regresión bayesiana lineal para calibrar los parámetros de un modelo de horno de arco estimating

18 Pages·2014·2.19 MB·Spanish

REGRESIÓN BAYESIANA LINEAL PARA CALIBRAR LOS PARÁMETROS DE UN MODELO DE HORNO DE ARCO
REGRESIÓN BAYESIANA LINEAL PARA CALIBRAR
LOS PARÁMETROS DE UN MODELO DE HORNO DE ARCO
ESTIMATING ARC FURNACE MODEL PARAMETERS
USING BAYESIAN LINEAR REGRESSION
Jesser James Marulanda Durango
Ing. Electricista, MSc., Profesor Auxiliar, Facultad de Ingeniería,
Investigador Grupo de Electrónica de Potencia.
Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia.
[email protected]
Mauricio Alexander Álvarez López
Ing. Electrónico, PhD., Profesor Asociado, Facultad de Ingeniería,
Investigador Grupo de Automática.
Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia.
[email protected]
Alfonso Alzate Gómez
Ing. Electricista, MSc., Profesor Titular, Facultad de Ingeniería,
Investigador Grupo de Electrónica de Potencia.
Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia.
[email protected]
Fecha de recepción: 27 de abril de 2013
Fecha de aprobación: 16 de diciembre de 2013
RESUMEN
Este documento presenta la calibración de los parámetros de un modelo de horno de arco
eléctrico, que tiene en cuenta la naturaleza no lineal y la impedancia variable que exhibe
este tipo de carga. A partir de la ecuación diferencial no lineal que describe la característi-
ca estática voltaje-corriente del arco eléctrico, se establece una ecuación equivalente lineal
que facilita el ajuste de las constantes del modelo, usando mediciones reales de voltaje y
de corriente tomadas en la etapa más crítica de la operación del horno. Se muestra el pro-
cedimiento de ajuste de los parámetros del modelo usando regresión Bayesiana Lineal. Se
presenta a través de gráficas, la relación entre los parámetros del modelo de la etapa de-
terminista y el comportamiento de la varianza de las funciones de densidad de probabilidad
Gaussianas a posterior con el número de datos usados para la calibración del modelo. La
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validación de los resultados obtenidos se realiza simulando el modelo con los parámetros
estimados para luego comparar éstos con mediciones reales. Se ha utilizado un medidor
de Flicker que cumple con el estándar CEI IEC 61000-4-15 para determinar la Sensación
Instantánea de Flicker (IFL) de las fluctuaciones presentes en las formas de onda reales y
simuladas de las corrientes del arco eléctrico. Adicionalmente, se presenta en una gráfica el
contenido armónico real y simulado de las corrientes de fase generadas en el horno.
Palabras clave: Horno de arco, oscilador de Chua, inferencia Bayesiana.
ABSTRACT
In this paper, the authors present the calibration of the parameter of arc furnace that con-
siders the non-linearity and high variability of this type of load. Starting with a nonlinear
differential equation that describes the voltage-current characteristic of the arc, an equi-
valent linear equation that simplifies the estimation of the original model parameters is
proposed. Parameter estimation is then accomplished using Bayesian linear regression
using measurements taken during the furnance’s most critical operation point. Relation-
ships between the estimated value for the parameters and their uncertainty, in terms of
the number of observations included in the model calibration process, are shown. Results
obtained through simulation with the estimated parameters are contrasted against real
data. A flicker meter, which complies with the IEC standard 61000-4-15, is used for de-
termining the instantaneous flicker level (IFL) due to fluctuations present in the real and
simulated current waveforms. Finally, the harmonic content of the real and simulated cu-
rrent waveforms is compared.
Keywords: arc furnace, Chua’s circuit, Bayesian inference.
