RODRIGO ALEXANDRE SIQUEIRA

145 Pages·2012·4.13 MB·English

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
Rodrigo Alexandre Siqueira
Sobre o sistema de Navier-Stokes Quˆantico para
fluidos incompress´ıveis: Resultados de regularidade e
unicidade de soluc¸˜oes fortes e Ana´lise de Erro para as
aproxima¸co˜es semi-Galerkin espectrais
Curitiba
2017
Rodrigo Alexandre Siqueira
Sobre o sistema de Navier-Stokes Quˆantico para
fluidos incompress´ıveis: Resultados de regularidade e
unicidade de soluc¸˜oes fortes e Ana´lise de Erro para as
aproxima¸co˜es semi-Galerkin espectrais
Tese apresentada ao Curso de Po´s-Gradua¸c˜ao
´
em Matema´tica, Area de Concentra¸ca˜o em
Equa¸co˜es Diferenciais Parciais, Departamento
de Matema´tica, Setor de Ciˆencias Exatas,
Universidade Federal do Parana´, como requi-
sito parcial a` obten¸ca˜o do grau de Doutor em
Matema´tica.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Danizete Dam´azio
Co-orientadora : Prof.a Dra. Ana Leonor Silvestre
Curitiba
2017
S618s Siqueira, Rodrigo Alexandre
Sobre o sistema de Navier-Stokes quântico para fluidos incompressíveis:
resultados de regularidade e unicidade de soluções fortes e análise de erro
para as aproximações semi-Galerkin espectrais / Rodrigo Alexandre Siqueira.
– Curitiba, 2017.
134 f ; 30 cm.

Tese - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas,
Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2017.
Orientador: Pedro Danizete Damázio – Co-orientador: Ana Leonor
Silvestre
Bibliografia: p. 132-134.
1. Navier-Stokes, Equações de. 2. Dinâmica dos fluidos. 3. Galerkin,
Métodos de. I. Universidade Federal do Paraná. II.Damázio, Pedro Danizete.
III. Silvestre, Ana Leonor . IV. Título.
CDD: 530.15

“Quando a situa¸c˜ao for boa, desfrute-a.
Quando a situa¸c˜ao for ruim, transforme-a.
Quando a situa¸c˜ao n˜ao puder ser transfor-
mada, transforme-se.”
Viktor Frankl
i
Dedico
`
A minha ma˜e Judite e `a minha esposa
Elaine que sempre me incentivam e me
d˜ao for¸cas para que eu nunca desista.
ii
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus, por v´arios motivos, mas principalmente por ele ter
me amado primeiro e sempre ter cuidado de mim nos momentos que eu menos merecia.
Ao Professor Pedro Danizete Dam´azio que, sem medir esfor¸cos, esclareceu muitas
du´vidas e possibilitou a realiza¸ca˜o deste trabalho, pela orienta¸ca˜o, apoio, incentivo, con-
fian¸ca e, principalmente, pela amizade demonstrada ao longo desta trajet´oria.
`
A Professora Ana Leonor Silvestre por toda a dedica¸ca˜o e longos per´ıodos de conversas
o qual foi fundamental para minha forma¸c˜ao.
Ao professor Jos´e Renato Ramos Barbosa pelas conversas, incentivos, conselhos, apoio
e amizade que tornou essa trajeto´ria mais suave.
A todos os professores da UFPR que, de maneira direta ou indireta, colaboraram para
a realiza¸ca˜o deste trabalho.
Aos colegas da p´os-graduac¸˜ao pela amizade, companheirismo e contribui¸ca˜o no desen-
volvimento desta Tese.
E por fim, aos programas Capes-DS e Capes-PDSE, pelo apoio financeiro.
iii
Resumo
No presente trabalho estudaremos a existˆencia e unicidade de solu¸ca˜o
forte e estimativas de erro para os casos local e global do Problema de
Navier-Stokes Quˆantico para Fluidos Incompress´ıveis. Analisaremos
o problema considerando o toro Td com d ≤ 3. Para garantirmos a
existˆencia e unicidade de solu¸ca˜o forte local e global, usamos o m´etodo
de Faedo-Galerkin semi-espectral.
Palavras-chave: Equa¸ca˜o de Navier-Stokes quˆantica, fluidos incom-
press´ıveis, Solu¸ca˜o forte, Local no tempo, Global no tempo, Estimativas
de erro.
iv
Abstract
In this work we study the existence and uniqueness of strong solution
and error estimates for the local and global cases of the Navier-Stokes
problem for incompressible quantum fluids. We analyze the problem
when considering the torus Td with d ≤ 3. To ensure the existence and
uniqueness of local and global strong solution, we use the semi-spectral
Faedo-Galerkin method.
Key-words: quantum Navier-Stokes equation, incompressible fluids,
strong solution, Local in time, Global in time, error estimates.
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