Research on Smarandache Unsolved Problems (in Chinese language), Vol. 5

2009·1.3 MB·English

by  郭艳春.

Smarandache
未解决问题研究

编者：
李江华

西北大学数学系

郭艳春

咸阳师范学院数学系

译者：
王锦瑞

杨衍婷

刘艳艳

西北大学数学系

High American Press
2009
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Peer Reviewers:
Wenpeng Zhang , Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi,
P.R. China.
Wenguang Zhai, Department of Mathematics, ShanDong Teachers’ University, Jinan,
Shandong, P.R.China.
Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou, Guangdong,
P.R.China.

Copyright 2009 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers

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ISBN: 978-1-59973-103-2

Standard Address Number: 297-5092
Printed in the United States of America
前 言
数论这门学科最初是从研究整数开始的, 所以叫做整数论. 后来整数
论又进一步发展, 就叫做数论了. 确切的说, 数论就是一门研究整数性质
的学科. 它是最古老的数学分支. 按照研究方法来说, 数论可以分成初等
数论, 解析数论, 代数数论, 超越数论, 计算数论, 组合数论等.
初等数论所包含的一个重要内容是研究数论函数的各种性质, 而著
名的Smarandache函数S(n) 是重要的数论函数之一, 它是由美籍罗马尼
亚著名数论专家F. Smarandache 教授提出的. 此外, 在1991年美国研究
出版社出版的《只有问题, 没有解答》一书中, F. Smarandache教授提出
了105 个关于特殊数列、算术函数等未解决的数学问题及猜想. 随着这
些问题的提出, 许多学者对此进行了深入的研究, 并获得了不少具有重要
理论价值的研究成果.
本书主要内容是作者在西北大学攻读硕士学位期间所发表的研究论
文的汇编, 包括Smarandache 函数的均值分布、伪Smarandache 函数的
性质及其孪生素数等一些问题. 关于这些问题, 作者都仔细分析了它们的
背景、研究现状、问题来源. 在每一章节中还列举了国内外学者对各个
相关问题的最新动态和研究成果, 同时还提出了关于这些函数的一些新
问题. 另外, 应美国出版社High American Press 的要求在第七章我们翻
译了部分国外最新Smarandache 理论研究的现状及其各类应用. 有兴趣
的读者可以对这些问题进行研究, 从而开拓读者的视野, 引导和激发读者
对这些领域的研究兴趣.
最后对我的导师张文鹏教授在我求学历程中对我的热情鼓励, 悉心
指导致以深深的谢意! 在本书的编写过程中,　薛艳荣, 王妤, 刘艳妮等师
姐妹们也给予了热情的帮助和支持, 同时, 本书得到西北大学研究生自主
创新教育项目(08YZZ30)的资助,　在此我致以最真诚的谢意!
编者
2009年4月
I
Smarandache 未解决问题研究
目录
第一章 Smarandache函数 1
1.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 关于F.Smarandache可乘数函数的一类均值 . . . . . . 1
1.3 Smarandache函数值的分布 . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 几个引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Smarandache函数d (n) 的均值. . . . . . . . . . . . 9
f
1.5 关于F.Smarandache LCM 函数以及它的主值. . . . . . 12
1.6 Smarandache Pierced 链. . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Smarandache 函数的几个相关结论 . . . . . . . . . . 18
1.7.1 关于Smarandache 函数的一个等式 . . . . . . . . 18
1.7.2 关于文章“一个新的算术函数的主值”的一些注释 . . 20
1.7.3 Smarandache 函数的一个推广 . . . . . . . . . . 23
1.7.4 关于F.Smarandache函数及其k次补数 . . . . . . . 27
1.7.5 关于F.Smarandache函数的奇偶性 . . . . . . . . 32
第二章 伪Smarandache 函数 36
2.1 伪Smarandache 函数的定义及性质 . . . . . . . . . . 36
2.2 关于伪Smarandache函数的几个定理 . . . . . . . . . 38
2.3 关于伪Smarandache 函数的几个方程 . . . . . . . . . 40
2.3.1 一个与Smarandache函数有关的函数方程及其正整
数解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数的方程. 42
2.3.3 一个包含伪Smarandache 函数及Smarandache 可乘
函数的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 伪Smarandache函数的相关问题 . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 关于伪 Smarandache 函数的一个问题 . . . . . . 48