INTRODUCCIÓN y lanzas de O para quemar los combusti-
2
bles que pueda presentar la carga. Cuando
El horno de arco eléctrico es conocido como la chatarra está totalmente fundida a unos
el sistema más utilizado en las grandes in- 1600°C, el metal líquido se transporta al
dustrias metalúrgicas para la producción de horno cuchara para ser sometido a un pro-
acero, aluminio, cobre y otros metales. El ceso de transformación denominado afino,
funcionamiento del horno de arco se divide donde se eliminan las impurezas y se agre-
en la etapa de fusión y en la etapa de re- gan ferroaleaciones para ajustar la compo-
finado. La etapa de fusión se realiza a ple- sición química del metal. Durante las dos
na potencia y se complementa con energía fases del proceso de fundición, se observan
auxiliar procedente de quemadores oxigas caídas momentáneas de tensión (Flicker) en
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el barraje de conexión de la instalación o una inductancia, junto con varias fuentes de
Point of Common Coupling (PCC) y en otros corriente en paralelo para generar algunos
barrajes aledaños [1], en particular se ha- armónicos que presentan las corrientes del
cen más severas durante la fase de fusión arco eléctrico reales. La desventaja que tie-
debido a que piezas de la chatarra que se ne este planteamiento es que requiere de
funden cortocircuitan continuamente los una cantidad masiva de datos para deter-
electrodos del horno. minar los valores de funcionamiento de los
elementos del modelo. Un enfoque con un
El efecto Flicker, también conocido como modelo oculto de Markov para modelar el
efecto parpadeo, puede originar molestias arco eléctrico se presenta en [5]. El modelo
visuales en las instalaciones de iluminación requiere muestras aleatorias de las señales
dependiendo de su frecuencia y amplitud reales de voltaje y corriente del arco eléc-
[2]. Otro problema que genera el horno de trico por fase en varios ciclos de funciona-
arco, para las redes de distribución, es la miento, para generar diferentes puntos de
inyección de corrientes armónicas, que se operación sobre la curva voltaje – corriente
originan por la naturaleza no lineal del fe- con un valor de probabilidad relacionado
nómeno asociado al arco eléctrico, posibi- con el modelo oculto de Markov. El modelo
litando la operación indeseada de los equi- interactúa con el sistema eléctrico de po-
pos conectados a la red de distribución y tencia a través de fuentes de voltajes con-
en las instalaciones eléctricas de usuarios troladas por corriente. El modelo se valida
aledaños. Operadores de red y usuarios de usando datos reales.
este tipo de carga conocen estos inconve-
nientes y en consecuencia, deben generar Uno de los problemas que resulta del uso de
estrategias para su mitigación; como por estos modelos matemáticos está relaciona-
ejemplo, el empleo de modelos matemá- do con la sintonización adecuada de sus pa-
ticos de horno arco que permitan predecir rámetros. Actualmente, se encuentran en la
los impactos en la calidad de la energía del literatura varios modelos para el horno de
sistema de distribución que tendrían nue- arco que tienen en cuenta las fluctuaciones
vas instalaciones, o evaluar el desempeño en las formas de onda de voltaje y corrien-
de sistemas de compensación como el D- te del arco eléctrico, donde la sintonización
StatCom (Distribution Static Compensator) o de sus parámetros se realiza de forma heu-
el SVC (Static Var Compensator) para instala- rística[6], o con base en gran cantidad de
ciones ya existentes [3]. mediciones de voltajes, corrientes, Índices
de Severidad de Flicker de Corta Duración
Varios modelos matemáticos se han pro- (PST) de hornos existentes [7], o con base
puesto para el horno de arco eléctrico. En en curvas que muestran el comportamiento
[4] se presenta un modelo que requiere las del factor de potencia real en este tipo de
formas de onda reales de los voltajes y las instalaciones [8]. En [9], se presenta una
corrientes del arco eléctrico. El modelo con- metodología para calibrar algunos de los
siste en una resistencia variable en serie con parámetros del modelo propuesto en [10],
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usando estimación por máxima verosimili- el flickermeter descrito en [14]. En los re-
tud, en el que no es posible establecer la in- sultados obtenidos se compara el espectro
certidumbre sobre los valores obtenidos en armónico de las formas de onda de las co-
los parámetros. En [11], se utiliza una red rrientes de arco reales y simuladas. Final-
neuronal para estimar todos los paráme- mente, se presentan algunas conclusiones.
tros del modelo propuesto en [10], donde el
conjunto de datos de entrenamiento se ha 1. MATERIALES Y MÉTODOS.
generado usando simulación.
