Repeta-matek 1

184 Pages·1995·3.384 MB·Hungarian

by  Dr. Gerőcs László

Dr. Gerőcs László
REPETA- MATEK
1. kötet
Főiskolai, egyetemi felvételire, érettségire készülőknek
SCOLAR KIADÓ, BUDAPEST, 1995
Lektorálta:
Dr. Obádovics J. Gyula
A könyv ábráit és a borítót készítette:
Nagy Péter
A borítón látható grafikát készítették:
Kovács Tibor, Pozsonyi József
© Dr. Gerőcs László, 1995
ISBN: 963 85341 2 5
Kiadja a SCOLAR KIADÓ
Felelős kiadó és szerkesztő: Érsek Nándor
A könyv formátuma: B/5. ívteijedelme: 12
Betűcsalád: Times New Román CE
Nyomta a Kner Nyomda Rt Dürer Nyomda és Kiadó Kft, Gyula
Bevezető
1994 októberében indult útjára a televízióban a REPETA-MATEK sorozat. E műsor
1995 május végéig tartott;, összesen 28 feladatsort állítottunk össze és dolgoztunk ki
részletesen a sorozatban, majd ezt követően, az utolsó adásokban rendre megoldottuk
az 1995. évben egyetemi felvételi vizsgákon kitűzött feladatokat.
Miért is született meg ez a televíziós sorozat?
Középiskolai tanár- és diákkörökben eléggé köztudott, hogy a matematikából szer­
zett jeles osztályzat önmagában még roppant kevés ahhoz, hogy valaki eredményes
felvételi vizsgát tegyen a tárgyból és megkezdje felsőfokú tanulmányait. Az is kétség­
bevonhatatlan, hogy az utóbbi években egyre kevesebb diák tudja megfizetni a méreg­
drága magántanárokat, tanfolyamokat, amelyek áthidalhatnák a középiskolában tanul­
tak és a felvételi vizsgaanyag nehézségi foka közötti hézagot. Mindezek a tények
tovább növelik az egyébként is alaposan megsoványodott esélyegyenlőséget, és sok
tanuló számára majdhogynem teljesen megszüntetik a továbbtanulás lehetőségét.
Ekkor támadt az az ötlet, indítson el a televízió egy olyan továbbtanulásra felkészítő
sorozatot, mellyel elsősorban azoknak kíván segítséget nyújtani, akik kénytelenek
önállóan felkészülni felsőfokú tanulmányaikra - így született meg a REPETA.
Úgy tűnik, a műsor-sorozat elérte célját. A pontversenyen résztvevők magas
száma, a hetenkénti sok száz levél, a bátorítások, jó tanácsok, építő kritikák mind­
mind azt sugallták a műsor készítőinek, hogy valóban érdemes volt elindítani ezt a so­
rozatot, valóban nagyon sok diáknak, osztálynak, diákcsoportnak és tanárkollégának
tudtunk egyfajta segítséget adni az érettségire, ill. a felsőfokú tanulmányokra való
felkészüléshez.
Nagyon sok érdeklődő kérte-kérdezte, hogyan lehetne hozzájutni a REPETA-MA­
TEK teljes anyagához, a 28 feladatsorhoz. Bár a sorozat feladataiból jó néhány megta­
lálható - egyebek mellett - az "Irány az egyetem 1995" c. feladatgyűjteményben,
mégis úgy gondoltuk, talán nem érdektelen a REPETA-MATEK teljes anyagát egy
külön kiadványban megjelentetni, hogy az elkövetkezendő években felvételire,
továbbtanulásra készülők is foglalkozhassanak a kitűzött feladatokkal.
Nos, ezt a kiadványt tartja kezében az olvasó, kiegészítve a 28 feladatsort az ebben
az évben kitűzött egyetemi felvételi feladatsorok megoldásával. A feladatsorok végén
a sor megoldásának kezdő oldalszáma található. Kívánunk a kötetben szereplő példák
megoldásához hasznos fejtörést, sok sikert, sikerélményt. És amennyiben a REPETA­
MATEK televíziós műsorsorozatnak lesz folytatása a következő tanévben is, úgy
reméljük, e kiadvány is bővülhet egy újabb kötettel egy év múlva.
Végezetül e helyen is szeretnénk köszönetét mondani a SCOLAR AMDÓ-nak,
valamint a LICHTBOGEN BT-nek, hogy támogatásukkal hozzájárultak e könyv meg­
jelenéséhez.
