Research on Some Smarandache Problems

2011·3.4 MB·English

by  Huaning LIU

关于一些 Smarandache 问题的研究
Vol. 7

刘华宁
西北大学数学系

高静
西安交通大学理学院

The Educational Publisher
2011
This book can be ordered in a paper bound reprint from:

The Educational Publisher Inc.
1313 Chesapeake Ave.
Columbus, Ohio 43212
USA
Toll Free: 1-866-880-5373
E-mail: [email protected]

Peer Reviewers:
Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi,
P. R. China.
Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan,
Shandong, P. R. China.
Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong,
P. R. China.

Copyright 2011 by The Educational Publisher, translators, editors, and authors for
their papers

Many books can be downloaded from the following Digital Library of Science:
http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/eBooks-otherformats.htm

ISBN: 9781599731605
Standard Address Number : 297-5092
Printed in the United States of America
8 ¹
iv

ó ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
1
1˜Ù )ÛêØÄ: ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
1.1 Riemann zeta 1
§ ¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
1.2 Euler 2
§ È ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
1.3 Perron 4
§ úª ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Smarandache 5
1(cid:19)Ù ê(cid:15)(cid:27)þŠ©Ù ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.1 3 5
§  gÏfê(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.2 k-full 8
§ ê(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.3 M 13
§ g˜(cid:144){ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.4 Smarandache 16
§ nŠçê(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.5 squarefree squarefull 19
§ 'u † ê(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.6 Smarandache 27
§ –ê(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2.7 k 30
§ g˜Ö¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Smarandache 35
1nÙ 'u˜(cid:10) ¼ê(cid:27)¡?ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.1 Smarandache 35
§ 'u ˜¼ê(cid:27)¡?ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.2 nm1 n m 38
§ 'u (cid:27)(cid:18)êÜ©±9؇L (cid:27)(cid:129)Œ g˜ ··· ··· ··· ··· ···
3.3 m 41
§ (cid:18)ê(cid:27) g˜Ü© ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.4 k 42
§ 'u gÖê(cid:27)¡?ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.5 k 45
§ 'u gÖê(cid:27)˜(cid:10)ð(cid:31)ª ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.6 Dirichlet 48
§ 'uü‡¼ê(cid:27) ?ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.7 Euler 51
§ † ¼êk'(cid:27)˜‡(cid:144)§ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.8 Dirichlet 53
§ ˜a ?ê9Ùð(cid:31)ª ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.9 p 54
§ g(cid:6)ê(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
· i ·
ii
8 ¹
3.10 49 Smarandache 58
§ 1 ‡ ¯K ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
3.11 Smarandache 59
§ – ²(cid:144)Ïf¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Smarandache 63
1oÙ Øê¼ê† ¼ê(cid:27)·ÜþŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.1 63
§ 'u²(cid:144)Öê(cid:27)˜‡ìCúª ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.2 k 65
§ ng˜(cid:144){ê† gÖê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.3 k 71
§ 'uŒ\ gÖê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.4 29 Smarandache 74
§ 'u1 ‡ ¯K ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.5 k 76
§ 'u gÖêS(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.6 k 78
§ gÖꆘ‡êØ¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.7 80
§ Øê¼ê†Œ\Öê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.8 80 Smarandache 83
§ 'u1 ‡ ¯K ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.9 Smarandache 90
§ 'u,‡a ¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.10 83 Smarandache 93
§ 'u1 ‡ ¯K ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.11 97
§ ²(cid:144)Šê(cid:15)(cid:27)˜‡í2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.12 Smarandache 5 100
§ 'u – (cid:21)ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.13 5 101
§ 'u1(cid:19)a– (cid:21)êS(cid:15) ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.14 104
§ 'u(cid:20)(cid:18)ê(cid:27)nÆ/ê(cid:144){ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.15 k 105
§ (cid:20)(cid:18)ê(cid:27) g(cid:144)Ü© ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.16 109
§ Œ\8>/Öê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.17 Smarandache 111
§ 'u {ü¼ê(cid:27)þŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.18 Smarandache ceil (I) 113
§ 'u ¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.19 Smarandache ceil (II) 115
§ 'u ¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.20 Smarandache ceil (I) 117
§ 'u ¼ê(cid:27)éó¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
4.21 Smarandache ceil (II) 119
§ 'u ¼ê(cid:27)éó¼ê ··· ··· ··· ··· ··· ···
e (n) 123
p
1ÊÙ ¼ê (cid:27)þŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.1 e (n) 123
pq
§ ¼ê (cid:27)þŠ5Ÿ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.2 e (n) k 124
pq
§ ¼ê †(cid:17)(cid:28) g˜ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.3 e (n) n k 127
p
§ ¼ê † (cid:27) g(cid:144){Ü© ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
iii
8 ¹
5.4 e (n) Euler 129
p
§ ¼ê † ¼ê(cid:27)·ÜþŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.5 e (n) 131
pq
§ † k'(cid:27)êؼê9ÙþŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.6 peq(n) 133
§ ¼ê (cid:27)þŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.7 e (n) 135
q
§ ¼ê †á(cid:144)Öê¼ê(cid:27)·ÜþŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
5.8 e (n) 137
p
§ 'u (cid:27)·ÜþŠ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
143
ë(cid:127)©z ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
iv

