sayısal yöntemler ders notları

141 Pages·2015·4.99 MB·Turkish

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ
MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

SAYISAL YÖNTEMLER
DERS NOTLARI

Doç. Dr. Cihat ARSLANTÜRK

Doç. Dr. Yusuf Ali KARA

ERZURUM
2012
BÖLÜM 1
MATEMATİKSEL TEMELLER ve
HATA ANALİZİ

1.1. GİRİŞ

Sayısal yöntemler, matematik problemlerinin, aritmetik işlemlerle çözülebilmelerini
sağlayacak şekilde formüle edildiği tekniklerdir. Çeşitli sayısal yöntemler olmasına
karşın, hepsinin ortak bir özelliği vardır: hepsi, değişmez bir şekilde çok sayıda
zahmetli aritmetik işlem içerir. Bu nedenle, hızlı ve verimli sayısal bilgisayarların
gelişmesiyle son yıllarda mühendislik problemlerinin çözümünde sayısal
yöntemlerin önemli bir rol alması hiç de şaşırtıcı değildir. Sayısal yöntemleri
öğrenmemizi gerektiren birçok neden sayılabilir.
1. Mühendislik uygulamalarında hiç de nadir olmayan ve analitik yollardan
çözülmesi çoğu zaman olanaksız olan büyük sayıda denklem sistemlerini,
doğrusallıktan sapmaları ve karmaşık geometrileri çözmeyi başarabilirler.
2. Mühendislikte, çoğu zaman ticari olarak sunulan ve sayısal yöntemleri içeren
paket bilgisayar programlarını kullanmak zorunluluğu ortaya çıkar. Bu
programların akılcı bir şekilde kullanılması genellikle yöntemlerin
arkasındaki temel kuramı bilmekle mümkündür.
3. Eğer sayısal yöntemlerden anlıyorsanız ve bilgisayar programlamada
ustaysanız, pahalı yazılımlara para ödemeye gerek kalmadan problemlerinizi
çözebilirsiniz.
4. Sayısal yöntemlerle uğraşırken, bilgisayar programcılığınız da buna paralel
olarak gelişecektir.
5. Sayısal yöntemler matematik anlayışınızı güçlendirecek araçlardır. Sayısal
yöntemlerin bir işlevi de yüksek matematiği basit aritmetik işlemlere
indirgemek olduğundan, başka zaman belirsiz kalan bazı konuların
ayrıntılarına girer. Bu alternatif bakış açısıyla daha derinlemesine bir kavrayış
ve açıklayıcı bilgi edinilebilir.

1.2. MATEMATİK MODELLEME ve MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNİN
ÇÖZÜMÜ

Matematik bir model, en genel anlamıyla, fiziksel bir sistemin veya bir sürecin ana
özelliklerini matematik terimlerle ifade eden bir eşitlik veya formül olarak
tanımlanabilir. En genel halde matematik model aşağıdaki biçimde bir fonksiyonel
ilişki olarak gösterilebilir.

Bağımlı değişken=f (bağımsız değişkenler, parametreler, zorlayıcı fonksiyonlar) (1.1)

Burada bağımlı değişken sistemin davranışını veya konumunu belirten bir özelliktir,
bağımsız değişkenler genellikle zaman veya konum gibi sistemin davranışını
1
belirleyen boyuttur, parametreler sistemin özelliklerini ve yapısını yansıtırlar,
zorlayıcı fonksiyonlar ise sistemi etkileyen dış etkenlerdir.

(1.1) eşitliği ile verilen fonksiyonun gerçek matematiksel ifadesi, basit bir cebirsel
bağıntı olabileceği gibi çok uzun karmaşık diferansiyel denklem takımları da olabilir.
Tablo 1.1 bu fonksiyonları ve bunlara ait örnekleri içermektedir.

