Schwingungen der elastisch angelenkten Koppel eines Viergelenkgetriebes PDF
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FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN Nr. 2124 Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt DK 534.1:621.837.7 Prof. Dr.-lng. Walther Mryer zur Capelien Dipl.-lng. Herber! Krumm Dipl.-lng. Johannes Socha Institut für Getriebelehre und i11aschinendynamik der Rhein.-Westj. Techn. Hochschtt!e Aachen Schwingungen der elastisch augelenkten Koppel eines Viergelenkgetriebes I. Teil S tabilitätsmztersuchunx,en an Getrieben mit komtanter Antriebsdrehzahl II. Teil Das VierJ;elenk mit elastisch angelenkter Koppel als Getriebependel SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH 1970 ISBN 978-3-663-20020-8 ISBN 978-3-663-20375-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-20375-9 Verlags-Nr. 012124 © 1970 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH, Köln und Opladen 1970 Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag Vorwort In einem früheren Forschungsbericht wurden die Schwingungen eines ebenen Vier gelenkgetriebes behandelt, dessen An- und Abtriebsachse elastisch mit dem Fundament verbunden sind. In der vorliegenden Arbeit wird gewissermaßen die kinematische Um kehrung betrachtet: Es soll die Koppel eines Viergelenkgetriebes mit An- und Abtriebsglied elastisch ver bunden sein, wie dies bei federnden Gelenken der Fall ist. Zunächst interessiert das laufende Getriebe (Teil I), und die Untersuchung dieses Systems mit vier Freiheits graden führt auf vier gekoppelte lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit periodischen Koeffizienten. Hieraus werden die im Vordergrund stehenden Stabilitäts kriterien entwickelt und für zwei Beispiele zahlenmäßig ausgewertet. Für diese wurden auch die Amplitudenfunktionen dargestellt und die Lagerbelastungen betrachtet. Zu dem wurden Näherungsmethoden diskutiert, um auf relativ einfachem und für die Praxis ausreichend genauem Weg die Stabilitätsgrenzen zu gewinnen. Schließlich werden einige interessante Sonderfälle herausgegriffen. In Teil II werden zunächst die Eigenschwingungen des gleichen Systems um eine Gleichgewichtslage betrachtet. Diese Lage kann im allgemeinen Fall aus fünf Gleichungen nur iterativ gewonnen werden. Die Bewegungsgleichungen selbst führen, kleine Schwingungen vorausgesetzt, auf ein System von fünf linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, aber mit konstanten Koeffizienten. Die hieraus gewonnene Bedingungsgleichung für die Eigen frequenzen wird für einige Beispiele gelöst in Fortsetzung früherer Arbeiten des erst genannten Verfassers, und dann schließen sich die erzwungenen Schwingungen an, wobei sowohl von einer Wegerregung als auch von einer Krafterregung ausgegangen wird. Es interessieren hierbei besonders die Amplitudenfunktionen, d. h. der Verlauf der einzelnen Koordinaten des Systems in Funktion der erregenden Frequenz (oder einer bezogenen Größe). Sonderfälle folgen, in denen die Determinante, deren Null stellen die Eigenfrequenzen liefern, auch zerfallen kann. Die praktische Durchrechnung der Beispiele, die zur Veranschaulichung der theore tischen Zusammenhänge unentbehrlich ist, wäre ohne den Digitalrechner, d. h. ohne das Rechenzentrum der TH Aachen (Direktor: Prof. Dr. F. REUTTER), nicht möglich gewesen, und so sei diesem für die Hilfe gedankt. Ganz besonderer Dank gebührt aber dem Herrn Ministerpräsidenten des Landes Nord rhein-Westfalen für die Förderung des vorliegenden Forschungsberichtes. Aachen, im Januar 1970 Die Verfasser 3 Teil I Prof. Dr.-Ing. Walther Meyer zur Capelien Dipl.-Ing. Herbett Krumm Stabilitätsuntersuchungen an Getrieben mit konstanter Antriebsdrehzahl 5 Inhalt Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Kinematik der Auslenkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Beschleunigungszustand der Glieder 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Beschleunigungen der Koppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 a) Die Führungsbeschleunigung a1 ....................... , . . . . . . 14 b) Die Relativbeschleunigung Urel . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 c) Die Coriolisbeschleunigung ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 d) Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Beschleunigungen des Abtriebsgliedes 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Das Zweimassensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Die äußeren Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Die Federkräfte................................................ 16 2.2.1.1 Die Antriebskurbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1.2 Die Koppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1.3 Das Abtriebsglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Die Gewichtskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2.1 Die Antriebskurbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2.2 Die Koppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2.3 Das Abtriebsglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Die Massenkräfte und die Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Die Koppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.1 Kräfte in der ~-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.2 Kräfte in der '1)-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.3 Momente um A * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 Das Abtriebsglied 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Zusammenstellung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Besondere Anordnung der Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1.1 Gelenkige Verbindung zwischen Koppel und Kurbel . . . . . . . . . . . . . . . 20 7 2.4.1.2 Gelenkige Verbindung zwischen Koppel und Abtriebsglied . . . . . . . . . . 20 a) Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 b) Die kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 c) Die Lagrangesche Operation für die Veränderliche rp 21 d) Die Lagrangesche Operation für die Veränderliche {) 21 e) Die Lagrangeschen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 f) Die Differentialgleichungen der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1.3 Federung nur in Richtung der Koppel möglich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2 Besondere Getriebemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.3 Besondere Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Allgemeine Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.1 Lösung der allgemeinen Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.2 Auswertung auf dem Digitalrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2.1 Harmonische Analyse der periodischen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2.2 Bestimmung der Resonanzbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2.3 Berechnung der Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.2.4 Verlauf der Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.3 Vergleich mit einfachen Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.3.1 Näherung mit Hilfe der Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.3.2 Näherung mit Hilfe eines einfachen Ersatzsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.4 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.4.1 Gelenkige Verbindung zwischen Koppel und Abtriebsglied.......... 31 2.5.4.2 Parallelkurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.4.3 Besondere Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Anhang................................................................ 31 Abbildungen Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8 Einleitung In früheren Arbeiten wurden bei dem ebenen Viergelenkgetriebe die folgenden Schwin gungs- und Stabilitätsprobleme behandelt: a) Die Schwingungen bei elastisch gelagertem Steg [1, 2]1, b) die Torsionsschwingungen in An- und Abtriebswelle [1, 3, 4], c) die Längsschwingungen der Koppel als diskrete Einzelmasse [5], d) die Biegungsschwingungen der Koppel als Kontinuum [6, 7, 8], e) die Schwingungen bei elastisch gelagerter An- und Abtriebswelle und Biegungs schwingungen von An- und Abtriebswelle [9, 10]. Diese Untersuchungen sollten nun durch Behandlung der Schwingungen der Koppel, wenn sie mit den benachbarten Gliedern elastisch verbunden ist, vgl. Abb. 1, ergänzt werden- gewissermaßen als kinematische Umkehrung des Problems unter e). Hierbei kann die Elastizität durch eine beliebige Feder, aber auch durch die Elastizität der Zapfen in A und B bedingt sein. Im übrigen steht vor allem die Frage nach den Be dingungen der Stabilität im Vordergrund. Die Auslenkungen gegenüber einer »ungestörten« Lage des Getriebes, d. h. bei zwar gelenkigen, aber starren Verbindungen zwischen der Koppel und den benachbarten Gliedern, sollen klein sein, und es soll die Winkelgeschwindigkeit w1 = w der An triebskurbel konstant sein. Es wird dann zunächst die Kinematik dieser Auslenkungen, d. h. ihr Zusammenhang mit dem unausgelenkten System und untereinander betrachtet, anschließend der Beschleunigungszustand der Koppel und des benachbarten Abtriebs gliedes (Schwinge oder Kurbel) aufgestellt, und von diesem ausgehend werden dann die Bewegungsgleichungen mit Hilfe des Prinzips von n'ALEMBERT entwickelt und diskutiert. r Das Literaturverzeichnis befindet sich am Schluß von Teil II, während Abbildungen und Gleichungen in beiden Teilen für sich numeriert werden. 9 1. Kinematik 1.1 Bezeichnungen, vgl. auch Abb. 1 und 2 Index 1 Kurbel Index 2 Koppel Index 3 Schwinge Index 0 Steg A0 A = Ao AO = r1 Kurbellänge BoB - BoBO = r3 Schwingenlänge A *B * = AO BO - ABO = l Koppellänge A0B0 = d Steglänge Schwerpunkte der einzelnen Glieder AS2 = e = e2 I BS2 =e Schwerpunktsabstand BoS3 = e3 Antriebswinkel IX } ßo Abtriebswinkel ß Yo } Koppelwinkel y 1 !Xo Hilfswinkel ßo J l . dyo , tz =k=Yo Übersetzungsverhältnis f . dßo , t3 = -=ßo doc Wn Winkelgeschwindigkeit der einzelnen Glieder en Winkelbeschleunigung der einzelnen Glieder l ~1. ~3 1)1,1)3 Koordinaten der elastischen Bewegung {} r:p mn Masse der einzelnen Glieder 02s Massenträgheitsmoment (abgekürzt MTM) der Koppel bezogen auf S2 (J2A MTM der Koppel bezogen auf A (J2B MTM der Koppel bezogen auf B 03s MTM der Schwinge bezogen auf 53 03o MTM der Schwinge bezogen auf B0 + Oared = m2 r~ Oao formale Rechengröße 10 Gn Gewichte der einzelnen Glieder g Beschleunigung des freien Falles a Beschleunigung Pt; } Kräfte in~- bzw. 11-Richtung Pn Mn Momente l j Einheitsvektoren f E kinetische Energie 1 Cl Lagerfedersteifigkeiten ca J Kq;,K(} Lagrangesche Kräfte ma m=- Verhältnis der Massen mz ca n=- Verhältnis der Federsteifigkeiten Cl We = yc1/mz Bezugseigenkreisfrequenz A = wfw Frequenzverhältnis 6 y = gfw; = G2fc1 statische Auslenkung ~0 Lagerkraft im Lager A0 ~ Lagerkraft im Lager A ~ Lagerkraft im Lager B Bv l Cv Dp Ep Fv Fourierkoeffizienten der periodisch veränderlichen Gv Koeffizienten Sv Tp Hv PP Qp l av bv Fourierkoeffizienten der Lösungen Cp dp \P Koeffizientenmatrix charakteristischer Exponent f.t 11
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