Résurgence des solutions BKW d'une EDO singulièrement perturbée

0.43 MB·French

by  Jean-Marc Rasoamanana

R´esurgence des solutions BKW formelles d’une
EDO singuli`erement perturb´ee
6
Jean-Marc Rasoamanana
0
0
2 D´epartement de Math´ematiques, UMR CNRS 6093, Universit´e

n d’Angers, 2 Boulevard Lavoisier, 49045 Angers Cedex 01, France.
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1
Table des mati`eres
1 Introduction 3
1.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Cas de l’´equation d’Airy 6
2.1 Aspect formel : le symbole BKW d’Airy . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Etude du ph´enom`ene de Stokes associ´e . . . . . . . . . . . . . 6
3 Analyse BKW formelle dans le cas g´en´eral 9
3.1 Existence de solutions BKW formelles . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Solutions BKW ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 R´esurgence des solutions BKW ´el´ementaires 12
4.1 Construction de fonctions confluentes. . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.1 Repr´esentation de type Laplace . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.2 R´esolution de l’EDP singuli`ere associ´ee . . . . . . . . 13
4.1.3 Construction explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 D´ecomposition et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 D´ecomposition dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
4.2.2 Lien avec le mod`ele d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Applications 28
5.1 Un th´eor`eme local de r´eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Applications pour l’´equation de Schro¨dinger . . . . . . . . . . 28
5.3 Extensions possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Pistes de recherche 32
6.1 Points tournants d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2 Sommabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A Appendice : Fonctions confluentes et microfonctions 35
A.1 : D´ecomposition locale (pour la direction α = 0) . . . . . 37
2
1 Introduction
1.1 Pr´esentation
Les EDO singuli`erement perturb´ees servent tr`es souvent de mod`eles, no-
tammentenphysiquequantique(leparam`etredeperturbationεrepr´esentant
alors la constante de Planck ~ des physiciens).
Un exemple classique est l’´equation de Schro¨dinger unidimensionnelle sta-
tionnaire dans le champ complexe :
d2Y
ε2 V(q)Y = 0, (1)
dq2 −
ou` la fonction potentielle V est analytique (par exemple polynomiale).
L’´etude de telles ´equations conduit de mani`ere naturelle `a consid´erer
des solutions formelles (en ε) qu’on appelle d´eveloppements BKW (du nom
des physiciens Brillouin, Krammers et Wentzel) ou d´eveloppements semi-
classiques.
D’une mani`ere g´en´erale, ces d´eveloppements formels sont divergents, ce
qui conduit alors `a ´etudier leur caract`ere r´esurgent ou sommable (de Borel)
parrapportauparam`etre deperturbationε(ce qu’E´calle appeller´esurgence
quantique ou co´equationnelle dans [17]).
Les techniques desommation ont´et´e largement d´evelopp´ees, notamment
graˆceauxtravauxdeJ.P.Ramis([27],[28]et[29]notamment)etdeJ.Ecalle
([14], [15], [16] et [17] par exemple), et utilis´ees avec succ`es pour retrouver,
`a partir de certains d´eveloppements formels, des “vraies” solutions exactes
de l’´equation consid´er´ee. De fait, l’int´erˆet de la sommation de Borel, notam-
ment dans la m´ethode BKW, est immense, tant au niveau math´ematique
proprement dit (voir [12], [13], [16] ou [35]) qu’au niveau des applications en
physique (voir [5], [7], [32] et [36] par exemple).
Cettem´ethodedesommationdanslecadreBKWestsouventqualifi´eed’-
analyseBKWexacte(oud’analysesemi-classiqueexacte)etcetteexactitude
permet notamment l’obtention, dans certains cas, de formules de connexion
entre les diff´erentes solutions BKW (voir [35] par exemple).
En ce quiconcerne l’aspect r´esurgent detels d´eveloppements, il apparaˆıt
que les solutions BKW peuvent ˆetre perc¸ues comme un v´eritable codage
exact de vraies solutions (voir [11]) et non pas seulement comme de simples
approximations. Le ph´enom`ene de Stokes s’interpr`ete alors naturellement
comme discontinuit´e dans de tels codages.
