Real and complex singularities: Sao Carlos Workshop 2004

363 Pages·2007·2.941 MB·English

by  Jean-Paul Brasselet, Jean-Paul Brasselet;Maria Aparecida Soares Ruas

(cid:52)(cid:50)(cid:37)(cid:46)(cid:36)(cid:51)(cid:0)(cid:41)(cid:46)(cid:0)(cid:45)(cid:33)(cid:52)(cid:40)(cid:37)(cid:45)(cid:33)(cid:52)(cid:41)(cid:35)(cid:51)
(cid:52)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:68)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:45)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:86)(cid:79)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:67)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:86)(cid:79)(cid:76)(cid:85)(cid:77)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:73)(cid:83)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:78)(cid:13)
(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:76)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:67)(cid:85)(cid:83)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:0)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:85)(cid:76)(cid:65)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:80)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:65)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:14)(cid:0)(cid:41)(cid:84)(cid:83)
(cid:65)(cid:73)(cid:77)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:77)(cid:65)(cid:75)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:85)(cid:82)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:86)(cid:69)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:77)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:86)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:77)(cid:77)(cid:85)(cid:78)(cid:73)(cid:84)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:82)(cid:65)(cid:80)(cid:73)(cid:68)(cid:76)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:80)(cid:79)(cid:83)(cid:83)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:69)
(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:72)(cid:79)(cid:85)(cid:84)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:77)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:73)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:81)(cid:85)(cid:65)(cid:76)(cid:73)(cid:84)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:67)(cid:72)(cid:73)(cid:86)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:69)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:14)
(cid:48)(cid:82)(cid:79)(cid:80)(cid:79)(cid:83)(cid:65)(cid:76)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:86)(cid:79)(cid:76)(cid:85)(cid:77)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:67)(cid:65)(cid:78)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:83)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:45)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:83)(cid:0)(cid:37)(cid:68)(cid:73)(cid:84)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:69)(cid:73)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:82)
(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:54)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:71)
(cid:48)(cid:14)(cid:47)(cid:14)(cid:0)(cid:34)(cid:79)(cid:88)(cid:0)(cid:17)(cid:19)(cid:19)
(cid:35)(cid:40)(cid:13)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:0)(cid:34)(cid:65)(cid:83)(cid:69)(cid:76)
(cid:51)(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:90)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:68)
(cid:79)(cid:82)
(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:34)(cid:79)(cid:83)(cid:84)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:41)(cid:78)(cid:67)(cid:14)
(cid:22)(cid:23)(cid:21)(cid:0)(cid:45)(cid:65)(cid:83)(cid:83)(cid:65)(cid:67)(cid:72)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:84)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:33)(cid:86)(cid:69)(cid:78)(cid:85)(cid:69)
(cid:35)(cid:65)(cid:77)(cid:66)(cid:82)(cid:73)(cid:68)(cid:71)(cid:69)(cid:12)(cid:0)(cid:45)(cid:33)(cid:0)(cid:16)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:25)
(cid:53)(cid:51)(cid:33)
(cid:45)(cid:65)(cid:84)(cid:69)(cid:82)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:0)(cid:83)(cid:85)(cid:66)(cid:77)(cid:73)(cid:84)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:67)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:77)(cid:85)(cid:83)(cid:84)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:83)(cid:67)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:78)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:69)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:76)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:83)(cid:26)
