Schätzen und Testen: Eine Einführung in Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

298 Pages·1997·8.266 MB·German

by  Em. Prof. Dr. Oskar Anderson, Prof. Dr. Werner Popp, Dr. Manfred Schaffranek, Dr. Dieter Steinmetz, Prof. Dr. Horst Stenger (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Oskar Anderson . Werner Popp
Manfred Schaffranek . Dieter Steinmetz
Horst Stenger
Schätzen und Testen
Eine Einführung in
Wahrscheinlichkeitsrechnung
und schließende Statistik
Zweite, vollständig überarbeitete
und erweiterte Auflage
Mit 71 Abbildungen
und 53 Tabellen
, Springer
Em. Prof. Dr. Oskar Anderson, Gieselbrechtstraße 18,
D-10629 Berlin
Prof. Dr. Wemer Popp, Universität Bem,
Betriebswissenschaftliches Institut, Sennweg 2, CH-3012 Bem
Dr. Manfred Schaffranek, Universität Mannheim,
Seminar für Statistik, AS, D-68131 Mannheim
Dr. Dieter Steinmetz, Universität Mannheim,
Seminar für Statistik, AS, D-68131 Mannheim
Prof. Dr. Horst Stenger, Universität Mannheim,
Seminar für Statistik, AS, D-68131 Mannheim
Die erste Auflage erschien 1976 in der Reihe .. Heidelberger Taschenbücher Bd. 177"
Die Deutsche ßihliothek -CIP-Einheits3ufnahme
Schätzen und Teslcn : eine Einfiihrung in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung und schlicsscnde Statistik / von Oskar
Anderson ... -2., vollst. überarh. und erw. Aun. -Berlin ; Heidclherg
; New York ; Barcelona; Budapest ; Hongkong ; Lllndon ; Mail3nd ;
Paris; Santa Clnra ; Singapnr ; Tokio : Springer, 19'n
(Springer· Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-62875-0 ISBN 978-3-642-59162-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-59162-4
ISBN 978-3-540-62875-0
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o Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag BerUn Heidelberg New York in 1997
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bung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürf
ten.
SPIN 10025696 42/2202-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier
Vorwort zur 2. Auflage
Statistische Methoden finden heute in den verschiedensten Diszip1inen An
wendung, beispielsweise in Physik, Biologie, Medizin, Psychologie, Lingui
stik und nicht zuletzt in den Wirtschaftswissenschaften. In der Medizin z.B.
benOtigt man statistische Methoden unter anderem zur Beurteilung der
Wirksamkeit verschiedener Medikamentej Biologen bedienen sich statisti
scher Methoden bei genetischen Untersuchungen, Wirtschaftswissenschaft
ler bei der Aufdeckung von Interdependenzen zwischen verschiedenen Okono
mischen Variablen: Immer wenn aus Stichprobendaten SchluBfolgerungen
zu ziehen sind, greift man auf statistische Methoden zurUck.
Um die SchluBweisen der Statistik schon an dieser Stelle wenigstens skizzie
ren zu kOnnen, betrachten wir ein Beispiel aus dem Bereich der Wirtschafts
wissenschaften. Interdependenzen zwischen den Nachfragemengen und den
Preisen von Gtitern erlda.rt man vielfach durch wahrscheinlichkeitstheo
retische Modelle, die unbekannte Parameter enthalten. Erst die tatslLchlieh
beobachteten Kombinationen von Preisen und Nachfragemengen - Stich
probendaten also - ermoglichen eine "SchI1tzung" der unbekannten Para
meter des zugrunde gelegten Modells. Oft sind auch gewisse Vorstellungen
tiber reallsierte Parameter vorhanden. Stichprobendaten erlauben dann,
Urtelle dartiber abzugeben, ob diese Vorstellungen, die meist Hypothesen
genannt werden, zutreff'en oder nieht. Diese zweite Art des SchlieBens nennt
man tiblicherweise " Testen" .
Das vorliegende Buch ist in 4 Teile und einen Anhang gegliedert. In einem
ersten Tell wird das wahrscheinlichkeitstheoretische Instrumentarium bereit
gestellt, das zur Darstellung der Grundgedanken des statistischen Schlies-
VI Vorwort
sens benijtigt wird. Diese Grundgedanken selbst sind in den Tellen SCHAT
ZEN und TESTEN behandelt. Der Tell REGRESSIONSANALYSE ist der
Anwendung dieser Grundgedanken auf besonders wichtige Modelle vorbe
hatten.
Die Lektflre des Buches erfordert nur elementare mathematische Kennt
nisse. Die ft1r das Verstli.ndnis wesentlichen Telle der Mengenalgebra und
der Kombinatorik sowie die Rechenregeln ft1r das Summenzeichen sind im
Anhang zusammengestellt. Ferner befinden sich im Anhang aile statisti
schen Tabellen, die zur ~sung von Aufgaben benijtigt werden.
