Research Article Some Formulae of Products of the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler Polynomials

12 Pages·2014·1.83 MB·English

HindawiPublishingCorporation
DiscreteDynamicsinNatureandSociety
Volume2012,ArticleID927953,11pages
doi:10.1155/2012/927953
Research Article
Some Formulae of Products of
the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler
Polynomials
Yuan He1 and Chunping Wang1
1FacultyofScience,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China
CorrespondenceshouldbeaddressedtoYuanHe,[email protected]
Received17May2012;Revised13July2012;Accepted15July2012
AcademicEditor:CengizC¸inar
Copyrightq2012Y.HeandC.Wang.ThisisanopenaccessarticledistributedundertheCreative
CommonsAttributionLicense,whichpermitsunrestricteduse,distribution,andreproductionin
anymedium,providedtheoriginalworkisproperlycited.
Some formulae of products of the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials are
established by applying the generating function methods and some summation transform
techniques,andvariousknownresultsarederivedasspecialcases.
1. Introduction
The classical Bernoulli polynomials Bn(cid:2)x(cid:3) and Euler polynomials En(cid:2)x(cid:3) are usually defined
bymeansofthefollowinggeneratingfunctions:
text (cid:2)∞ tn 2ext (cid:2)∞ tn
et−1 (cid:4) Bn(cid:2)x(cid:3)n! (cid:2)|t|<2π(cid:3), et(cid:5)1 (cid:4) En(cid:2)x(cid:3)n! (cid:2)|t|<π(cid:3). (cid:2)1.1(cid:3)
n(cid:4)0 n(cid:4)0
In particular, Bn (cid:4) Bn(cid:2)0(cid:3) and En (cid:4) 2nEn(cid:2)1/2(cid:3) are called the classical Bernoulli numbers
and Euler numbers, respectively. These numbers and polynomials play important roles in
manybranchesofmathematicssuchascombinatorics,numbertheory,specialfunctions,and
analysis. Numerous interesting identities and congruences for them can be found in many
papers;see,forexample,(cid:6)1–4(cid:7).
Some analogues of the classical Bernoulli and Euler polynomials are the Apostol-
Bernoulli polynomials Bn(cid:2)x;λ(cid:3) and Apostol-Euler polynomials En(cid:2)x;μ(cid:3). They were
2 DiscreteDynamicsinNatureandSociety
respectively introduced by Apostol (cid:6)5(cid:7) (cid:2)see also Srivastava (cid:6)6(cid:7) for a systematic study(cid:3) and
Luo(cid:6)7,8(cid:7)asfollows:
text (cid:2)∞ tn (cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:5)
λet−1 (cid:4) Bn(cid:2)x;λ(cid:3)n! |t|<2π if λ(cid:4)1;|t|<(cid:4)logλ(cid:4) otherwise , (cid:2)1.2(cid:3)
n(cid:4)0
λe2te(cid:5)xt1 (cid:4) (cid:2)∞ En(cid:2)x;λ(cid:3)ntn! (cid:3)|t|<π if λ(cid:4)1;|t|<(cid:4)(cid:4)log(cid:2)−λ(cid:3)(cid:4)(cid:4) otherwise(cid:5). (cid:2)1.3(cid:3)
n(cid:4)0
Moreover, Bn(cid:2)λ(cid:3) (cid:4) Bn(cid:2)0;λ(cid:3) and En(cid:2)λ(cid:3) (cid:4) 2nEn(cid:2)1/2;λ(cid:3) are called the Apostol-Bernoulli
numbers and Apostol-Euler numbers, respectively. Obviously Bn(cid:2)x;λ(cid:3) and En(cid:2)x;λ(cid:3) reduce
to Bn(cid:2)x(cid:3) and En(cid:2)x(cid:3) when λ (cid:4) 1. Some arithmetic properties for the Apostol-Bernoulli and
Apostol-Eulerpolynomialsandnumbershavebeenwellinvestigatedbymanyauthors.For
example,in1998,SrivastavaandTodorov(cid:6)9(cid:7)gavethecloseformulafortheApostol-Bernoulli
polynomials in terms of the Gaussian hypergeometric function and the Stirling numbers
of the second kind. Following the work of Srivastava and Todorov, Luo (cid:6)7(cid:7) presented the
close formula for the Apostol-Euler polynomials in a similar technique. After that, Luo
(cid:6)10(cid:7) obtained some multiplication formulas for the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler
polynomials.Further,Luo(cid:6)11(cid:7)showedtheFourierexpansionsfortheApostol-Bernoulliand
Apostol-EulerpolynomialsbyapplyingtheLipschitzsummationformulaandderivedsome
explicit formulae at rational arguments for these polynomials in terms of the Hurwitz zeta
function.
