Ricerca Operativa

377 Pages·2013·2.222 MB·Italian

by  Massimo Pappalardo, Mauro Passacantando

Didattica e Ricerca
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Massimo Pappalardo, Mauro Passacantando
Ricerca Operativa

seconda edizione
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Pappalardo, Massimo
Ricerca operativa / Massimo Pappalardo, Mauro Passacantando. - Pisa : Pisa
university press, c2012 (Didattica e ricerca. Manuali)
658.4034 (21.)
1. Ricerca operativa I. Passacantando, Mauro
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ISBN 978-88-6741-073-6
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“Mim`ı, [...] fai un segno di croce, seu llo stradario di Vigata,
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per indicare dove stanno di casoa questi che hanno il cognome
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che principia con la O.aQ uindi traccia un percorso ideale, il
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piu` breve, perch´eaalp momento opportuno possiamo avvertire
tutti nel minoe rittrempo possibile.”
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Ao ndrea Camilleri, La prima indagine di Montalbano.
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Questo e-book appartiene a CorradoD'Amico
Indice
Introduzione 9
I Programmazione Lineare (PL) 13
1 Problemi e modelli di PL 15
1.1 Produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Dieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Miscelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Teoria della PL 19
2.1 Geometria della PL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Condizioni di ottimalita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Teoria della dualita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Algebra della PL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 PL parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Algoritmo del simplesso 63
3.1 Simplesso primale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Simplesso duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Regoleanticiclo di Bland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ocimA'DodarroC a eneitrappa koob-e4I IoEtssPeerrcuoizgQirdaimPmLazione Lineare su reti 10931
5 Problemi e modelli di PL su reti 105
5.1 Flusso di costo minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 Trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Cammini minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Flusso massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5 Assegnamento di costo minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6 Addestramento di costo minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5
5.7 Accoppiamento di cardinalit`a massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6 Flusso di costo minimo 117
6.1 Proprieta` della matrice di incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Flusso di costo minimo non capacitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o. 122
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6.3 Flussi e potenziali di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m.i. . 141
6.4 Algoritmo del simplesso per flussi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. . . . 151
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7 Cammini minimi o 163
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7.1 Algoritmo del simplesso per cammini . . . . . . . . . . . . . .a. . . . . . . 164
r
7.2 Algoritmo di Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r. . . . . . . . 169
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7.3 Algoritmo di Bellman–Ford . . . . . . . . . . . . . . . . C. . . . . . . . . . 175

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8 Flusso massimo e 185
n
8.1 Algoritmo del simplesso per flusso massimo . . . . e. . . . . . . . . . . . . . 185
8.2 Problema del taglio di capacita` minima . . . . .rt.i. . . . . . . . . . . . . . 192
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8.3 Algoritmo di Ford–Fulkerson . . . . . . . . . .p. . . . . . . . . . . . . . . . 194
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9 Esercizi di PL su reti 211
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III Programmazione Lineare Int-era (PLI) 225
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10 Problemi e modelli di PLI st 227
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10.1 Carico fisso . . . . . . . . . u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
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10.2 Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3 Distribuzione di lavori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.4 Selezione di sottoinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11 Teoria della PLI 239
11.1 Relazioni tra PL e PLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.2 Caratterizzazione della regione ammissibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.3 Piani di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12 Metodo del Branch and Bound 251
12.1 Regolegenerali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.2 Rilassamento lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13 Caricamento 261
13.1 Risoluzione con il Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.2 Risoluzione con la programmazione dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6
14 Commesso viaggiatore 275
14.1 Problema asimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
14.2 Problema simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
15 Esercizi di PLI 289
IV Programmazione Non Lineare (PNL) 299
16 Problemi e modelli di PNL 301
16.1 Datafitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
16.2 Portafoglio ottimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
17 Teoria della PNL 305
17.1 Esistenza di ottimi globali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
17.2 Regolarit`a dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
17.3 Condizioni di ottimalit`a del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.4 Condizioni di ottimalit`a del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
18 Metodi di PNL per funzioni di una variabile 329
18.1 Algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
18.2 Metodi esatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Q
18.3 Metodi inesatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
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19 Metodi di PNL per funzioni di piu` varsiabili 339
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19.1 Metodo del gradiente . . . . . . . . .o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