(cid:33)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:78)(cid:84)(cid:82)(cid:73)(cid:66)(cid:85)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:83)(cid:0)(cid:83)(cid:72)(cid:79)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:0)(cid:85)(cid:78)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:71)(cid:79)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:86)(cid:73)(cid:69)(cid:87)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:67)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:0)(cid:83)(cid:73)(cid:77)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:67)(cid:65)(cid:82)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:79)(cid:85)(cid:84)(cid:0)(cid:66)(cid:89)(cid:0)(cid:74)(cid:79)(cid:85)(cid:82)(cid:78)(cid:65)(cid:76)(cid:83)
(cid:65)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:72)(cid:69)(cid:67)(cid:75)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:82)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:71)(cid:85)(cid:65)(cid:71)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:67)(cid:72)(cid:12)(cid:0)(cid:65)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:69)(cid:12)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:37)(cid:78)(cid:71)(cid:76)(cid:73)(cid:83)(cid:72)(cid:14)(cid:0)(cid:33)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:76)(cid:69)(cid:83)(cid:0)(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:72)(cid:79)(cid:85)(cid:84)
(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:86)(cid:69)(cid:89)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:80)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:12)(cid:0)(cid:72)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:86)(cid:69)(cid:82)(cid:12)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:69)(cid:76)(cid:67)(cid:79)(cid:77)(cid:69)(cid:14)
(cid:55)(cid:69)(cid:0)(cid:69)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:82)(cid:71)(cid:65)(cid:78)(cid:73)(cid:90)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:73)(cid:86)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:85)(cid:83)(cid:67)(cid:82)(cid:73)(cid:80)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:77)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:76)(cid:89)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:65)(cid:68)(cid:89)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:68)(cid:73)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:84)
(cid:82)(cid:69)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:68)(cid:85)(cid:67)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:14)(cid:0)(cid:33)(cid:78)(cid:89)(cid:0)(cid:86)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)T(cid:52)eX
(cid:37)
(cid:79)(cid:78)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:85)(cid:76)(cid:65)(cid:82)(cid:0)(cid:68)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)T(cid:52)eX
(cid:37)
(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:14)
(cid:38)(cid:85)(cid:82)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:82)(cid:77)(cid:79)(cid:82)(cid:69)(cid:12)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:71)(cid:85)(cid:65)(cid:82)(cid:65)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:84)(cid:73)(cid:77)(cid:69)(cid:76)(cid:89)(cid:0)(cid:65)(cid:80)(cid:80)(cid:69)(cid:65)(cid:82)(cid:65)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:67)(cid:69)(cid:69)(cid:68)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:83)(cid:0)(cid:73)(cid:84)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:69)(cid:78)(cid:84)(cid:73)(cid:65)(cid:76)
(cid:69)(cid:65)(cid:67)(cid:72)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:69)(cid:73)(cid:86)(cid:69)(cid:0)(cid:18)(cid:21)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:70)(cid:80)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:84)(cid:83)(cid:14)(cid:0)(cid:52)(cid:79)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:73)(cid:67)(cid:73)(cid:80)(cid:65)(cid:78)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:66)(cid:79)(cid:79)(cid:75)
(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:65)(cid:0)(cid:83)(cid:80)(cid:69)(cid:67)(cid:73)(cid:65)(cid:76)(cid:0)(cid:82)(cid:65)(cid:84)(cid:69)(cid:14)