ó

ó
: ,
ͶêÆ[F(cid:16)ËAQaó/(cid:144)‡˜€‰Æ©|UJÑŒþ(cid:27)¯K §Ò¿
; .
÷)·å (cid:13)¯K(cid:27)"yKý«XÕáu(cid:27)P(cid:29)ÚªŽ0
F. Smarandache Only problems, not solutions
{7ÛêZæêØÆ[ 35 6
, . ,
˜Ö±9Ù§|Ü¥ JÑ(cid:10)éõk–)û(cid:27)êƯK NõÆöéÙ?1(cid:10)ïÄ
.
(cid:26)(cid:20)(cid:10)Ø(cid:8)äk ‡dŠ(cid:27)¤J
F. Smarandache .
JÑ(cid:27)ŒÜ©¯KÑ´'uAÏê(cid:15)!êؼê(cid:27) ê(cid:15)!
, .
¼ê(cid:27)(cid:18)ŠÏ~´Ø5K(cid:27) (cid:2)´ÙþŠ% äkû(cid:27)5Ÿ éõØ©|^)
, Euler Perron Riemann zeta
ÛêØ¥(cid:27)(cid:144){Úóä ~X Èúª! úª! ¼ê
, F. Smarandache ,
(cid:27)5Ÿ ïÄ(cid:10) JÑ(cid:27)ê(cid:15)!¼ê(cid:27)þŠ ¿‰Ñ(cid:10)˜X(cid:15)(cid:27)ì
.
Cúª
, Smarandache
(cid:29)ÖŠâ(cid:19)“Ü©+(cid:19)Ç(cid:27)ïÆ é8
|^)Û(cid:144){ïÄ ¯
,
K(cid:27)ƒ'óŠ?1(cid:10)XÚ(cid:27)o( Ù¥Ǒ®o(cid:10)Šö9Ù¤3(cid:27)‘8|(cid:27)ïĤ
. , Smarandache
J (cid:29)Ö©ǑÊÙ ©O0(cid:11))ÛêØ(cid:27)Ä:(cid:127)£! ê(cid:15)(cid:27)þŠ!˜
Smarandache Smarandache
(cid:10) ¼ê(cid:27)¡?ê!Øê¼ê†˜(cid:10) ¼ê(cid:27)·Üþ
e (n) . , ,
p
Š!¼ê (cid:27)þŠ k,(cid:21)(cid:27)ÖöÏL(cid:29)Ö(cid:29)Ö Œ±mÿÖö(cid:27)À(cid:141) -uÖ
.
öéù(cid:10)+(cid:141)(cid:27)ïÄ,(cid:21)
.
(cid:29)Ö(cid:27)(cid:17)¤Äka(cid:28)(cid:19)“Ü©+(cid:19)Ç(cid:27)Œå|±±9JÑ(cid:27)(cid:5)B¿„ (cid:29)Ö(cid:27)
, ( : 10901128)
(cid:21)ŠL§¥ (cid:26)(cid:20)(cid:10)I[g,‰ÆÄ7 ?Ò !p(cid:31)Æ(cid:4)ƬƉ:;
– ( : 20090201120061) ( :
‘‰ïÄ7 #(cid:19)“a ?Ò !ñÜŽ(cid:19)”;‘‰ïÄ7 ?Ò
09JK762) ,
±9¥(cid:10)p(cid:4)Ä(cid:29)‰ï’Ö¤(cid:27)Ü©℄Ï Šö3dL«a(cid:28)"
Šö
2011 7