In the present paper, we will further investigate the arithmetic properties of the
Apostol-Bernoulli andApostol-Euler polynomials andestablish someformulae ofproducts
of the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials by using the generating function
methodsandsomesummationtransformtechniques.Itturnsoutthatvariousknownresults
arededucedasspecialcases.
2. The Restatement of the Results
For convenience, in this section we always denote by δ1,λ the Kronecker symbol given by
δ1,λ (cid:4) 0 or 1 according to λ/(cid:4)1 or λ (cid:4) 1, and we also denote by max(cid:2)a,b(cid:3) the maximum
number of the real numbers a,b and by (cid:6)x(cid:7) the maximum integer less than or equal to the
realnumberx.WenowgivetheformulaofproductsoftheApostol-Bernoullipolynomialsin
thefollowingway.
Theorem2.1. Letmandnbeanypositiveintegers.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
Bm(cid:2)x;λ(cid:3)Bn(cid:3)y;μ(cid:5)(cid:4) n(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kBm−k y−x;λ1 Bn(cid:5)nk (cid:5)y;kλμ
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
(cid:5)m(cid:2)n nk Bn−k(cid:3)y−x;μ(cid:5)Bm(cid:5)mk (cid:5)x;kλμ (cid:2)2.1(cid:3)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7)
(cid:5)(cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)1δ1,λμ(cid:2)mm(cid:5)!nn!(cid:3)!Bm(cid:5)n y−x;λ1 .
DiscreteDynamicsinNatureandSociety 3
Proof. Multiplyingbothsidesoftheidentity
(cid:6) (cid:7)
1 1 λeu 1 1
· (cid:4) (cid:5) (cid:2)2.2(cid:3)
λeu−1 μev−1 λeu−1 μev−1 λμeu(cid:5)v−1
byuvexu(cid:5)yv,weobtain
uexu veyv ue(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u ey(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) ve(cid:2)y−x(cid:3)v ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3)
· (cid:4)λv · (cid:5)u · . (cid:2)2.3(cid:3)
λeu−1 μev−1 λeu−1 λμeu(cid:5)v−1 μev−1 λμeu(cid:5)v−1
Itfollowsfrom(cid:2)2.3(cid:3)that
(cid:8) (cid:9)
uv e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u e(cid:2)y−x(cid:3)v
δ λ (cid:5)
1,λμu(cid:5)v λeu−1 μev−1
(cid:8) (cid:9)
(cid:4) uexu · veyv −λvue(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u ey(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) − δ1,λμ (cid:2)2.4(cid:3)
λeu−1 μev−1 λeu−1 λμeu(cid:5)v−1 u(cid:5)v
(cid:8) (cid:9)
ve(cid:2)y−x(cid:3)v ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) δ
−u − 1,λμ .
μev−1 λμeu(cid:5)v−1 u(cid:5)v
BytheTaylortheoremwehave
(cid:8) (cid:9)
ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) δ (cid:2)∞ ∂n exu δ vn
− 1,λμ (cid:4) − 1,λμ . (cid:2)2.5(cid:3)
λμeu(cid:5)v−1 u(cid:5)v ∂un λμeu−1 u n!
n(cid:4)0
SinceB (cid:2)x;λ(cid:3)(cid:4)1whenλ(cid:4)1andB (cid:2)x;λ(cid:3)(cid:4)0whenλ/(cid:4)1(cid:2)seee.g.,(cid:6)8(cid:7)(cid:3),by(cid:2)1.2(cid:3)and(cid:2)2.5(cid:3)we
0 0
get
(cid:3) (cid:5)
ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) − δ1,λμ (cid:4) (cid:2)∞ (cid:2)∞ Bn(cid:5)m(cid:5)1 x;λμ · um · vn. (cid:2)2.6(cid:3)
λμeu(cid:5)v−1 u(cid:5)v n(cid:5)m(cid:5)1 m! n!
