Repeta - Matek 3

184 Pages·1997·4.126 MB·Hungarian

by  Dr. Gerőcs László

SCOLAR GB KIADÓ
Dr. Geröcs László
REPETA - MATEK 3
Főiskolai, egyetemi felvételire, érettségire készülőknek
SCOLAR KIADÓ, BUDAPEST, 1997
Lektorálta:
Érsek Nándor
A könyv ábráit készítette:
Szabó Béla
A borítót készítene:
Nagy Péter
A borítón látható grafikát készítene:
Graphidea Stúdió - Kovács Tibor, Pozsonyi József
© Dr. Gerőcs László, 1997
ISBN: 963 85341 9 2
Kiadja a SCOLAR KIADÓ
Felelős kiadó és szerkesztő: Érsek Nándor
A könyv formátuma: B/5. ívtcíjcdelmc: 12
Betücsaíád: Times New Román CE
Nyomta a Kner Nyomda Rt. Dürer Nyomda és Kiadó Kft, Gyula
Bevezető
Harmadik évfolyamának vége he z érkezett a televízió REPETA- MATEK című műsorsoro-
zata. Ahogyan ezt az első két évfolyam végén is tettük, ez évben is összegyűjtöttük egy kötet­
ben az év során kitűzött és megoldott feladatokat.
Ezt a kötetet tartja kezében az olvasó, és reméljük, ugyanolyan hasznos lehet számára, mint
amilyen az első két kötet volt.
Aki követte a TV e műsorát, tapasztalhatta, hogy bár szerkezetében, időtartamában, stílusá­
ban némiképpen megváltozott a korábbi évekhez képest, ami változatlan maradt, az a segítő-
szándék, mellyel a műsor készítői támogatni igyekeztek az egyetemi, főiskolai felvételire és
általában a felsőfokú tanulmányokra önállóan készülő diákokat. Ennek megfelelően ez évben is
hetente egy-egy feladatsort tűztünk ki az érdeklődőknek, mely feladatsorokat aztán egy hét
múlva a műsorban - ahogyan időnk engedte - részletesen kifejtettünk.
Ez évben 29 feladatsor fért a Repeta idejébe. Ezt a 29 feladatsort találhatja meg az olvasó a
kötet elején, majd ezt kővetően azok teljes, részletes megoldásait Ezután következnek az 1997,
évi egyetemi felvételi feladatsorok, melyek ugyancsak nagy tanulsággal szolgálhatnak a ké­
sőbbi években ilyen vizsgára készülőknek.
A kitűzött feladatsorok végén - már hagyomány szerűen, a könyv jobb áttekinthetősége ér­
dekében - zárójelben egy-egy számot talál az olvasó. Ez arra utal, hogy a kérdéses feladatsor
megoldása hányadik oldalon található a kötetben.
Végezetül e helyen szeretnék újólag is köszönetét mondani sok-sok segítőmnek: elsősorban
dr. Somogyi László és Kovács Károly tanároknak barátaimnak szakmai tanácsaikért; Varga Zs.
Csaba rendezőnek, Sípos Pál stúdióvezetőnek és Stodulka Péter szerkesztőknek, valamint a
Magyar Televízió Közművelődési Stúdiója valamennyi dolgozójának a műsorsorozat nagyszerű
lebonyolításáért, a LICHTBOGEN ¿?r-nek anyagi támogatásáért, valamint a SCO LA R KJADÖ-
nak precíz, gondos és gyors munkájáért.
Köszönöm!
Dr. Geröcs László
Budapest, 1997. május
Feladatsorok
1*1* Legyen b > 1 valós szám! Oldja meg az alábbi egy enletet a valós számok halmazán:
l°862s(20-25sin’£ + 1) = lóg 2 ^—1
vésm,r
1*2. Az /: x »-»/( x) = x2 + bx + 5 (x e R ) másodfokú függvény grafikonjának szimmet*
riatengelyével alkotott metszéspontja, valamint az x-tengellyel alkotott metszéspontjai szabá­
lyos háromszöget alkotnak. Határozza meg a b paraméter értékét!
