Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe p-adique

378 Pages·2017·2.636 MB·French

by  Bertrand Lemaire, Guy Henniart

386 (cid:54)(cid:72)(cid:73)(cid:119)(cid:71)(cid:62)(cid:72)(cid:70)(cid:74)(cid:58)
XXXXXXXXXXFIRSTPAGEXXXXXXXXXX
2017
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REPRESENTATIONS DES ESPACES
VOTER MODEL PERTURBATIONS
TORDUS SUR UN GROUPE
AND REACTION DIFFUSION
´
REDUCTIF CONNEXE -ADIQUE
p
EQUATIONS
Bertrand Lemaire
Guy Henniart
(cid:72)(cid:68)(cid:56)(cid:62)(cid:119)(cid:73)(cid:119)(cid:21)(cid:66)(cid:54)(cid:73)(cid:61)(cid:119)(cid:66)(cid:54)(cid:73)(cid:62)(cid:70)(cid:74)(cid:58)(cid:21)(cid:57)(cid:58)(cid:21)(cid:59)(cid:71)(cid:54)(cid:67)(cid:56)(cid:58)
(cid:69)(cid:106)(cid:87)(cid:97)(cid:94)(cid:130)(cid:21)(cid:86)(cid:107)(cid:90)(cid:88)(cid:21)(cid:97)(cid:90)(cid:21)(cid:88)(cid:100)(cid:99)(cid:88)(cid:100)(cid:106)(cid:103)(cid:104)(cid:21)(cid:89)(cid:106)(cid:21)(cid:56)(cid:58)(cid:67)(cid:73)(cid:71)(cid:58)(cid:21)(cid:67)(cid:54)(cid:73)(cid:62)(cid:68)(cid:67)(cid:54)(cid:65)(cid:21)(cid:57)(cid:58)(cid:21)(cid:65)(cid:54)(cid:21)(cid:71)(cid:58)(cid:56)(cid:61)(cid:58)(cid:71)(cid:56)(cid:61)(cid:58)(cid:21)(cid:72)(cid:56)(cid:62)(cid:58)(cid:67)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)(cid:70)(cid:74)(cid:58)
Astérisque est un périodique de la Société mathématique de France
Numéro 386
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Astérisque
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(cid:6)c Société Mathématique de France 2017
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L335-2etsuivantsduCPI.
ISSN : print 0303-1179, electronic 2492-5926
ISBN 978-2-85629-851-0
Directeur de la publication : Stéphane SEURET
ASTE´RISQUE 386
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REPRESENTATIONS DES ESPACES
TORDUS SUR UN GROUPE
´
REDUCTIF CONNEXE -ADIQUE
p
Bertrand Lemaire
Guy Henniart
Soci´et´e Math´ematique de France 2017
Publi´e avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique
B. Lemaire
Aix-Marseille Université, Département de Mathématiques, 163 Avenue de Luminy,
Case 901, 13288 - Marseille, France.
E-mail : [email protected]
G. Henniart
Université Paris-Sud, Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, CNRS,
91405 Orsay Cedex, France.
E-mail : [email protected]
Classificationmathématiqueparsujets(2010). — 22E50.
Motsclefs. — Corps local non archimédien, caractère-distribution, espace tordu, ca-
ractère(tordu),élémentquasi-semi-simple,élémentquasi-régulier,fonctioncaractère,
formule d’intégration de Weyl, groupe réductif, intégrale orbitale, représentation ad-
missible, théorème de densité spectrale, transformée de Fourier, théorème de Paley-
Wiener.
REPRÉSENTATIONS DES ESPACES TORDUS SUR UN
GROUPE RÉDUCTIF CONNEXE p-ADIQUE
Bertrand Lemaire, Guy Henniart
Résumé. — Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, de
caractéristique quelconque. Soient G un groupe réductif connexe défini sur F, et G(cid:2)
un G-espace tordu lui aussi défini sur F. On suppose que l’ensemble G(cid:2)(F) n’est
pas vide, et on le munit de la topologie définie par F. On fixe un caractère ω (i.e.