m(cid:4)0n(cid:4)0
Putting(cid:2)1.2(cid:3)and(cid:2)2.6(cid:3)in(cid:2)2.4(cid:3),withthehelpoftheCauchyproduct,wederive
(cid:8) (cid:9)
uv e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u e(cid:2)y−x(cid:3)v
δ λ (cid:5)
1,λμu(cid:5)v λeu−1 μev−1
(cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)(cid:11)
(cid:4)−λ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)m mk Bm−k(cid:3)1(cid:5)x−y;λ(cid:5)Bnn(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1ky(cid:5);λ1μ umm! · vnn(cid:5)!1
m(cid:4)0n(cid:4)0(cid:10) k(cid:4)0(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)(cid:11) (cid:2)2.7(cid:3)
−(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)n nk Bn−k(cid:3)y−x;μ(cid:5)Bmm(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1kx(cid:5);λ1μ umm(cid:5)!1 · vnn!
m(cid:4)0n(cid:4)0 k(cid:4)0
(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:3) (cid:5)um vn
(cid:5) Bm(cid:2)x;λ(cid:3)Bn y;μ m! · n!.
m(cid:4)0n(cid:4)0
4 DiscreteDynamicsinNatureandSociety
Ifwedenotetheleft-handsideof(cid:2)2.7(cid:3)byM and
1
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
veyv uexu
M (cid:4) λδ −δ (cid:5)δ −δ
2 1,λ λμev−1 1,λμ 1,μ λμeu−1 1,λμ
(cid:6) (cid:7) (cid:2)2.8(cid:3)
veyv uexu
−δ −δ −δ ,
1,λμev−1 1,μ λeu−1 1,λ
thenapplying(cid:2)1.2(cid:3)to(cid:2)2.8(cid:3),inlightof(cid:2)2.7(cid:3),wehave
(cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
M1(cid:5)M2 (cid:4) (cid:2)∞ (cid:2)∞ m−(cid:5)λ1m(cid:2)(cid:5)1 mk(cid:5)1 Bm(cid:5)1−k(cid:3)1(cid:5)x−y;λ(cid:5)Bnn(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1ky(cid:5);λ1μ
m(cid:4)0n(cid:4)0 k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
− n(cid:5)1 1(cid:2)n(cid:5)1 nk(cid:5)1 Bn(cid:5)1−k(cid:3)y−x;μ(cid:5)Bmm(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1kx(cid:5);λ1μ (cid:2)2.9(cid:3)
k(cid:4)0
(cid:3) (cid:5)(cid:11)
(cid:5)Bm(cid:5)1(cid:2)x;λ(cid:3) · Bn(cid:5)1 y;μ um(cid:5)1 · vn(cid:5)1.
m(cid:5)1 n(cid:5)1 m! n!
Ontheotherhand,asimplecalculationimpliesM (cid:4)M (cid:4)0whenλμ/(cid:4)1and
1 2
(cid:8) (cid:9)
M1(cid:5)M2 (cid:4)δ1,λμuu(cid:5)vv λeλ(cid:2)1e(cid:5)ux−−y1(cid:3)u − δu1,λ (cid:5) (cid:2)1/eλ(cid:2)y(cid:3)−exv(cid:3)v−1 − δ1v,1/λ (cid:2)2.10(cid:3)
(cid:12)
whenλμ (cid:4) 1.Applyingun (cid:4) nk(cid:4)0(cid:2)nk(cid:3)(cid:2)u(cid:5)v(cid:3)k(cid:2)−v(cid:3)n−k to(cid:2)1.2(cid:3),inviewofchangingtheorder
ofthesummation,weobtain
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
λe(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u − δ1,λ (cid:4) λ(cid:2)∞ (cid:2)∞ Bn(cid:5)1 1(cid:5)x−y;λ n (cid:2)u(cid:5)v(cid:3)k(cid:2)−v(cid:3)n−k
λeu−1 u (cid:2)n(cid:5)1(cid:3)! k
k(cid:4)0n(cid:4)k
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
(cid:4) λ(cid:2)∞ (cid:2)∞ Bn(cid:5)1 (cid:2)1n(cid:5)(cid:5)x1−(cid:3)!y;λ kn(cid:5)1 (cid:2)u(cid:5)v(cid:3)k(cid:5)1(cid:2)−v(cid:3)n−(cid:2)k(cid:5)1(cid:3) (cid:2)2.11(cid:3)
k(cid:4)0n(cid:4)k(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)
(cid:5)λ(cid:2)∞ Bn(cid:5)1 1(cid:5)x−y;λ · (cid:2)−v(cid:3)n.