(cid:52)R(cid:79)e(cid:80)(cid:73)a(cid:67)(cid:83)l (cid:0)(cid:73)a(cid:78)(cid:0)n(cid:35)d(cid:79)(cid:72) C(cid:79)(cid:77)o(cid:79)m(cid:76)(cid:79)(cid:71)p(cid:73)(cid:67)le(cid:65)(cid:76)x(cid:0)(cid:51)(cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:73)(cid:69)(cid:83)
(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:33)(cid:76)(cid:71)(cid:69)(cid:66)(cid:82)(cid:65)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:54)(cid:65)(cid:82)(cid:73)(cid:69)(cid:84)(cid:73)(cid:69)(cid:83)
Singularities
(cid:41)(cid:77)(cid:80)(cid:65)(cid:78)(cid:71)(cid:65)(cid:0)(cid:44)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:46)(cid:79)(cid:84)(cid:69)(cid:83)
São Carlos Workshop 2004
(cid:48)(cid:73)(cid:79)(cid:84)(cid:82)(cid:0)(cid:48)(cid:82)(cid:65)(cid:71)(cid:65)(cid:67)(cid:90)
(cid:37)(cid:68)(cid:73)(cid:84)(cid:79)(cid:82)
Jean-Paul Brasselet
Maria Aparecida Soares Ruas
Editors
(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:54)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:71)
(cid:34)(cid:34)(cid:65)(cid:73)(cid:82)(cid:83)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:76)(cid:203)(cid:0)(cid:115)(cid:85)(cid:34)(cid:83)(cid:79)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:0)(cid:84)(cid:54)(cid:79)(cid:69)(cid:78)(cid:82)(cid:76)(cid:115)(cid:65)(cid:34)(cid:71)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:73)(cid:78)
(cid:34)(cid:65)(cid:83)(cid:69)(cid:76)(cid:0)(cid:115)(cid:34)(cid:79)(cid:83)(cid:84)(cid:79)(cid:78)(cid:115)(cid:34)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:73)(cid:78)
(cid:37)E(cid:68)d(cid:73)i(cid:84)t(cid:79)o(cid:82)r(cid:26)s:
(cid:48)Je(cid:73)(cid:79)a(cid:84)n(cid:82)(cid:0)-(cid:48)P(cid:82)a(cid:65)u(cid:71)l(cid:65) B(cid:67)r(cid:90)asselet Maria Aparecida Soares Ruas
(cid:41)I(cid:78)n(cid:83)s(cid:84)t(cid:73)i(cid:84)t(cid:85)u(cid:84)t(cid:69) d(cid:0)(cid:79)e(cid:70) (cid:0)M(cid:45)a(cid:65)t(cid:84)h(cid:72)é(cid:69)m(cid:77)a(cid:65)ti(cid:84)q(cid:73)(cid:67)u(cid:83)e(cid:0)s(cid:79) (cid:70)d(cid:0)(cid:84)e(cid:72) (cid:69)Luminy – CNRS Instituto de Ciências Matemáticas e de
(cid:48)C(cid:79)a(cid:76)m(cid:73)(cid:83)(cid:72)p(cid:0)u(cid:33)s(cid:67) d(cid:65)e(cid:68) (cid:69)L(cid:77)um(cid:89)(cid:0)i(cid:79)n(cid:70)y(cid:0),(cid:51) C(cid:67)a(cid:73)(cid:69)s(cid:78)e(cid:67) 9(cid:69)0(cid:83)7 Computação – USP
(cid:85)F(cid:76)-(cid:14)1(cid:0)(cid:51)3(cid:78)2(cid:73)8(cid:65)8(cid:68) (cid:69)M(cid:67)a(cid:75)r(cid:73)(cid:67)s(cid:72)ei(cid:0)l(cid:24)le Cedex Av. Trabalhador São-carlense, 400
(cid:48)F(cid:14)r(cid:47)a(cid:14)n(cid:0)(cid:34)ce(cid:79)(cid:88)(cid:0)(cid:18)(cid:17) Caixa Postal 668
(cid:16)e(cid:16)-m(cid:13)(cid:25)a(cid:21)il(cid:22): (cid:0)j(cid:55)pb(cid:65)@(cid:82)(cid:83)i(cid:90)m(cid:65)l(cid:87).u(cid:65)niv-mrs.fr 13560-970 São Carlos, SP
(cid:48)(cid:79)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:68) Brasil
e-mail: [email protected]
(cid:69)(cid:13)(cid:77)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:26)(cid:0)(cid:80)(cid:14)(cid:80)(cid:82)(cid:65)(cid:71)(cid:65)(cid:67)(cid:90)(cid:32)(cid:73)(cid:77)(cid:80)(cid:65)(cid:78)(cid:14)(cid:71)(cid:79)(cid:86)(cid:14)(cid:80)(cid:76)
(cid:17)(cid:20)(cid:45)(cid:17)(cid:16)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:20)(cid:46)(cid:17)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:20)(cid:46)(cid:19)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:21)(cid:33)(cid:21)(cid:18)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:25)(cid:33)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:25)(cid:36)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:17)(cid:25)(cid:37)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:19)(cid:18)(cid:49)(cid:19)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:19)(cid:18)(cid:51)(cid:88)(cid:88)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:17)(cid:48)(cid:16)(cid:21)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:24)(cid:43)(cid:19)(cid:16)(cid:12)(cid:0)(cid:23)(cid:16)(cid:40)(cid:16)(cid:22)
(cid:33)(cid:0)(cid:35)(cid:41)(cid:48)(cid:0)(cid:67)(cid:65)(cid:84)(cid:65)(cid:76)(cid:79)(cid:71)(cid:85)(cid:69)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:67)(cid:79)(cid:82)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:66)(cid:79)(cid:79)(cid:75)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:86)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)
