Resonanzanpassung bei einem Tiefpaß: Beitrag zur Berechnung der Breitband-Kompensation eines Blindwiderstandes PDF
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OK 621.372.542.2.011.2 FORSCH U NGSBE RICHTE DES WI RTSCHAFTS- UN D YE RKE H RSMI N ISTE RI UMS NORDRHE I N-WESTFALE N Herausgegeben von Staatssekretor Prof. Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt Nr. 549 Dr.-Ing. Rolf Merten Resonanzanpassung bei einem TiefpaB Beitrag zur Berechnung der Breitband-Kompensation eines Blindwiderstandes Als Manuskript gedruckt SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH ISBN 978-3-663-04112-2 ISBN 978-3-663-05558-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-05558-7 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen G 1 i e d e run g . . . . . . . . . . 1. Einleitung · · · · · s . 5 . . 2. Breitbandkompensation und Grenzkreise · · · · · · s. 5 3. Die Berechnung der zur Breitband-Kompensation . . . erforderlichen Induktivitat L · · · · · · · · · · · S. 11 4. Die Berechnung der zur Breitband-Kompensation s. erforderlichen Kapazitat C 14 5· Zusammenfassung · · · · · · · · S. 20 . . 6. Literaturverzeichnis · · · · · · · S. 22 Sei te 3 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-West!Rlen 1. Einleitung Der Eingangsscheinwiderstand } eines elektrischen Zweipoles ist im all gemeinen frequenzabhangig. Diese Frequenzabhangigkoit tritt um so mehr in Erscheinung, je mehr Blindleistung innerhalb dieses Schaltgebildes auftritt. SolI der Eingangswiderstand besonders breitbandig sein, so ist es erforderlich, die schadlichen Blindwiderstande innerhalb eines breiten Frequenzbereiches zu kompensieren. Die Aufgabe, breitbandige Schaltungen zu berechnen, kann mit Hilfe der Kreise konstanter Wellig keit soder konstanten Reflexionsfaktors p vorteilhaft gelast werden. Im Folgenden solI mit Verwendung solcher Grenzkreise die Breitbandigkeit des Eingangsscheinwiderstandes eines Tiefpasses, der mit einem Ohmschen Widerstand R abgeschlossen ist, untersucht werden. Dabei solI dieser TiefpaB so betrieben werden, daB der Betrag des Eingangsscheinwiderstan des graBer oder kleiner als der AbschluBwiderstand R ist und daB der Scheinwiderstand ~ maglichst phasenrein ist. Es wird also die Breit bandigkeit eines Tiefpasses bei transformierendem Betrieb berechnet. Diese breitbandigen Transformationsschaltungen haben in der Hochfrequenz technik eine sehr groBe Bedeutung u.a. bei der Ubertragung modulierter Schwingungen, deren Signalfrequenzen in die GroBenordnung der Trager frequenz kommen, denn Elektronenrahren sind auf ihrer Eingangsseite 3 6 Verbraucher mit sehr groBem Widerstand von 10 bis 10 Ohm, Antennen und Leitungen besitzen dagegen wesentlich kleinere Widerstande von 10 bis 100 Ohm. Um nun niederohmige und hochohmige Teile aufeinander an passen zu kannen, verwendet man solche transformierende, breitbandige Schaltungen. Es kann also mit Hilfe der vorgelegten Schaltungen, Abbil- dung 1 und Abbildung 2, ein Widerstand R in einen graBeren oder kleine ren Widerstand I~I = Z breitbandig transformiert werden. o 2. Breitbandkompensation und Grenzkreise Die Abbild~ngen 3 und 4 zeigen, in welcher WeIi}sIe die wirksame Kompensa tion durch den Betrag des Scheinwiderstandes und durch die Phasen differenz festgelegt sind. Zur Berechnung der gunstigsten Kompensation dienen die dimensionslosen GraBenc 2 v v g v = fA) CL g r Seite 5 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen J- Jmaqiniirttil L ~ :r9 1-3}R L L ~o.s J. ... C R- Qe Q6 o.~ Realllil ~- Ql 0 A b b i 1 dun g 1 A b b i 1 dun g 2 Die zur Kompensation verwendete Die zur Kompensation verwendete Schaltung A Schaltung B :DR +j } imQ9 Kr.is mit konstont.r +j W.Ulgk';l s sZ. A b b i 1 dun g 3 A b b i 1 dun g 4 Kompensation fur die Resonanzfre- Festlegung der Abweichung durch den quenz und Kompensation fur ein Betrag des Widerstandes und durch breites Frequenzband den Phasenwinkel Seite 6 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen AuBerdem werden fur die Berechnung verwendet und nach DIN 1344 benannt: Umax Zo Die Welligkeit s (2) Umin = Rmin Umax die Fehlanpassung s - 1 -- - 1 Umin Umin die Anpassung m Umax der Anpassungsfehler 1 - m s - 1 1 - m der Reflexionsfaktor p (6) s + 1 1 + m 1 + P die Welligkei t s 1 - P Bei der Berechnung der vorgelegten Schaltungen vergleicht man den Ein gangswiderstand des Zweipoles mit dem AbschluBwiderstand R desselben und kommt auf diese Weise zur Definition des Reflexionsfaktors p. Er wird zu Null, wenn die Fehlanpassung s - 1 = 0 wird. Bei der Schaltung A, Abbildung 5, liegt dem Ohms chen Widerstand Reine schadliche Kapazitat C parallel, die durch eine Induktivitat L kompen siert werden soll. Fur den Eingangsscheinwiderstand ~ bezogen auf R gilt: {gV' (g + v - 1) --..:g:::..