Reductionstabellen zur Gauss-Poggendorff’schen Spiegelablesung

108 Pages·1890·19.819 MB·German

by  Dr. Paul Czermak (auth.)

ReductioJt Tables for Readittgs Tables de redttcti01t d' apnJs
by the Gauss-PoggeJtdor.ff 11#rror 1Wetltod la methode du miroir de Gauss-Poggendorff
Reductionstabellen
zur
Gauss-Poggendorff'schen Spiegelablesung
von
Dr. Paul Czermak
Privatdocent und Assistent der Physik on der Unh'ersitiit zu Graz.
Mit 7 in den Text gedruckten Figuren.
BERLIN.
Verlag von Julius Springer.
1890.
ISBN 978-3-642-98736-6 ISBN 978-3-642-99551-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-99551-4
Vorwort. Preface. Preface.
Es wird wenige Arbeiten in jetzigen Little work is done at present 111 II y a sans doute peu de travaux dans
ou
physikalischen Laboratorien geben, bei physical laboratories without the aid of les laboratoires actuels de physique
welchen nicht die Gauss-Poggendorff'sche the Gauss-Poggendorff mirror method. l'on n'emploie pas la methode du miroir
Spiegelablesung in Anwendung kommt. This method has become indispensable to de Gauss-Poggendorff. Cette methode est
Jedem experimentell arbeitenden Physiker every experimental physicist on account devenue indispensable dans chaque travail
ist diese Methode wegen ihrer vielseitigen of its extensive application, its simplicity de physique experimentale a cause de ses
Verwendbarkeit, Einfachheit und grossen and its great accuracy in the measu multiples applications, de sa simplicite et
Genauigkeit bei Messung kleiner Winkel rement of small angular rotations. Every de sa grande precision dans la mesure
drehungen unentbehrlich geworden. Je experimentalist, however, is aware what des petits mouvements rotatoires. Mais
dem Beobachter ist es aber auch zur great loss of time and labour is incurred tout observateur s'est aussi rendu compte
Genlige flihlbar geworden, wie zeitraubend in the calculation of a large number of du temps et de l'incommodite que coCite
und lastig die Auswertung cines grosseren such observations. It is safe to say, that !'evaluation d'une serie d'observations. La
Satzes solcher Beobachtungen ist. Man many researches would have taken up a duree de ces recherches serait considerable
kann wohl sagen, dass manche Unter much smaller space of time, if the obser ment abregee si l'observateur ne se voyait
suchung urn ein betrachtliches ihrer Zeit vations had not been interrupted by the pas arrete par Ia reduction des deviations
dauer abgeklirzt werden konnte, wenn sich necessity of the reduction of the scale read de l'echelle.
der Beobachter nicht mit der Reduction ings. It is a gread help, even for a par On s'aide, il est vrai, dans un cas
von Scalenausschlagen aufhalten mUsste. ticular case, to prepare a table, by means donne, en dressant une table au moyen
Man hilft sich schon sehr, wenn man of which, either by interpolation or plotting de laquelle, soit par interpolation, soit par
fur einen vorliegenden Fall cine Tabetic a curve, every reading can be at once re le trace d'une courbe, on peut rcduire
anlegt, aus der man dann durch Interpo duced. If however the distance of the directement chaque lecture. Toutefois, si
lation oder Verzeichnen einer Curve jede scale is altered, it is necessary to construct la distance de l'echelle varic, il faut dresser
Ablesung direct reduciren kann. Wird a new table, and thus, it rarely happens, nne nouvelle table, et il arrive rarement
jedoch der Scalenabstand geandcrt, so hat that previously calculated tables can be qu'une nouvelle disposition donne !'occa
man cine neue Tabelle zu rechnen, und used for a new adjustment. It is only by sion d'utiliser de nouveau les tables pre
selten findet man bci cincr ncuen Auf the construction of tables, giving on the cedemment calculees.
stcllung Gclegcnhcit, frUhcr gerechnete one hand the reductions for the readings Seules, des tables divisees en deux
Tabcllen wieder verwenden zu konncn. at sufficiently brief intervals, and on the parties et contenant d'une part, pour
Nur die Anlage von Tabellen mit zwci other hand, containing the same readings for chaque lecture de l'cchelie, les reductions
Eingiingen, wo cinerseits die Rcductionen various distances of the scale, that the calculees a des intervalles assez rapproches,
fUr die abgelesenenAusschlage in genUgend requirements of every adjustment can et d'autre part ces memes lectures pour
engen Intervallen berechnet, andererseits be met. differentes distances de l'echelle, seules ccs
aber auch dieselben Ablesungen fUr ver It is clear, that the construction of tables peuvent servir pour n'importe quelle
schiedene Scalcndistanzen enthalten sind, such tables, if they were to be sufficiently disposition.