Tablo 1.1 Bazı Mühendislik Problemleri ve bunlara ait örnekler
Cebrik Denklemler F= ma; σ = Eε
Algebraic Equations
Adi Diferansiyel Denklemler, ADD dv d2x
F= m = m
(Ordinary Differential Equation, ODE) dt dt2

Kısmi Diferansiyel Denklemler, KDD ∂2T ∂2T
+ =q
(Partial Differential Equation, PDE)
∂2x ∂2y

(1.1) eşitliği ile verilen matematiksel modele, “bir cismin momentumundaki zamana
göre değişiminin cisme etki eden bileşke kuvvetle orantılıdır” ifadesi ile verilen
Newton’un ikinci yasası örnek olarak verilebilir. Bu ifade matematiksel olarak
aşağıdaki şekilde yazılabilir.

F= m.a (1.2)

Burada F, cisme etkiyen net kuvvet (N), m, cismin kütlesi (kg) ve a, cismin ivmesidir
(m/s2). İkinci yasa, her iki taraf m’ye bölünerek Eşitlik (1.1)’e benzer şekilde
aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir.

F
a = (1.3)
m

Burada a, sistemin davranışını yansıtan bağımlı değişken; F, zorlayıcı fonksiyon ve
m, sistemin bir özelliğidir. Bu basit durum için bağımsız değişken yoktur, çünkü
henüz ivmenin konuma ya da zamana göre nasıl değiştiğini belirlemedik. Eşitlik (1.3)
basit bir cebirsel ifadedir ve kolaylıkla çözülebilir. Ancak, diğer fiziksel olayların
matematik modelleri çok daha karmaşık olabilir. Bunlar ya tam olarak çözülemez, ya
da daha karmaşık matematiksel çözüm teknikleri gerektirirler.

Yeryüzüne yakın bir yükseklikte serbest düşen bir cismin son hızını elde etmek için
Newton’un ikinci yasasını kullanalım. Burada düşen cisim yüksek bir yerden atlayan
“bungee jumper” (Şekil 1.1a) veya bir paraşütçü Şekil (1.1b) olsun. İvme, hızın
zamana göre değişimi olarak ifade edilir ve (1.3) eşitliğinde yerine yazılırsa
dv F
= (1.4)
dt m

Cisme etkiyen net kuvvet, ağırlık ve ters yöndeki hava direncinin bileşkesidir.
2
Şekil 1.1 Serbest düşen cisimlere etki eden kuvvetler

F=F +F (1.5)
D U

Eğer aşağı yön pozitif kabul edilirse,

F = mg (1.6)
D

yazılabilir. Hava direncinin hızla doğru orantılı olarak değiştiği kabul edilebilir.

F = −cv (1.7)
U

Burada c (kg/s), direnç katsayısı olarak isimlendirilir. Gerekli basitleştirmeler
yapılarak aşağıdaki ADD elde edilir.

dv c
=g− v (1.8)
dt m

Eğer başlangıçta paraşütçü hareketsiz ise, (t=0 iken v=0) diferansiyel denklemin
çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir.

mg[ ]
v(t)= 1−e−(c/m)t (1.9)
c
3
Eşitlik (1.9) ile (1.1) karşılaştırılırsa; v(t), bağımlı değişken; t, bağımsız değişken, c ve
m, parametreler ve g, zorlayıcı fonksiyon olarak karşımıza çıkar.

Örnek 1.1 Kütlesi 68.1 kg olan bir paraşütçü, duran bir hava balonundan
atlamaktadır. Paraşütçünün hızının zamanla değişimini bulunuz.

Çözüm: Sayısal değerler (1.9) eşitliğinde yerlerine yazılırsa, hızın zamana göre
değişimini veren ifade elde edilir.

[ ]
v(t) =53.391−e−0.18355 t (1.10)
Dikkat edilirse bu fonksiyonun alacağı maksimum değer v=53.39 m/s kadardır.

60
Son hız
50
40
s
m/ 30
,
v
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30
t,s

Şekil 1.2 Düşen paraşütçü probleminin analitik çözümü. Paraşütçünün hızı zamanla
artmakta ve asimptotik olarak bir son hız değerine ulaşmaktadır.