un homomorphisme continu dans C×) de G(F). Dans ce mémoire, on développe la
théorie des ω-représentations (complexes, lisses) de G(cid:2)(F) à partir de celle des repré-
sentationsdeG(F).Uneω-représentationdeG(cid:2)(F)estpardéfinitionladonnéed’une
représentation(π,V)deG(F)etd’uneapplicationΠdeG(cid:2)(F)danslegroupedesC-
automorphismesdeV tellequeΠ(x·δ·y)=π(x)◦Π(δ)◦(ωπ)(y)pourtoutδ ∈G(cid:2)(F)
et tous x, y ∈ G(F). Si la représentation sous-jacente π de G(F) est admissible, on
peut définir le caractère Θ de Π, qui est une distribution sur G(cid:2)(F). Les principaux
Π
résultats prouvés dans ce mémoire sont :
— si π est de longueur finie, alors la distribution Θ est donnée par une fonction
Π
localement constante sur l’ouvert des éléments (quasi-)réguliers de G(cid:2)(F);
— lethéorèmedePaley-Wienerscalaire,quidécritl’imagedelatransforméedeFou-
rier–l’applicationquiàunefonctionlocalementconstanteetàsupportcompactφ
sur G(cid:2)(F) associe la forme linéaire Π (cid:4)→ Θ (φ) sur un groupe de Grothendieck
Π
adéquat;
— le théorème de densité spectrale, qui décrit le noyau de la transformée de Fourier.
(cid:2)c Astérisque386,SMF2017
iv
Abstract(Representationsoftwistedspacesonaconnectedreductivep-adicgroup)
Let F be a locally compact non-Archimedean field, of any characteristic. Let G
be a connected reductive group defined over F, and G(cid:2) be a twisted G-space also
defined over F. The set G(cid:2)(F) is assumed to be non-empty, and it is endowed with
the topology defined by F. We fix a character ω (i.e. a continuous homomorphism
in C×) of G(F). In this memoir, we study the theory of (complex, smooth) ω-
representations of G(cid:2)(F), from that of representations of G(F). An ω-representation
of G(cid:2)(F) is given by a representation (π,V) of G(F) and a map Π from G(cid:2)(F) into
the group of C-automorphisms of V, such that Π(x·δ ·y) = π(x)◦Π(δ)◦(ωπ)(y)
for all δ ∈ G(cid:2)(F) and all x, y ∈ G(F). If the underlying representation π of G(F) is
admissible, we can define the character Θ of Π, which is a distribution on G(cid:2)(F).
Π
The main results proved in this memoir are:
— if π is of finite length, then the distribution Θ is given by a locally constant
Π
function on the open set of (quasi-)regular elements in G(cid:2)(F);
— the scalar Paley-Wiener theorem, which describes the image of the Fourier trans-
form–themapwhichassociatetoacompactlysupportedlocallyconstantfunction
φ on G(cid:2)(F) the linear form Π(cid:4)→Θ (φ) on a suitable Grothendieck group;
Π
— the spectral density theorem, which describes the kernel of the Fourier transform.
TABLE DES MATIE`RES
Partie I. Caracte`res tordus des repre´sentations admissibles
(B. Lemaire) .................................................................... 1
1. Introduction ............................................................... 3
2. Caract`eres tordus d’un groupe localement profini .................... 13
2.1. Module d’un automorphisme de G ...................................... 13
2.2. Caract`eres des repr´esentations admissibles de G (rappels) ............... 15
2.3. Caract`eres tordus de G .................................................. 16
2.4. Espaces topologiques tordus ............................................. 17
2.5. Module d’un G-espace tordu ............................................ 19
2.6. Caract`eres des ω-repr´esentations admissibles d’un G-espace tordu ....... 21
2.7. Induction compacte ..................................................... 23
2.8. Caract`eres des induites compactes ....................................... 25
2.9. Commentaires ........................................................... 32
3. Automorphismes d’un groupe r´eductif connexe ....................... 33
3.1. Groupes alg´ebriques affines; g´en´eralit´es ................................. 33
3.2. Automorphismes ........................................................ 36
3.3. Groupes diagonalisables et tores ......................................... 37
3.4. Automorphismes semisimples et unipotents ............................. 39
3.5. Groupes r´eductifs connexes .............................................. 41
3.6. Revˆetement universel .................................................... 44
3.7. Automorphismes quasi-semisimples ...................................... 45
3.8. Automorphismes quasi-centraux ......................................... 50
3.9. Automorphismes quasi-semisimples localement finis ..................... 52
3.10. Automorphismes r´eguliers; les automorphismes int´erieurs .............. 53
3.11. Automorphismes r´eguliers; le cas g´en´eral .............................. 55
3.12. E´l´ements r´eguliers d’un H-espace tordu ................................ 59
3.13. Tores maximaux et sous-espaces de Cartan d’un H-espace tordu ....... 61
vi TABLE DES MATIE`RES
3.14. Orbites dans un H-espace tordu ........................................ 62
4. Questions de rationalit´e .................................................. 67
4.1. G´en´eralit´es (rappels) .................................................... 67
