Répartition Modulo 1: Actes du Colloque de Marseille-Luminy, 4 au 7 Juin 1974

262 Pages·1975·3.275 MB·English-French

by  J. Besineau (auth.), Prof. Gérard Rauzy (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
475
I I I I
Repartition Modulo 1
Actes ud Colloque de ,ynimuL-elliesraM
4 au ? Juin 1974
Edit6 rap .G Rauzy
JII I |1 J
Springer-Verlag
Berlin.Heidelberg (cid:12)9 New York 1975
Editor
.forP Gerard Rauzy
Mathematiq qitamrofnl-eu ue
Universite de Luminy
70 Route L6on-Lachamp
13288 Marseille C6dex 2
France
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Colloque sur la re'partition modulo i, Marseille, 1974.
R~partition modulo 1 i,e. "un.
(Lecture notes in mathematics ; 475)
French or English.
Bibliography: p.
Includes index.
i. Distribution modulo one--Congresses.
2. Diophaatine analysis--Congres ses. 3. Numbers ~ Theor2
of--Congresses. I. Rauzy~ G~rard. II. Title.
II. Series: Lecture notes in mathematics (Berlin) ; 475.
QA3.L28 no. 475 QA242 510'.8s 512'.74 75-20300
AMS Subject Classifications (1970): 10F35, 10F40, 10H15, 10J15,
10K05, 10K10, 10K25, 10K30, 10K35, 10K99, 10L10, 22C05, 28A65,
40 A30, 40 C 05, 40 E05, 65 D 20
ISBN 3-540-07388-4 Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 New York
ISBN 0-387-07388-4 Springer-Verlag New York (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 Berlin
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(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg 1975
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Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
PREFACE
Le Colloque sur la R~partitionModulo 1 qui s~est tenu
Marseille-I_uminy du .4/ au 7" Juin 197/I. a regroup& unecinquantainede
participants comprenant non seulement des sp~cialistes de cette discipline~
mais &galement des sp~cialistes de th~orle ergodique et de g~om~trie
diff~rentielle, disciplines dont on connalt dlverses applications anclennes
et r~centes & la th~orie de la r&partition modulo o1
Pour cette derni~re~ divers probl~mes ont ~t~ abord~s
darts le cadre classique de la r~partitlon sur le tore, et dans le cadre plus
g~n~ral des groupes compacts et des espaces m~triques s~parables, couvrant
un large champ des recherches actuelles en ce domaine,
Ce volume contient la majeure partie des e(cid:141) qui ont
~t~ faits; ceu(cid:141) qui nly fgurent pas ayant paru ou devant paraltr,e , par
ai Ileurs.
Je tlens, pour conclure, & r'emercier I=ensernble des parti-
cipants, ainsi que la direction de ItUoEoR deMarseille-Luminy pour` le
soutien financier qutelle a apport~ & ces journ~es.
Je tiens ~galement & r,emer,cier le personnel du Centr,e
Inter,national de Rencontres Math6matiques sur lequel a repos~ I=or,ganisation
du Colloque ainsl que le per,sonnel du 5.-3ecr,~tarlat du D6par,tement de Math&-
matiques qui a assur,~ une partie de la frappe des textes dactylographi~s.
TABLE DES MATIERES
Jean BESINEAO Ensembles dientlers ~ caract~res presque
p~riodiques et ~quirdpartition .......... ....... 1
Chrlsta BINDER Une remarque sup la caract~risation des
fonctions R -tJ. - Int~grables .... . ..... ..~176 13
/~,lichel BRUN EAU Irr~gularit~ locale des fonctions et approximation
sup le tore ....................~176176176 81
Jean COLIOT Th~orie ergodique de 116quir~partition ..~ 26
Paul ERDOS Problems and results on diophantine
approximations (II) ...........................