n(cid:5)1 n!
n(cid:4)0
DiscreteDynamicsinNatureandSociety 5
It follows from (cid:2)1.2(cid:3), (cid:2)2.10(cid:3), (cid:2)2.11(cid:3), and the symmetric relation for the Apostol-Bernoulli
polynomials λBn(cid:2)1 − x;λ(cid:3) (cid:4) (cid:2)−1(cid:3)nBn(cid:2)x;1/λ(cid:3) for any nonnegative integer n (cid:2)see e.g., (cid:6)8(cid:7)(cid:3)
that
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
M1(cid:5)M2 (cid:4)uvδ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)kBn(cid:5)1(cid:2)yn(cid:5)−1x(cid:3);!1/λ kn(cid:5)1 (cid:2)u(cid:5)v(cid:3)kvn−(cid:2)k(cid:5)1(cid:3)
k(cid:4)0n(cid:4)k(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)kBn(cid:5)1(cid:2)yn(cid:5)−1x(cid:3);!1/λ kn(cid:5)1 (cid:2)k mk um(cid:5)1vn−m
k(cid:4)0n(cid:4)k(cid:5)1 m(cid:4)0
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)(cid:6) (cid:7)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)kBn(cid:5)1(cid:2)yn(cid:5)−1x(cid:3);!1/λ kn(cid:5)1 mk um(cid:5)1vn−m (cid:2)2.12(cid:3)
m(cid:4)0k(cid:4)mn(cid:4)k(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)mBn(cid:5)1(cid:2)yn(cid:5)−1x(cid:3);!1/λ um(cid:5)1vn−m
m(cid:4)0n(cid:4)m(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞(cid:2)−1(cid:3)mm!n!B(cid:2)nn(cid:5)m(cid:5)(cid:5)2my(cid:5)−2(cid:3)x!;1/λ · umm(cid:5)!1 · vnn(cid:5)!1.
m(cid:4)0n(cid:4)0
Thus, by equating (cid:2)2.9(cid:3) and (cid:2)2.12(cid:3) and then comparing the coefficients of um(cid:5)1vn(cid:5)1, we
complete the proof of Theorem 2.1 after applying the symmetric relation for the Apostol-
Bernoullipolynomials.
It follows that we show some special cases of Theorem 2.1. By setting x (cid:4) y in
Theorem2.1,wehavethefollowing.
Corollary2.2. Letmandnbeanypositiveintegers.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
Bm(cid:2)x;λ(cid:3)Bn(cid:3)x;μ(cid:5)(cid:4) n(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kBm−k λ1 Bn(cid:5)nk (cid:5)x;kλμ
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
(cid:5)m(cid:2)n n B (cid:3)μ(cid:5)Bm(cid:5)k x;λμ (cid:2)2.13(cid:3)
k n−k m(cid:5)k
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7)
(cid:5)(cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)1δ1,λμ(cid:2)mm(cid:5)!nn!(cid:3)!Bm(cid:5)n λ1 .
ItiswellknownthattheclassicalBernoullinumberswithoddsubscriptsobeyB (cid:4)−1/2and
1
B2n(cid:5)1 (cid:4) 0 for any positive integer n (cid:2)see, e.g., (cid:6)12(cid:7)(cid:3). Setting λ (cid:4) μ (cid:4) 1 in Corollary 2.2, we
immediately obtain the familiar formula of products of the classical Bernoulli polynomials
duetoCarlitz(cid:6)13(cid:7)andNielsen(cid:6)14(cid:7)asfollows.
6 DiscreteDynamicsinNatureandSociety
Corollary2.3. Letmandnbeanypositiveintegers.Then,
(cid:13) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)(cid:14)
max(cid:2)(cid:6)m(cid:2)/2(cid:7),(cid:6)n/2(cid:7)(cid:3) m n B (cid:2)x(cid:3)
B (cid:2)x(cid:3)B (cid:2)x(cid:3)(cid:4) n (cid:5)m B m(cid:5)n−2k
m n 2k 2k 2km(cid:5)n−2k
k(cid:4)0 (cid:2)2.14(cid:3)
(cid:5)(cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)1(cid:2)mm(cid:5)!nn!(cid:3)!Bm(cid:5)n.