4.2. G´en´eralit´es; suite ....................................................... 68
4.3. Points rationnels d’un H-espace tordu d´efini sur F ...................... 70
4.4. La d´ecomposition AutF(cid:2)(H)=IntF(cid:2)(H)(cid:2)A◦ ........................... 70
4.5. Automorphismes stabilisant un sous-groupe de Borel d´efini sur Fsep .... 72
4.6. Automorphismes stabilisant une paire de Borel d´efinie sur Fsep ......... 74
4.7. Tores maximaux et sous-espaces de Cartan de H(cid:2)(F) ................... 79
4.8. H(F)-orbites dans H(cid:2)(F) ............................................... 80
4.9. La topologie (cid:6)-adique (cas d’un corps local non archim´edien) ........... 81
5. Caract`eres tordus d’un groupe r´eductif p-adique ..................... 87
5.1. Paires paraboliques de G ................................................ 87
5.2. Mesures normalis´ees ..................................................... 88
5.3. Sous-espaces paraboliques de G(cid:2) ........................................ 90
5.4. E´l´ements r´eguliers et quasi-r´eguliers de G(cid:2) .............................. 92
5.5. L’application N :G→G pour θ localement fini ...................... 95
θ,g0
5.6. La paire parabolique (P ,A ) de G associ´ee `a γ ∈G(cid:2) ................. 96
[γ] [γ]
5.7. Le principe de submersion d’Harish-Chandra ............................101
5.8. Les op´erateurs T pour γ ∈G(cid:2) quasi-r´egulier ...........................103
γ
5.9. Induction parabolique et caract`eres .....................................106
5.10. Restriction de Jacquet et caract`eres ....................................108
5.11. Commentaire ...........................................................113
6. S´eries discr`etes et repr´esentations cuspidales .........................115
6.1. Caract`eres des repr´esentations irr´eductibles essentiellement de caract`ere
int´egrable ..............................................................115
6.2. Caract`eres des repr´esentations irr´eductibles cuspidales ..................118
7. Int´egrales orbitales et caract`eres ........................................121
7.1. Int´egrales orbitales tordues ..............................................121
7.2. Descente parabolique ....................................................122
7.3. Formule d’int´egration de Weyl ..........................................124
A. Repr´esentations irr´eductibles d’un G-espace tordu ..................133
A.1. Rappels sur les repr´esentations (lisses) irr´eductibles de G ...............133
A.2. ω-repr´esentations G-irr´eductibles de G(cid:2). ................................134
A.3. (H(cid:2),ω)-modules et (H(cid:2) ,ω)-modules ....................................136
K
A.4. ω-repr´esentations irr´eductibles de G(cid:2) et (H(cid:2) ,ω)-modules simples ......138
K
A.5. Ind´ependance lin´eaire des caract`eres tordus .............................143
A.6. La condition (P ) pour G(cid:2) =G(cid:2)(F) ....................................144
2
B. Repr´esentations l-modulaires ...........................................147
B.1. G´en´eralit´es [58, ch. 1] ...................................................147
TABLE DES MATIE`RES vii
B.2. R-repr´esentations lisses .................................................148
B.3. Le principe de submersion d’Harish-Chandra ...........................149
B.4. Induction parabolique et restriction de Jacquet .........................149
B.5. Commentaires ..........................................................151
C. Action d’un groupe alg´ebrique et points rationnels ..................153
C.1. Rappels topologiques ...................................................153
C.2. Actions r´eguli`eres, localement r´eguli`eres et constructibles ...............154
C.3. Rappels sur la topologie d´efinie par F ..................................155
C.4. Le th´eor`eme de constructibilit´e .........................................157
C.5. Quelques cas particuliers utiles .........................................158
C.6. Un crit`ere local de s´eparabilit´e (rappels) ................................159
C.7. Produit fibr´e (rappels) ..................................................161
C.8. Restriction `a la Weil et morphisme de Frobenius (rappels) ..............161
C.9. Le lemme cl´e ............................................................163
C.10. Un r´esultat bien connu ................................................165
C.11. Une cons´equence du lemme cl´e ........................................166
Partie II. La transforme´e de Fourier pour les espaces tordus sur un
groupe re´ductif p-adique (B. Lemaire et G. Henniart) .....................171
1. Introduction ...............................................................173
1.1. La transform´ee de Fourier dans le cas non tordu (rappels) ..............173
1.2. La transform´ee de Fourier tordue ........................................174
1.3. Formulation en termes de l’espace tordu de Labesse .....................175
1.4. E´tat des lieux ...........................................................176