Eşitlik (1.9) orijinal diferansiyel denklemi tamamen sağladığından analitik veya tam
çözüm olarak adlandırılır. Ancak ne yazık ki birçok matematik model tam olarak
çözülemez. Birçok durumda tam çözüme yaklaşmak için tek seçenek, sayısal bir
çözüm geliştirmektir.
Daha önce anıldığı gibi sayısal yöntemler, matematiksel problemlerin cebirsel
işlemlerle çözülebilmesi için yeniden ifade edildiği problemlerdir. Bu ise Newton’un
ikinci yasasında hızın zamana göre türevinin yaklaşık olarak Şekil 1.3 te görüldüğü
gibi ifade edilmesiyle gösterilebilir.

4
Şekil 1.3 v’nin t’ye göre birinci türevi için sonlu fark yaklaşımının kullanılması

dv ∆v v(t )−v(t )
≅ = i+1 i (1.11)
dt ∆t t −t
i+1 i

Bu ifade türevin yaklaşık olarak hesaplanmasını sağlar. Burada, v(ti), ti başlangıç
anındaki hız, v(ti+1) ise sonraki ti+1 anındaki hızı göstermektedir. Türevin bu değeri
(1.8) denkleminde yerine yazılır ve ifade yeniden düzenlenirse,

 c 
v(t )= v(t )+ g− v(t ) (t −t ) (1.12)
i+1 i  i  i+1 i
 m 

Örnek 1.2 Örnek 1.1’deki hesaplamayı sayısal olarak yapın.

Çözüm: (1.12) eşitliği kullanılarak istenen hesaplama yapılır. Başlangıçta t =0 ve
0
v(t )=0 olarak bilinmektedir. Zaman adımı 2 saniye olarak alınırsa,
0

 1.25 
v(t )=0+ 9.8− (0) (2−0)=19.60m/s
1  
 68.1 
 1.25 
v(t ) =19.60+ 9.8− (19.60) (2−0) =32.00m/s
2  
 68.1 

Zaman ilerletilerek diğer zamanlara ait çözümler elde edilir. Sayısal çözüm, tam
çözüm ile birlikte Şekil 1.4’te gösterilmiştir. Sayısal çözümün de tam çözümün asıl
karakteristiğini yakaladığını söylemek mümkündür. Ancak sürekli eğrisel bir
fonksiyon için doğrusal parçalı bir yaklaşım kullanıldığından, tam ve sayısal
5
çözümler arasında bir fark vardır. Bu farkı küçültmenin yolu daha küçük bir zaman
adımı kullanmaktır. Adımı küçültmenin daha fazla doğruluk sağladığı, ancak,
hesaplama zamanını da artırdığının farkında olmak gerekir.

Şekil 1.4 Düşen paraşütçü probleminde analitik ve sayısal çözümlerin karşılaştırılması

1.3. YAKLAŞTIRMA ve YUVARLATMA HATALARI

Her ne kadar, sayısal teknikler analitik çözüme yakın sonuçlar verse de, sayısal
yöntem bir yaklaştırma içerdiğinden tam çözümle arada bir fark (hata) ortaya
çıkmaktadır. Sayısal yöntemlerin iki ana hata türü yuvarlatma ve kesme hatalarıdır.

• Yuvarlatma hatası, bilgisayarların büyüklükleri sadece belirli sayıda haneyle
gösterebilmelerinden kaynaklanır (makineye bağlı).
• Kesme hatası, sayısal yöntemlerin, gerçek matematik işlem ve büyüklükleri
ifade edebilmek için yaklaştırma kullanabilmesi sonucunda oluşan farklılıklardır
(yönteme bağlı).

