Schémas numériques adaptatifs pour les équations de Vlasov-Poisson

184 Pages·2017·8.78 MB·French

by  Eric Madaule

Schémas numériques adaptatifs pour les équations de
Vlasov-Poisson
Éric Madaule
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Éric Madaule. Schémas numériques adaptatifs pour les équations de Vlasov-Poisson. Physique math-
ématique [math-ph]. Université de Lorraine, 2016. Français. ￿NNT: 2016LORR0112￿. ￿tel-01446399￿
HAL Id: tel-01446399
https://theses.hal.science/tel-01446399
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E´cole doctorale IAEM Lorraine
Sch´emas num´eriques adaptatifs pour
les ´equations de Vlasov-Poisson
`
THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 14 octobre 2016
pour l’obtention du
Doctorat de l’Universit´e de Lorraine
(mention math´ematiques appliqu´ees)
par
´
Eric MADAULE
Composition du jury
Pr´esident : St´ephane COLOMBI Directeur de recherche au CNRS,
Institut d’Astrophysique de Paris
Rapporteurs : Philippe HELLUY Professeur, Universit´e de Strasbourg
Val´erie PERRIER Professeur, Grenoble INP
Examinateurs : Virginie GRANDGIRARD Ing´enieur CEA, CEA-Cadarache
Simon LABRUNIE Maˆıtre de conf´erence (HDR), Universit´e de Lorraine
Directeur : Nicolas BESSE Professeur, Observatoire de la Coˆte d’Azur
Co-directeur : Erwan DERIAZ Charg´e de recherches CNRS, Institut Jean Lamour
I.J.L. – Facult´e des Sciences et technologies, BP 70239, F-54506 Vandoeuvre l`es Nancy cedex
Universit´e de Lorraine - Pˆole M4 : mati`ere, mat´eriaux, m´etallurgie, m´ecanique
Mis en page avec la classe thesul.
i
Remerciements
Je tiens à remercier Erwan Deriaz et Nicolas Besse qui ont accepté de m’encadrer
pendant ces trois années de thèse. Je remercie en particulier Erwan pour sa présence, son
soutien et les discussions sur l’algorithme et l’implémentation.
Merci à toutes les personnes de l’ANR VLASIX sans qui ma thèse n’aurait pas été
possible. Je tiens à remercier en particulier Stéphane Colombi qui m’a encouragé et éclairé
dans la publication de mon code. Merci également à Thierry Sousbie pour ses explications
sur l’utilisation d’OpenMP.
J’exprime également mes remerciements à l’ensemble de mon jury, Philippe Helluy et
ValériePerrierquiontétémesrapporteurs,VirginieGrandgirard,SimonLabrunie,etSté-
phane Colombi qui a présidé le jury. Je les remercie pour leur temps et leur bienveillance.
Je tiens également à remercier toute l’équipe plasma chaud de l’institut Jean Lamour
(Nancy). Merci à tous mes collègues de bureau (ou peu s’en faut), David Coulette, Tho-
mas Drouot, Mégane Collard, Mathieu Sarrat, Julien Médina et Maxime Lesur. Merci
également à Étienne Gravier, Stéphane Heuraux et Stéphane Deveaux, Jérôme Moritz
et Thierry Réveillé pour leur conversations et leur bonne humeur. Merci également à
Anne-Sophie sans qui l’équipe aurait du mal à fonctionner.
Ces remerciements ne serait pas complet si je ne citais pas la communauté du site
stackexchange.com, et en particulier les communautés des sites stackoverflow.com, super-
user.com,askubuntu.comettex.stackexchange.comquim’onténormémentaidéenmatière
de programmation, de gestion de Linux en général et d’Ubuntu en particulier, et pour les
astuces avec LATEX.
Je remercie CENS, l’association des étudiants de la faculté de science de Nancy, qui
m’a ouvert ses portes et a égayé mes midis et aidé à me sentir encore un peu étudiant.
Je remercie également le club Légendes, et en particulier Vincent Plée, docteur qui était
à Légendes avant moi et à soutenu pendant ma thèse, et Fabien Uhrig, l’actuel président
de l’association. Merci également à mes amis de Bordeaux et de Lyon qui m’ont soutenu.
Je remercie enfin ma famille qui, bien que géographiquement éloignée, m’a toujours
soutenu et encouragé.
ii
Sommaire
1 Contextes et objectifs 1
1.1 Physique des plasmas et astrophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 La modélisation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Maillages adaptatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Méthodes semi-lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Travaux existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Système d’équations de Vlasov-Poisson et schémas numériques 9
2.1 Le modèle Vlasov-Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 La méthode Galerkin discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Projection de la fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Résolution du problème de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 La méthode Galerkin discontinue semi-lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Application de la méthode GDSL à l’équation de Vlasov . . . . . . . 18
2.4 La méthode caractéristiques-Galerkin discontinue . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Application de la méthode CGD à l’équation de Vlasov . . . . . . . 23
3 Représentation en multi-ondelettes et adaptativité 25
3.1 Principe des multi-ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Équations multi-échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Décomposition et reconstruction à l’aide des multi-ondelettes . . . . . . . . 28
3.4 Construction des multi-ondelettes à une dimension . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Multi-ondelettes en deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii
iv Sommaire
3.6 Le seuillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Programmation des méthodes 37
4.1 Le maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Résolution de l’équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Calcul de l’origine des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Calculs de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Application à la méthode CGD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Optimisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Algorithme final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Validation du code 49
5.1 Validation de la résolution de l’équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Validation des multi-ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Validation des schémas en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Équation de Burgers 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Résultats numériques 61
6.1 Amortissement Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1 L’amortissement Landau linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.2 L’amortissement Landau non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Instabilité double faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Bump-on-tail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Vlasov-Poisson pseudo-polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4.1 Avec un champ extérieur non auto-cohérent . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4.2 Avec un champ auto-cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4.3 Faisceau focalisant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5 Cas test d’astrophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5.1 Couche froide avec perturbation en espace . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5.2 Couche froide avec perturbation en vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5.3 Distribution initiale gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Passage en dimension 4 101
7.1 Les équations de Vlasov-Poisson en dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Formulation caractéristiques-Galerkin discontinue de l’équation de Vlasov. 102
7.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
v
7.3.1 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8 Conclusion 111
Bibliographie 113
A Polynôme de Legendre 117
B Multi-ondelettes : courbes et équations 1D 119
C Code 125
D Méthode de Galerkin discontinue par élément spectraux 139
vi Sommaire