Un th´eor`eme d’Ecalle affirme que dans le cas de l’´equation (1), il existe
toujours une base de solutions BKW formelles r´esurgentes, pourvu que le
potentiel V se comporte “suffisamment bien `a l’infini”. Toutefois, de l’avis
des sp´ecialistes, ce th´eor`eme n’est pas encore compl`etement d´emontr´e dans
sa g´en´eralit´e.
3
Notre point de vue s’inscrit dans ce “courant de pens´ee”.
Le sujet principal de cet article est l’´etude de l’´equation diff´erentielle ordi-
naire singuli`erement perturb´ee :
d2Φ z
Φ = F(z)Φ, (2)
dz2 − ε2
ou` F d´esigne une fonction holomorphe, au moins au voisinage de l’origine,
et ε est un petit param`etre complexe.
Remarquons que cette ´equation ne rentre pas dans le champ d’applications
du th´eor`eme d’Ecalle pr´ec´edemment cit´e.
En utilisant les outils de la th´eorie BKW exacte, nous allons analyser
les propri´et´es de r´esurgence (param´etrique) d’une classe de solutions BKW
formelles “bien normalis´ees”.
Nous discuterons ´egalement de leur ´eventuel caract`ere sommable.
En outre, le r´esultat principal de cet article est le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.1. Lorsque F est holomorphe au voisinage de l’origine (re-
spectivement enti`ere), il existe une famille de solutions BKW ´el´ementaires
r´esurgentes de type Airy local (respectivement de type Airy) Φ (z,ε) de
bkw
l’´equation (2),
au sens de la d´efinition suivante :
D´efinition 1.2. Un symbole r´esurgent ´el´ementaire Φ(z,ε) est dit de type
Airy local en (z = 0,ε = 0) (respectivement de type Airy) s’il v´erifie les
conditions suivantes :
1. son support singulier est inclus dans la courbe alg´ebrique
= (z,ξ), 9ξ2 = 4z3 au voisinage de (z = 0,ε = 0),
C { }
2. pour toute direction α, et tout germe de secteur de Stokes (respective-
ment secteur de Stokes) S relatif `a α, toute d´etermination du symbole
Φ(z,ε) peut s’´ecrire comme la d´ecomposition locale (respectivement
d´ecomposition), pour z S, d’une fonction confluente (respective-
∈
ment d’une fonction confluente r´esurgente) `a support singulier inclus
dans .
C
Par ailleurs, l’une de nos motivations est d’appliquer nos r´esultats `a
l’´equation de Schro¨dinger (1) : en effet, cette derni`ere se ram`ene `a notre
´equation principale (2) via un changement de variable analytique.
Enparticulier,nous´etablissonsunth´eor`emelocalr´esurgentder´eduction(au
voisinage d’un point tournant simple) qui affirme que l’´equation (1) peut se
ramener `a l’´equation d’Airy :
d2y s
= y, (3)
ds2 ε2
(i.e l’´equation d’Airy est le mod`ele local universel pour un point tournant
simple).
4
1.2 Contenu
Le papier est organis´e de la mani`ere suivante.
Dans un premier temps, nous allons analyser en d´etail dans la section 2
l’´equation (2) dans le cas ou` F = 0. : l’´equation (2) n’est alors rien d’autre
que l’´equation d’Airy, qui va nous servir de mod`ele pour l’analyse BKW ex-
acte de l’´equation (2) dans le cas g´en´eral. En particulier, nous y d´efinissons
le symboleBKWd’Airy, y rappelonsses propri´et´es der´esurgence et somma-
bilit´e et analysons en d´etail le ph´enom`ene de Stokes associ´e.
Dans la section 3, nous commenc¸ons par l’analyse BKW formelle de
l’´equation (2) dans le cas g´en´eral en montrant l’existence d’une famille de
solutions BKW formelles ”bien normalis´ees” de (2).
La section 4 constitue la partie centrale de l’article, ou` nous allons prou-
ver la r´esurgence (locale) des solutions BKW formelles ´el´ementaires. La
preuve se fait en deux ´etapes :
1. Lapremi`ere´etapeconsiste`aconstruiredanslecas ou` lafonction F est
holomorpheauvoisinagedel’origine(respectivemententi`ere) desfonc-
tions confluentes (respectivement fonctions confluentes r´esurgentes)
solutionsde(2)`asupportsingulierlacourbealg´ebrique = (z,ξ), 9ξ2 =
C {
4z3 . Cette construction repose essentiellement sur deux ingr´edients :
}
unequantificationdelatransformationcanoniqueassoci´ee`al’op´erateur
principalintervenantdansl’´equation (2),puislar´esolution d’uneEDP
singuli`ere.