konnen flir jede bcliebige Aufstellung ge accurate, to render further calculation super Il est certain que l'etablissement de
nligen. Es ist ldar, dass die Anlage solcher fluous, would be a very long and labo pareilles tables qui, par leur exactitude
Tabellen, welche bei genligender Genauig rious task, and this is probably the reason suffisante, rendent superflus les longs
keit wirklich jede Hingere Nebenrechnung why, up to the present time, no one has calculs partiels, demande un travail penible
LiberfiUssig macben sollen, cine sebr mUh undertaken it. In Kohlrausch's »Lcitfaden et qui prend beaucoup de temps; c'est pro
same und zeitraubende Arbeit ist, und der praktischen Physik«, (page 35) a small bablement pour cette raison que personne,
scheint dies der Grund, warum sich bisher table for reductions to the angle is given. jusqu'a present, n'en a tente l'entreprise.
nicmand derselben unterzogen bat. It is, however, constructed with such large On trouve, page 357 du «Leitfaden
In Kohlrausch's ,Leitfaden der prac intervals, that linear interpolation is no der praktischen Physik» de Kohlrausch,
tischen Physik'' findet sich pag. 351 cine longer permissible, if a considerable degree une petite table de ce genre pour la reduc
kleine solche Tabelle zur Reduction auf of accuracy is desired. Further, in Dr. tion a !'angle, mais elle est calculee a de
den Winkel. Dieselbe ist jedoch in so E. Kittler's >>Handbuch der Elektrotechnik«, si grands intervalles qu'on ne peut pas
grossenlntervallen gehalten, class die gerad (Vol. I page 149) a table is given for the employer !'interpolation rectiligne lorsque
linige Interpolation bei grosserer Genauig reduction to the tangent. It contains la precision doit etre grande. Le «Hand
keit wohl nicht mehr angewendet werden however the reduction for only 300 divi buch der Elcktrotechnik» du Dr. Erasmus
dart Ferner ist in dem ,Handbuchc der sions of the scale and is besides constructed Kittler contient aussi, tome I, page 149,
Elektrotechnik" von Dr. Erasmus Kittler, with quite large intervals. une table calculee pour la reduction a la
Bd. I. pag. 1M) cine Tabelle berechnct zur Just after the completion of the tables tangente mais qui ne donne, que les
IV
Reduction auf die Tangente. Dieselbe geht contained in this work some tables more deviations jusqu'a 300 divisions diffe
aber nur bis zu Ausschlagen von 300 extensive than any previous ones contai rentes de l'c!chelle, et qui est egalement
Scalentheilen und ist auch in ziemlich ning reductions to the tangent and to the calculee a d'assez grands imervalles.