Peter GERL Quelques g~n~ralisations de li~qutr~partition .., 001
Hendrlk G. MEIJER Equir@partltlon et th~orie des nornbres
Harald NIEDERREITER premiers ..................,.............~ 401
Jean-Louls NICOLAS Probl~mes dloptJmisation en nombres entier$
et approximations dlophantlennes ...| ..... .~176 311
Harald NIEDERREITER Ind~pendance de suites ....................... 021
Harald NIEDERREITER R~sultats nouveaux dans la th~orie
quantitative de II~quir~partition ... ......... ... 231
G~rard RAUZY Equir~partition el entrople ................... 551
Georges RHIN R@partitlon modulo 1 de f(pn ) quand f est line
s~rie enti~re ............................... 176
Peter SCHMITT Linear uniform distribution .............. ,.~ 542
Jeff VAALER A tauberlan theorem related to Weyl#s criterion 253
ENSEMBLES D'ENTIERS A CARACTERES PRESQUE PERIODIQUES
ET EQUIREPARTITION
J. BESINEAU
O. INTRODUCTION ET PLAN DE LtEXPOSE
O.I. Quelques r~sultats r~cents relatifs ~ l'~quir~partition des sous.suites
d'une suite donn~e
Soit u = (u n) une suite r~elle. Une sous-suite n + u s de
n
est d~flnie par la suite des indices s = (o n ) qui est une suite strictement
croissante d'entiers.
D~finition : Les densit~s inf~rieure, sup~rieure, la densit~ (quand elle existe)
de s seront dites densit~s inf~rieure, sup~rieure, densit~ (respectivement) de
la sous_suite (u s ) .
En 1971, M. Mend~s France 103 ~non~ait le r~sultat suivant
de J. Lesca 9. Soit u = (u n) une suite ~quir~partie. Quelque soit 6 CO,3,
on peut trouver une sous-suite (u s ) ~quir~partie , de densit~ ~ .
n
Si l'on part d'une suite dense u = (u n) , on en d~duit que l'en-
semble des densit~s des sous.suites ~quir~parties est un intervalle O,e) .
J. Lesca et Y. Dupain ont d~montr~ plus tard ~ que cet intervalle est fermi,
c'est-~-dire que e est effectivement la densit~ d'une sous-suite ~quir~partie.
2
Dire que o = o( n) a pour densit~ 6 , est dire que o n ~ ~ '
si n tend vers l'infini (~n~n § l). G~n~ralisant alors le probl~me ,
" L~J
M. Mend~s France posait la question suivante : Soit (a n) une suite strictement
croissante d'entiers, peut-on trouver une sous_suite (u ~ ) ~quir~partie telle
n
que o n % a n . La r~ponse a ~t~ donn~e, conjointement, par A. Thomas (Marseille)
et Y. Dupain (Bordeaux) 8 qui ont d~montr~en particulier~ le r~sultat sui-
vant. Quelle que soit la suite u ~quir~partie, on peut trouver une sous.suite
(u ~ ) ~quir~partie , telle que o n ~ a n , pourvu que la suite (a n ) v~rifie la
n
condition
card{k ; x K a k < 2x)
lira sup < + oc
card{k ; 0 ~ a k < x}
condition qui est d'ailleurs r~alis~e si la densit~ inf~rieure de o est stric-
tement positive.
0.2. Nous nous interessons ici ~ des sous_suites (u ~ ) dont l'ensem-
n
ble o = (o n ) des indices est une suite d'entiers, dire "~ caract~re presque
p~riodique" (c.p.p.). Les suites c.p.p, seront d~finies plus loin ; mais disons,
d~s maintenant, qu'elles ont les propri~t~s de presque p~riodicit~ suivante .
Pour tout c (cid:12)9 0 , on peut trouver un ensemble d'entiers relativement dense (~)
R , tel que pour chaque t ~R , la difference sym~trique T entre la suite
c E
n * o et sa "translat~e" n § t + o soi t de densit~ dT inf~rieure ~ E .
n n
C'est-~-dire que, "dans un certain sens" , o et sa translat~e t + a sont
"proches" l'une de l'autre.
Nous pourrons, en particulier, ~tablir le r~sultat suivant qui
precise un r~sultat d~j~ cit~ de J. Lesca.
Un ensemble est dit "relativement dense", s'il existe un nombre ~ > 0 ,
tel que tout intervalle d'amplitude l contienne au moins un ~l~ment de
cet ensemble.