2. La deuxi`eme´etape consiste alors `a d´emontrer l’existence d’une famille
desolutionsBKW´el´ementairesquipeuventˆetrevuescommelad´ecomposition
locale (respectivement d´ecomposition) dans des germes de secteurs
de Stokes (respectivement secteurs de Stokes) convenables des fonc-
tions confluentes (respectivement fonctions confluentes r´esurgentes)
pr´ec´edemment construites.
La section 5 est consacr´ee aux applications des r´esultats obtenus en
section 4. Un premier paragraphe ´etablit l’existence d’un th´eor`eme local
r´esurgent de r´eduction tandis qu’un deuxi`eme paragraphe est consacr´e `a l’-
analyse BKW de l’´equation de Schro¨dinger (1) induite par celle de notre
´equation principale (2). Un dernier paragraphe expose quelques extensions
possibles de nos r´esultats.
Enfin, la section 6 expose quelques pistes de recherche d´ecoulant na-
turellement de notre analyse.
Nous terminons par un appendice qui expose bri`evement quelques no-
tions fondamentales utilis´ees dans ce papier.
5
1.3 Convention
Dans l’analyse BKW exacte, tous les principaux objets ((pr´e)sommation
de Borel, secteurs de Stokes, etc...) sont relatifs `a une direction donn´ee α,
qui peut ˆetre vue comme un argument.
Dans tout ce qui va suivre, sauf mention contraire, nous supposerons que
α = 0, de sorte que (ε) > 0 (et ε assez petit).
ℜ | |
2 Cas de l’´equation d’Airy
Nous nous concentrons ici sur l’´equation d’Airy :
d2y s
= y, (4)
ds2 ε2
c’est-a`-dire sur l’´equation (2) lorsque F = 0.
Comme nous l’avons dit, cette ´equation va nous servir de r´ef´erence pour l’-
analyseBKWdel’´equation (2),dufaitquel’op´erateur principalintervenant
dans (2) est pr´ecis´ement celui d’Airy.
Nousrappelonsicilesprincipauxr´esultatsconnusconcernantl’analyseBKW
de l’´equation d’Airy.
2.1 Aspect formel : le symbole BKW d’Airy
Nous commenc¸ons par introduire une solution BKW formelle ”bien nor-
malis´ee” associ´ee `a l’´equation d’Airy :
D´efinition 2.1. La solution BKW ´el´ementaire suivante :
2z3/2
e−3 ε +∞
 A (z,ε) = 1+ α (z)εn
 bkw z14 nX=1 n ! (5)



 αn(z) = −43 n Γ(n2+πΓ16()nΓ+(n1+) 65)z−32n n≥ 1.
 (cid:18) (cid:19)



sera appel´ee le symbole BKW d’Airy.
LesymboleBKWd’Airysatisfaitlespropri´et´esfondamentalesder´esurgence
et de sommabilit´e (de Borel) suivantes :
Proposition 2.2. Le symbole BKW d’Airy estr´esurgent sommable de Borel
en ε 1, a` d´ependance r´eguli`ere en z = 0.
−
6
2.2 Etude du ph´enom`ene de Stokes associ´e
Pour cette ´etude, nous renvoyons `a [22, 10, 11, 12] pour plus de d´etails.
Rappelons ici que nous avons fait le choix de prendre la direction α = 0
6
comme direction de sommation de Borel.
Les lignes de Stokes et les secteurs de Stokes sont alors ceux dessin´es sur la
figure 1.a.
L
1
S S
2 1
λ
L
0
0 2 z 3
2
3
S
−1
L
−1
Fig. 1.a Fig. 1.b
Fig. 1 – Fig. 1.a : L , L et L 1 sont les lignes de Stokes (dans le z-
0 1
−
plan) associ´ees `a la direction α = 0. Les trois secteurs de Stokes sont les
secteurs ouverts connexes born´es par les lignes de Stokes (en oubliant la
ligne ondul´ee). Fig. 1.b : Le contour d’int´egration dans le ξ-plan. Les lignes
ondul´ees sont des coupures.