1.1. MODELO MATEMÁTICO DEL HORNO
Sin embargo, ninguna de las técnicas utili- DE ARCO.
zadas para estimación de parámetros apli-
cadas a modelos de horno de arco tiene en En este trabajo se utilizó el modelo presen-
cuenta algún tipo de incertidumbre sobre tado en Alzate et al [10]. En resumen, el
los parámetros. En este documento, se modelo se divide en dos partes, inicialmen-
muestra una metodología para la sintoniza- te se determina la característica estática no
ción automática de los parámetros del mo- lineal entre el voltaje y la corriente del arco
delo de horno de arco presentado en [10], eléctrico y luego se considera el comporta-
usando inferencia Bayesiana [12], teniendo miento dinámico del arco eléctrico modu-
en cuenta el nivel de incertidumbre sobre lando en amplitud el radio del arco eléctrico
los parámetros del modelo que se estiman. con tres señales: Una señal sinusoidal de
baja frecuencia [15], una señal caótica de
La sintonización de los parámetros se rea- baja frecuencia generada con el oscilador
liza con datos reales tomados en el ciclo de de Chua [16]-[17] y una señal aleatoria con
fusión del horno de arco [13]. Las señales distribución de probabilidad Gaussiana.
que se utilizan son las formas de onda de
los voltajes de fase y las corrientes del arco El comportamiento determinista se obtiene
eléctrico en el secundario del transforma- resolviendo la siguiente ecuación diferen-
dor que energiza los electrodos del horno, cial Acha et al [18],
muestreadas a una frecuencia de 2048
muestras por segundo. El modelo del hor-
dr k
no de arco trifásico se ha realizado en el k r2 +k r = 3 i 2 , (1)
1 2 dt r2
programa Pscad®, y el algoritmo de regre-
sión Bayesiana lineal se ha implementado
en Matlab®. La validación de los resultados donde r es el radio del arco, i es la corrien-
se realizada comparando inicialmente los te instantánea del arco en amperios y k
n
valores eficaces de las señales modeladas (n=1,2,3), son las constantes del modelo
y reales. Luego se presenta una compara- que se desean estimar. El comportamiento
ción de la Sensación Instantánea de Flicker dinámico del arco se obtiene generando un
(IFL) de las tres corrientes del arco, usando comportamiento de tipo aleatorio a la va-
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riable de estado r, para esto esta variable mencionadas anteriormente, lo que se des-
se modula en amplitud con las tres señales cribe matemáticamente como:
( )( )
r = r [ 1 + msen (2πft) ] 1 + m g 1 + m c , (2)
d s g n c h
donde f es la frecuencia de las variación si- potencia a través de una fuente de voltaje
nusoidal, m, m y m son los índices de mo- controlada “Single Phase Voltaje Source Mo-
s g c
dulación de amplitud sinusoidal, aleatorio del” de la librería de fuentes de voltaje de
y caótico respectivamente, g es una señal PscadTM. Para ajustar el factor de modula-
n
aleatoria con distribución de probabilidad ción m, y la frecuencia de modulación f se
s
normal y c es una señal caótica en la ban- requieren mediciones reales de voltajes y
h
da de frecuencias de 3 a 25 Hz. Luego, el corrientes del arco eléctrico para cada fase.
voltaje instantáneo del arco v en voltios, se Con relación a los índices de modulación m
g
determina a partir de la siguiente ecuación, y m, se han seleccionado heurísticamente
c
valores diferentes para las tres fases con
el objetivo de introducir desbalances en
k
v = Ri = 3 i, (3) los voltajes del horno, y sus valores son
r2
proporcionales al PST medido en los nodos
superiores del circuito del horno de arco. En
donde R es la resistencia del arco en oh- la Tabla 1, se presentan los valores de los
mios. Este voltaje se incluye al sistema de índices de modulación empleados.