sine of the half angle were published in
grossen Intervallen gehalten. Pn!cisement au moment ou l'on ter
Eben nach Abschluss der hier berech Zurich by A. v. Sprecher. In these tables minait le calcul des tables contenues dans
ncten Tabellen erschienen von A. v. Sprecher the readings are given at sufficiently close cet ouvrage, A. v. Sprecher publiait a
in ZUrich, schon umfangreichere Tabellen, intervals, but these have the one drawback, Zurich des tables plus etendues que celles
welchc die Reductionen auf die Tangente that the distances progress from decimetre dont nous avons precedemment parle et
und den Sinus des halben Winkels ent to decimetre, so that the interpolation qui contiennent les reductions a la tangente
halten. Hier sind schon die Ablesungen cannot everywhere be easily computed in et au sinus du demi-angle. Les lectures
in genUgend engen Intervallen gehalten, the head. Their publication proves all the y sont notees .a des intervalles assez
nur die Distanzen gehen von Decimeter more clearly the want of such an auxiliary rapproches, mais les distances vont de
zu Decimeter weiter, so class die Inter in the laboratory. decimetre en decimetre de sone que !'inter
polation nicht Uberall so rasch im Kopfe Another great advantage, to be gained polation ne peut pas s'effectuer de tete par
auszufUhren ist. Gerade durch das Er by the use of such tables, is the safe guard tout aussi promptement. La publication de
scheinen dieser letzteren Tabellen zeigt which they provide against erroneous ces dernieres tables prouve plus clairement
sich umso deutlicher das BedUrfnis nach computation. In the calculation of single la necessite de ces secours auxiliaires dans
diesem Hilfsmittel in den Laboratorien. reductions large errors often creep in un les laboratoires. La certitude plus grande
Ein wciterer grosser Vorthcil solcher perceived, but by substituting systemati de ne pas commettre d'erreurs de calcul con
Tabellen besteht in dcr grosseren Sicher cally arranged tables, serious mistakes are stitue egalement un des grands avantages de
heit gegen Recbcnfehler. Bci der Be out of the question, owing to the regular ces tables. Dans le calcul d'une valeur de
rechnung einzelner Reductionswcrthe kann increase and decrease of the differences. reduction, une faute importante pent facile
leicht cin bedeutender Rechenfehler un Led by the consideration of how much men! passer inapen;:ue; ces tables rangees
bemerkt bleiben; in schematisch angeord of the valuable time of many physicists dans un ordre systematique excluent, par
neten Tabellen ist durch die stetige Zu might be saved, and devoted instead to I' addition ou Ia soustraction des differences,
und Abnahme der Differenzen jeder gro important investigations and thoughts for toute erreur importante de calcul.
bere Rechenfehler ausgeschlosscn. the promotion of science, I resolved to
Von dcm Gedanken ausgehend, wie attempt the calculation of a set of Re Je me suis decide ;\ essayer le calcul
vicle kostbare Zeit manchem bedeutenden duction Tables on a scale that would meet des tables de reduction, partant de !'idee
Physiker fUr wichtige Untersuchungen all requirements of the present measure qu'elles epargneraient a maims physiciens
und die Wissenschaft f()rdernde Gedanken, ments in the laboratory. I hope, therefore, celebres un temps precieux qu'ils pourraient
erspart werden konnte, entschloss ich mich, that the time and trouble which I have de consacrer a d'importantes recherches et a
a
den Versuch einer solchen Berechnung voted to this unscientific labour may yet des meditations protitables la science.
von Reductionstabellen zu machen und indirectly benefit science, and that the .l'ai cru necessaire de donner t\ ces
zwar in einem Umfange, class dieselben tables may prove a welcome aid in their tables une etendue telle qu'elles puissent
allen Anforderungen, wie sic bci den jetzt investigations to many physicists, and repondre t\ toutcs les exigences des mcsures
gebrauchlichen Messungen in Laboratorien draughts men. actuellement usitees dans les laboratoires.
gestellt werden, genUgen sollten. In conclusion I desire to remark, that
Ich hoffe daher, class die MUhe und Zeit, the publication of the Tables in three J'espcre que ]a peine et le temps que
welchc ich dieser unwissenschaftlichen, languages has been undertaken at the ex m'ont coute ce travail non scientifique et
schematischen Arbeit gewidmet babe, auf press wish of the Publisher to whom I mecanique serviront indirectement a Ia
indirectem Wege der Wissenschaft zu take the present opportunity of tendering science et que cet ouvrage constituera, pour
Gute kommen und vielen im Laboratorium my best thanks for the great care and beaucoup de physiciens et de specialistes
arbeitenden Physikern und Technikern pains be has bestowed upon my work. travaillant dans les Jaboratoires, une aide
et un allegement agreables dans leurs
cine willkommene Unterstlitzung und Er
recherches.
leichterung bei ihren Untersuchungen The Author.
bilden wird. En terminant, je dois encore ajouter
Schliesslich muss ich noch anflihren, que, d'apres le pressant desir de l'editeur,
dass die Anordnung der Tabellen in einer Ia disposition de ces tables para1t en trois
dreisprachigen Ausgabe auf dringendem langues. Je saisis ici !'occasion d'exprimer
Wunsche des Herrn Verlegers geschehen a l'editeur rna plus vive reconnaissance
ist. Ich ergreife auch an dieser Stelle die pour tome la peine et toute la sollicitude
Gelegenheit, demselben fUr aile MUhe und qu'il a apportees a mon ouvrage.
Sorgfalt, welche er auf mein W erk ver
wendet hat, meinen warmsten Dank aus
zusprechen.
