cid:8) Означення. Слiдом розв(cid:7)’язку f1(x),...,fm(cid:8)(x) на операторовi Yα будемо на- зивати такий розв’язок f(α)(x),...,f(α)(x) системи S, що 1 m (cid:9) (cid:10) Y ,f (x) ∂ =f(α)(x) ∂ . α j ∂u j ∂u j j Якщо ∂ ∂ Y =ξα(x) +bα (x)u , α i ∂x kq q∂u i k то f(α) =ξα(x)∂fj −bαf . (3) j i ∂x jq q i (cid:7) (cid:8) (cid:7) (cid:8) Слiд f1(α)(x),...,fm(α)(x) є, очевидно, образом розв’язку f1(x),...,fm(x) вiдносно оператора ∂ ξα(x) −Bα(x), i ∂x i де Bα(x)=(bα (x)). kq Твердження 1. Послiдовнiсть розв’язкiв (f1α,...,fmα) (α = 1,...,s) системи S є послiдовнiстю слiдiв деякого розв’язку системи S на генераторах Y1,...,Ys вiдповiдно алгебри L тiльки тодi, коли Y (f )−Y (f )=Cγ f (j =1,...,m; α,β,γ =1,...,s). α jβ β jα αβ jγ Справедливiсть твердження 1 випливає з комутацiйних спiввiдношень (2). Твердження 2. Розв’язок системи S є L-iнварiантним тодi i тiльки тодi, коли його слiди на генераторах цiєї пiдалгебри є нульовими. Твердження 3. Розв’язки u = f(x) i u = f(cid:1)(x) системи S мають однаковi слiдинавiдповiднихгенераторахпiдалгебриLтодiiтiлькитодi,колирозв’язок u=f(x)−f(cid:1)(x) є L-iнварiантним. На пiдставi твердження 3 розв’язок вiдтворюється за своїми слiдами на гене- раторахалгебриLнеоднозначно,азточнiстюдододанкiв,щоєL-iнварiантними розв’язками (будемо говорити: з точнiстю до L-iнварiантних розв’язкiв). Теорема. Для того, щоб розв’язок (f1,...,fm) системи S мав слiд (f1α,..., f ) на генераторi Y (α = 1,...,s) пiдалгебри L, необхiдно i достатньо, щоб mα α (f1,...,fm) був L˜-iнварiантним розв’язком, де L˜ — алгебра Лi з базисом ∂ Y˜ =Y +f (α=1,...,s). α α jα∂u j Доведення. Нехай u =f (x) (j =1,...,m) (4) j j Симетрiйна редукцiя як метод розмноження розв’язкiв 7 є L˜-iнварiантним розв’язком системи S. Тодi (cid:11) ∂f (cid:11) ∂f Y˜ (u −f )=bαu +f −ξα j(cid:11) =bαf +f −ξα j =0, α j j jq q jα i ∂xi (4) jq q jα i ∂xi звiдки випливає, що f =ξα∂fj −bαf (=3) f(α). jα i ∂x jq q j i Це означає, що розв’язок (f1α,...,fmα) є слiдом розв’язку (f1,...,fm) на Yα (α=1,...,s). Аналогiчно доводиться i обернене твердження теореми. Наслiдок. L˜-iнварiантнi розв’язки системи S i тiльки вони мають ту вла- стивiсть, що їх слiд на Yα збiгається з (f1α,...,fmα) (α=1,...,s). Розмноження розв’язкiв рiвняння Шродiнгера.Яквстановленов[4,5], одновимiрне рiвняння Шродiнгера з потенцiалом ∂ψ (cid:1)2 ∂2ψ i(cid:1) =− +V(x)ψ (5) ∂t 2m∂x2 має нетривiальну алгебру симетрiй тодi i тiльки тодi, коли V(x) збiгається з однiєю з таких функцiй: c c ax+b, +k2x2, −k2x2, (6) x2 x2 a, b, c, k — дiйснi числа, причому k ≥0, a(cid:2)=0 або a=b=0. Домовимося розв’язком рiвняння (5) називати пару дiйсних функцiй f(t,x), g(t,x), пов’язаних з хвильовою функцiєю ψ(t,x) формулою ψ(t,x) = f(t,x) + ig(t,x). Рiвняння (5) рiвносильне системi Шродiнгера ∂f ∂2g + −gV(x)=0, ∂t ∂x2 (7) ∂g ∂2f − +fV(x)=0. ∂t ∂x2 Використовуючи доведену теорему та наслiдок з неї, знайдемо деякi розв’язки системи (7) для потенцiалiв (6). 