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W.Rudin Reelle und Komplexe Analysis Reelle und Komplexe Analysis von Walter Rudin Oldenbourg Verlag Munchen Wien Autorisierte Dbersetzung der englischsprachigen Originalausgabe, erschienen im Verlag McGraw-Hill, unter dem Titel Real and Complex Analysis, 3. Ed .. © 1987 Dbersetzung von Uwe Krieg Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme Rudin, Walter: Reelle und komplexe Analysis I von Walter Rudin. [Ubers. Von Uwe Krieg]. -Munchen; Wien: Oldenbourg, 1999 Einheitssacht.: Real and complex analysis <dt.> ISBN 3-486-24789-1 © 1999 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer StraBe 145, D-81671 Miinchen Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschlieBlich all er Abbildungen ist urheberrechtlich geschiitzt. J ede Verwertung auBerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere :fiir Vervielfaltigungen, Dbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Martin Reck Satz: Uwe Krieg Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, Miinchen Gedruckt auf saure-und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, Miinchen .. Uber den Autor Walter Rudin ist Autor von drei Lehrbiichem: Principles of Mathematical Analysis, Real and Complex Analysis und Functional Analysis, die <lurch ihre Ubersetzung in 13 Sprachen weite Verbreitung gefunden haben. Das erste schrieb er wahrend er C.L.E. Moore Instructor am M.I. T. war, gerade zwei Jahre nachdem er 1949 seinen Ph.D. an der Duke University erhalten hatte. Spater unterrichtete er an der University of Rochester und ist jetzt Vilas Research Professor an der University of Wisconsin Madison, an der er seit 1959 lehrt. Gastaufenthalte verbrachte er an der Yale University, an der University of California in La Jolla und an der University of Hawaii. In seinen Forschungen befaBte er sich hauptsachlich mit harmonischer Analysis und komplexen Variablen. Er schrieb drei Forschungs-Monographien tiber diese Gebiete: Fourier Analysis on Groups, Function Theory in Polydiscs und Function Theory in the en. Unit Ball of VII Inhaltsverzeichnis Vorwort XIII Prolog: Die Exponentialfunktion 1 1 Abstrakte Integration 5 Mengentheoretische Bezeichnungen und Begriffe 6 Der Begriff der MeBbarkeit . . . . . . 8 Einfache Funktionen . . . . . . . . . 17 Elementare Eigenschaften von MaBen 18 Arithmetik in (0, oo] ....... . . 21 Integration von positiven Funktionen . 21 Integration von komplexen Funktionen 28 Die Rolle der Mengen vom MaB Null 31 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . 36 2 Positive Borel-Ma8e 39 Vektorraume . . ....... . 39 Topologische Vorbemerkungen . 41 Der Rieszsche Darstellungssatz 48 Regularitatseigenschaften von Borel-MaBen . 55 Das Lebesgue-MaB ..... . ....... . 58 Stetigkeitseigenschaften meBbarer Funktionen . 65 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 V-Raume 73 Konvexe Funktionen und U ngleichungen 73 Die LP -Raume . . . . . . . . . . . . . . 78 Approximation <lurch stetige Funktionen 82 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . 85 4 Elementare Theorie der Hilbertraume 91 Innere Produkte und lineare Funktionale . 91 Orthonormale Mengen . . 98 Trigonometrische Reihen . 105 Ubungsaufgaben . . . . . 111 VIII Inhaltsverzeichnis 5 Beispiele fiir Banachraum-Techniken 115 Banachraume ............ . 115 Folgerungen aus dem Baireschen Satz . 117 Fourierreihen stetiger Funktionen . . . 121 Fourierkoeffizienten von L 1-Funktionen 124 Der Satz von Hahn-Banach ...... . 126 Ein abstrakter Zugang zum Poisson-Integral 131 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . 135 6 Komplexe Mafie 141 · Totalvari'ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Absolute Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Folgerungen aus dem Satz von Radon-Nikodym. 151 Beschrankte lineare Funktionale auf LP . . . . . 153 Der Rieszsche Darstellungssatz 156 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . 160 7 Differentiation 163 Ableitungen von MaBen .............. . 163 Der Hauptsatz der Differential- und lntegralrechnung 173 Differenzierbare Transformationen . 180 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8 Integration auf Produktraumen 193 MeBbarkeit auf kartesischen Produkten 193 ProduktmaBe . . . . . . . . . . . . . 196 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . 198 Vervollstandigung von ProduktmaBen 201 Faltungen ...... . 204 Verteilungsfunktionen 206 Ubungsaufg aben . . . 209 9 Fouriertransformationen 213 Formale Eigenschaften . 213 Der U mkehrsatz . . . . 215 Der Satz von Plancherel 221 Die Banachalgebra L1 227 Ubungsaufgaben . . . . 230 Inhaltsverzeichnis IX 10 Elementare Eigenschaften holomorpher Funktionen 235 Komplexe Differentiation . . 235 Wegintegrale . . . . . . . . 240 Der lokale Satz von Cauchy 244 Die Potenzreihendarstellung 249 Der Satz von der offenen Abbildung 256 Der globale Satz von Cauchy . 260 Der Residuenkalkiil . 267 Ubungsaufg aben . . . . . . 272 11 Harmonische Funktionen 277 Die Cauchy-Riemannschen Gleichungen 277 Das Poisson-Integral . . . . . . . . . 279 Die Mittelwerteigenschaft . . . . . . 284 Randverhalten von Poisson-Integralen 286 Darstellungssatze 293 Ubungsaufg aben . . . . 298 12 Das Maximumprinzip 303 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . 303 Das Lemma von Schwarz . . . . . . . 303 Die Methode von Phragmen-LindelOf 306 Ein Interpolationssatz . . . . . . . . . 311 Eine Umkehrung des Maximumprinzips 314 Ubungsaufg aben . . . . . . . . . . . . 315 13 Approximation durch rationale Funktionen 319 Vorbereitung . . . . . . . . 319 Der Satz von Runge . . . . . . . . . 323 Der Satz von Mittag-Leffler .. . . . 326 Einfach zusammenhangende Gebiete 328 Ubungsaufg aben . . . . . . . . . . . 330 14 Konforme Abbildungen 333 Winkeltreue Abbildungen . . . . . . 333 Gebrochen lineare Transformationen . 334 Normale Familien . .... ... . 337 Der Riemannsche Abbildungssatz 338 Die Klasse S . . . . . . . . . . . 341 Stetigkeit auf dem Rand . . . . . 345 Konforme Abbildungen eines Kreisringes 348 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . 350 x Inhaltsverzeichnis 15 Die Nullstellen von holomorphen Funktionen 357 U nendliche Produkte . . . . . . 357 Der WeierstraBsche Produktsatz 361 Ein lnterpolationsproblem 365 Die Jensensche Formel .. 367 B laschke-Produkte . . . . 371 Der Satz von Miintz-Szasz 374 Ubungsaufgaben . . . . . 378 16 Analytische Fortsetzung 383 · Regulare und singulare Punkte 383 Fortsetzung Iangs einer Kurve 388 Der Monodromiesatz . . . . . 392 Die Konstruktion einer Modulfunktion . 393 Der Satz von Picard. 397 Ubungsaufgaben 398 17 HP-Raume 403 Subharmonische Funktionen 403 Die Raume HP und N . . . 405 Der Satz von F. und M. Riesz. 410 Faktorisierungssatze .. 411 Der Shift-Operator ... 416 Konjugierte Funktionen. 421 Ubungsaufg aben . . . . 423 18 Elementare Theorie der Banachalgebren 427 Einfiihrung . . . . . . . . . . 427 Die invertierbaren Elemente 428 ldeale und Homomorphismen 434 Anwendungen 438 Ubungsaufg aben . . . . . . . 442 19 Holomorphe Fouriertransformationen 445 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . 445 Zwei Satze von Paley und Wiener 447 Quasianalytische Klassen ... . 451 Der Satz von Denjoy-Carleman 455 Ubungsaufg aben . . . . . . . . 459 20 Gleichma8ige Approximation durch Polynome 463 Einfiihrung . . . . . . . 463 Einige Hilfssatze . . . . 464 Der Satz von Mergelyan 467 Ubungsaufgaben .... 471