Der Verfasser. L'auteur.
Inhalt. Table of Contents. Table des matieres.
Seite Page Page
Vo rwort . III Preface III Preface III
I. Die Gauss - Poggendorff'sche I. Gauss - Poggendorffs Mirror I. De la methode du miroir de
Spiegelablesung . VII Method. VII Gauss-Poggendorff. VII
II. Ausmessung der Dimensioncn II. Measurements for the Ad- II. De la maniere de mesurer les
der Aufstellung . XI justment XI dimensions de l'arrangement
1. Die Ablesescala. 1. The Scale. de tout l' appareil XI
2. Die Scalendistanz. 2. The Distance of the Scale. 1. L'echelle.
3. Genauigkeit der Methode. 3. TbeAccuracy of the Method. 2. Distance de l'echelle.
3. Exactitude de la methode.
III. Correctionen . XII III. Corrections XII III. Corrections . . . . . . . Xll
1. W egen Deckglasdicke. 1. For Thickness of the Glass 1. A cause de l'epaisseur de la
lame de verre.
in front of the mirror.
2. W egen Deckglaskrlimmung. 2. A cause de Ia courbure de la
2. For Curvature of the glass lame de verre.
3. W egen Spicgeldicke.
in front of the mirror. 3. A cause de l'epaisseur du
4. W egen Spiegelneigung. 3. For Thickness of the Mirror. mrrorr.
5. W egen Exccntricitat des 4. Forlnclination of the Mirror. 4. A cause de l'obliquite du
mrrorr.
Spiegels. 5. For Eccentricity of the Mirror. 5. A cause de l'cxcentricite du
6. Wegen Spiegelkrlimmung. G. For Curvature of the Mirror. l111f0Jf.
7. W egen Schiefe der Scala. 7. For Obliquity of the Scale. f>. A cause de ]a courbure du
miroir.
7. A cause de l'obliquite de
l'echelle.
IV. Einrichtung und Gebrauch der IV. Arrangement and Usc of the IV. Disposition et usage des tables XXIII
a
Tabellcn XXIII Tables XXIII 1. Reduction !'angle 'I'·
a
1. Reduction auf den Winkel 'I'· 1. Reduction to the Angle ff. 2. Heduction la tangente 'I'·
2. Reduction aufd ie Tangente 'I'· 2. Reduction to the Tangent f{. 3. He' d UCt.! On au Sl.i 1US ·'I2' ·
3. Reduction auf den Sinus~ 3. Reduction to the Sine~- 4. Angle 'I' en degrcs.
4. Der Winkel 'I' in Graden. 4. The Angle ffJ in Degrees.
V. Tabellen. V. Tables. V. Tables.
a
1. Heduction auf den Winkel !f 1 1. Reduction to the Angle fP 1 1. Reduction !'angle 'I' 1
a
2. ReductionaufdieTangcnteq; 23 2. Reduction to the Tangent p 23 2. Heduction Ia tangente 'P 23
1
3. Reduction auf den Sinus-~ 45 3. Reduction to the Sine-~ 45 3. Reduction au sinus 45
4. Der Winkel 'I in Graden G7 4. The Angle p in Degrees G7 4. Angle '1' en degrcs G7
I. Die Gauss-Poggendorff'sche I. Gauss-Poggendor:ff's Mirror I. De la methode du miroir de
Spiegelablesung. Method. Gauss-Poggendorff.
Um diese Tabellen auch solchen, In order to render the following tables Afin de rendre ces tables intelligibles
welche noch nicht mit der Anwendung imelligible also to those who are not ac meme pour les personnes qui ne sont pas
der Gauss-Poggendorfi'schen Spiegelab quainted with Gauss-Poggendorff's method familiarisees [avec' !'usage de la methode
lesung vertraut sind, verstandlich zu of taking readings, a short explanation of du miroir de Gauss-Poggendorff, leur
machen, soli bei Erkhirung derselben auch the theory of the method is subjoined by explication doit etre precedee d'un bref
die Theorie dieser Methode in KUrze vor way of introduction. expose de Ia theorie de cette methode.