Since the Apostol-Bernoulli polynomials Bn(cid:2)x;λ(cid:3) satisfy the difference equation
(cid:2)∂/∂x(cid:3)Bn(cid:2)x;λ(cid:3) (cid:4) nBn−1(cid:2)x;λ(cid:3) for any positive integer n (cid:2)see, e.g., (cid:6)8(cid:7)(cid:3), by substituting
x(cid:5)yforxinTheorem2.1andthentakingdifferenceswithrespecttoy,wegetthefollowing
resultafterreplacingxbyx−y.
Corollary2.4. Letmandnbeanypositiveintegers.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
m1(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kBm−k y−x;λ1 Bn−1(cid:5)k(cid:3)y;λμ(cid:5)− m1Bm(cid:2)x;λ(cid:3)Bn−1(cid:3)y;μ(cid:5)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:2)2.15(cid:3)
1(cid:2)n n (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5) 1 (cid:3) (cid:5)
(cid:4)−n k Bn−k y−x;μ Bm−1(cid:5)k x;λμ (cid:5) nBn y;μ Bm−1(cid:2)x;λ(cid:3).
k(cid:4)0
Setting x (cid:4) t and y (cid:4) 1 − t in Corollary2.4, by λBn(cid:2)1 − x;λ(cid:3) (cid:4) (cid:2)−1(cid:3)nBn(cid:2)x;1/λ(cid:3) for any
nonnegativeintegern,wegetthefollowing.
Corollary2.5. Letmandnbeanypositiveintegers.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
m1(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)kBm−k(cid:2)2t;λ(cid:3)Bn−1(cid:5)k t;λ1μ − m1Bm(cid:2)t;λ(cid:3)Bn−1 t;μ1
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:2)2.16(cid:3)
(cid:4) n1(cid:2)n nk (cid:2)−1(cid:3)kBn−k 2t;μ1 Bm−1(cid:5)k(cid:3)t;λμ(cid:5)− n1B t;μ1 Bm−1(cid:2)t;λ(cid:3).
k(cid:4)0
In particular, the case λ (cid:4) μ (cid:4) 1 in Corollary 2.5 gives the following generalization for
Woodcock’sidentityontheclassicalBernoullinumbers,see(cid:6)15,16(cid:7),
Corollary2.6. Letmandnbeanypositiveintegers.Then,
(cid:6) (cid:7)
m1(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)kBm−k(cid:2)2t(cid:3)Bn−1(cid:5)k(cid:2)t(cid:3)− m1Bm(cid:2)t(cid:3)Bn−1(cid:2)t(cid:3)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:2)2.17(cid:3)
(cid:4) n1(cid:2)n nk (cid:2)−1(cid:3)kBn−k(cid:2)2t(cid:3)Bm−1(cid:5)k(cid:2)t(cid:3)− n1Bn(cid:2)t(cid:3)Bm−1(cid:2)t(cid:3).
k(cid:4)0
We next present some mixed formulae of products of the Apostol-Bernoulli and Apostol-
Eulerpolynomialsandnumbers.
DiscreteDynamicsinNatureandSociety 7
Theorem2.7. Letmandnbenon-negativeintegers.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
Em(cid:2)x;λ(cid:3)En(cid:3)y;μ(cid:5)(cid:4) 2(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kEm−k y−x;λ1 Bnn(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1ky(cid:5);λ1μ
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
−2(cid:2)n nk En−k(cid:3)y−x;μ(cid:5)Bmm(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1kx(cid:5);λ1μ (cid:2)2.18(cid:3)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7)
(cid:5)(cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)12δ1,λμ(cid:2)m(cid:5)mn!n(cid:5)! 1(cid:3)!Em(cid:5)n(cid:5)1 y−x;λ1 .