Tantquez restedansl’undessecteursdeStokes,lesymboleBKWd’Airy
est sommable de Borel. Par exemple, fixons les conventions suivantes :
Convention : en dessinant une coupure comme sur la Fig. 1.a, nous fixons
la d´etermination de z3/2 (resp. z1/4) de sorte que z3/2 (resp. z1/4) est r´eel
positif le long de L . Nous notons A+ (z,ε) la d´etermination de A (z,ε)
0 bkw bkw
ainsi d´efinie, et A (z,ε) := A+ (z, ε).
−bkw bkw −
Notation : nous avons vu dans la proposition 2.2 que le symbole BKW
d’Airy A+ est sommable de Borel.
bkw
Nous noterons par :
(z,ε) = s A+ (z,ε) (6)
A 0 bkw
sa somme de Borel. (cid:0) (cid:1)
Rappelons que cette derni`ere est holomorphe en (z,ε), (ε) > 0 et z S
1
ℜ ∈
(resp. S ) et s’´etend analytiquement en une fonction enti`ere en z. En par-
1
ticulier,− (z,ε) = 2√πε 1/6Airy(zε 2/3), ou` Airy est la fonction d’Airy.
− −
A
Historiquement, c’est par l’interm´ediaire del’´equation d’Airy que Stokes
d´ecouvrit le ph´enom`ene qui porte aujourd’hui son nom (voir son article fon-
dateur de 1857 [33]).
7
Il y a plusieurs fac¸ons de d´ecrire le ph´enom`ene de Stokes : le point de
vue adopt´e ici est de d´ecrire ce ph´enom`ene comme une rupture dans la
d´ecomposition de la fonction (z,ε) lors de la travers´ee d’une ligne de
A
Stokes. Cette rupture est due `a la pr´esence de singularit´es pour le mineur
associ´e `a (z,ε).
A
Pr´ecisons les choses.
La sommabilit´e de Borel induit une correspondance bijective entre un
d´eveloppement formel et sa somme de Borel de sorte que nous pouvons
associer `a sa d´ecomposition A+ pour z S (resp. S ) :
A bkw ∈ 1 −1
σ
(z,ε) S1 A+ (z,ε).
A −→ bkw
(7)
σ
resp. (z,ε) S−1 A+ (z,ε).
A −→ bkw
(cid:18) (cid:19)
Le fait que la d´ecomposition de (z,ε) dans S et S est donn´ee par le
1 1
A −
mˆeme d´eveloppement formel, ou autrement dit, que la sommation de Borel
et prolongement analytique en z commutent encore lorsque l’on franchit la
ligne de Stokes L , est duˆ au fait que le symbole BKW d’Airy A+ est
0 bkw
r´ecessif le long de L (avec la d´etermination pr´ec´edemment choisie pour
0
z3/2).
Enrevanche,cen’estplusvrailorsque,venantdeS (resp.S )l’ontraverse
1 1
−
la ligne de Stokes L (resp. L ) : pour z sur ces lignes, un ph´enom`ene de
1 1
−
Stokes apparaˆıt, et ce dernier est compl`etement d´ecrit par l’action de la
d´erivation ´etrang`ere suivante :
∆˙ A+ (z,ε) = ℓA+ (z,ε) = iA (z,ε) (8)
−34z3/2 bkw bkw − −bkw
ou`ℓestleprolongementanalytiqueenzautourde0danslesenstrigonom´etrique.
Cela signifie que la d´ecomposition de pour z S (disons) devient :
2
A ∈
σ
(z,ε) S2 A+ (z,ε) ℓA+ (z,ε) = A+ (z,ε)+iA (z,ε) (9)
A −→ bkw − bkw bkw −bkw
De mˆeme, pour z L , nous avons :
0
∈
∆˙ A (z,ε) = ℓA (z,ε) = iA+ (z,ε). (10)
+34z3/2 −bkw −bkw − bkw
La pr´esence de ces deux singularit´es (mobiles avec z) pour le mineur as-
soci´e `a (z,ε)setraduit´egalement naturellemententermesdelieu singulier
A
d’un majeur.