angeschickt werden. Students who wish to enter more Ceux qui desireraient a voir sur elle des
W er sich tiber genauere Details dieser thoroughly into all the details of the details plus precis les trouveront parfaite
Methode informiren will, findet dies in mirror method will do well to consult ment traites dans le «Leifaden der practi
der vorzUglichsten Weise in Kohlrausch's Kohlrausch's «Leitfaden der praktischen schen Physik'' de Kohlrausch § 48,
,,Leitfaden der practischen Physik" § 48. Physik» § 48, p. 161. Detailed accounts of page 161. Le tome XV de l'«Allgemeinen
pag. 161. Ferner ist cine ziemlich detaillirte tl1e mirror method are also contained in Enciclopoedie der Physib de Karsten,
Darstellung enthalten in der ,,Allgemeincn the «Encyclopiidie der Physik>> by Karsten, [Handbuch des Magnetismus, de Lamont],
Enciklopadie der Physik" von Karsten; Vol. XV; and in the «l1andbuch des contient aussi une exposition assez detaillee
Bd. XV, Handbuch des Magnetism us von Magnetismus>> by Lamont. An excellent de cette methode.
Lamont. Ebenso enthU!t das \Verk von description is likewise to be found in On peut citer egalement l'ouvrage de
Mascan und Joubert ,,Le<;ons sur l'e!ectricite Mascan's & Joubert's «Le<;ons sur l'elec Mascart et Joubert «Le<;ons sur l'electri
et le magnetisme" Tome II. pag. 7 cine tricitc et le Magnetisme,,, Vol. II, p. 7. cite et le magnetisme,, tome II, page 7,
sehr schone Darstellung. This method was first employed by qui en contient une tres-belle description.
Poggendorffl) employa le premier en
Diese Methode wurdc im wesentlichen PoggendorfP) in 1826, and in the follo
1826, cette methode dans ce qu'elle a
zuerst von Poggendorff 1) 1826 angewandt wing year, independently of him by Riese2). d'essentiel; un an plus tard, Hiese2) l'em
und ein Jahr spater unabhtingig von dem In its present form, however, it was
ploya egalement' mais independamment
selben von Riese. 2) In ihrer jetzigen first worked out and generally introduced
de Poggendorfi·. Toutefois, c'est Gauss
Gestalt jedoch ist sic erst von Gauss3) aus by Gauss3). seul qui l'a perfectionnee, generalisee et
gebildet und allgemein eingefUhrt worden. This method is employed, it is known, amem!e a son etat actuel. On sait qu'elle
Sie dient bekanntlich zur Messung for the measurement of small angular sen a mesurer les petits mouvements
kleiner Winkeldrehungen. Man befcstigt rotations. For this purpose, a mirror is rotatoires.
zu dem Ende nahe an der Drehaxe des fixed to the rotatory ax is of the object, A cette fin, on fixe, pres de !'axe de
Korpers, dessen \Vinkeldrehung gemessen whose angular rotations are to be mea rotation du corps dont on veut mesurer
werden soli, einen Spiegel und zwar so, sured, in such a manner, that the normal le mouvement rota to ire, un miroir dont
dass dessen Normale auch Normale zur to the mirror it also normal to the ro la normale soit egalement celle de !'axe
Drehaxe ist. Nun visirt man aus grosserer tatory axis. It is now necessary to sight de rotation.
Entfernung mit einem Fadenkreuzfernrohre from a considerable distance through a Avec une lunette a reticules, on vise
gegen den Spiegel und trachtet in dem telescope provided with cross wires at the alors le miroir a une assez grande distance
selben das Bild einer Scala zu erblicken, mirror, in which is to be seen the image et l'on tilche d'y apercevoir !'image d'une
die knapp tiber dem Fernrohre, senkrecht of a scale placed just above the telescope echelle fixee juste au-dessus de ]a lunette
zu demselben und auch senkrecht zur perpendicular to it, and also perpendicular et perpendiculairement a celle-ci ainsi
Drehaxe des Korpers befestigt ist. to the rotatory axis of the body. qu'a !'axe de rotation du corps.
Das Fadenkreuz im Fernrohre wird The cross-wires are turned till one of Les reticules de Ia lunette doivem
so gedreht, class einer der Faden mit der the m becomes parallel with the axis of etre tournes de telle sorte que l'un d' eux
Drehaxe des Korpers parallel lauft, dann the rotating object, and the other parallel soit parallele a l'axe de rotation du corps;
ist der andere parallel mit dem Scalen ·with the image of the scale. If the central !'autre est alors parallele a !'image de
bilde. division of the scale just above the teles- l'echelle.
') Pogg. Ann. VII. 121. 1~.