Proof. Multiplyingbothsidesoftheidentity
(cid:6) (cid:7)
1 1 λeu 1 1
· (cid:4) − (cid:2)2.19(cid:3)
λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1 λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1 λμeu(cid:5)v−1
by2exu(cid:5)yv,weobtain
1 2exu 2eyv 2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u ey(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) 2e(cid:2)y−x(cid:3)v ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3)
· · (cid:4)λ · − · . (cid:2)2.20(cid:3)
2 λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1 λeu(cid:5)1 λμeu(cid:5)v−1 μev(cid:5)1 λμeu(cid:5)v−1
Itfollowsfrom(cid:2)2.20(cid:3)that
(cid:8) (cid:9)
δ1,λμ λ2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u − 2e(cid:2)y−x(cid:3)v
u(cid:5)v λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1
(cid:8) (cid:9)
(cid:4) 1 · 2exu · 2eyv −λ2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u ey(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) − δ1,λμ (cid:2)2.21(cid:3)
2 λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1 λeu(cid:5)1 λμeu(cid:5)v−1 u(cid:5)v
(cid:8) (cid:9)
(cid:5) 2e(cid:2)y−x(cid:3)v ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) − δ1,λμ .
μev(cid:5)1 λμeu(cid:5)v−1 u(cid:5)v
Applying(cid:2)1.3(cid:3)and(cid:2)2.6(cid:3)to(cid:2)2.21(cid:3),inviewoftheCauchyproduct,weget
(cid:8) (cid:9)
δ1,λμ λ2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u − 2e(cid:2)y−x(cid:3)v
u(cid:5)v λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1
(cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
(cid:4) (cid:2)∞ (cid:2)∞ 12Em(cid:2)x;λ(cid:3)En(cid:3)y;μ(cid:5)−λ(cid:2)m mk Em−k(cid:3)1(cid:5)x−y;λ(cid:5)Bnn(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1ky(cid:5);λ1μ (cid:2)2.22(cid:3)
m(cid:4)0n(cid:4)0 k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)(cid:11)
(cid:5)(cid:2)n nk En−k(cid:3)y−x;μ(cid:5)Bmm(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1kx(cid:5);λ1μ umm! · vnn!.
k(cid:4)0
8 DiscreteDynamicsinNatureandSociety
On the other hand, since the left-hand side of (cid:2)2.22(cid:3) vanishes when λμ/(cid:4)1, it suffices to
(cid:12)
considerthecaseλμ(cid:4)1.Applyingun (cid:4) nk(cid:4)0(cid:2)nk(cid:3)(cid:2)u(cid:5)v(cid:3)k(cid:2)−v(cid:3)n−k to(cid:2)1.3(cid:3),inviewofchanging
theorderofthesummation,wehave
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
λ2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u (cid:4)λ(cid:2)∞ (cid:2)∞ En 1(cid:5)x−y;λ n (cid:2)u(cid:5)v(cid:3)k(cid:2)−v(cid:3)n−k
λeu(cid:5)1 n! k
k(cid:4)0n(cid:4)k
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
(cid:4)λ(cid:2)∞ (cid:2)∞ En 1(cid:5)x−y;λ n (cid:2)u(cid:5)v(cid:3)k(cid:5)1(cid:2)−v(cid:3)n−(cid:2)k(cid:5)1(cid:3) (cid:2)2.23(cid:3)
n! k(cid:5)1
k(cid:4)0n(cid:4)k(cid:5)1
(cid:2)∞ (cid:3) (cid:5)(cid:2)−v(cid:3)n
(cid:5)λ En 1(cid:5)x−y;λ n! .
n(cid:4)0
It follows from (cid:2)1.3(cid:3), (cid:2)2.23(cid:3), and the symmetric relation for the Apostol-Euler polynomials
λEn(cid:2)1−x;λ(cid:3)(cid:4)(cid:2)−1(cid:3)nEn(cid:2)x;1/λ(cid:3)foranynon-negativeintegern(cid:2)see,e.g.,(cid:6)7(cid:7)(cid:3)that
(cid:8) (cid:9)
δ1,λμ λ2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u − 2e(cid:2)y−x(cid:3)v
u(cid:5)v λeu(cid:5)1 μev(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)k(cid:5)1En y−nx!;1/λ kn(cid:5)1 (cid:2)u(cid:5)v(cid:3)kvn−(cid:2)k(cid:5)1(cid:3)
k(cid:4)0n(cid:4)k(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)k(cid:5)1En y−nx!;1/λ kn(cid:5)1 (cid:2)k mk umvn−(cid:2)m(cid:5)1(cid:3)
k(cid:4)0n(cid:4)k(cid:5)1 (cid:3) (cid:5)(cid:6) m(cid:4)0(cid:7)(cid:6) (cid:7) (cid:2)2.24(cid:3)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)k(cid:5)1En y−nx!;1/λ kn(cid:5)1 mk umvn−(cid:2)m(cid:5)1(cid:3)
m(cid:4)0k(cid:4)mn(cid:4)k(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)1En y−nx!;1/λ umvn−(cid:2)m(cid:5)1(cid:3)
m(cid:4)0n(cid:4)m(cid:5)1
(cid:3) (cid:5)
(cid:4)δ1,λμ(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)1m!n!E(cid:2)mm(cid:5)n(cid:5)(cid:5)1ny(cid:5)−1(cid:3)x!;1/λ · umm! · vnn!.