1. Випадок V(x) = 0. При цiй умовi система (7) є iнварiантною вiдносно операторiв ∂ ∂ ∂ ∂ D =2t +x , Z =f +g . ∂t ∂x ∂f ∂g Вiдтворимо розв’язок системи (7) за його слiдом f = x2 − 2t, g = x2 + 2t на операторi D+Z. Для цього згiдно наслiдку з теореми потрiбно знайти розв’язки системи (7), iнварiантнi вiдносно оператора ∂ ∂ Y˜ =D+Z+(x2−2t) +(x2+2t) . ∂f ∂g Оператор Y˜ має такi основнi iнварiанти: ω−2 ω+2 x2 fx−1− x, gx−1− x, ω = . ω ω t 8 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник Вiдповiдний їм анзац f =xϕ1(ω)+(ω−2)t, g =xϕ2(ω)+(ω+2)t (8) редукує систему (7) до системи −ωϕ˙1+6ϕ˙2+4ωϕ¨2 =0, (9) ωϕ˙2+6ϕ˙1+4ωϕ¨1 =0. Система (9) має розв’язок √ (cid:12) (cid:13) (cid:14) (cid:13) (cid:14)(cid:15) 2 ω 2 ω ω ω ϕ1 =−γ√ cos −δ√ sin − 2π γS −δC , ω 4 ω 4 4 4 √ (cid:12) (cid:13) (cid:14) (cid:13) (cid:14)(cid:15) 2 ω 2 ω ω ω ϕ2 =−γ√ sin +δ√ cos + 2π γC +δS , ω 4 ω 4 4 4 (cid:7) (cid:8) (cid:7) (cid:8) деC ω ,S ω —вiдповiднокосинус-iсинус-iнтегралФренеля[6].Пiдставляючи 4 4 вирази для ϕ1 i ϕ2 в формули (8), одержуємо вiдтворений розв’язок рiвняння Шредiнгера (5) (cid:3) (cid:4) (cid:9) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:10) √ x2 x2 √ x2 x2 u={x2−2t}−2 t γcos +δsin − 2πx γS −δC , 4t 4t 4t 4t (cid:3) (cid:4) (cid:9) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:10) √ x2 x2 √ x2 x2 v ={x2+2t}−2 t γsin −δcos + 2πx γC +δS . 4t 4t 4t 4t Зауважимо,щоуфiгурнихдужкахподанокомпонентивихiдногорозв’язку.Вна- слiдок лiнiйностi i однорiдностi рiвняння (5) пiсля вилучення з поданих виразiв цих компонент ми знову одержимо розв’язок рiвняння (5). 2. Випадок W(x) = ax+b (a (cid:2)= 0). Якщо на операторi T = ∂ розв’язок має ∂t слiд (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) a2 a2 f =C1cos −atx− t3−bt+C2 , g =C1sin −atx− t3−bt+C2 , 3 3 де √ √ 3 2 3π 3 2 π C1 = a, C2 = +2πq або C1 =− a, C2 =− +2πq, q ∈Z, 2 4 2 4 то з точнiстю до (cid:6)T(cid:7)-iнварiантних розв’язкiв його можна подати у виглядi (cid:16) (cid:3) (cid:4) t a2 f =C1 cos −atx− t3−bt+C2 dt+ 3 0 (cid:17) (cid:3) (cid:4) +(−ax−b)1/2 Z(1) − 2 (−ax−b)3/2 + 1/3 3a (cid:13) (cid:14) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:18)∞ (−1)l − 1 (−ax−b)3/2 1+2l(cid:19) + 1Γ 1 Γ 2 (cid:7)3a (cid:8) (cid:7) (cid:8) , 2 3 3 Γ 4 +l Γ 5 +l l=0 3 3