') Pogg. Ann. IX. 97, 1828.
') Gotting. Gel. Anz. 183B. :'\o. 205-lm.
Gauss und \Vebcr. Result. aus den Beob. des magnet. Ver. 1836. S. 6. 13.
VIII
Erblickt man an dem erstcren Faden cope be seen on the former wire, the Tout est exactement a sa place si le
gcrade den ober dem Fernrohre befind adjustment is correct. Then if the object premier des reticules couvre !'image du
lichen, mittelsten Theilstrich der Scala, together with the mirror turns through trait median de division de l'echelle; ce trait
so ist alles richtig eingestellt. Hat sich a certain angle, another division of the se trouve precisement au-dessus de la
nun der Korper samt dem Spiegel urn scale will be seen on the cross wire. lunette.
einen gewissen \Vinkel gedreht, so erblickt From the reading, thus obtained, the angle Lorsque le corps et le miroir onr tourne
man einen andercn Theilstrich der Scala through which the object has revolved d'un certain angle, on aper~oit au point de
am Fadenkreuze. Aus der Ablesung des can be calculated. croisement des reticules de la lunette une
selben kann man den \Vinkel, urn welchen Fig. 1 is intended to show the plan autre division de l'echelle par !a lecture
der Korper gedreht wurde, berechnen. of this adjustment, as it would be in an de laquelle on peut calculer !'angle dont
Fig. 1 soil das Schema dieser An ideal case, which however is in practice le corps a tourne'.
ordnung darstellen, jedoch gleichsam den never completely realized, but which La figure 1 represente le modele de
idealen Fall, wie er in der Praxis nie ganz should always be approximated as nearly cette disposition mais dans un cas pour
zu erreichen ist, welchem man sich aber as possible. s is the mirror revolving ainsi dire ideal et qui ne se rencontre
immer so vie! als moglich zu nahern round 0, (J the normal to it, F the teles jamais completement dans la pratique: on
trachten soiL s ist der urn 0 drehbare cope, and SS' the scale, at a distance d doit, cependant, s'fforcer de s'en rapprocher
Spiegel, (J dessen Normale, F das im Ab from the mirror. autant que possible.
stande d auf den Spiegel gerichtete Ablese The axis of the telescope, the scale s est un miroir pouvant tourner en 0,
fernrohr mit der Scala SS•. and the normal to the mirror lie m a (J sa nor male, F la lunette lectrice ave..:
s
S'
Fig. 1.
Fernrohraxe, Scala und Spiegelnormale plane (here the plane of the paper) vertical l'echelle SS': cette lunette est braquee sur
liegen in einer zur Drehaxe 0 senkrechten to the rotatory axis 0. This is, to be le miroir dont clle est eloignee de la dis
Ebene (bier die Zeichnungsebene). Diess sure, in practice never fully attainable, tance d. L'axe de Ia lunette, l'echelle et
ist eben in der Praxis nie ganz zu erreichen, yet if the scale is placed at a sufficient !a normale du miroir sont dans un plan
trifft jedoch bei genUgender Entfernung distance from the mirror, the ideal position perpendiculaire a !'axe de rotation 0, (ici,
der Scala vom Spiegel nahezu ein. is very nearly realized. le plan du dessin,) ce qu'on n'obtient
Ist der Spiegel urn den Winkel ffJ ge If the mirror has been turned through jamais completement dans la pratique:
a
dreht worden, so dass seine Normale (J the angle ffJ so that its normal (J has been toutefois, on y arrive peu pres en e'loig
aus der Lage ON nach 0(J gekommen ist, brought from the position ON to OrJ nant suffi.samment l'echelle du miroir.
so trifft die im Puncte 0 um den doppel then the point N' of the scale will lie in Supposons que le miroir ait tourne'
ten Winkel refl.ektirte Visirlinie des Fern the reflected line of vision of the telescope, de !'angle ffJ de fa-;on que sa normale rJ
rohres den Punct N' der Scala. which now makes with the direct line of soit venue de la position ON a Ia position
Ist NN' = n, so ist: vision the angle 2 (f. OrJ: Ia ligne de visee de !a lunette, apres
avoir subi en 0 une refl.exion qui est le
Let JVN' = n, then
double de !'angle p, arrive alors au point
N' de hSchclle.
