Rechnen lernen und Flexibilität entwickeln: Grundlagen – Förderung – Beispiele PDF
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Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Elisabeth Rathgeb-Schnierer Charlotte Rechtsteiner Rechnen lernen und Flexibilität entwickeln Grundlagen – Förderung – Beispiele Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegebenvon FriedhelmPadberg,UniversitätBielefeld,Bielefeld AndreasBüchter,UniversitätDuisburg-Essen,Essen DieReihe„MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II“(MPSI+II),herausgegeben vonProf.Dr.FriedhelmPadbergundProf.Dr.AndreasBüchter,istdieführendeReiheim Bereich„MathematikundDidaktikderMathematik“.SieistschonlangeaufdemMarkt undmitaktuellrund60bislangerschienenenoderinkonkreterPlanungbefindlichenBän- den breit aufgestellt. Zielgruppen sind Lehrende und Studierende an Universitäten und Pädagogischen Hochschulen sowie Lehrkräfte, dienach neuen Ideen für ihren täglichen Unterrichtsuchen. DieReiheMPSI+IIenthälteinegrößereAnzahlweitverbreiteterundbekannterKlassi- kersowohlbeidenspeziellfürdieLehrerausbildungkonzipiertenMathematikwerkenfür Studierendealler Schulstufen als auchbeiden Werken zurDidaktik der Mathematik für diePrimarstufe(einschließlichderfrühenmathematischenBildung),derSekundarstufeI undderSekundarstufeII. Die schon langjährige Position als Marktführer wird durch in regelmäßigen Abständen erscheinende,gründlichüberarbeiteteNeuauflagenständigneuerarbeitetundausgebaut. Ferner wird durch die Einbindung jüngerer Koautorinnen und Koautoren bei schon lan- gelaufendenTiteln gleichermaßenfürKontinuitätundAktualitätderReihegesorgt.Die ReihewächstseitJahrendynamischundbehältdabeidiesich ständigveränderndenAn- forderungenandenMathematikunterrichtunddieLehrerausbildungimAuge. (cid:2) Elisabeth Rathgeb-Schnierer Charlotte Rechtsteiner Rechnen lernen und Flexibilität entwickeln Grundlagen – Förderung – Beispiele ElisabethRathgeb-Schnierer CharlotteRechtsteiner UniversitätKassel PädagogischeHochschuleLudwigsburg Kassel,Deutschland Ludwigsburg,Deutschland MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II ISBN978-3-662-57476-8 ISBN978-3-662-57477-5(eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-57477-5 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillier- tebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagGmbHDeutschland,einTeilvonSpringerNature2018 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. VerantwortlichimVerlag:UlrikeSchmickler-Hirzebruch SpringerSpektrumisteinImprintdereingetragenenGesellschaftSpringer-VerlagGmbH,DEundisteinTeil vonSpringerNature. DieAnschriftderGesellschaftist:HeidelbergerPlatz3,14197Berlin,Germany Hinweis der Herausgeber Dieser Band von Elisabeth Rathgeb-Schnierer und Charlotte Rechtsteiner thematisiert vielseitig undaspektreichdasFlexibleRechnenin derGrundschule.Der Banderscheint in der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. In dieser Reihe eignen sichinsbesonderediefolgendenBändezurVertiefunguntermathematikdidaktischenso- wiemathematischenGesichtspunkten: (cid:3) P.Bardy:MathematischbegabteGrundschulkinder–DiagnostikundFörderung (cid:3) C.Benz/A.Peter-Koop/M.Grüßing:FrühemathematischeBildung (cid:3) M.Franke/S.Reinhold:DidaktikderGeometrieinderGrundschule (cid:3) M.Franke/S.Ruwisch:DidaktikdesSachrechnensinderGrundschule (cid:3) K.Hasemann/H.Gasteiger:AnfangsunterrichtMathematik (cid:3) K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe,Band1 (cid:3) K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe,Band2 (cid:3) F.Käpnick:MathematiklerneninderGrundschule (cid:3) G.Krauthausen:DigitaleMedienimMathematikunterrichtderGrundschule (cid:3) G.Krauthausen:EinführungindieMathematikdidaktik–Grundschule (cid:3) F.Padberg/C.Benz:DidaktikderArithmetik (cid:3) P.Scherer/E.MoserOpitz:FördernimMathematikunterrichtderPrimarstufe (cid:3) A.