19.2 Metodo del gradiente coniugato . .e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
19.3 Metodo di Newton . . . . . . . .b.-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.4 Metodo di Frank-Wolfe . . . . . .o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
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19.5 Metodo del gradiente proiettato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
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20 Esercizi di PNL p 363
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A Prerequisiti a 367
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Introduzione
IproblemidiRicercaOperativasonoproblemidecisionalidiottimizzazionediunobiettivo
inpresenzadirisorselimitate. Sonocaratterizzatidalfattoche,generalmente,sicostruisce
un modello matematico che li descrive e poi si risolve il modello.
Un modello matematico di ottimizzazione`e un problema di massimo o minimo di una
funzione f : Rn → R ristretta ad una regione Ω dello spazioQdeufienitsatdoa vein-cbolioeospkre ssai ppartiene a CorradoD'Amico
tramite intersezioni di insiemi di livello di funzioni a valori reali:
Ω={x∈Rn : g(x)≤0, h(x)=0},
dove g : Rn → Rm e h : Rn → Rp. Dati due vettori a,b ∈ Rn, la notazione a ≤ b `e
da intendersi ai ≤ bi per ogni componente i = 1,...,n. Un problema di massimo si pu`o
trasformare in modo equivalente in uno di minimo e viceversa poich´e si ha
max f(x)=−min −f(x)
ed i punti di massimo di f coincidono con i punti di minimo di −f.
Lafunzione f `echiamata funzioneobiettivo, l’insieme Ωregioneammissibile, ciascuna
delle disequazioni gi(x) ≤ 0, i = 1,...,m, ed equazioni hj(x) = 0, j = 1,...,p, che
descrivonoΩ`edettavincolo. Inseguitosiadottera`laconvenzionecheilminimo(massimo)
di una funzione su una regione ammissibile vuota`e+∞ (−∞).
Un punto x∗ ∈Ω`e detto minimo globale (o assoluto) di f su Ω se
f(x∗)≤f(x), ∀ x∈Ω.
Un punto x∗ ∈Ω`e detto minimo locale (o relativo) di f su Ω se esiste una sfera B(x∗,r)
di centro x∗ eraggio r tale che
f(x∗)≤f(x), ∀ x∈Ω∩B(x∗,r).
Ledefinizionidimassimoglobaleemassimolocalesiottengonodalleprecedentisostituendo
≥ al posto di ≤.
Il volume `e diviso in quattro parti. Nella prima verranno trattati i problemi di Pro-
grammazioneLineare(PL), cio`eproblemi di ottimizzazione in cui`elinearesia lafunzione
obiettivo f(x)=cTx, con c∈Rn, che i vincoli g(x)=Ax−b e h(x)=Cx−d, dove A`e
una matrice m×n, b∈Rm, C una matrice p×n e d∈Rp. La seconda parte`e dedicata
9
Introduzione
ai problemi di PL su reti, cio`e particolari problemi di PL definiti su un grafo. Nella terza
partesarannoanalizzatiiproblemidiProgrammazioneLineareIntera(PLI),cio`eproblemi
diPLincui`epresente ancheilvincolo x∈Zn,cio`elevariabilidevono assumere valoriin-
teri. Infine,nellaquartapartesarannotrattatiiproblemidiProgrammazioneNonLineare
(PNL) in cui non tutte le funzioni f, gi con i=1,...,m, hj con j =1,...,p sono lineari.
UnproblemadiRicercaOperativasievolveattraversovaristadi. Sipossonoevidenziare
i piu` importanti:
• raccolta dei dati del problema utili per la risoluzione,
• costruzionedelmodellomatematicocherappresentiungiustoequilibriotraproblema
realeetrattabilit`amatematica. Individuazionedellevariabili,dellafunzioneobiettivo
e dei vincoli,
• studio delle proprieta` teoriche del modello matematico. Ricerca della soluzione
ottima,
• costruzione ed implementazione di un algoritmo,
• risoluzione numerica,
• retroazione (feedback)sul problema di partenza,
Gli algoritmi sono gli strumenti matematici per risolvere un problema e che, se la
o
ci soluzione`econdottatramiteilcalcoloautomatico,divengonodifondamentaleimportanza.
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A' Per formalizzare il concetto di algoritmo diamo la seguente definizione.
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arro Definizione. Un algoritmo `e una sequenza1 di istruzioni2 chiare3 che un esecutore4, in
C a tempo limitato5, compie6 per ottenere7 una8 soluzione9 di un10 problema11.
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eitr
Difondaamentaleimportanza`edimostrarelacorrettezzadiunalgoritmocio`edimostrare
p
che la soluzionpead eterminata sia effettivamente la soluzione cercata.
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Per valutare l’effiocienza di un algoritmo che termina in un numero finito di iterazioni
o
con una soluzione esattabd-eel problema, bisogna introdurre dei concetti quantitativi. La
ot
1Sonoordinate(determinismo). se
u
2CisonoprogrammielinguaggidiprogramQmazione.
3Sonocerteeuniche.
4Uncalcolatoreopiu`calcolatori.
5Complessita`computazionale.
6Lavorasudatidiingressochehannouna“struttura”.
7Correttezzadell’algoritmocheconsisteneldimostrarechel’algoritmoterminafornendounasoluzione
delproblema.
8Approssimata,esatta,euristica.
9Decisionale,diricercaodiottimizzazione.
10Classidiproblemi.
11Modellisticacheconsisteneltrasformareunproblemainunmodellomatematico.
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