1.5. Lien avec les travaux de Waldspurger ...................................176
1.6. R´eduction `a la partie «discr`ete» de la th´eorie ..........................177
1.7. Le th´eor`eme de Paley-Wiener ...........................................178
1.8. Le cocentre tordu C(G(cid:2),ω) ..............................................179
1.9. L’application d’Euler-Poincar´e ..........................................180
1.10. Le th´eor`eme de densit´e spectrale .......................................180
1.11. Des filtrations ..........................................................182
1.12. Plan de l’article ........................................................183
1.13. Des choix ..............................................................184
2. Repr´esentations des espaces tordus .....................................185
2.1. Conventions .............................................................185
2.2. Les donn´ees .............................................................185
2.3. ω-repr´esentations de G(cid:2) .................................................187
2.4. Les repr´esentations π(k) pour k ∈Z .....................................188
2.5. Le foncteur ι pour k ≥1 ...............................................189
k
2.6. L’invariant s(Π) .........................................................190
2.7. L’espace GC(G(cid:2),ω) ......................................................192
2.8. (H(cid:2),ω)-modules et (H(cid:2) ,ω)-modules ....................................194
K
viii TABLE DES MATIE`RES
2.9. Les caract`eres Θ .......................................................197
Π
2.10. Induction parabolique et restriction de Jacquet ........................198
2.11. Contragr´ediente ........................................................201
2.12. Caract`eres non ramifi´es ................................................203
2.13. Quotient de Langlands .................................................206
2.14. D´ecomposition de Langlands ...........................................207
2.15. Support cuspidal et caract`eres infinit´esimaux ..........................210
2.16. Support inertiel ........................................................211
2.17. Le «centre» (rappels, cas non tordu) ..................................213
2.18. L’anneau Z(G(cid:2),ω) ......................................................214
2.19. Action de Z sur le «centre» ..........................................215
2.20. «Bons» sous-groupes ouverts compacts de G ..........................217
2.21. «Bons» sous-espaces tordus ouverts compacts de G(cid:2) ..................219
2.22. (H(cid:2),ω,B)-modules admissibles .........................................221
3. E´nonc´e du r´esultat .......................................................223
3.1. Le th´eor`eme principal ...................................................223
3.2. Variante «temp´er´ee» du th´eor`eme ......................................225
3.3. Variante «finie» du th´eor`eme ...........................................226
4. R´eduction `a la partie « discr`ete » de la th´eorie ........................229
4.1. Le «lemme g´eom´etrique» ..............................................229
4.2. Les espaces a , aP, a∗, etc. ............................................233
P Q P
4.3. Les espaces a , aP(cid:2), b , b∗ , etc. .....................................234
P(cid:2) Q(cid:2) P(cid:2) P(cid:2)
4.4. Les morphismes ωT ..................................................238
P(cid:2),C
4.5. Actions duales de Z(G) et de PC(G(cid:2)) ...................................243
4.6. Induction parabolique et restriction de Jacquet : morphismes duaux ....245
4.7. Terme constant et caract`eres des induites paraboliques ..................247
4.8. Le th´eor`eme principal sur la partie «discr`ete» ..........................248
4.9. R´eduction du th´eor`eme principal 3.1.2 au Th´eor`eme 4.8.1 ...............249
5. Le th´eor`eme de Paley-Wiener sur la partie discr`ete ..................251
5.1. Support cuspidal des repr´esentations discr`etes ...........................251
5.2. Un r´esultat de finitude ..................................................252
5.3. D´ecomposition des fonctions r´eguli`eres ..................................253
5.4. Une cons´equence du lemme de d´ecomposition ...........................255
5.5. La partie Θ(cid:4) =Θdis (s) de Θ=Θ(s) est constructible ..................258
G(cid:2),ω
5.6. D´ecomposition des espaces Fdis(G(cid:2),ω) et Fdis(G(cid:2),ω) ....................259
tr
5.7. Surjectivit´e dans le Th´eor`eme 4.8.1 .....................................261
6. Le th´eor`eme de densit´e spectrale sur la partie discr`ete ..............263
6.1. Trace tordue pour les modules projectifs de type fini ....................263
6.2. Trace tordue (suite) .....................................................267
6.3. L’isomorphisme C(cid:4)(A(cid:2))(cid:8)A¯(cid:2) ............................................270
6.4. Variante (sur la condition de projectivit´e) ...............................275