-S.Steinweg:AlgebrainderGrundschule (cid:3) M.Helmerich/K.Lengnink:EinführungMathematikPrimarstufe–Geometrie (cid:3) T.Leuders:ErlebnisArithmetik (cid:3) F.Padberg/A.Büchter:EinführungMathematikPrimarstufe–Arithmetik (cid:3) F.Padberg/A.Büchter:VertiefungMathematikPrimarstufe–Arithmetik/Zahlentheorie (cid:3) F.Padberg/A.Büchter:ElementareZahlentheorie Bielefeld/Essen FriedhelmPadberg Juni2018 AndreasBüchter V Einleitung Stephan (7 Jahre) ist Schüler einer zweiten Klasse. Während eines individuellen Ge- sprächszurLernstandbestimmungbeschäftigtersichimschulischenKontextzumersten Mal mit Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 100 (Rathgeb-Schnierer 2004a). Auf demTischliegenvieleverschiedeneAufgabenundStephansollsicheineauswählen,die erlösenmöchte.ErnimmtdieAufgabe„31(cid:4)29“underklärt:„Dieistganzleicht.“Da- raufhin greift er zu Papier und Bleistift und notiert seine Rechenschritte wie in Abb. 1. Zuerst schreibt er die Ausgangsaufgabe ohne Ergebnis auf, dann notiert er die Aufga- ben „9(cid:4)1=8“und „30(cid:4)20=10“,anschließend fasst er seinebeiden Ergebnissein der Gleichung 31(cid:4)29=18 zusammen und ganz am Ende ergänzt er die 18 bei der zuerst geschriebenenAufgabe. Stephans Vorgehen lässt sich aufgrund seiner Notation sehr gut nachvollziehen: Er zerlegtMinuendundSubtrahendinZehnerundEinerundsubtrahiertdiesegetrenntvon- einander. Durch die Zerlegung vereinfacht er die Aufgabe, sodass er im ersten Rechen- schritt nur im Zahlenraum bis Zehn rechnen muss und im zweiten Rechenschritt eine AufgabemitZehnerzahlenhat.Diesekannwiederumleichtgelöstwerden,vorausgesetzt, Stephan verfügtüber Analogiewissen und hat die Aufgabe„3(cid:4)2“ automatisiert. Selbst dann,wenn Stephan Aufgabennochzählendlösen würde,stellt dieZerlegungeine Ver- einfachungdar,weildadurchwenigerZählschrittenotwendigsind.Genaugenommenhat StephanbeijedemTeilschritt einrichtigesErgebnisermittelt. Dass er amEndedennoch zumfalschenErgebnis18kommt,würdenwirwahrscheinlichnichtaufseineRechenfer- tigkeitenzurückführen.VielmehrlässtsichhiereinrationalbegründbarerFehlervermuten (Spiegel1996):StephankenntsichmitAdditionsaufgabenausundweiß,dasserbeidie- senSummandenflexibelzerlegen,tauschenundverknüpfenkannundamEndedanndie Teilergebnisse addieren muss. Dieses Wissen überträgt er auf die Subtraktionsaufgabe Abb.1 StephanlöstdieAuf- gabe„31(cid:4)29“.(Rathgeb- Schnierer2004a,235) VII VIII Einleitung „31(cid:4)29“, vermutlich deshalb, weil er mit den spezifischen Gesetzmäßigkeiten dieser OperationimhöherenZahlenraumebennochnichtvertrautist. Dass Schülerinnen und Schüler beim Lösen mehrstelliger Additions- und Subtrakti- onsaufgabendieZerlegunginZehnerundEiner–alsodieLösungsmethode„Stellenwerte extra“ (Abschn. 2.1.1.1) – präferieren, ist allen Lehrerinnen und Lehrern bekannt. Die- se Lösungsmethode, die bei Additionsaufgabenprinzipiell immer herangezogenwerden kann,istfürvieleSubtraktionsaufgabennichtadäquatundbirgtsogarSchwierigkeiten. Warum zerlegt Stephan die Aufgabe spontan in Zehner und Einer? Dieses Vorgehen entspringtvermutlichdemureigenenBedürfnis,sichbeimAufgabenlösenaufbekanntem TerrainzubewegenunddasVorgehenzunutzen,beidemmansichsicherfühlt. ÜberraschendistderweitereVerlaufdesGesprächs:NachdemStephandenLösungs- wegunddasErgebnisnotierthat,legterseinenBleistiftausderHandundschautaufsein Blatt.NacheinerkurzenPausesagter:„Abereigentlichistdaszwei.“Verblüfftvondieser Aussagefrageich,welchesErgebnisdennnunrichtigsei:achtzehnoderzwei.Vermutlich ahnenSieschon,wasStephanmirantwortet,vollerÜberzeugungsagter:„Achtzehn,weil ichdasgerechnethabe.