(cid:27)
1˜Ù )ÛêØÄ:
, Riemann zeta Euler
(cid:29)Ù0(cid:11))ÛêØ¥(cid:27)˜(cid:10)Ä(cid:29)VgÚ5Ÿ ~X ¼ê!
Perron
È! úª(cid:31)(cid:31)"
1.1 Riemann zeta
§ ¼ê
1 1 1
1.1.1. γ = lim 1+ + + + logm Euler .
½Â m 2 3 ··· m − ¡Ǒ ~ê
→∞(cid:18) (cid:19)
γ = 0.5772157 .
3êŠþ ···
1.1.2. Γ
½Â ¼ê½ÂǑ
1 ∞ s
= seγs 1+ e−ns.
Γ(s) n
nY=1(cid:16) (cid:17)
1
. Γ(s) s s = 0, 1, 2,
w,Γ(s) ´(cid:18)¼ê d(cid:9) 3(cid:18)‡ ²¡þØ(cid:22): − − ··· (cid:9)
, Γ(s) .
´)Û(cid:27) ù(cid:10):´ (cid:27){ü4:
1.1.3. Re s = σ > 1 , Riemann zeta ζ(s)
½Â (cid:8) ž ¼ê (cid:27)½ÂǑ
∞ 1
ζ(s)= .
ns
n=1
X
, ζ(s) Re s > 1 .
Šâ½Â 3Œ²¡ ´)Û(cid:27)
1.1.1.
½n 1 −1
ζ(s)= 1 , Re s > 1.
− ps
p (cid:18) (cid:19)
Y
Euler Euler .
þª¡Ǒ úª½ ð(cid:31)ª
1.1.2. Re s > 0, N 1 ,
½n (cid:8) ≥ ž k
ζ(s)= N 1 + N1−s 1N s+s ∞ 12 −{u}du.
−
ns s 1 − 2 us+1
n=1 − ZN
X
· 1 ·
2
1˜Ù )ÛêØÄ:
1.1.2, ζ(s) Res > 0. ζ(s) Res > 0
d½n Œmÿ(cid:20)Œ²¡ d(cid:9)w, 3Œ²¡
s = 1 , s = 1 , 1.
Ø(cid:22): (cid:9)´)Û(cid:27) ¿3: k˜‡˜(cid:30)4: Ù3êǑ
1.1.3.
½n (cid:31)ª
π−s2Γ s ζ(s)= π−1−2sΓ 1−s ζ(1 s)
2 2 −
(cid:18) (cid:19)
(cid:16) (cid:17)
.
¤á
ζ . , ζ(s) , s =
þª¡Ǒ ¼ê(cid:27)¼ê(cid:144)§ d¼ê(cid:144)§ Œmÿ(cid:20)(cid:18)‡E²¡ Ù¥
2, 4, , 2n, ζ . ζ 0 Res 1
− − ··· − ··· ´ ¼ê(cid:27)w,": d(cid:9) ¼ê3‘/ ≤ ≤ þk
.
¡õ‡šw,":
ζ(s) .
e¡(cid:15)Ñ'u (cid:27)šw,":(cid:27)˜(cid:10)(Ø
1.1.4. ρ = β +iγ , n = 1,2, , ζ(s) .
n n n
½n (cid:23) ··· ´ (cid:27)šw,": Kk
∞ 1
clog(T +2).
1+(T γ )2 ≤ | |
n
n=1 −
X
1.1.5. c > 0, s
½n (cid:127)3ýé~ê (cid:26)3 ²¡(cid:27)«(cid:141)
c
Re s = σ > 1
