Scientific Computing. An Introductory Survey

442 Pages·1997·1.879 MB·English

by  Heath M.T.

SCIENTIFIC COMPUTING
An Introductory Survey
Michael T. Heath
University of Illinois
at Urbana-Champaign
ii
Copyright (cid:13)c 1997 by The McGraw-Hill Companies. All rights reserved.
About the Author
Michael T. Heath holds four positions at the University of Illinois at Urbana-Champaign:
Professor in the Department of Computer Science, Director of the Computational Science
and Engineering Program, Director of the Center for Simulation of Advanced Rockets,
and Senior Research Scientist at the National Center for Supercomputing Applications
(NCSA). He received a B.A. in Mathematics from the University of Kentucky, an M.S.
in Mathematics from the University of Tennessee, and a Ph.D. in Computer Science from
Stanford University. Before joining the University of Illinois in 1991, he spent a number of
yearsatOakRidgeNationalLaboratory, firstasEugeneP.WignerPostdoctoralFellowand
later as Computer Science Group Leader in the Mathematical Sciences Research Section.
His research interests are in numerical analysis—particularly numerical linear algebra and
optimization—and in parallel computing. He has has been an editor of the SIAM Journal
on Scientific Computing, SIAM Review, andtheInternational Journal of High Performance
Computing Applications, as well as several conference proceedings. In 2000, he was named
an ACM Fellow.
iii
iv
To Mona
Contents
Preface xiii
Notation xvii
1 Scientific Computing 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 General Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Approximations in Scientific Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Sources of Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Data Error and Computational Error . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Truncation Error and Rounding Error . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Absolute Error and Relative Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Sensitivity and Conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.6 Backward Error Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.7 Stability and Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Computer Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Floating-Point Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Normalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Properties of Floating-Point Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Machine Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.6 Subnormals and Gradual Underflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.7 Exceptional Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.8 Floating-Point Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.9 Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Mathematical Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Mathematical Software Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Scientific Computing Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Practical Advice on Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
v
vi CONTENTS
1.5 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Systems of Linear Equations 37
2.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Singularity and Nonsingularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Solving Linear Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Triangular Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Elementary Elimination Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Gaussian Elimination and LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.4 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.5 Implementation of Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.6 Complexity of Solving Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.7 Gauss-Jordan Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.8 Solving Modified Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Norms and Condition Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.1 Vector Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.2 Matrix Norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.3 Condition Number of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Accuracy of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1 Residual of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 Estimating Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.3 Improving Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Special Types of Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.1 Symmetric Positive Definite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.2 Symmetric Indefinite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.3 Band Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6 Iterative Methods for Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Software for Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.1 LINPACK and LAPACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7.2 Basic Linear Algebra Subprograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Linear Least Squares 83
3.1 Data Fitting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Linear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Normal Equations Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.1 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.2 Normal Equations Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.3 Augmented System Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Orthogonalization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.1 Triangular Least Squares Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.2 Orthogonal Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.3 QR Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.4 Householder Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.5 Givens Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
CONTENTS vii
3.4.6 Gram-Schmidt Orthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.7 Rank Deficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.8 Column Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5 Comparison of Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6 Software for Linear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.7 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Eigenvalues and Singular Values 115
4.1 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.1 Nonuniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.2 Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3 Properties of Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.4 Similarity Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1.5 Conditioning of Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Methods for Computing All Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.1 Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.2 Jacobi Method for Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.3 QR Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.4 Preliminary Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3 Methods for Computing Selected Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1 Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2 Normalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.3 Geometric Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.4 Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.5 Deflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.6 Inverse Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.7 Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.8 Rayleigh Quotient Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.9 Lanczos Method for Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.10 Spectrum-Slicing Methods for Symmetric Matrices . . . . . . . . . . 133
4.4 Generalized Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Singular Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.1 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.2 Applications of SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 Software for Eigenvalues and Singular Values . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5 Nonlinear Equations 151
5.1 Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1.1 Solutions of Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.1.2 Convergence Rates of Iterative Methods . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2 Nonlinear Equations in One Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.1 Bisection Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.2 Fixed-Point Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2.3 Newton’s Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
viii CONTENTS