Dr. Gerőcs László
Budapest, 1995. nyarán
Feladatsorok
REPETA (1. sorozat)
1.1/ Egy apának három fia van. Az apa éveinek száma, a legidősebb fia évei számá­
nak háromszorosánál eggyel nagyobb. A legidősebb fiú éveinek száma a két kisebb
évei számának összegével egyenlő. A legkisebb egy évvel fiatalabb a középsőnél. Hét év
múlva az apa életkora fiai életkorának összegével egyenlő. Hány évesek az apa és fiai?
l3) Az ABCD derékszögű trapéz párhuzamos oldalai ÁB és CD (AB > CD), merő­
leges szára AD. A trapéz AC átlója egyenlő az AB oldallal, AD szára egyenlő a DC ol­
dallal. A BC szárra C csúcsban állított merőleges F-ben metszi az AD oldalt. Mekkora
a trapéz területe, ha DF = 1?
l3D Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái yá(lgx;lgy), ő(lg4x;lgy),
C(lgx;lg8y). Határozza meg a háromszög területét! Mekkora legyen x és y, hogy a
háromszög köréírható körének középpontja 0(2;2) legyen?
r^'C'1
1.4. Az asztalon áll egy téglatest, melynek élei egynél nagyobb egész számok, tér­
fogata V = 12. Ha megtudnánk felszíne számjegyeinek összegét, abból még nem le­
hetne megállapítani az éleit. De ezután azt is megtudjuk, hogy legrövidebb éle függő­
leges helyzetű. Mekkorák a test élei?
1.5) Mely x, y, z valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget:
5x+y + 5X y + Vx2 +2x-8 + V-x2 +X + 2 = 3x4 + 2sinxz (25)
REPETA (2. sorozat)
Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:
[64I -3”log278]I +log2x3 =14
Í.2. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái v4(-3;0), ő(0;-4). A három­
szög harmadik csúcsa az x2+y2-16x-4y+43=0 egyenletű körön van. Határozza meg a
harmadik csúcs koordinátáit úgy, hogy a háromszög területe a lehető legkisebb legyen!
O . Mely x, y e [0,27t] valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget:
Vsinx + Veosx + V2 sin2 x -1 + V2 cos2 x -1 = 2^ • cosxy
2.4. Egy 8 x 8 -as sakktábla négyzeteibe a bal felső sarokból indulva, balról jobbra,
felülről lefelé haladva beírtuk az 1, 2, 3, ..., 64 természetes számokat. Ezután a tábla
mezőit minden lehetséges módon letakartuk egy 2x2-es négyzettel. Hány esetben
lesz a letakart négyzetekben levő számok összege osztható 3-mal?
2.5. Az ABC hegyesszögű háromszögben a = 45°. Bizonyítsa be, hogy a B és C
csúcsokból induló magasságok talppontjait összekötő szakasz hossza egyenlő a há­
romszög köré írható körének sugarával! (30)
9
REPETA (3. sorozat)
3^1. Oldja meg a következő egyenleteket:
a) log5(9 ^ -1 1 8 )-3 = 0
'b) |l0x-5| = 10x-8
3.2. Egy számtani sorozat 999. eleme egyenlő a sorozat differenciájával.
Határozza meg a sorozat első 1995 elemének összegét!
3.3. Az ABC háromszögben P = 50°, y = 70°. Határozza meg az OMC háromszög
szögeit, ahol O a háromszög beírható körének középpontja, Ma háromszög magasság-
pontja!
3.4. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
-\/4cos4 x + 12sin2 x-3 + -\/4sin4 x + 12cos2 x-3 = 4
3.5. Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Bizonyítsa be, hogy ekkor
■Ja2 +b2 + -Jb2 + c2 +-Ja2 +c2 >(a + ó + c)-V2 (36)
REPETA (4. sorozat)
4.1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
lg2 50 - lg2 20 = lg(x2 - lOx + 23,5)3
4.2. Jelöljük 7^-nel az n oldalú konvex sokszög alapú hasáb testátlóinak számát!
Milyen «-re teljesül, hogy
T + T = T
n T n+1 n+2
4.3. Egy háromszög T területére
4T = (a + b + c)(a + b-c)-2ab
Mekkora a háromszög y szöge?
4.4. Határozza meg a pl,p2,p3,p4 különböző prímek szorzatát, ha
Pi ^(P i+ P s+ P ^)2 = 136
4.5. Bizonyítsa be, hogy a háromszög beírható és egyik mellé írható körének kö­
zéppontjait összekötő szakaszt a háromszög köréírható köre felezi! (42)
REPETA (5. sorozat)
5.1. Oldja meg az alábbi egyenletet:
3logiooo O “ !) + 2 log100 (x + 3) - 2X+3 • log(x2 + 2x- 3) = 0
5.2. Az A és B helységek közötti távolságot egy vonat állandó sebességgel szokta
megtenni. Egy alkalommal a távolság /?%-ának megtétele után sebességét p%-kai nö­
velte, így a szokásos menetideje %-kal csökkent. Határozza megp értékét!
5.3. Az ABC hegyesszögű háromszög C-ből induló magasságának talppontja T.
Legyen e az ACT, f a BCT szög felezője. A háromszög ^4-ból induló szögfelezője e-t
P-ben, f-et 5-ben, a 5-ből induló szögfelező e-t S-ben, f-et 0-ban metszi. Bizonyítsa
be, hogy a P, Q, R, S pontok egy körön vannak!
5.4. Oldja meg a következő egyenletet:
2Vx-2+Vx + 2 = 3Vx2 -4
5.5. Legyen k páratlan egész, n és m pedig olyan pozitív egészek, melyek különb­
sége osztható 4-gyel. Bizonyítsa be, hogy ekkor km - kn osztható 120-szal! (47)
REPETA (6. sorozat)
6.1. Egy helységből elindult egy személyvonat 80 km/h sebességgel. Valamely t
idő múlva Utána indult egy gyorsvonat 120 km/h sebességgel. A gyorsvonat indulása
után 1 órával ugyanannyi a távolság közöttük, mint az indulás után 3 órával. Mikor
indult a gyorsvonat?