1.3.1. Anlamlı Basamaklar

Bir hesapta sayıyla çalışıyorsak bunu güvenle kullanabileceğimize dair garantimiz
olmalıdır. Örneğin Şekil 1.1’de verildiği gibi bir otomobilin hız ve kilometre
göstergelerini düşünelim. Hız göstergesinden otomobilin 49 ile 50 km/saat hızla
gittiği anlaşılabilir.
6
60
40
60
40 80
20 100
0 120
4
87324
5

Şekil 1.5 Anlamlı basamak kavramını göstermek için bir otomobilin hız ve kilometre
göstergeleri

İbre gösterge üzerindeki işaretlerin orta noktasından daha uzun olduğu için, aracın
yaklaşık olarak 50 km/saat hızla hareket ettiğini güvenle söyleyebiliriz. Bu okumaya
güveniriz, çünkü bu göstergeyi okuyacak iki veya daha fazla kişi de aynı sonuca
ulaşacaklardır. Ancak hızın okunmasında noktadan sonra bir ondalık basamak daha
olmasında ısrar edilecek olursa, bir kişi 49.8, bir başkası 49.9 km/saat diyebilecektir.
Dolayısı ile bu aletin sınırları nedeniyle okumanın sadece ilk iki basamağı güvenle
kullanılabilir. Öte yandan kilometre göstergesi altı kesin basamak göstermektedir.
Bir sayının anlamlı basamakları güvenle kullanılabilecek olan basamaklardır. Kesin
bilinen basamak sayısına ek olarak bir de tahmin edilen basamağı ifade ederler. Buna
göre hız göstergesi 3 anlamlı basamak, kilometre göstergesi ise 7 anlamlı basamak
göstermektedir.

Genellikle bir sayının anlamlı basamaklarını bulmak kolay olsa da, bazı karışık
durumlar olabilmektedir. Örneğin, sıfırlar her zaman anlamlı basamak değildir,
çünkü sadece ondalık noktanın yerini belirler. 0.00001845, 0.0001845 ve 0.001845
sayılarının hepsinde dört anlamlı basamak vardır. Benzer biçimde büyük sayılarda,
sağ taraftaki sıfırların kaç tanesinin anlamlı olduğu açık değildir. Örneğin, 45300
sayısının sıfırlarının güvenle bilinip bilinmemesine bağlı olarak üç, dört veya beş
anlamlı basamağı olabilir. Bu tür belirsizlikler bilimsel notasyon kullanılarak
giderilebilir. 4.53×104, 4.530×104, 4.5300×104 sayıları sırasıyla üç, dört ve beş anlamlı
basamağa kadar bilinmektedir.

1.3.2. Doğruluk ve Hassaslık

Doğruluk, hesaplanan ya da ölçülen değerin gerçek değere ne kadar uyduğunu ifade
eder. Hassaslık ise, hesaplanan ya da ölçülen değerlerin kendi aralarında ne kadar
7
uyumlu olduklarını ifade eder. Şekil 1.2 deki hedef tahtasındaki her bir mermi deliği,
sayısal bir tekniğin tahminleri olarak, hedefin ortası da gerçek olarak düşünülebilir.

Şekil 1.6 Doğruluk ve hassaslık kavramlarını açıklamak için hazırlanmış hedefe atış örneği
(a) yanlış ve belirsiz (b) doğru ve belirsiz (c) yanlış ve hassas (d) doğru ve hassas

1.3.3. Hata Tanımları

Sayısal hatalar gerçek matematik işlemlerin ve büyüklüklerin yaklaştırmalarla ifade
edilmelerinden doğar. Bunlar kesme ve yuvarlatma hatalarıdır. Gerçek ve yaklaşık
sonuç arasındaki ilişki,

Gerçek değer = yaklaştırma + hata (1.13)

Şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda gerçek sayısal hata, E , aşağıdaki şekilde ifade
t
edilir.
E = gerçek değer – yaklaştırma (1.14)
t

Bu tanımın eksikliği, incelenmekte olan değerin mertebesini hiç dikkate almamasıdır.
Örneğin bir santimetrelik bir hata, iki şehir arasındaki mesafe için anlamlı değilken,
bir kalemin boyunun ölçümü için anlamlıdır. Büyüklüklerin mertebelerini de dikkate
almanın bir yolu hanın gerçek değere göre normalize edilmesidir.