1*3* Bizonyítsa be, hogy
!99® + l9% -f l"# Í6 > l”tf6 + t99^8 + '"#12
1*4* Az ABCDE négyzet alapú egyenes gúla alapja az a oldalú ABCD négyzet. E négyzet
közkééppppoonnttjjaa aa gg úla oldaléléitől -^j-szor olyan távol van, mint az oldallapoktól. Számítsa ki a
gúla térfogatát!
1.5* Legyenek p> s> z prímek! Egy dobozban elhelyeztünk pA db piros, s4 db sárga és
z4 db zöld golyót. Legyen k az a legkisebb pozitív egész szám, ahány golyót ki kell vennünk
a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három különböző, n az a legkisebb
szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között
három egyforma, összesen hány golyó van a dobozban, ha k +«+5 ugyancsak prím$2ám?(27)
2*1* Oldjamega következő egyenletet a valós számok halmazán:
lóg] X - 201og4 JC + 29 = — 5--------ü -----------
log4x-51og4;r + 9
2.2, Határozza meg azt az abed négyjegyű számot, amelynek számjegyeire
4 ab + 20 = cd és a + b + c + d = 25
2.3. Mely 0<x<2nt fl < >> < 2rc valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget:
2sín*-'fi +*>'-1-1 ^!2sJ\nx-'j2 -xy-\ _ 26
2*4. Adott az jc2 + y2 — 6x — 4y- 12 = 0 kör és a belsejében a P(l,3), 0(5,6) pontok.
Határozza meg az ABC derékszögű háromszög csúcspontjainak koordinátáit úgy, hogy a há­
romszög köré írható köre az adott kör legyen és P az egyik, Q a másik befogóra illeszkedjen!
2*5* Egy O csúcspontú he gyes szög egyik szárán felvettük az A pontot. Az A pont merőle­
ges vetülete a másik szögszáron legyen B. B tükörképe O-ra legyen Dt D merőleges vetülete
OA egyenesen pedig legyen C. Bizonyítsa be, hogy az
AB2 + BC2 + CD2 + PA2
BDAC
kifejezés értéke független az A pont választásától, és mindig nagyobb, mint 2! (31)
9
3,1. Az ABCD négyzet AB oldalának felezőpontja F. A D csúcsból FC-re állított merőle­
ges talppontja T. Bizonyítsa be, hogy ZX4T háromszög egyenlő szárú!
3.2. Egy számtani sorozat ¿?-cdik eleme p^fq, q-adik eleme q^~p. Határozza meg a soro­
zat p + q-adik elemét!
3,3. Legyenek n és k pozitív egészek. Mely x, yy z valós számokra teljesül az alábbi
egyenletrendszer (xy y > I):
logt xnyk + logv ynxk = 4 \fnk és
3.4. Az ABC szabályos háromszög A, B cs C csúcsaiból indul a háromszög belseje fele az
a, b, ill. c félegyenes úgy, hogy aza félegyenes AB oldallal, b félegyenes BC oldallal, c fél­
egyenes CA oldallal ugyanakkora a < 30°-os szöget zár be. E félegyenesek egy olyan három­
szöget határoznak meg, melynek területe az ABC háromszög területének a fele. Határozza
meg a értékét!
3.5. Egy négyzetes hasáb élei cm-ben mérve egész számok. A hasáb befestéséhez ponto­
san 1 liter piros festéket használtunk fel. Ezután a testet lapsíkjaival párhuzamos síkok men­
tén 1 cm élű kis kockákra vágtuk fel, majd e kis kockák minden olyan lapját, mely festetien,
befestettük zöldre. A felhasznált zöld festék 4,5 liter. Határozza meg a hasáb térfogatát! (36)
4.1. Egy kerékpáros ugyanazt a távolságot állandó sebességgel szokta megtenni. Egy al­
kalommal a táv p% -it a szokásos sebességnél p%-kal kisebb sebességgel, a hátralevő utat
szokásos sebességénél p%-kal nagyobb sebességgel tette meg, és így szokásos menetideje
nem változott. Határozza megp értékét!
4.2. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:
és
(VT)5410*3'
sin(x +y) = sin x - sin>>
4.3. Egy r sugarú körbe beírtuk az ABCD négyzetet, valamint az AEF szabályos három­
szöget. Számítsa ki a négyzet és a háromszög közös részének területét!
4.4. Legyen a >2 valós szám. Bizonyítsa be, hogy ekkor
< logu (a + 1) + logu+| a < 3
4.5, Egy egyenlő szárú háromszög magasságpontja illeszkedik a háromszög beírható kö­
rére. Mekkorák a háromszög szögei? (40)
10
5.1. Határozza meg jc értékét úgy, hogy az alábbi A, B és C mennyiségek ebben a sor­
rendben egy mértani sorozat egymást követő elemei legyenek:
A = 272 ~273 +), 5 = sinx + cosx, C = [í'08'^ + (s in ^ )'6] 2
5.2. Melyek azok az ab kétjegyű számok, melyek számjegyeire
(a + by =a(a + b)
5.3. Adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, melyen az aláb­
bi kifejezés értelmezhető (a szögletes zárójel a valós szám egcszrészét jelöli);
V~[log^(x2-4 )f +9[Iog^(*2-4)]-I4
x4 - 18x2 +56
5.4, Az ABCD konvex négyszög AB oldalának felezőpontja E, CD oldalának felezőpont­
ja F. Bizonyítsa be» hogy az ABF és CDE háromszögek területének összege egyenlő az
ABCD négyszög területével!
2 2
5.5. Az y = -x +n (w eN) parabola és az x tengely által közbezárt tartományban és
annak határán összesen 299 olyan pont található, melyeknek mindkét koordinátája egész
szám. Határozza meg n értékét! (46)
6.1. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán;
2x + ,jx~2y + 3 ~4(l+y), x2+2y2~xy = 46
6.2. Határozza meg az ay b, c számjegyeket úgy, hogy az aby ba, cOc számok egy szám­
tani sorozat egymás utáni elemei legyenek!
6.3. Az ABC derékszögű háromszög átfogója AB. Az AC befogó felezőpontja F. A BF
súlyvonal egyenese a háromszög köré írható körét P-ben metszi. Mekkorák a háromszög szö­
gei, ha FF egyenlő az átfogó negyed részével?
6.4. írja föl annak a körnek az egyenletét, amelyik érinti az y = 4 egyenest, áthalad a
P(0,2) ponton és amelynek területét a 2y-\-x = 2 egyenes felezi!
6.5. Három házaspár - a férfiak; János, György és Béla, a nők; Luca, Kati és Zsuzsa - el­
mentek vásárolni egy szupermarketbe. A vásárlás befejeztével mind a hat személy azt találta,
hogy az általa vett áruk (tallérban vett) átlagértéke megegyezik az általa vett áruk számával.
János 27-tel több darab árut vett, mint Kati, és György áruinak átlagértéke 9 tallérral ma­
gasabb volt, mint Lucáé. Véletlenül úgy adódott, hogy minden félj 75 talérral többet költött,
mint felesége.
Melyik férfinak melyik no a felesége? (51)
11
7.1. Az A, B, C számokra fennállnak az alábbi egyenlőségek. Állítsa nagyság szerint nö­
vekvő sorrendbe az A, ByC mennyiségeket:
Hfí81rc
A =(1996 4 y w w is i“ + B -C
B=(sm- m +cosm f _ A
4 4
C= A + B - logJ3_v-j6i (13 + VI68)
7.2. Az ABC háromszög oldalai a= 8, b = 6 és sin(a+ (5) = Számítsa ki az A és B
csúcsokból induló magasságok talppontjainak távolságát!