6.2. Egy k tagú társaságból elment a férfiak p%-a, így a társaság a q%-ára csök­
kent. Hány nő van a társaságban?
6.3. Egy 7-ban hegyesszögű háromszög két oldala a = 8 , b = 12. Az ezekhez az
oldalakhoz tartozó magasságok 135°-os szöget zárnak be egymással. Számítsa ki e
magasságok talppontjainak távolságát!
2 2
6.4. Az x + y -4x - I2y + a = 0 körben határozza meg az a paraméter értékét
úgy, hogy a körhöz az origóból húzott érintők merőlegesek legyenek egymásra!
6.5. Mini-Teve Városban (továbbiakban MTV), ahol több négypupú teve él, mint
kétpupú, a dromedárok száma a négypupú és kétpupú tevék összegének harmada. A
négypupú és kétpupú tevék összes púpjainak és fejeinek száma 100. Hány dromedár él
az MTV-ben? (52)
11
REPETA (7. sorozat)
7.1. Oldja meg az alábbi égyenletrendszert:
1l y í í +Í ^ =2' sm(3*-y) = cos(2*-)')
7.2. Egy számtani sorozat p-edik eleme ap = q2, #-adik eleme a = p2 (p*q
pozitív egészek). Határozza meg a sorozat p + q -adik elemét!
7.3. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának felezőpontja F. A C csúcsból
induló magasság talppontja T. T-bői a CF súlyvonalra állított merőleges talppontja P.
Bizonyítsa be, hogy ha a háromszög egyik szöge 37,5°, akkor AB = 87!P!
7.4. Határozza meg azt az abcd négyjegyű számot, melyre
abcd -abc -ab -a = 1776
7.5. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
5*_1 +53-* =2(8cosx^sinxy + l) (57)
REPETA (8. sorozat)
8.1., Az ABCD téglalap egyik oldala AB = a hosszúságú. Az AD oldal felező­
pontja F, az AF, ül. FD szakaszok felezőpontjai N, ill. M. Határozza meg a téglalap
másik oldalát, ha BN, BF, BMszakaszok egy mértani sorozat szomszédos elemei!
8.2. Az ABCDA'B'C'D' kocka CC élének felezőpontja F. Legyen O az ADD'A'
oldallap középpontja. Hol metszi az OBFháromszög síkja a kocka DD' élét?
8.3. Három testvér mindegyikének életkora prímszám A legidősebb 20 évvel idő­
sebb a legfiatalabbnál, a középső 4 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hány évesek a
testvérek?
8.4. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
A/log2 xtlog^ 2 + log2 x - 2) + A/log2 xtlog^ 2 + log2 x + 2) = 2
8.5. Egy téglalap alakú süteményt szeretnénk az oldalaival párhuzamos vágások­
kal felszeletelni. A sütemény széle kicsit égett, így lesznek égett és nem égett darabok.1
Hogyan szeleteljük egyik, ill. rá merőlegesen másik irányban, hogy legvégül ugyan­
annyi égett süteményünk legyen, mint nem égett? (61)
12
REPETA (9. sorozat)
9.1. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget:
log3(9log3^ + log^ sinx) > 0
9.2. Egy mértani sorozat 999. eleme egyenlő a sorozat hányadosával. Határozza
meg a sorozat első 1995 elemének szorzatát!
9.3. Az ABCD téglalap oldalai AB = 32, AD = 24. Megrajzoltuk az ABC és ACD
háromszögek beírható köreit. Jelöljük M-mel és A-nel e körök és az AC átló érintési
pontjait. Számítsa ki az MN szakasz hosszát! '
9.4. Oldja meg a következő egyenletet:
cosx + cos2x + cos3x = 0
9.5. Bizonyítsa be, hogy az alábbi kifejezés osztható 10-zel:
19931"3 [phone] +19951"5 +19961"6 (65)
REPETA (10. sorozat)
10.1. Állítsa nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi A, B, C mennyiségeket:
^ = (169I)l0Svi52, £ = (sin^p^r12, C = 32_1°gJJW
10.2. Egy számtani sorozatban
a -a +aa -a =32
«5 “4 “3 2
Határozza meg a sorozat differenciáját!
10.3. Egy háromszög a, b, c oldalaira
3b1 (a - cf + Hab2c _ ^
a* +2ac-c -2ac
Bizonyítsa be, hogy a háromszög derékszögű!
10.4. Az ABC derékszögű háromszög befogói ÁC = 3, BC = 4. A háromszög sík­
jára A-ban, B-ben merőlegeseket állítottunk azonos irányban, s felmértük az ÁP = 4,
¡11. BR = 9 távolságokat. Mekkora szögben látszik a C csúcsból a PB szakasz?
10.5. Határozza meg az alábbi tőrt lehető legkisebb értékét: