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Résistance des matériaux : exercices & [et] solutions PDF

186 Pages·2005·1.34 MB·French
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Résistance des matériaux Exercices & solutions Guy PLUVINAGE Vladimir SAPUNOV CÉPADUÈS-ÉDITIONS 111, rue Nicolas-Vauquelin 31100 TOULOUSE – France Tél. : 05 61 40 57 36 – Fax : 05 61 41 79 89 (de l’étranger ) + 33 5 61 40 57 36 – Fax : + 33 5 61 41 79 89 www.cepadues.com Courriel : [email protected] Chez le même éditeur Culture générale scientifique Redécouvrir l'électronique ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Barrandon L. Les Objets Techniques ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ Padilla F., Soum G., Frède V., & Butto Cl. La lumière à ma portée ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Taïeb G., Vetter R. Aéronautique Initiation au pilotage ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Nicolas J. Manuel du pilote privé avion ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Collectif Manuel du pilote ULM ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Collectif Mathématiques Calcul sans retenue ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ Chiocca M. Bien Débuter en mathématiques - Structures Algébriques Élémentaires, Arithmétique �������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Colin J-J., Morvan J-M. et R. Bien Débuter en mathématiques - Séries numériques �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������de Segonzac M., Monna G., Morvan J-M. et R. Météo Fondamentaux de Météorologie ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Malardel S. La Météo eXpliquée ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ Nicolas J. Pédagogie Réussir sa classe tous les jours��� ou presque ! �������������������������������������������������������������������������������������������� Buscaglia C., Sanchez L. E-learning, conception & mise en oeuvre d’un enseignement en ligne ������������������������������������������������������������������� Ernst Ch. Enseigner en STi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Musial M., Rubaud M. © CEPAD 2005 ISBN : 2.85428.706.1 Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit expressément la photocopie à usage collectif sans autorisation des ayants-droit. Or, cette pratique en se généralisant provoquerait une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, du présent ouvrage est interdite sans autorisation de l’Éditeur ou du Centre français d’exploi- tation du droit de copie (CFC – 3, rue d’Hautefeuille – 75006 Paris). Dépôt légal : octobre 2005 N° éditeur : 706 Résistance des matériaux 3 La Résistance des Matériaux est l’une des disciplines fondamentales de l’ingénieur. Elle joue un rôle de premier plan dans la formation des ingénieurs et techniciens de presque toutes les spécialités et a une importance particulièrement grande pour les ingénieurs en mécanique, en construction de machines et en génie civil. Ce manuel présente des travaux dirigés de Résistance des Matériaux. C’est dans la résolution des problèmes que les étudiants du cours de Résistance des Matériaux rencontrent le plus de difficultés. Le présent manuel facilitera l’étude de ce cours et, ce qui est essentiel, les aidera à assimiler les méthodes de résolution des problèmes et à acquérir l’expérience nécessaire. Dans ce manuel, on montre en détail les méthodes et les procédés de résolution de problèmes typiques de Résistance des Matériaux. Pour la commodité d’utilisation et pour une meilleure assimilation, le contenu du manuel est disposé de façon brève dans chaque partie indépendante. On examine ces problèmes par l'étude des états de contrainte et de déformation et par l'application de théories et de critères de résistance. Par la suite on calcule les barres rectilignes soumises à types différents de sollicitations (traction et compression ; cisaillement ; torsion ; flexion ; résistance composée) et on calcule les assemblages simples des élément de construction (assemblages boulonnés, clavetés, rivetés, soudés, entailles ans des poutres en bois, etc). Dans ce manuel, on considè re les méthodes se rapportant aux systèmes hyperstatiques: méthodes des forces et des déplacements et détermination des déplacements pour les portiques et les fermes et l’équation des trois moments pour les poutres continues à appuis multiples. Une attention particulière est donnée aux calculs des enveloppes à parois minces selon la théorie de membranes (réservoirs de révolution soumis à une pression intérieure symétrique par rapport à l’axe de l’enveloppe) et à la stabilité des barres comprimées (perte de stabilité de la forme initiale de la barre ; flambement). Dans chaque paragraphe de ce manuel, avant la présentation des résolutions des problèmes, on donne brièvement les mots clés, les notions théoriques fondamentales, les renseignements principaux et les formules définissant l’essentiel nécessaire à la résolution des problèmes examinés. Dans ce cadre, on formule les hypothèses de départ, les règles appropriées et enfin, on donne les conclusions et recommandations les plus importantes. Le livre est recommandé pour les étudiants des grandes écoles d’ingénieurs, pour la formation de techniciens et il est aussi une aide pour les professeurs. Il peut représenter une aide pour les ingénieurs en activité. 4 Résistance des matériaux Résistance des matériaux 5 CONTENU Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Etats de contrainte et de déformation . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Critères de résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Traction et compression des barres droites . . . . . . . . . . . 19 4 Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Calcul d’assemblages simples d’élément de construction 40 6 Caractéristiques géométriques des figures planes . . . . . . 51 7 Torsion des arbres circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8 Flexion plane transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9 Résistance composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10 Méthodes énergétiques de détermination des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11 Systèmes hyperstatiques (détermination des inconnues redondantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 12 Systèmes hyperstatiques (détermination des déplacements) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 13 Poutres continues à appuis multiples . . . . . . . . . . . . . . . 159 14 Calcul des enveloppes à parois minces . . . . . . . . . . . . . . 169 15 Flambement des barres comprimées . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6 Résistance des matériaux Résistance des matériaux 7 INTRODUCTION Résistance des matériaux comme discipline scientifique : - résistance, solidité, rigidité, stabilité ; - barre (poutre, arbre), plaque, enveloppe, corps massif. Types de déformations ; notion d’état déformé d’un matériau : -concept de déformation ; - déformation élastique et plastique (résiduelle) ; - traction (compression) et déformation linéaire ; - cisaillement (glissement) et déformation angulaire ; - torsion (angle de torsion) ; - flexion (flèche) ; - état déformé du matériau en un point du corps (les six composantes de déformation). Hypothèses principales : - continuité, homogénéité, isotropie du matériau ; - hypothèse des petites déformations ; - élasticité parfaite du matériau ; - relation linéaire entre les déplacements et les charges (loi de Hooke) ; - principe de l’indépendance des effets et de l’addition des forces (principe de superposition) ; - sections planes. Forces extérieures : - surfaciques (superficielles) et volumiques (massiques) ; - statiques et dynamiques (instantanées, choc) ; - sollicitation périodique (cyclique). Forces intérieures : - méthode des sections ; 8 Résistance des matériaux - forces intérieures (efforts et moments) dans la section transversale de la barre ; - diagrammes des efforts et des moments ; - contraintes dans la section (normale et tangentielle). Solidité et rigidité : - contraintes admissibles ; - critère de résistance ; - condition de rigidité. 1. ÉTATS de CONTRAINTE et de DÉFORMATION État de contrainte en un point : - tenseur des contraintes dans le repère des coordonnées x, y, z et dans le repère des trois axes principaux 1, 2, 3 ⎧⎪σx τxy τxz⎫⎪ ⎧⎪σ1 0 0 ⎫⎪ Tσ =⎨τyx σy τyz⎬ , Tσ =⎨0 σ2 0 ⎬ ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩τzx τzy σz ⎭ ⎩0 0 σ3⎭ - contraintes principales (σ ≥σ ≥σ ) : ce sont les trois racines de 1 2 3 l’équation s3 −I1σs2 +I2σs−I3σ =0 , où s est la contrainte normale principale ; I1σ , I2σ , I3σ sont les invariants du tenseur des contraintes I =σ +σ +σ =σ +σ +σ 1σ x y z 1 2 3 I =σ σ +σ σ +σ σ −τ2 −τ2 −τ2 =σ σ +σ σ +σ σ 2σ x y y z z x xy yz zx 1 2 2 3 3 1 I3σ =σxσyσz +2τxyτyzτzx −σxτ2yz −σyτ2zx −σzτ2xy =σ1σ2σ3 ; - contraintes normales principales et type d’état de contrainte σ ≠0 , σ =σ =0 - uniaxial ou état linéaire de contrainte, 1 2 3 Résistance des matériaux 9 ( ) ( ) σ ≠0 σ , σ ≠0 σ , σ =0 - biaxial ou état plan de 1 max 2 min 3 contrainte, σ ≥σ ≥σ ≠0 - triaxial ou état tridimensionnel de contrainte. 1 2 3 État uniaxial de contrainte : - contraintes dans un plan quelconque On montre les directions réelles des contraintes. Les directions positives des contraintes sont les suivantes : α est angle entre la direction de la contrainte principale et la normale extérieure σα =σ1cos2α , τα =(σ1/2)sin2α . - déformation ε pour un état uniaxial de contrainte. Loi de Hooke. 1 Module d’élasticité en traction E (module de Young). Coefficient de Poisson ν ε ε ε =σ /E , 2 = 3 =ν . 1 1 ε ε 1 2 Etat plan de contrainte : - détermination des contraintes normales et tangentielles dans deux plans quelconques orthogonaux (problème direct) σmin σn =σmax cos2α+σmin sin2α , σ −σ τnm =− max min sin2α , σ σ 2 max max ou α est angle entre la contrainte σmax et la normale n compté de σmax (le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre). σ min 10 Résistance des matériaux Pour ces contraintes, on obtient les relations suivantes : σn +σm =σmax +σmin , τnm =−τmn ; - détermination des contraintes normales principales et des axes principaux à partir des contraintes normales et tangentielles dans deux plans orthogonaux (problème inverse) σ +σ ⎛σ −σ ⎞2 σ = x y ± ⎜ x y ⎟ +τ2 max,min ⎜ ⎟ xy , 2 ⎝ 2 ⎠ tg2α = 2τxy ⇒ 2α =arctg⎜⎛ 2τxy ⎟⎞ 0 σ −σ 0 ⎜σ −σ ⎟ x y ⎝ x y ⎠ Les formules présentées sont obtenues avec l’hypothèse σx ≥σy ; l’angle α détermine la direction de σ par rapport de l’axe x ; 0 max - déformations pour un état plan de contrainte. Loi de Hooke généralisée ⎧ 1 ( ) ε = σ −νσ ⎪ 1 E 1 2 ⎨ . ⎪ε = 1 (σ −νσ ) ⎩ 2 E 2 1 Etat de contrainte tridimensionnel : - loi de Hooke généralisée ⎧ 1 [ ( )] ε = σ −ν σ +σ ⎪ 1 E 1 2 3 ⎪ ⎪ 1 [ ( )] ⎨ε = σ −ν σ +σ . 2 E 2 3 1 ⎪ ⎪ε = 1 [σ −ν(σ +σ )] ⎪⎩ 3 E 3 1 2 Etat de déformation en un point : -tenseur des déformations dans les axes de coordonnées x, y, z et dans les trois axes principaux 1, 2, 3

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