“ DerkurzeGesprächsausschnittregtzumNachdenkenanundesdrängensichzweiwe- sentliche Fragen auf: Warum hat Stephan die Nähe von Minuend und Subtrahend nicht gleich erkannt und für das Lösen der Aufgabe genutzt? Warum traut er, nachdem er die spezifischen Merkmale erkanntund damit die Differenzgesehen hat, seinem augen- blicklichenSehendesErgebnissesnicht?Stephanistvielmehrdavonüberzeugt,dasssein mehrschrittigerRechenweg,derihmjaaucheinigeAnstrengungabforderte,zumrichtigen Ergebnisführenmuss.InStephansVerhaltenzeigtsichgenaudas,wasderMathematiker KarlMenningerschonindererstenHälftedes20.Jahrhundertsgeforderthat: Diese Faustregel lehrt dich, die Zahlen vor dem Rechnen a n z u s c h a u e n, und das istdasWichtigste,wenndueinguterRechnerwerdenwillst!Aberwiewenigetundas!Sie gehenblindlingsaufdieZahlenlos,fahrenihreKanonengenausogutgegenZahlenelefanten aufwie gegenZahlenmäuschen,diesie, wennsie nurs ehe nwollten,imNu erledigten. Nurderlerntvorteilhaftrechnen,derdiesenZahlenblickentwickelt(Menninger1940,10f.; HervorhebungenimOriginal). AuchStephanfährtzunächstseine„Kanone“desmehrschrittigenZerlegensgegenein „Zahlenmäuschen“auf. Aber für ein paar kurze Augenblickewird bei ihm das sichtbar, wasMenninger„Zahlenblick“nennt:StephanschautdieAufgabeanundsiehtdieDiffe- renz.AllerdingsträgtdiesesspontaneSehennichtsoweitzuvertrauen,dassdasErgebnis richtigseinmuss.VielmehrtrauterseineraufwändigenVorgehensweise,dieervermutlich Schritt für Schritt gelernthat. Hiermit stellt Stephan ganzund gar keinen Einzelfall dar. Ergebnisseverschiedener Forschungsarbeitenzeigen deutlich, dass Kinder insbesondere nachdemLernenvonVerfahrendieseinadäquatundunreflektiertnutzen,alsounflexibel handeln (Kap. 3). Dieses Verhalten von Schülerinnen und Schülern deckt sich nicht mit demzentralenZieldesMathematikunterrichtsimBereich„ZahlenundOperationen“,das spätestensseitBeginndes21.Jahrhundertsunumstrittenist. Einleitung IX The emphasis in teaching arithmetic has changed from preparation of disciplined human calculatorstodevelopingchildren’sabilitiesasflexibleproblemsolvers(Anghileri2001,79). DerSchwerpunktimMathematikunterrichthatsichinsoferngeändert,dassesnichtmehr umdie Bereitstellung diszipliniertermenschlicher Rechenmaschinen geht, sondernum die EntwicklungflexiblerRechenkompetenzen(ÜbersetzungderAutoren). Grundschülerinnen und Grundschüler sollen solide Rechenfertigkeiten entwickeln, aber es reicht nicht aus, sie zu disziplinierten Rechnern zu erziehen. Vielmehr geht es darum, bei allen Kindern flexible Rechenkompetenzen zu entwickeln. Diese setzen ein solides Zahl- und Operationsverständnis voraus, ebenso wie das Verständnis von strate- gischenWerkzeugen.DemMathematikunterrichtinderGrundschule–undfolglichallen Lehrerinnen und Lehrern, die Mathematik unterrichten – kommt damit eine verantwor- tungsvolle Aufgabe zu: Es geht darum, alle Kinder bei diesem Lernprozess adaptiv zu begleiten. Fragen Wie kann Rechnenlernengestaltet werden, damit alle Kinder nicht nur solide Fertig- keitenerwerben,sondernflexibleRechenkompetenzenentwickeln? Dies ist die Kernfrage des Arithmetikunterrichts der Grundschule, aus der sich ver- schiedeneandereFragenergeben.ImvorliegendenBuchwirddiesenzunächstallgemein unddannbezogenaufdieRechenoperationenAdditionundSubtraktiondetailliertnachge- gangen.DieÜberlegungenundAntwortenumfassenallgemeinetheoretischeGrundlagen, stoffdidaktische Aspekte sowie konkrete Aktivitäten und Ausführungen zur unterricht- spraktischenUmsetzung. Fragen WielernenKinderundwielernensieRechnen? DiesistdieLeitfragedeserstenKapitels.SiewirdzunächstaufderGrundlageverschie- denerkonstruktivistischerSichtweisendiskutiert.Dabeikristallisiertsichheraus,dasssich