Th~or~me I . Soit u = (u n) une suite ~quir~partie. Pour tout 66 0,1 , nn__o
peut trouver une suite o = (o n) , ~ caract~re presque p~riodique, de densit~ 6,
telle que la sous~ (u) soit ~quir~partie .
n
Les techniques que nous emploierons feront intervenir de fa~on
fondamentale le spectre d'une fonction d'entiers, elles sont donc tout ~ fait
diff~rentes des proc~d~s de mesure, utilis~s par J. Lesca.
0.3. Rappels et d~finitions
Consid~rons l'ensemble des fonctions d'entiers f : ~ § C ~ va-
leurs complexes, dont la valeur absolue est born~e en moyenne. Dans toute la
suite nous nous situerons dans l'espace (cid:12)9 de Marcinkiewicz - Besicovitch ,
c'est-~-dire l'espace pr6c~dent muni de la semi-norme
1{f{l ! N
= lim sup ~ ~ {f(n){
N n=l
Pour l appartenant au tore T , nous noterons e I l'exponen-
tielle eomplexe el(x) iff exp(2i~Ix) .
Pour f6 (cid:12)9 , nous noterons m(f) = lim sup ~ f(n)
N n=l
m(f) = O signifie donc que f est de moyenne nulle.
Ortho~onalit~ : Si deux fonctions f , g de ~ v~rifient m(fg) = O ,
nous dirons qu'elles sont orthogonales , f .L g (cid:12)9 Si ~ est un ensemble de
fonctions de (cid:12)9 , f est orthogonal ~ q (f I ~) signifie que f est ortho-
gonale ~ route fonction g & ~ .
Spectre (de Fourier-Bohr) d'une foncti0n fE (cid:12)9 : C'est l'ensemble, not~
sp f , des l~T , tels que m(fe_l) > Q . On sait que sp f est de mesure de
Lebesgue nulle (et m~me de dimension de Hausdorff nulle) (Wallin 13) .
4
Fonctions presque p~riodiques (p.p.) : C'est l'adh~rence dans ~ de
l'ensemble des polynBmes trigonom~triques (sommes finies a% el(n) , al& ~ ,
6T . Les ~ sont dits fr~quences du polynSme et en constituent le spectre).
Si ~ est p.p. on sait que sp ~ est au plus d~nombrable et que ~ est limite
d'une suite de polynSmes dont les fr~quences sont dans sp
Suites d'entiers ~ caract~re presque p~riodique (c.p.p.) : C'est une
suite a = (a n ) strictement croissante d'entiers dont la fonction caract~ris-
tique X est p.p. (fonction caract~ristique : x(k) = | si k est dans a ,
x(k) = 0 sinon). X ayant alors une moyenne, a a une densit~ da (qui est
la moyenne de X)-
A- suite d'entiers : Soit A une partie du tore ; on appellera A-suite
d'entiers, une suite d'entiers c.p.p, dont la fonction caract~ristique a son
spectre dans A et dont la densit~ est > O .
Sous-suite ~ caract~re presque p~riodique (e.p.p.) d'une suite donn~e :
Soit u = (u n) une suite r~elle ou complexe , n + u a une sous-suite. Si la
n
suite a = (a n ) est c.p.p., nous dirons pour simplifier la langage que la
sous.suite (u a ) est ~ caract~re presque p~riodique (e.p.p.).
n
0.4. Plan de l'expos~
Le paragraphe I donne des exemples de suites d'entiers c .p ,p.
Le spectre de leurs fonctions caract~ristiques est d~crit.
Dans II , partant d'une suite complexe f(n) , on donne des con-
ditions pour qu'une sous-suite c.p.p, f(a n) soit de moyenne nulle. En parti-
culier (11-2 , th~or~me 3). On caract~rise une famille ~ de parties A du
tore, pour lesquelles la propri~t~ (sp~NA = ~ ~quivaut au fait que f(a n) est
de moyenne nulle pour toute A-suite d'entiers a .
5
Les r~sultats de I et II sont alors appliques dans III qui
concerne les sous-suites (u s ) ~ caract~re p.p. d'une suite u = (u n)
n
r~elle, ~quir~partie. On montre que (u s ) est ~quir~partie d~s que le spectre
n
de la fonction caract~ristique de (s n) est dans un certain ensemble B (qui
d~pend de u) de la famille ~ pr~c~dente, de mesure pleine ~(B) = . On en
d~duit la d~monstration du th~o~me . On donne, ensuite, dans III 3. des
exemples de suites dont toutes les sous-suites c.p.p. (de densit~ > O) sont
~quir~parties. Enfin dans III 4. on d~termine une famille de nombres ~0, I
tels que, quel que soit x normal en base g , ~ + x soit lui aussi g-normal.
Plusieurs r~sultats seront simplement ~nonc~s. Pour les points
les plus fondamentaux, des indications seront donn~es sur les d~monstrations qui
ne seront cependant qu'esquiss~es.
.I EXEMPLES DE SUITES D'ENTIERS C.P.P. SPECTRE DE LEURS FONCTIONS CARACTERISTIQUES
)a La progression arithm~tique (an + b) (a > , b > O entiers) est c.p.p.
puisque sa fonction caract~ristique est p~riodique. Le spectre de celle-ci est
I ' ensemble {0, 2 a-|
a a a
Les suites s dont la fonction caract~ristique (cid:141) est limite de
fonctions caract~ristiques p~riodiques, sont c.p.p, et leur spectre est ration-
nel. Appartiennent ~ cette famille des ensembles classiques de l'arithm~tique
comme l'ensemble ~r des entiers "r - free" (r ~ 2). Les ensembles de "mul-
tiples" sont dans cette famille, si et seulement si, ils ont des densit~s.
b) Soit e un nombre irrationnel, I un intervalle du tore. La suite E , I
des entiers n , tels que {on}~l ({x} = partie fractionnaire de x) est
c.p.p. Le spectre de sa fonction caract~ristique est eZ/Z , si la longueur
~(I) de l'intervalle I est irrationnelle~ e(Z-q~)/Z si ~(I) est ration-
nelle, ~gale N la fraction irr~ductible p/q
6
Les suites E I permettent d'obtenir des suites c.p.p, de
densit~ u(1) arbitraire. Appartiennent ~ leur famille les suites Sn~(n6N)
o~ 8 est un nombre irrationnel >
SOUS-SUITES C.P.P. DE MOYENNE NULLE DIUNE SUITE COMPLEXE DE MOYENNE NULLE
II.I. Soit f(n) une suite complexe born~e et o une suite d'entiers c.p.p.
de fonction caract~ristique (cid:141) , de densit~ > 0 .
Th~or~me 2. (spf)~ (spx) = @ ~pii~Lue ~Lue la sous-suite n ~ f(a n) est de mo-
7enne nulle .
D~monstration : On voit ais~ment que f(On ) de moyenne nulle ~quivaut
m(fx) = O . Soit alors c > 0 et P un polyn~me dont les fr~quences sont dans
sp X , tel que fIX - eli ~ e On peut voir que
1 N Ilfll~
m(fx) = lim sup I ~ (f(x - P))(n)l ~ c
N n=l
Ilfll~
(ou est la norme de la convergence uniforme).
Comme c > O peut ~tre choisi arbitrairement, m(fx) = O , c.q.f.d.
Le th~or~me )2 a pour consequence l'implication sulvante :
~pf)~A = @ ~ Pour route A-suite (a n ) , la sous.suite f(On )
est de moyenne nulle.
Le paragraphe suivant caract~rise l'ensemble des parties A du
tore, pour lesquelles la r~ciproque de l'implication pr~c~dente est vraie.
11.2. Une famille ~ de parties du tore
Notations : Pour AcT , notons ~B(A) l'ensemble des fonctions p.p. ~ spec-
tre dans A et ~ '(A) l'adh~rence de l'espace vectoriel engendr~ par les
fonctions earact~ristiques p.p. ~ spectre dans A . (Bien entendu, ~'(A)C~B(A)).