− log(t +2)
| |
ζ .
Svk ¼ê(cid:27)":
1.1.6.
½n
ζ(σ+it) t (1 σ)/2log t , 0 σ 1, t 2.
−
≪ | | | | ≤ ≤ | | ≥
1.2 Euler
§ È
1.2.1. f , f (m,n) =
½Â ˜‡êØ¼ê ¡Ǒ´Œ(cid:27) XJ ØðǑ"¿…é?¿(cid:27)
1, f(mn)= f(m)f(n).
k
, m,n, f(mn)= f(m)f(n).
˜‡êؼê¡Ǒ´(cid:17)(cid:28)Œ(cid:27) XJé¤k(cid:27) Ñk
1.2.1. f (n)= nα, α . f (n) .
α α
~ - Ù¥ ´(cid:27)½(cid:27)Eê K ´(cid:17)(cid:28)Œ(cid:27)
1.2.2. Mo¨bius µ(n) .
~ ¼ê ´Œ(cid:27)
1.2.3. Euler φ(n) .
~ ¼ê ´Œ(cid:27)
§1.2 Euler 3
È
1.2.4. Liouville λ(n) .
~ ¼ê ´(cid:17)(cid:28)Œ(cid:27)
1.2.5. σ (n) = dα .
α
~ Øê¼ê ´Œ(cid:27)
dn
X|
1.2.6. Dirichlet χ(n) .
~ AÆ ´(cid:17)(cid:28)Œ(cid:27)
∞
1.2.1. f , f(n) . ,
½n - ´˜‡Œ(cid:27)êؼê (cid:26) ýéÂñ o ù
n=1
X
‡?ê(cid:27)ÚUL«Ǒ3¤kƒêþm(cid:27)˜‡ýéÂñ(cid:27)¡È
∞
f(n)= 1+f(p)+f(p2)+ .
···
n=1 p
X Y(cid:0) (cid:1)
f ,
XJ ´(cid:17)(cid:28)Œ(cid:27) KÈŒ{zǑ
∞ 1
f(n)= .
1 f(p)
n=1 p −
X Y
Euler .
þ¡(cid:27)È¡Ǒ?ê(cid:27) È
∞
1.2.2. f(n)n s σ > σ , f ,
− α
½n b(cid:23) é ýéÂñ … ´Œ¼ê Kk
n=1
X
∞ f(n) f(p) f(p2)
= 1+ + + , σ > σ .
ns ps p2s ··· (cid:8) α ž
n=1 p (cid:18) (cid:19)
X Y
f ,
XJ ´(cid:17)(cid:28)Œ(cid:27) Kk
∞ f(n) 1
= , σ > σ .
ns 1+f(p)p s (cid:8) α ž
−
n=1 p
X Y
1.2.7.
~
∞ 1 1
ζ(s)= = , σ > 1,
ns 1 p s (cid:8)
−
n=1 p −
X Y
1 ∞ µ(n)
= = 1 p s , σ > 1,
−
ζ(s) ns − (cid:8)
n=1 p
X Y(cid:0) (cid:1)
ζ(s 1) ∞ φ(n) 1 p−s
− = = − , σ > 2,
ζ(s) ns 1 p1 s (cid:8)
−
n=1 p −
X Y
ζ(2s) ∞ λ(n) 1
= = , σ > 1,
ζ(s) ns 1+p s (cid:8)
−
n=1 p
X Y
∞ χ(n) 1
L(s,χ) = = , σ > 1.
ns 1 χ(p)p s (cid:8)
−
n=1 p −
X Y