m(cid:4)0n(cid:4)0
Thus, by equating (cid:2)2.22(cid:3) and (cid:2)2.24(cid:3) and then comparing the coefficients of umvn, we
complete the proof of Theorem 2.7 after applying the symmetric relation for the Apostol-
Eulerpolynomials.
Next,wegivesomespecialcasesofTheorem2.7.Bysettingx (cid:4) yinTheorem2.7,we
havethefollowing.
DiscreteDynamicsinNatureandSociety 9
Corollary2.8. Letmandnbenon-negativeintegers.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
Em(cid:2)x;λ(cid:3)En(cid:3)x;μ(cid:5)(cid:4) 2(cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kEm−k 0;λ1 Bnn(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1kx(cid:5);λ1μ
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:5)
−2(cid:2)n nk En−k(cid:3)0;μ(cid:5)Bmm(cid:5)k(cid:5)(cid:5)1kx(cid:5);λ1μ (cid:2)2.25(cid:3)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7)
(cid:5)(cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)12δ1,λμ(cid:2)m(cid:5)mn!n(cid:5)! 1(cid:3)!Em(cid:5)n(cid:5)1 0;λ1 .
Since the classical Euler polynomials En(cid:2)x(cid:3) at zero arguments satisfy E0(cid:2)0(cid:3) (cid:4) 1, E2n(cid:2)0(cid:3) (cid:4) 0,
andE2n−1(cid:2)0(cid:3) (cid:4) (cid:2)1−22n(cid:3)B2n/nforanypositiveintegern(cid:2)see,e.g.,(cid:6)12(cid:7)(cid:3),bysettingλ (cid:4) μ (cid:4) 1
inCorollary2.8,weobtainthefollowing.
Corollary2.9. Letmandnbenon-negativeintegers.Then,
(cid:13)(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)(cid:14)(cid:3) (cid:5)
Em(cid:2)x(cid:3)En(cid:2)x(cid:3)(cid:4) −2max(cid:2)(cid:6)(cid:2)m(cid:5)1(cid:3)(cid:2)/2(cid:7),(cid:6)(cid:2)n(cid:5)1(cid:3)/2(cid:7)(cid:3) 2km−1 (cid:5) 2kn−1 1−2k2k B2k
k(cid:4)1 (cid:2)2.26(cid:3)
× mB(cid:5)n(cid:5)nn(cid:5)(cid:5)2−22k−(cid:2)x2(cid:3)k (cid:5)(cid:2)−1(cid:3)m(cid:5)1(cid:2)m2(cid:5)mn!n(cid:5)!1(cid:3)!Km,n,
whereKm,n (cid:4)2(cid:2)1−2m(cid:5)n(cid:5)2(cid:3)Bm(cid:5)n(cid:5)2/(cid:2)m(cid:5)n(cid:5)2(cid:3)whenm(cid:5)n≡0(mod 2)andKm,n (cid:4)0otherwise.