Tabla 1. Parámetros de ajuste de la fase dinámica del modelo.
Fase a Fase b Fase c
m 0.0735 0.0525 0.0105
s
m 0.0875 0.0625 0.0125
c
m 0.084 0.0006 0.012
g
f (Hz) 16.4 16.4 16.4
El circuito eléctrico que conecta el horno de [9]. En la Figura 1, se muestra el circuito im-
arco se basa en la topología presentada en plementado en PSCADTM.

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-115 kV+ 80 MVA 83 MVA
50 Hz 110/20 kV 20/0.7 kV
Pcc 0.38 + j3.23 mΩ i
Y Y Δ Δ
+
T T
v
1 2
2
Figura 1. Diagrama unifilar de la topología del circuito eléctrico del horno de arco.
1.2. REGRESIÓN BAYESIANA LINEAL donde e representa el ruido presente en
las observaciones y explica cómo las mis-
Considerando el modelo matemático del mas se alejan o acercan al valor del modelo.
horno de arco dado por la ecuación , se En lo que sigue asumimos que e sigue una
propone estimar los parámetros k , k y k función de densidad Gaussiana, e ~N (0, b-1),
1 2 3
por medio de regresión Bayesiana Lineal a
donde b se conoce como la precisión.
partir de los datos reales tomados del com-
portamiento del horno de arco. La ecuación
Dados los coeficientes w , w , …, w , la va-
que describe el modelo del horno de arco 0 1 m
riable z sigue una función de densidad
se puede transformar a un modelo de re- i
Gaussiana,
gresión lineal, como se describe en Maru-
landa et al [9], y que consiste en una com-
binación lineal de las variables de entrada.
p( Z ) = N ( z | y (w,x ),β -1), (6)
i i i
y(w,x )=w +w x +...+w x . (4)
0 1 1 m m
donde wT = (w , w , …, w ). En el análisis de
En el modelo de regresión lineal, las obser- 0 1 n
regresión clásico, se asume que las ob-
vaciones z , z ,…, z se relacionan con la fun-
1 2 m servaciones son independientes e idénti-
ción y(w,x) a través de la expresión:
camente distribuidas (IID-Independent and
Z =y (w, x ) + ε= wT x + ε, (5) Identically Distributed), luego
i i i
N N
p(z w )=∏p(z w )= ∏N (z y(w ,x ), β-1), (7)
i i i
i=1 i=1
donde z es el vector aleatorio que contiene ecuación se conoce como la función de vero-
todas las observaciones, es decir zT = (z , z , similitud. Un método convencional para es-
1 2
…, z ) y N es el número de observaciones. La timar los parámetros w consiste en encon-
m
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trar los valores del vector w que maximizan los coeficientes w. La estimación Bayes-
el logaritmo de la función de verosimilitud, iana, por el contrario, asigna una función
log p(z/w). Este criterio de estimación se de probabilidad a priori a los coeficientes
conoce como Estimación por Máxima Verosi- w, que actualiza a través de la función de
militud (EMV) y equivale al criterio de míni- verosimilitud para producir una estimación
mos cuadrados en el caso Gaussiano. de los parámetros que tenga en cuenta la
incertidumbre de los mismos. La función de
La EMV es un tipo de estimación puntual, probabilidad actualizada para los parámet-
en el que no es posible establecer la in- ros w se obtiene empleando el teorema de
certidumbre sobre el valor obtenido de Bayes,
p(z / w )p(w) p(z / w )p(w )
p(w / z )= = ,
(8)
p(z) ∫p(z / w )p(w)dw
donde p(w/z) es la función de probabilidad a Se puede demostrar [12] que la función de
posteriori y p(z) se conoce como la eviden- probabilidad p(w/z) está dada como:
cia. Como la función de verosimilitud es una
función cuadrática en w, una opción natural
p(w z )= N ( w m ,S ), (9)
para la función de probabilidad a priori, p(w), N N
es de nuevo una función cuadrática en w, de
manera tal que la función de probabilidad donde m = bS XTz, S -1= XTX y X es una ma-
N N N
a posteriori puede calcularse fácilmente. triz cuyas filas están dadas por xT, para 1<
i
En particular, asumimos que la función de i <. Con esta función de probabilidad p(w/z)
probabilidad a priori para w sigue la forma es posible calcular la función de probabili-
p(w)=N(w/0,α-1I), donde I es la matriz identi- dad predictiva para un nuevo valor de salida
dad y α es la precisión de los parámetros w. z, dado un nuevo valor de entrada x [12],
* *
p(z z,x )= N (z mT x ,σ2(x )), (10)
* * * N * N *
Donde σ 2(x)=β-1+x T S x . probabilidad a priori p(α) y p(b), para luego
N * * N *
marginalizar estas variables en la función
Para emplear las expresiones anteriores a posterior p(w/z) y en la función predictiva
en la práctica, es necesario estimar los va- p(z*/z, x). Por simplicidad, asumimos que
*
lores de α y b. La inferencia Bayesiana en las variables α y b actúan como parámetros
este caso consistirá en asumir funciones de y usamos EMV para encontrar sus valores.
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En este caso la función de verosimilitud que la función a maximizar con respecto a α y b
se emplea es la función de evidencia p(z), y es el logaritmo ln p(z),
m N 1 N
ln p(z)= ln(α)+ ln(β)-E(m )+ ln S - ln(2π). (11)
2 2 N 2 N 2
La maximización de la expresión anterior
con respecto a α y b lleva a las siguientes 1.4. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS
ecuaciones de re-estimación para estas va- DEL MODELO.
riables [12],
Como se mencionó anteriormente, uno de
γ
α = , (12) los problemas fundamentales para el em-
mTm
N N pleo de este modelo descrito en la sección
1.1, está relacionado con la sintonización de
los parámetros k con n = {1,2, 3}, para una
1 = 1 ∑N (z -mT x )2 , (13) aplicación especínf ica. En esta sección, se
β N-γ i N i
i=1 muestra una metodología para determinar
los mismos con base en mediciones reales.
Para este trabajo, se tienen muestras de
donde g = Sm = l / (α + l) y l, para 1 ≤ i ≤ las formas de onda de los voltajes de fase
i 1 i i i
m, son los valores propios de la matriz bXTX. en el secundario del transformador T y las
2
Los detalles de estas derivaciones pueden corrientes del arco eléctrico. Los voltajes
encontrarse en [12]. del arco eléctrico se obtienen a partir de la
corriente del arco y el voltaje de fase en el
1.3. BASE DE DATOS secundario del transformador T como:
2
Los datosque se emplean para estimar los
d
parámetros del modelo de horno de arco v =v -R i -L i, (14)
2 baja baja dt
fueron usados por Cano et al [13], y consis-
ten en mediciones reales de los voltajes de
fase medidos en el secundario del transfor- donde R y L corresponden a los
baja baja
mador T y las corrientes del arco eléctrico parámetros del circuito de baja tensión del
2
durante 5 ciclos, con frecuencia fundamen- horno de arco.
tal de 50 Hz y frecuencia de muestreo de
2048 muestras por segundo, por lo que es Usando el desarrollo matemático que se
necesario determinar inicialmente el voltaje presenta en Marulanda et al [9], se puede
del arco en cada fase, de acuerdo a los re- transformar la ecuación en una ecuación lin-
quisitos dados por la ecuación (1). eal equivalente, en términos de los parámet-
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ros k que a la vez permite obtener un mod- plo, utilizando la definición de la derivada de
n
elo de regresión lineal para el cálculo de las una variable discreta o expresar la variable
constantes k de la ecuación . La ecuación u como una combinación lineal de funcio-
n
lineal que resulta es de la forma: nes base para realizar su derivada de mane-
ra analítica. En este trabajo se determina la
derivada de u expresando primero la varia-
du
k k u+k k u =vi (15) ble como una combinación lineal de funcio-
1 3 2 3 dt
nes base [12], es decir:
i J
u= , (16) u=∑κ f(ζ ), (19)
i i
v
i=1
donde u es una variable auxiliar. Realizando donde f (i = 1,…j) representan el conjunto
i
las siguientes sustituciones en la ecuación delas funciones base y (i = 1,…j) son los
Ki

anterior: a=k k , b=k k , y=vi, x =u2y x =u(du/ parámetros de ajuste o pesos de las fun-
1 3 2 3 1 2
dt), se obtiene una ecuación lineal para el ciones base. Para funciones base Gaussi-
cálculo de los coeficientes a y b, ana, la expresión matemática de f (i-ésima
i
función base) está dada por:
y =ax +bx , (17)
1 2
(ζ -μ )2
que se puede expresar como un modelo de φ(ζ)=exp - i , (20)
i 2s2
regresión lineal, añadiendo ruido Gaussiano
al modelo, de la forma:
donde μ es el centro de la i-ésima función
z =w Tx +ε, (18) i
base y s es un factor de escala. Para cada
una de las fases, se resuelve w en la
donde w es el vector de parámetros [a b]’, x ecuación , tal como se explicó en la sec-
es el arreglo de los datos de entrada [x x ]’ ción 1.2. Una vez conocidos los valores de
1 2
de dimensión 2×N con N igual al número de a y b dados por el vector de parámetros w,
observaciones o muestras de la corriente se debe fijar un valor en alguna de las con-
del arco, e es el ruido Gaussiano aditivo y z stantes k del modelo para determinar las
n
es el arreglo del producto de las observacio- demás constantes. Por conveniencia, se ha
nes vi de dimensión N×1. elegido dar un valor particular a k ya que es
3
común a los parámetros a y b. La aplicación
El cálculo de la derivada de u para deter- de la metodología utilizada para determi-
minar x , definido como u(du/dt), se puede nar los parámetros del modelo se resume
2
realizar de diferentes maneras, por ejem- a continuación.
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Horno de arco, oscilador de Chua, inferencia Bayesiana Volumen 23-2
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Algoritmo 1. Regresión Bayesiana Lineal para calibrar los parámetros del modelo del horno de arco.
Requiere: Medidas de v e i
2 arco
1: Calcular di/dt → ecuaciones y
2: Calcular v → ecuación
3: Construcción de la matriz z → ecuación
4: Construcción de la matriz x → ecuación
5: Cálculo del vector de parámetros w
Inicializar α y b → se recomienda α = 1e3 y b =5e3.
o o
repetir
calcular m ,S
N N
recalcular α y b → ecuaciones y
5: Inicializar k y calcular k y k .
3 1 2
2. RESULTADOS Y ANÁLISIS. de arco eléctrico usando las ecuaciones y
, (A través de funciones base Gaussianas),
En esta sección se presentan los resultados tomando el 85 % de los datos, 90 funciones
obtenidos en simulación del ajuste de los base y un factor de escala de 0.001. En las
parámetros del modelo de horno de arco Figuras 2 y 3 se muestran las formas de
y la comparación de estos resultados con onda de la corriente del arco eléctrico para
mediciones reales. El ajuste de las constan- la fase a, real y sintetizada con funciones
tes k , se ha realizado calculando la deriva- base Gaussianas.
n
da de cada una de las corrientes del horno
100
50
A
k
al) 0
e
r
a (
i -50
-100
0 s 0,02 s 0,04 s 0,06 s 0,08 s 0,1 s 0,12 s
Figura 2. Corriente del arco eléctrico real para la fase a.
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