第三章 素数 50
3.1 孪生素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 孪生素数的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 孪生素数的两个相关定理 . . . . . . . . . . . . 50
II
目录
第四章 关于无k 次幂因子数的上界估计 55
4.1 无k 次幂因子数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 无k 次幂因子数的上界估计 . . . . . . . . . . . . . 55
第五章 伪Smarandache 无平方因子函数 58
5.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Zw(n)函数的基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 关于伪Smarandache 无平方因子函数的一个相关问题 . . 60
5.3.1 关于Zw(n) 函数的渐近公式 . . . . . . . . . . . 62
Zw(k)
5.3.2 关于函数 的渐近公式 . . . . . . . . . . . 64
θ(k)
5.4 伪Smarandache 无平方因子函数的四个相关问题 . . . . 66
第六章 Smarandache 函数相关问题 69
6.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 关于F.Smarandache LCM函数与除数函数的一个混合均
值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 关于Smarandache 对偶函数 . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 一个新的算术函数及其均值 . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 关于Smarandache素数部分 . . . . . . . . . . . . . 80
6.6 一个丢番图方程及其它的整数解 . . . . . . . . . . . 83
6.7 一个新的算术函数及其均值分布 . . . . . . . . . . . 89
6.8 关于Smarandache素数可加补数列 . . . . . . . . . . 93
6.9 关于 F.Smarandache函数的一个问题 . . . . . . . . 96
6.10 两个新的算术函数及其均值 . . . . . . . . . . . . . 100
第七章 一些与 Smarandache 问题相关的译文 105
7.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 利用 Smarandache 方法求解丢番图方程ax2−by2+c =
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1 方程ax2 −by2 +c = 0 的求解 . . . . . . . . . . 105
7.3 N 个素数的 Smarandache 特征. . . . . . . . . . . 111
7.4 Smarandache素数等式猜想的三个问题. . . . . . . . 116
7.5 与Andrica 猜想相关或对 Andrica 猜想推广的六
个Smarandache 猜想 . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.6 Christianto-Smarandache 在经济学中的聚商场理论 . 119
III
Smarandache 未解决问题研究
7.7 一个Smarandache 同余函数 . . . . . . . . . . . . 123
7.7.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7.2 内容介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7.3 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.8 Smarandache G 增加序列, 数字序列, 普通周期序列和
无数字序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.9 Smarandache多边性(折线) 定理(Ceva定理的推广) . . . 131
7.10 Smarandache 假设：在宇宙中没有速度障碍 . . . . . . 136
7.11 Smarandache量子色动力学公式 . . . . . . . . . . . 138
7.12 Smarandache 语言学悖论 . . . . . . . . . . . . . . 139
7.13 量子Smarandache拟悖论和
量子Smarandache诡辩论悖论 . . . . . . . . . . . . 145
参考文献 148
IV
第一章 Smarandache函数
第一章 Smarandache函数
1.1 引言
本章主要研究一些关于smarandache函数及其复合函数的均值, 分布
及相关问题和性质. 包括Smarandache函数值的分布, F.Smarandache可
乘数函数的均值, F.Smarandache LCM 函数的主值等. 其中前6节为
编者在攻读硕士期间的研究成果. 最后一节为近期国内其他作者研
究smarandache函数性质的几个最新结果.
1.2 关于F.Smarandache可乘数函数的一类均值
设n 为任意正整数, 一个算术函数f(n) 称为F.Smarandache 可乘
的, 如果f(1) = 1, 当n > 1 且n = pα1pα2···pαk为n 的标准分解式,