So it NN ::: n, on a:
tg 2f{! = ~t~l tg2f{!= -1d1 ; tg2cp = -tdl
daher: therefore: d'ou:
ffJ = 21 -arc tg nd · · · · · · (1. ffJ = 12 arc tg 1dZ · · · · · · (1. ffJ = 21 arc tg dn (1.
Hier mUssen die Strecken n und d in The distance n and d must here be Les longueurs n et d doivent etre ex
demselben Maasse gemessen werden, z. B. measured in the same units for example, primees ici avec la meme mesure, par ex
beide in Millimetern. both in millimetres. emple toutes deux en millimetres.
IX
Man kann also mit Hilfe von Loga The angle <p may therefore be found A !'aide d'une table de logarithmes,
rythmentafeln den VVinkel q; direct auf from logarithmic tables. If the distance d on peut alors trouver directement Pangle q>.
finden. lst jedoch die Entfernung d des of the mirror from the scale be sufficiently Cependant, si la distance d de l'echelle
Spiegels von der Scala entsprechend gross, great it is often preferable to make use of au miroir est suffisamment grande, on
so zieht man es oft vor die Reihenent the series for <p and its trigonometric prefere souvent se servir du developpement
wicklungen fUr q> und dessen trigonome functions, as in most cases the first few progressif pour <p et ses fonctions trigo
trische Functionen zu bentitzen, da meist terms will suffice. The expansion of arc nometriques, car, le plus souvent, les pre
schon die ersten Glieder genUgen. tg into a series arranged according to the miers termes suffisent. La progression
Die Entwicklung fur den arc tg in eine powers of the argument gives: ordonnee d'apres les puissances de !'argu
Hcihe nach Potenzcn des Argumcntes ist ment donne, pour l'.lrc. tg, le developpe
ment suivant:
arc tgx = x- ~ x3 + ~ x"- ~ x7 + .... arc tx x = r.- ~ x3 + ~ x"- ~ r.7 + arc tg x =x - 31 x3 + 51 x"- 17 x7 +
Man kann daher die Formcl (1. auch Formula (1. may therefore be written Partant de hl, on peut aussi ecrire Ia
so schreiben: also: formule ,1. de !a fa~on suivante:
1-l-
1'.)
f/_'-l2. dll 3l ( d" )2-+. 51 ( 1d/.. ) 4- 17 ( d 6 -'L . '] ..................... (2.
In dicser Forme! ist der vVinkel aus In this formula the angle is expressed L'angle est enonce, dans cette formule,
gedrUckt im Bogenmaasse, also als das in circular measurement, that is, it is the en mcsure d'arc, c'est a dire le rapport de
Verhaltnis der Uingc seines Bogens zur ratio of the length of the subtending arc la longueur de son arc a celle du rayon
Lange des zugehorigen Radius. Beide to the length of the corresponding radius, correspondant, toutes deux, bien entendu,
natUrlich mit dcmsclben Maasse gemessen. both, of course, being measured in the exprimees dans la meme mesure.
\Vill man den \Vinkel (P in Graden aus- same units. If the angle q; is to be ex
Pour exprimer !'angle (p en degn!s,
drUc k en, so l 1at man 1'h n mi. t 3C-G)T oro-- - = ;-)7 J 2o" 6 bp res3sGeod~ in ~7doe g2r9e6e s it must be multiplied il faut le multiplier par 3')G o~ = 57° 29G .
zu multipliciren. y -,) ·~. = 0 . ~n
Oft aber ist nicht die Kenntniss des - )< ll arrive souvent que ce n'est pas
Winkels <p selbst nothig, sondern einer It is, however, often the case that not !'angle (P mais une de ses fonctions trigo
trigonometrischen Function dessclbcn. Am the angle p itself but one of its trigono nometriques qu'il soit neccssaire de con
haufigsten werden gcbraucht, die Tangente, metrical functions is wanted. The tangent, naitre. Le plus communcment on em
der Sinus und der Sinus des halben Win the sine and the sine of the half angle are ploie Ia tangente, le sinus et le sinus du
kels. most frequently required. demi-angle.