Gerçek oransal bağıl hata = gerçek hata / gerçek değer

Gerçek bağıl yüzde hata aşağıdaki şekilde tanımlanır.

ε = (gerçek hata/ gerçek değer) × %100 (1.15)
t

Burada t indisi hatanın gerçek değerle normalize edildiğini göstermektedir. Ancak
sayısal yöntem uygulamalarında gerçek değer bilinmediğinden bu hata
8
hesaplanamaz. Bu durumda hata, gerçeğin en iyi bilinen tahminine göre normalize
edilir.
ε = (yaklaşık hata/ yaklaştırma) × %100 (1.16)
a

Burada a indisi hatanın bir yaklaştırma ile normalize edildiğini göstermektedir.
Sayısal yöntemlerdeki zor işlerden biri de gerçek değer hakkında bilgi sahibi
olmadan hata tahminleri yapmaktır. Örneğin belirli sayısal yöntemler, yanıtı
hesaplamak için iteratif yaklaşım kullanır. Bunlarda mevcut yaklaştırma, bir önceki
yaklaşım esas alınarak yapılır. Bu tip durumlarda hata, genellikle o andaki
yaklaştırma ile bir önceki yaklaştırma arasındaki fark olarak tahmin edilir.
Dolayısıyla, bağıl yüzde hata aşağıdaki ifadeyle bulunur:

ε = (mevcut yaklaştırma-önceki yaklaştırma) /(mevcut yaklaştırma)× %100
a

Çoğu zaman hesap yaparken hatanın işareti ile ilgilenmeyebiliriz, ancak yüzdenin
mutlak değerinin önceden verilen bir ε tolerans değerinden daha küçük olup
s
olmadığı bizi ilgilendirir. Bu durumda aşağıdaki şart sağlanıncaya kadar hesaba
devam edilir.
ε <ε (1.17)
a s

Bu bağıntı sağlanırsa, sonucun daha önce belirlenmiş, kabul edilebilir hata sınırları
içinde kaldığı kabul edilir.

Hataları anlamlı basamak sayısıyla da ilişkilendirmek yararlı olacaktır. Aşağıdaki
ölçüt gerçekleştiği takdirde sonucun en az n anlamlı basamak için kesinlikle doğru
olduğu literatürde ispatlanmıştır.

ε =%(0.5×102−n) (1.18)
s

1.3.4. Yuvarlatma Hataları

Daha önce belirtildiği gibi, yuvarlatma hataları bilgisayarların hesaplar sırasında
sadece belirli sayıda anlamlı basamağı saklamalarından kaynaklanır. π, e,√7 gibi
sayılar sabit sayıda anlamlı basamakla yazılamaz. Bu nedenle bilgisayarda tam
olarak ifade edilemezler. Ayrıca bilgisayarlar 2-tabanlı gösterim kullandıklarından
bazı 10-tabanlı tamsayıları da hassas olarak ifade edemezler. Anlamlı basamakların
bu şekilde ihmal edilmelerinden doğan farka yuvarlatma hataları denir.

1.3.4.1 Sayıların bilgisayarda gösterimi

Sayısal yuvarlatma hataları doğrudan sayıların bilgisayarda saklanma şekliyle
ilgilidir. Bilginin gösterildiği en temel birim kelime olarak bilinir. Bu büyüklük bir
dizi iki tabanına göre yazılmış sayı veya bit’ten meydana gelir. Sayılar tipik olarak
bir veya daha fazla kelime şeklinde saklanır. Bunun nasıl yapıldığını anlamak için,
önce sayı sistemleriyle ilgili bazı bilgileri gözden geçirmek gerekir.
9