Theorem2.10. Letmbenon-negativeintegerandnpositiveinteger.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
Em(cid:2)x;λ(cid:3)Bn(cid:3)y;μ(cid:5)(cid:4) n2 (cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kEm−k y−x;λ1 En(cid:5)k−1(cid:3)y;λμ(cid:5)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:2)2.27(cid:3)
(cid:2)n n (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5)
(cid:5) k Bn−k y−x;μ Em(cid:5)k x;λμ .
k(cid:4)0
Proof. Multiplyingbothsidesoftheidentity
(cid:6) (cid:7)
1 1 λeu 1 1
· (cid:4) (cid:5) (cid:2)2.28(cid:3)
λeu(cid:5)1 μev−1 λeu(cid:5)1 μev−1 λμeu(cid:5)v(cid:5)1
by2vexu(cid:5)yv,weobtain
2exu veyv λv 2e(cid:2)1(cid:5)x−y(cid:3)u 2ey(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) ve(cid:2)y−x(cid:3)v 2ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3)
· (cid:4) · · (cid:5) · . (cid:2)2.29(cid:3)
λeu(cid:5)1 μev−1 2 λeu(cid:5)1 λμeu(cid:5)v(cid:5)1 μev−1 λμeu(cid:5)v(cid:5)1
10 DiscreteDynamicsinNatureandSociety
By(cid:2)1.3(cid:3)andtheTaylortheorem,wehave
2ex(cid:2)u(cid:5)v(cid:3) (cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:3) (cid:5)um vn
λμeu(cid:5)v(cid:5)1 (cid:4) En(cid:5)m x;λμ m! · n!. (cid:2)2.30(cid:3)
m(cid:4)0n(cid:4)0
Applying(cid:2)1.2(cid:3),(cid:2)1.3(cid:3),and(cid:2)2.30(cid:3)to(cid:2)2.29(cid:3),weget
(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:3) (cid:5)um vn
Em(cid:2)x;λ(cid:3)Bn y;μ m! · n!
m(cid:4)0n(cid:4)0
(cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:11)
λ (cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)m m (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5) um vn(cid:5)1
(cid:4) 2 k Em−k 1(cid:5)x−y;λ En(cid:5)k y;λμ m! · n! (cid:2)2.31(cid:3)
m(cid:4)0n(cid:4)0 k(cid:4)0
(cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:11)
(cid:2)∞ (cid:2)∞ (cid:2)n n (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5) um vn
(cid:5) k Bn−k y−x;μ Em(cid:5)k x;λμ m! · n!,
m(cid:4)0n(cid:4)0 k(cid:4)0
whichmeans
(cid:3) (cid:5)
(cid:2)∞ (cid:2)∞ Em(cid:2)x;λ(cid:3)Bn(cid:5)1 y;μ · um · vn(cid:5)1
n(cid:5)1 m! n!
m(cid:4)0n(cid:4)0
(cid:10) (cid:6) (cid:7)
(cid:2)∞ (cid:2)∞ λ(cid:2)m m (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5)
(cid:4) k Em−k 1(cid:5)x−y;λ En(cid:5)k y;λμ (cid:2)2.32(cid:3)
2
m(cid:4)0n(cid:4)0 k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:11)
1 (cid:2)n(cid:5)1 n(cid:5)1 (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5) um vn(cid:5)1
(cid:5)n(cid:5)1 k Bn(cid:5)1−k y−x;μ Em(cid:5)k x;λμ m! · n! .
k(cid:4)0
Thus, by comparing the coefficients of umvn(cid:5)1 in (cid:2)2.32(cid:3), we conclude the proof of
Theorem2.10afterapplyingthesymmetricrelationfortheApostol-Eulerpolynomials.
Obviously,bysettingx(cid:4)yinTheorem2.10,wehavethefollowing.
Corollary2.11. Letmbenon-negativeintegerandnpositiveinteger.Then,
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
Em(cid:2)x;λ(cid:3)Bn(cid:3)x;μ(cid:5)(cid:4) n2 (cid:2)m mk (cid:2)−1(cid:3)m−kEm−k 0;λ1 En(cid:5)k−1(cid:3)x;λμ(cid:5)
k(cid:4)0
(cid:6) (cid:7) (cid:2)2.33(cid:3)
(cid:2)n n (cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5)
(cid:5) k Bn−k μ Em(cid:5)k x;λμ .
k(cid:4)0
SinceB1 (cid:4) −1/2,E0(cid:2)0(cid:3) (cid:4) 1,E2n(cid:2)0(cid:3) (cid:4) 0,andE2n−1(cid:2)0(cid:3) (cid:4) (cid:2)1−22n(cid:3)B2n/nforanypositiveinteger
n,bysettingλ(cid:4)μ(cid:4)1inCorollary2.11,weobtainthefollowing.