Die Reihenentwicklung fur die Tan The development of the tangent of an Le developpement progressif de la
gentc ist: angle in a series of powers of that angle is: tangente est:
/6o - X -__ X -L1 a92-.-1 X 3 + 1a;-G.1 X 0 -L1 2-17.21 .X ; -L, ~I{ X= X+;•,2)!. x3 + l;,G;).- ;- l!.0 +. 277.,2 r.'_ -~ • · • · · tg r• ._- Y•. + g2·' X 3 + !(~(),.) X ., + 2772.! X 7 -rI - ·
Setzt man bier fUr x den Ausdruck If the above giHn expression (2. the En rempla~ant x par la valeur de qJ
der Ent\\'icklung (2. von (f cin, so sind development of p, be substituted for x the dans Ja formule (2, les premiers termes
die crsten Glieder der so gebildetcn Reihe: first terms of the series will be: de Ia progression ainsi obtenue sont:
c c
. )4
tg p =2 1 J11 1-1 - ,1f {/l{ )2 + 81 /dl - . ] ........................ (3.
Ebenso folgt aus der Reihe fur den In the same way, there results from De meme, 'de la progression pour le
Sinus: the series for the sine: Sill US:
s.J nx:::::x-311 . x., "+of1.i X< J- 711 . x7 + .. Sl.1 1 X= X- 311 - X'' j + ;01,-., X.0 -- ~1,I. X-1 + • • · · • · S.l ll X = X - 31 ! X•" + 5lJ X"< - 71 J xT + •
nach Einsetzen des Vv. erthes fUr q> a us after insertion of the value for <p from apres y avoir imrcduit la valeur de <p
Forme! (2. die Heihe: formula (2. the senes: d'apres Ja formule (2, on obtient Ia pro
gression:
. lnl- 3(n)2 (n)4
sm q> = 2 ([ 1 - 8 d + 13218 d -- . ] ....................... (4.
und in glcicher \Veise auch: and in like manner also: et de Ia meme maniere:
sin f - 1_ ll r.l - ll (!1_)2 + _431 .. ( '~)'- .. ] ....................... (5.
2 - 4 rl 32 d 2048 d
X-
Ist d nicht so gross, class man bereits Should d be not large enough to Lorsque d n'est pas assez grand pour
mit den ersten zwei Gliedern der Reihe enable one to attain the requisite accuracy que les deux premiers termes suffisent
die gewi.inschte Genauigkeit erreicht, so with the first two terms of the series, it pour obtenir !'exactitude souhaitce, il est
ist es meist ki.irzer nach der direkten is generally the shorter method to calcu presque toujours plus court de calculer
Forme! (1. zu rechnen. late by the direct formula (1. d'apn!s !a formule directe (1.
Bei vielen Messungen ist es oft nur For many measurements it is only Dans plusieurs mesures, il suffit sou
notwendig aus den abgelesenen Scalen necessary to deduce from the scale readings vent de dcduire des deviations de l'echelle
ausschlagen Grossen abzuleiten, die dem quantities which are proportional to the des quantites proportionnelles a !'angle p
Winkel rp oder einer trigonometrischen angle rp or to one of its trigonometrical ou al'une de ses fonctions trigonometriques.
Funktion desselben proportional sind. functions. Lorsque d est assez grand par rapport
lst d so gross gegen n, class die ersten Is d so large in comparison with n a n pour que les deux premiers termes
zwei Glieder der obigen Reihenentwick- that the first two terms of the series du dcveloppement progressif suffisent, on a:
1u ngen geni.igen, so ist: suffice, then:
1 n3
2d ffJ == ?l- 3 [i2
1 n3
2d tg if' == tl -- ,f {i2
.... (G.
T·--···
Abgclescner ?\:ihcrungs- Genaue Fehlcr
-"calen for mel Forme! Differenz
[ Rtaaudisnsxcsh loagf the [Dthies taSnccaeles} of [Afpoprmrouxliam}a te f[oArcmcuulraa]te [ Di!femzces] [P Jr)oerc1c1ee1nn ttacgne
Stale] [Distance de [Formulu _ [ Formulcs [ Dijfermces] Error]
[Deviations lues Nrhtlle] approximati?;es} ' exacte-'] [ Errettrs dans
sur l'1 elc !ulle} d v':::: 31 ";t1i "== Jl- 2d 'f v'-v ' le pour-ant]
500 4000mm 2·61 2·58 o-03 0·01 (\/"
500 3000mm 4G3 tl'fi5 o·os ()·02%
500 2000mm 10·,!2 10-0i 0·38 o·os o;,
500 1500mm 18·55 17-37 1·1R 02c1\lfo
500 lOOOmm 4167 36·35 f>·32 HX>%