En effet, la somme de Borel de A pour z S (disons) peut ˆetre d´efinie
bkw 1
∈
comme une int´egrale,
s0(Abkw)(z,ε) = e−1εξ Ab∨kw (z,ξ)dξ. (11)
Zλ
8
ou` A∨ (z,ξ) est un majeur associ´e au symbole BKW d’Airy. Ce majeur
bkw
est holomorphe sur le revˆetement universel de C2 , ou` le support singulier
\C
est la courbe alg´ebrique = (z,ξ), 9ξ2 = 4z3 . Le contour d’int´egration
C C { }
λ est dessin´e sur la figure 1.b pour z S , et sa d´eformation pour z S
1 2
∈ ∈
apr`es la travers´ee de la ligne de Stokes L est dessin´ee sur la figure 2.
1
2 z3
2
3
2 z3
2
3
Fig. 2 – Effet du ph´enom`ene de Stokes d´ecrit par (8) en termes de la
d´eformation du contour d’int´egration pour la somme de Borel (11).
Notons pour terminer que la repr´esentation int´egrale (11) ci-dessus peut
ˆetred´eduitedelarepr´esentationusuellepourlafonctiond’Airy,pluspr´ecis´ement
(`a un facteur de normalisation pr`es) :
e−1εS(z,z)dz ou` S(z,z) = zz 1z3. (12)
− 3
Z
b
Notreanalysedanslasection4bserabas´eesurbuneexbtensiobndecetterepr´esentation
int´egrale.
3 Analyse BKW formelle dans le cas g´en´eral
Nous nous focalisons maintenant sur l’´equation :
d2Φ z
Φ = F(z)Φ, (13)
dz2 − ε2
en supposant d´esormais que F est une fonction analytique au voisinage de
l’origine quelconque.
Nous nous int´eressons tout d’abord au probl`eme de l’existence de solutions
BKW formelles de l’´equation (2) (de mani`ere analogue `a la section 2).
3.1 Existence de solutions BKW formelles
Etant donn´e que l’op´erateur principal apparaissant dans l’´equation (2)
est celui d’Airy, il est naturel de rechercher des solutions BKW formelles de
la mˆeme forme que celle du symbole BKW d’Airy.
9
Ceci nous conduit `a la proposition suivante (dont la d´emonstration est
imm´ediate) :
Proposition 3.1. Il existe des solutions BKW formelles de l’´equation (2)
de la forme :
2z3/2
e−3 ε
Φ (z,ε) = (1+g (z)ε1 +g (z)ε2 + ). (14)
bkw z14 1 2 ···
Dans ce cas, les fonctions g v´erifient les´equations (diff´erentielles) de trans-
n
port suivantes :
dg
32z5/2 1 +16z2F(z) 5 = 0
dz −


 32z5/2dgn+1 16z2d2gn +8zdgn + 16z2F(z) 5 g = 0, n 1.
dz − dz2 dz − n ≥
 (15)
 (cid:0) (cid:1)

Bien´evidemment,led´eveloppement(14),quiestmultivalu´eenz,d´epend
du choix de la d´etermination pour z3/2 (de mˆeme que pour z14).
Puisque l’´equation (13) est invariante sous l’action de ε ε, nous en
7→ −
d´eduisons que
Φ (z, ε) (16)
bkw
−
estuneautresolutionBKWformelle,etquedeplus Φ (z,ε),Φ (z, ε)
bkw bkw
{ − }
d´efinit une base de solutions BKW formelles pour l’´equation (13).
3.2 Solutions BKW ´el´ementaires
Nous voudrions obtenir une normalisation analogue `a celle adopt´ee pour
le symbole BKW d’Airy.
Pourcela,ilestint´eressantd’utiliseruneautrerepr´esentationdecesd´eveloppements
BKW. En ´ecrivant Φ (z,ε) sous la forme
bkw
1 z
Φ (z,ε) = exp P(t,ε)dt , (17)
bkw
−ε
(cid:18) Z (cid:19)
l’´equation (13) devient :
1dP 1
+ z P2 +F(z) = 0. (18)
ε dz ε2 −
(cid:0) (cid:1)
Cela signifie que si
P(z,ε) = p (z)εn (19)
n
n 0
X≥
10