5.2.4 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2.5 Inverse Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.6 Linear Fractional Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.7 Safeguarded Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2.8 Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3 Systems of Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.1 Fixed-Point Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3.2 Newton’s Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.3 Secant Updating Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.4 Broyden’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.5 Robust Newton-Like Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4 Software for Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.5 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6 Optimization 183
6.1 Optimization Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.1.1 Local versus Global Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.1.2 Relationship to Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.1.3 Accuracy of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2 One-Dimensional Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.1 Golden Section Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.2 Successive Parabolic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.3 Newton’s Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2.4 Safeguarded Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3 Multidimensional Unconstrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3.1 Direct Search Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3.2 Steepest Descent Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3.3 Newton’s Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.3.4 Quasi-Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3.5 Secant Updating Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.6 Conjugate Gradient Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.3.7 Truncated Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.4 Nonlinear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.4.1 Gauss-Newton Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.4.2 Levenberg-Marquardt Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.5 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.5.1 Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.6 Software for Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.7 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7 Interpolation 219
7.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.1.1 Purposes for Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.1.2 Interpolation versus Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.1.3 Choice of Interpolating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
CONTENTS ix
7.1.4 Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2 Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.2.1 Evaluating Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2.2 Lagrange Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2.3 Newton Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.2.4 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.2.5 Interpolating a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.2.6 High-Degree Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2.7 Placement of Interpolation Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.3 Piecewise Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.3.1 Hermite Cubic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.3.2 Cubic Spline Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.3.3 Hermite Cubic versus Cubic Spline Interpolation . . . . . . . . . . . 234
7.3.4 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.4 Software for Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.4.1 Software for Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.5 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8 Numerical Integration and Differentiation 245
8.1 Numerical Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.1 Quadrature Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.2 Newton-Cotes Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.2.1 Newton-Cotes Quadrature Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.2.2 Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.2.3 Error Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.2.4 Polynomial Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.3 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.3.1 Gaussian Quadrature Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.3.2 Change of Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.3.3 Gauss-Kronrod Quadrature Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.4 Composite and Adaptive Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.4.1 Composite Quadrature Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.4.2 Automatic and Adaptive Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.5 Other Integration Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5.1 Integrating Tabular Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5.2 Infinite Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5.3 Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5.4 Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.6 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.7 Numerical Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.7.1 Finite Difference Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.7.2 Automatic Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.8 Richardson Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.9 Software for Numerical Integration and Differentiation . . . . . . . . . . . . 266
8.10 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
x CONTENTS
9 Initial Value Problems for ODEs 275
9.1 Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.1.1 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.1.2 Higher-Order ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.1.3 Stable and Unstable ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.2 Numerical Solution of ODEs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.2.1 Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3 Accuracy and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.1 Order of Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.2 Stability of a Numerical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.3.3 Stepsize Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4 Implicit Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
9.5 Stiff Differential Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
9.6 Survey of Numerical Methods for ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.6.1 Taylor Series Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.6.2 Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.6.3 Extrapolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.6.4 Multistep Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.6.5 Multivalue Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.7 Software for ODE Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9.8 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10 Boundary Value Problems for ODEs 309
10.1 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.2 Shooting Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3 Superposition Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.4 Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.5 Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.6 Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.7 Software for ODE Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.8 Historical Notes and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11 Partial Differential Equations 325
11.1 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.1.1 Classification of Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 325
11.2 Time-Dependent Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.2.1 Semidiscrete Methods Using Finite Differences . . . . . . . . . . . . 327
11.2.2 Semidiscrete Methods Using Finite Elements . . . . . . . . . . . . . 328
11.2.3 Fully Discrete Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.2.4 Implicit Finite Difference Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.2.5 Hyperbolic versus Parabolic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.3 Time-Independent Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.3.1 Finite Difference Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.3.2 Finite Element Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.4 Direct Methods for Sparse Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337