7.3. Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán:
V3'082Jr-2\/3'082Jr- 1 + V 3logJ 1 + 8 - 6a/ S10*2"1 -1 = 8^5-4
7.4. Az xlga + ylgö = lgű£ és
xlg& + j>lga = 2lga£
egyenesek (a cs 6 egymástól és 1-től különböző pozitív valós paraméterek, valamint ab* 1)
az y = -2x egyenesen metszik egymást. Határozza meg a metszéspontok koordinátáit!
7.5. Az ABCD paralel logramma C hegyes szögű csúcsából az AD, Ül AB oldalegyene­
sekre állított merőlegesek talppontjai Q és P, Bizonyítsa be, hogy
AD- AQ+ AB- AP = AC1 (55)
8.1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
log^ <4x -10)-+-10* log2 (4x -10) + |log2(4x -10)| + 18 = 0
8.2. Az / (*) = ax + b és g(x) = a2x + b2 (|a|*l, a * 0» x eR ) függvények esetében
minden x-re
f(g(x))= g(/ (x))
Oldja meg az / (x) + g(x) = ab egyenletet a valós számok halmazán!
8.3. F.gy egyenes körhenger alakú, h magasságú zárt tartály a palástjára fektetve vízszin­
tes helyzetben fekszik a földön. A tartályban az alapkör átmérőjének, mint magasságának ne­
gyed részéig áll a víz. Milyen magasan áll a víz a tartályban, ha azt „talpra”, azaz alapkörére
állítjuk?
8.4. Legyenek ky ly m, n különböző pozitív egészek, és képezzük közülük bármely kettó
különbségének abszolút értékét! Bizonyítsa be, hogy ezen különbségek szorzata osztható
12-vel!
8.5. Határozza meg az ABCD téglalap belsejében az összes olyan P pontot, melyre
PA-PC = PB-PD (60)
9.1. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái Á{2;-2), £(8;4), C(I0;2), A három­
szöget tükrözzük az x-tengelyre. Számítsa ki az eredeti háromszög és a tükörkép közös részé­
nek területét!
9.2. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága, valamint befogói egy
mértani sorozat egymás utáni elemei. Mekkorák a háromszög szögei?
9.3. Határozza meg azokat az abc háromjegyű számokat, amelyekre teljesül, hogy
ab+ac +ba + be + ca + eb = abc
9.4. Az ÁBCDAlBxC]D] kocka egyik lapja az a oldalú ABCD négyzet. A CC( él Cj-en tú­
li meghosszabbításán felvettük a P pontot úgy, hogy a PABCD gúla és az eredeti kocka közös
részének térfogata az eredeti kocka térfogatának 4 -od része. Határozza meg a P pont hely-
íj
zetét!
9.5. Bizonyítsa be, hogy bármely háromszögben
„ sin2a + sin2B + sin27 . . . 0 , x
R----------------^ ----------L = r'(sina + smp + sinY)
ahol a, |3, y a háromszög szögei, R a köréirható, r a beírható kör sugara! (65)
10.1. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert:
+ [3* + 9k =4
V y + n Íy (9 -K ) 7 y X
10.2. Határozza meg a c különböző számjegyeket, melyekre
\bbbb _ 1
bbbbc c
10.3. Adott egy kör és annak egy P belső pontja. Szerkesztendő olyan háromszög, mely­
nek e kör a köréírható köre, valamint a P pont a beírható körének középpontja.
10.4. Az ABC derékszögű háromszög átfogója AB. Az A-bó\ induló szögfelező BC befogót
^-ben, a köréírható kört A2-ben metszi, a fi-ből induló szögfelező AC befogót B] -ben, a
köréírható kört B2 - ben metszi. Bizonyítsa be, hogy
AAX _ AB2 CAÍ
BB} ~ BA2 ' CBj
10.5. Legyenek a„ b„ és c„ pozitív egészekből álló, nem állandó számtani sorozatok. Mi a
szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az
% +t>c„ -Ca,
összeg «-tői független legyen? Adjon egy konkrét példát ilyen sorozatokral (69)