Bei Verweisen bedeuten
W WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
S SCHATZEN
T TESTEN
R REGRESSIONSANALYSE
A ANHANG
Definitionen und Bezeichnungen sind an der Stelle, an der sie eingeft1hrt
werden, kursiv geschrieben. Abschnitte, die ft1r das Verstli.ndnis spAtererer
*
Teile des Buches weniger wichtig erscheinen, sind mit versehen.
1m Literaturverzeichnis sind einige Lehrbilcher aufgeft1hrt, auf die im Text
verwiesen wird hzw. deren Lektflre zur Ergli.nzung oder zur Vertiefung des
hier dargestellten Stoffes empfehlenswert erscheint.
Gro1ier Dank gebilhrt Frau Renate Bent und Frau Maria Fatarova, den
beiden SekretArinnen des Seminars ft1r Statistik, ft1r die geduldige und
sorgfiUtige Obertragung schwieriger Manuskripte und zahlreicher Oberarbei
tungen. Herrn Dipl.-Wirtsch.-Inf. Jflrgen Milller danken wir ft1r Gestal
tung und Prlisentation des Textes. Diese Aufgabe geriet zur wahren Sysi
phusarbeit, da sich das von uns verwendete Textsatzsystem auch im Update
als a.uBerst fehleranfAllig erwies. Herrn Dipl.-Math. Wolfgang Roth danken
wir ft1r die Anfertigung der Grafiken und des Umschlagentwurfs. Danken
mijchten wir schlieBlich Herrn Dr. Tilmann Deutler ft1r einige wertvolle
Hinweise sowie den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern Dipl.-Wirtsch.-Inf.
Sibylle Merz, Dipl.-Volksw. Birgit Rimmelspacher, Dipl.-Math. Wolfgang
Roth und Dipl.-Math. Jochen Schmidt ff1r sorgfiUtiges Korrekturlesen.
Mannheim, Februar 1997 Die Autoren
Inhaltsverzeichnis
I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1
1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten 3
1.1 Zufa11sexperimente..... 3
1.2 Ereignisse . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Wahrscheinlichkeitsaxiome... 6
1.4 Folgerungen aus den Axiomen . 8
1.5 Zusammenfassung zweier Zufallsexperimente. 11
1.6 n-malige Durchft1hrung eines Zufallsexperiments 15
1. 7 Symmetrische Zufallsexperimente. ..... 17
1.8 Ziehen mit bzw. ohne ZurUcklegen ..... 19
1.9 UnabMngige Ereignisse . . . . . 20
1.10 Aufgaben ........... " . . . . . 22
2 Verteilung einer Zufallsvariablen 27
2.1 Zufallsvariablen.......... 27
2.2 Funktionen von Zufallsvariablen . 29
2.3 Massefunktionen . . . . . 30
2.4 Dichtefunktionen......... . . . . . 33
2.5 Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . 35
2.6 Erwartungswerte von Zufallsvariablen ........ 38
2.7 Erwartungswerte von Funktionen einer Zufallsvariablen .. 39
2.8 Varianzen von Zufallsvariablen ................ 41
VIII Inhaltsverzeichnis
2.9 Standardisierte Zufallsvariablen . 43
2.10 *Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF . 44
2.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen 53
3.1 Gemeinsame Massefunktionen ..... 53
3.2 *Gemeinsame Dichtefunktionen . . . . . . . . . 55
3.3 Linearitli.t der Erwartungswertbildung . . . . . 57
3.4 Varianz linearer Funktionen von Zufallsvariablen 58
3.5 Unabhli.ngige Zufallsvariablen . . . . . 59
3.6 Unabhli.ngige diskrete Zufallsvariablen 61
3.7 *Unabhli.ngige stetige Zufallsvariablen 62
3.8 Unabhli.ngigkeit und Unkorreliertheit . 63
3.9 Stichproben aus Verteilungen 64
3.10 Aufgaben ........... . 67
4 Spezielle diskrete Verteilungen 73
4.1 BERNOULLI-Verteilung .... 73
4.2 Binomialverteilung....... 75
4.3 Hypergeometrische Verteilung . 80
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . 86
5 Normalverteilte Zufallsvariablen und Zentraler
Grenzwertsatz 89
5.1 Normalverteilung.................. 89
5.2 Tabelle der Standardnormalverteilung . . . . . . 93
5.3 Lineare Funktionen normalverteilter Zufallsvariablen 96
5.4 X2- Verteilung ..... 98
5.5 STUDENT-t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . 102
5.7 Zentraler Grenzwertsatz fnr Stichprobenanteile 107
5.8 Approximation von Binomial- und hypergeometrischer Ver-
teilung . . . . . . . . . . . 109
5.9 Gesetz der groBen Zahlen 112
5.10 Aufgaben . . . . . . . . . 113
II Schatzen 119
1 PunktschAtzung 121
1.1 Problemstellung. 121
1.2 Unverzerrte Schli.tzer 124
1.3 BLU-Schli.tzer.... 126
1.4 Notwendiger Stichprobenumfang bei vorgegebenem Fehler 128
1.5 *Nichtlineare Schli.tzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
Inhaltsverzeichnis IX
1.6 *Verzerrte SchAtzer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1. 7 *Konsistente SchAtzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134
2 IntervallschAtzung 137
2.1 Problemstellung......................... 137
2.2 Konfidenzintervalle fUr den Erwartungswert einer normal
verteilten Zufallsvariablen bei bekannter Standardabweichung 138
2.3 Konfidenzinterval1e fUr den Erwartungswert einer normal
verteilten Zufallsvariablen bei unbekannter Standardab-
weichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142
Z.4 Konfidenzintervalle fUr den Erwartungswert einer ZufalJsva,..