1 2 k
有f(n) = max{f(pαi)}. 例如函数S(n) = min{m : m ∈ N, n|m!}
i
1≤i≤k
是F.Smarandache可乘函数. 因为从S(n) 的定义, 我们很容易推断出如
果n = pα1pα2···pαk 是n 的标准素因数分解式, 那么
1 2 k
S(n) = max {S(pαi)}.
i
1≤i≤k
所以说S(n) 是F.Smarandache 可乘函数, 它的前几个值是S(1) = 1,
S(2) = 2, S(3) = 3, S(4) = 4, S(5) = 5, S(6) = 3, S(7) = 7, S(8) = 4,
S(9) = 6, S(10) = 5, ······. 关于S(n) 的算术性质，有不少学者进行过
研究, 获得了许多有重要理论价值的研究成果, 参阅文献[2], [3], [4] 及[5].
例如, Farris Mark 和Mitchell Patrick 在文献[2] 中研究了S(n) 的有界性
问题，得出了S(pα) 的上下界估计. 即就是证明了：
(p−1)α+1 ≤ S(pα) ≤ (p−1)[α+1+log α]+1.
p
Lu Yaming [3]中研究了一个包含S(n) 的方程的可解性问题，证明
了对任意正整数k ≥ 2, 方程
S(m +m +···+m ) = S(m )+S(m )+···+S(m )
1 2 k 1 2 k
1
Smarandache 未解决问题研究
有无穷多组正整数解(m ,m ,··· ,m ).
1 2 k
Jozsef Sandor [4] 中进一步证实对任意正整数k ≥ 2, 存在无限多组
正整数(m ,m ,··· ,m )满足不等式：
1 2 k
S(m +m +···+m ) > S(m )+S(m )+···+S(m ).
1 2 k 1 2 k
同样又存在无限多组正整数(m ,m ,··· ,m ) 使得
1 2 k
S(m +m +···+m ) < S(m )+S(m )+···+S(m ).
1 2 k 1 2 k
徐哲峰在文献[5] 中研究了S(n) 的值分布问题, 获得了一个更深刻
的结果. 即就是证明了下面的定理:
设P(n) 表示n 的最大素因子, 则对任意实数x > 1, 我们有渐近公式:
(cid:161) (cid:162) (cid:195) (cid:33)
(cid:88)(S(n)−P(n))2 = 2ζ 23 x32 +O x32 , (1-1)
3lnx ln2x
n≤x
其中ζ(s) 表示Riemann zeta-函数.
此外, 当n = pα1pα2···pαk为n的标准素因数分解式时, 我们令
1 2 k
SL(n) = max{pα1, pα2, ··· , pαk}.
1 2 k
显然这个函数也是F.Smarandache 可乘函数, 它称作F.Smarandache
LCM 函数. 关于这个函数的性质, 也有不少学者进行过研究, 参阅文
献[6], [7] 和[8].
本文研究另一个F.Smarandache可乘函数S(n) 的均值问题, 根据文
献[9], 我们定义S(n) 如下:S(1) = 1, 当n > 1 且n = pα1pα2···pαk 为n 的
1 2 k
标准素因数分解式时, 我们令:
S(n) = max{α p , α p , α p , ··· , α p }.
1 1 2 2 3 3 k k
容易验证这个函数是F.Smarandache 可乘函数. 关于它的初等性质, 不少
学者也进行过研究, 如文献[6] 中指出在(1) 式中用S(n) 替换S(n) 结论同
样成立. 文献[9] 中还证明了下面的结论: 设k 为任意正整数. 那么对任意
实数x > 1, 我们有渐近公式：
2
第一章 Smarandache函数
定理1.1 对任意实数x > 1, 我们有渐近公式
(cid:181) (cid:182)
(cid:88) c· x +O x(lnlnx)2
1 = e lnx ln2x ,
n∈N
S(n)≤x
(cid:88)∞
ln(n+1)
其中c = 是一个常数.
n(n+1)
n=1
证明 在这一部分, 我们用初等方法及素数定理直接给出定理的证
明. 设x 是实数且x > 2, 那么对任意素数p ≤ x, 显然存在唯一的正整
数α = α(p) 使得
α(p)·p ≤ x < (α(p)+1)·p
或者
(cid:183) (cid:184)
x
α(p) = .
p
由函数S(n) 的性质知如果n = pα1pα2···pαk 是n 的标准素因子分解
1 2 k
式, 那么当S(n) ≤ x 时对于任意d|n 都有S(d) ≤ x. 此外, 对任意正整
数m 和n，当(m,n) = 1 且S(m) ≤ x, S(n) ≤ x 时, 由函数S(n) 的定义
(cid:104) (cid:105) (cid:89)
不难推出S(mn) ≤ x. 所以当α(p) = x 时,设m = pα(p), 则所有满
p
p≤x
足S(n) ≤ x 的正整数n 都是m 的因子. 设N 表示所有正整数集合, 则通
过前面分析以及除数函数的性质我们有
(cid:181) (cid:183) (cid:184)(cid:182)
(cid:88)
x
(cid:181) (cid:183) (cid:184)(cid:182) ln 1+
(cid:88) (cid:88) (cid:89) x p
1 = 1 = d(m) = 1+ = ep≤x . (1-2)
p
n∈N d|m p≤x
S(n)≤x
设k = [ln2x], 那么应用素数定理(参阅文献[10] 和[11])
(cid:181) (cid:182)
(cid:88)
x x
π(x) = 1 = +O
lnx ln2x
p≤x
我们可得
(cid:181) (cid:183) (cid:184)(cid:182) (cid:181) (cid:183) (cid:184)(cid:182) (cid:181) (cid:183) (cid:184)(cid:182)
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
x x x
ln 1+ = ln 1+ + ln 1+
p p p
p≤x x <p≤x p≤ x
ln2x ln2x
3