-- + j (8) g + v g + v Bei der Schaltung B, Abbildung 5, ist mit dem Ohmschen Widerstand Reine schadliche Induktivitat L in Reihe geschaltet, die durch eine Kapazitat C und eine ~nduktivitat von wieder der GroBe L kompensiert werden soll. Dabei ist: ~(v - 1)(r v - 2) 1 + ------------~ + j rv + (v _ 1)2 rv + (v _ 1)2 Die Ortskurven dieser Schaltungen zeigen die Abbildungen 1 und 2. Sei te 7 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen A B R1C r-- L- Auf R MZIIIJ."'" SdlMnwid.rstllnd A b b i 1 dun g 5 Schaltung A, dem Ohmschen Widerstand liegt eine schadliche Kapazitat C parallel Schaltung B, mit dem Ohmeschen Widerstand ist eine schadliche Selbstinduktion L in Reihe geschaltet 9 Ein Kreis mit dem Radius urn den Punkt M auf der reellen Achse der komplexen Widerstandsebene, im Abstand a vom Koordinatenursprung, ist der geometrische Ort fur aIle Scheinwiderstande ~ der Zweipole, die den gleichen Reflexionsfaktor p bzw. die gleiche Welligkeit s besitzen, Abbildung 6. Der Betrag von } kann hierbei schwanken zwischen dem kleinsten zulassi gen Wert Z. und dem groEten zulassigen Wert Z • Das geometrische mln max Mittel zwischen Z. und Z ist mln max der reelle Widerstand Zo Z . (10) mln Weiter gilt: Abstand a = 1. Z (s + 1.) (11 ) 2 0 s g 1 1 Radius =-Z (s - -) (12) 2 0 s Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen die Welligkeit s, dann Sei te 8 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen J (HII A b b i 1 dun g 6 Die Spannungswelligkeit s in der Widerstandsebene ergibt sieh: Das ist eine gleiehseitige Hyperbel im Koordinatensystem ~ liber a. Dureh Division mit dem reellen Widerstand R werden die Gleiehungen 11 und 12 dimensionslos gemaeht: z a 1.. 1) R"= -2(s + (14 ) 2 R s z 9 1 1 -= _o(s - -) (15) R 2 R s In der komplexen Widerstandsebene lautet die Gleiehung eines Grenzkrei ses, eines Kreises konstanter Welligkeit s bzw. konstanten Reflexions faktors p, Abbildung 7, wie folgt: 1 +- 2) - (16) S Die zur Kompensation der sehadlichen Kapazitat C erforderliehe Indukti vitat Loder zur Kompensation der sehadlichen Induktivitat L erforder liche Kapazitat Classen sieh wie naehstehend berechnen: Sei te 9 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen J'H6 R Auf R MZDg.".r Schtlinwid.entand. $- l-lj~lYi.~¥t-t!JY'f-(S +f)- ~T A b b i 1 dun g 7 Der auf den Widerstand R bezogene Scheinwiderstand eines Grenzkreises konstanter Welligkeit s ~ Man schneidet die Ortskurven des Scheinwiderstandes der kompensierten R 2 Schaltung fur verschiedene Werte g = ~ 1 = constant oder fur verschie- R2C dene Werte r = --1-- = constant mit den Kreisen konstanter Welligkeit s. Man setzt also den Scheinwiderstand ~ der Kompensationsschaltung nach Betrag und Phase gleich dem Scheinwiderstand eines Grenzkreises, also eines Kreises konstanter Welligkeit s bzw. konstanten Reflexionsfaktors p, Abbildung 8 und Abbildung 9. Da die Breitbandigkeit der Kompensationsschaltung bei gegebener Wellig keit soder bei gegebenem Reflexionsfaktor p ein Maximum sein solI, wenn der Betrag des Eingangsscheinwiderstandes derselben groBer oder kleiner als der Widerstand R ist, so wahlt man fur die folgende Berech nung den Wert =-= verschieden von 1 r IJ list das heiBt, der Widerstand verschieden von Roder der gegebene l Widerstand R wird in den Widerstand transformiert. Man arbeitet also mit Resonanz-Anpassung. Sei te 10 Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordrhein-Westfalen :!LD R 44 D -42 ~ad;us ..t • ~ z. (s _1. ) ".C'.. R c. T s C'fItista", A b b i 1 dun g 8 A b b i 1 dun g 9 Schneiden der Ortskurven des Schneiden der Ortskurven des Scheinwiderstandes der Schaltung A Scheinwiderstandes der Schaltung B mit den Kreisen konstanter mit den Kreisen konstanter Welligkei t s Welligkeit s 3. Die Berechnung der zur Breitband-Kompensation erforderlichen Induktivitat L bei Resonanz-Anpassung Z Man erhalt fur Schaltung A, Abbildung 5, bei RO = g in bekannter Weise [7] die sich aus der Ubereinstimmung der Komponenten der Vektoren nach Gleichung 8 und Gleichung 16 ergebende Gleichung: 2 2 1 g + 2gv + v - 2g - g(s + - - 2) + o ( 18) s Sie stellt im Koordinaten-System v uber g "Bandbreiten-Parabeln" dar, Abbildung 10. Parameter ist die Welligkeit s. Wird Gleichang 18 im Koordinaten-System~ uber g dargestellt, wobei g (19) ein maE fur die Bandbreite ist, errechnet man also aus Gleichung 18 die Beziehung: Seite 11
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