riablen mit unbekannter Verteilung . . . . . . . . . . . . .. 143
2.5 Konfidenzinterval1e fUr Wahrscheinlichkeiten. . . . . . . .. 143
3 Stichproben aus Gesamtheiten 145
3.1 ZufAllige Auswahlverfahren .................. 145
3.2 Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz . . . . . . . . . . 147
3.3 SchAtzung des Mittelwerts und der Varianz einer
Grundgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151
3.4 SchA.tzung eines Anteils .................... 152
3.5 Auswahltechniken ........................ 153
4 Aufgaben 157
III Testen 167
1 Grundbegriffe 169
1.1 Problemstellung......................... 169
1.2 Hypothesen und Testverfahren ................ 171
1.3 Fehler 1. und Fehler 2. Art .................. 173
2 Tests ffir Erwartungswerte 175
2.1 Tests bei bekannter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.2 Normierte Prilfgroiien ..................... 177
2.3 Tests bei unbekannter Varianz. . ... . . . . . . . . . . . .. 178
2.4 Vergleich zweier Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . ., 179
2.5 Obersicht tiber behandelte Tests fUr Erwartungswerte 181
3 Tests ffir WShrscheinlichkeiten 183
3.1 Hypothesen tiber eine Wahrscheinlichkeit .......... 183
3.2 Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten ............ 184
3.3 Obersicht tiber behandelte Tests fUr Wahrscheinlichkeiten 186
4 X2 - Tests 187
4.1 X2 - Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187
X Inhaltsverzeichnis
4.2 ~-UnabhAngigkeitstest .................... 192
4.3 'Obersicht tlber behandelte X2- Tests. . . . . . . . . . . .. 197
5 "'Gfitefunktion 1.99
5.1 Problemstellung......................... 199
5.2 Wahl des Signifikanzniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.3 Wahl des Stichprobenumfangs . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.4 Wahl der Prtlfgr6f3e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204
5.5 Gtltefunktion fOr Tests tlber Wahrscheinlichkeiten. . . . . . 206
5.6 Allgemeine Definition der Gtltefunktion . . . . . . . . . . . 209
6 Aufgaben 211
IV Regressionsanalyse 233
1 Einfiihrung 235
1.1 Problemstellung ..... . 235
1.2 Lineare Einfachregression 236
2 Methode der Kleinsten Quadrate 239
2.1 Streuungsdiagramm und Ausgleichsgerade .......... 239
2.2 Ausgleichsgerade nach der Methode der Kleinsten Quadrate 240
2.3 Die Kleinste-Quadrate-Schlitzer Bo und Bl ......... 244
3 BLU-Sch§tzer fi1r f3 und f31 247
0
3.1 Einfaches lineares Regressionsmodell . . . . . . . . . . . . . 247
3.2 BLU-Eigenschaft von Bo und Bl ............... 248
3.3 Unverzerrte Schlitzer fOr var Bo und var Bl . . . . . . . . . 250
4 Konfldenzintervalle ffir f3 und f31 255
0
4.1 Konfidenzintervalle bei normalverteilten Residuen. 255
4.2 Konfidenzintervalle bei grof3em n . . . . . . . . . . 257
5 Prilfen von Hypothesen fiber f3 und f31 259
0
5.1 Tests bei normalverteilten Residuen ............. 259
5.2 Tests bei grof3em n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261
6 Aufgaben 263
V Anhang 273
1 Mathematische Hilfsmittel 275
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
1.2 Kartesische Produkte. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 281