Lernen in einem aktiven Prozess vollzieht, dessen zentrales Ziel darin liegt, dass die Lernenden Verständnis entwickeln. Vor dem Hintergrund dieses Ziels werden zunächst allgemeineAnforderungenfürdieGestaltungdesLernensabgeleitet. Währenddie Überlegungenzum Lernen von Kindern im ersten Teil des Kapitels zu- nächst allgemeiner Natur sind, werden diese im zweiten Teil im Hinblick auf dasRech- nenlernen konkretisiert. Hierbei stehen zunächst verschiedene praktizierte Zugänge im Fokus,diesichinSchulbüchernundinderdidaktischenLiteraturfindenlassen:dasRech- nenlernenüber Beispiel- undMusterlösungen sowie der Ansatz des Rechnenlernensauf eigenenWegen,derindenletztenJahrenzunehmenddiskutiertwird.DasRechnenlernen aufeigenenWegenwirdimzweitenTeildesKapitelsdifferenziertausgearbeitetunddabei insbesonderezweiFragennachgegangen:WieentwickelnsichRechenwegevonKindern? X Einleitung UndwelcheRollekommthierbeidemkommunikativenAustauschundderLernumgebung zu? Fragen WaspassierteigentlichbeimRechnenundwasgenaubedeutetflexiblesRechnen? Tanja(7Jahre)istinderselbenzweitenKlassewieStephan.SiewähltindemGespräch zurLernstandsbestimmungdieAufgabe„46(cid:4)19“undsagt: T: Ähm46(.)minus(..)neun–nein,minussechsmachichjetzt–unddannsinddasja40, unddannminus3sindsiebenunddreißig–unddannnochminus10sind27. Rechnen scheint eine ganz einfache Sache zu sein. Da wird einem Kind (oder auch einemErwachsenen)eineRechenaufgabegestelltundnacheinergewissenZeitnenntdas Kinddas–imbestenFallkorrekte–Ergebnis. WasaberpassiertinderZwischenzeit?WiegenaukommtdasKindzudiesemErgeb- nis? Dieser Prozess des Rechnens und die dabei involvierten Ebenen werden im ersten Teil des zweiten Kapitels anhand von Kinderlösungen veranschaulicht. Beim Rechnen kommenzunächstunterschiedlicheFormenzumTragen,dieauchexplizitimCurriculum derGrundschuleverankertsind:dasKopfrechnen,dashalbschriftlicheRechnenunddas schriftliche Rechnen. Aber allein dadurch, dass ein Kind eine halbschriftliche Methode nutzt,kannesnochkeineLösungzueinerAufgabeermitteln.HierfürsindkonkreteLö- sungswerkzeuge notwendig, die nicht davon abhängen, ob eine Aufgabe im Kopf oder schriftlich gerechnet wird. Lösungswerkzeuge sind das Zählen, das Auswendigwissen und sogenannte strategische Werkzeuge. Wie diese Lösungswerkzeuge beschaffen sind und in einem kindlichen Lösungsprozess sichtbar werden, wird am Ende der theoreti- schen Ausführungenzum Rechnen an verschiedenen Rechenwegen konkretisiert. Dabei wird deutlich, dass die Ebenen im Lösungsprozess eine Möglichkeit darstellen, die von KindernartikuliertenRechenwegezuergründenundinihrerKomplexitätzuverstehen. Imzweiten TeildiesesKapitelswird dannderBlickaufdasflexibleRechnengerich- tet. Was bedeutet flexibles Rechnen und wie kann flexibles Rechnen gefördert werden? Auch wenn Einigkeit darüber herrscht, dass im Mathematikunterricht der Grundschule flexible Rechenkompetenzen gefördert werden sollen, so ist dennoch häufig nicht klar, was darunter verstanden wird, wie flexibles Rechnen gefördert werden kann und wann damitbegonnenwerdensollte.GehtesinersterLiniedarum,Kindernverschiedenestra- tegischeWerkzeugezuvermitteln,sodasssieinderLagesind,beimLöseneinerAufgabe diepassendenzunutzen?OderkönnenstrategischeWerkzeugeerstdannadäquatgenutzt werden, wenn die Kinder einen Blick für Merkmale und Beziehungen entwickelt haben unddiesen– ganzandersalsStephanestut–auchin denLösungsprozessmiteinbezie- hen.AufderGrundlageaktuellerForschungundverschiedenertheoretischerPerspektiven wirddasdemBuchzugrundeliegendeVerständnisvonflexiblemRechnenentfaltet.
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