(cid:44)(cid:73)(cid:66)(cid:82)(cid:65)(cid:82)(cid:89)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:35)(cid:79)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:12)(cid:0)(cid:55)(cid:65)(cid:83)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:84)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:36)(cid:14)(cid:35)(cid:14)(cid:12)(cid:0)(cid:53)(cid:51)(cid:33)
(cid:34)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:79)(cid:71)(cid:82)(cid:65)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:70)(cid:79)(cid:82)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:83)(cid:72)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:66)(cid:89)(cid:0)(cid:36)(cid:73)(cid:69)(cid:0)(cid:36)(cid:69)(cid:85)(cid:84)(cid:83)(cid:67)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:34)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:79)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:75)
(cid:0)(cid:69)(cid:27)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:84)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:69)(cid:68)
(cid:66)(cid:73)(cid:66)(cid:76)(cid:73)(cid:79)(cid:71)(cid:82)(cid:65)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:67)(cid:0)(cid:68)(cid:65)(cid:84)(cid:65)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:86)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:41)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:82)(cid:78)(cid:69)(cid:84)(cid:0)(cid:65)(cid:84)(cid:0)(cid:72)(cid:84)(cid:84)(cid:80)(cid:26)(cid:15)(cid:15)(cid:68)(cid:78)(cid:66)(cid:14)(cid:68)(cid:68)(cid:66)(cid:14)(cid:68)(cid:69)
2000 Mathematical Subject Classification 14D, 14H, 14J, 20F, 32
Library of Congress Control Number: 2006936540
Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed
bibliographic data is available in the Internet at http://dnb.ddb.de
(cid:41)(cid:51)(cid:34)(cid:46)(cid:0)(cid:19)9(cid:13)7(cid:23)8(cid:22)-(cid:20)3(cid:19)-7(cid:13)(cid:23)6(cid:18)4(cid:17)3(cid:20)-7(cid:13)(cid:17)7(cid:0)7(cid:34)5(cid:73)(cid:82)-(cid:75)5(cid:72) B(cid:203)i(cid:85)rk(cid:83)(cid:69)h(cid:82)ä(cid:0)u(cid:54)s(cid:69)e(cid:82)(cid:76)r(cid:65) V(cid:71)e(cid:12)(cid:0)r(cid:34)la(cid:65)g(cid:83),(cid:69) B(cid:76)(cid:0)(cid:110)a(cid:0)s(cid:34)e(cid:79)l (cid:83)–(cid:84) (cid:79) B(cid:78)o(cid:0)(cid:110)s(cid:0)t(cid:34)o(cid:69)n(cid:82) (cid:76)–(cid:73)(cid:78) Berlin
(cid:52)(cid:72)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:87)(cid:79)(cid:82)(cid:75)(cid:0)(cid:73)(cid:83)(cid:0)(cid:83)(cid:85)(cid:66)(cid:74)(cid:69)(cid:67)(cid:84)(cid:0)(cid:84)(cid:79)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:82)(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:84)(cid:14)(cid:0)(cid:33)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:82)(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:84)(cid:83)(cid:0)(cid:65)(cid:82)(cid:69)(cid:0)(cid:82)(cid:69)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:86)(cid:69)(cid:68)(cid:12)(cid:0)(cid:87)(cid:72)(cid:69)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:87)(cid:72)(cid:79)(cid:76)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)
(cid:66)(cid:65)(cid:78)(cid:75)(cid:83)(cid:14)(cid:0)(cid:38)(cid:79)(cid:82)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:89)(cid:0)(cid:75)(cid:73)(cid:78)(cid:68)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:69)(cid:82)(cid:77)(cid:73)(cid:83)(cid:83)(cid:73)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:67)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:82)(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:87)(cid:78)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:77)(cid:85)(cid:83)(cid:84)(cid:0)(cid:66)(cid:69)(cid:0)(cid:79)(cid:66)(cid:84)(cid:65)(cid:73)(cid:78)(cid:69)(cid:68)(cid:14)
(cid:165)(cid:0)(cid:18)2(cid:16)0(cid:16)0(cid:21)7(cid:0)(cid:34)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:203)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:54)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:71)(cid:12)(cid:0)(cid:48)(cid:14)(cid:47)(cid:14)(cid:0)(cid:34)(cid:79)(cid:88)(cid:0)(cid:17)(cid:19)(cid:19)(cid:12)(cid:0)(cid:35)(cid:40)(cid:13)(cid:20)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:0)(cid:34)(cid:65)(cid:83)(cid:69)(cid:76)(cid:12)(cid:0)(cid:51)(cid:87)(cid:73)(cid:84)(cid:90)(cid:69)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:78)(cid:68)
(cid:48)(cid:65)(cid:82)(cid:84)(cid:0)(cid:79)(cid:70)(cid:0)(cid:51)(cid:80)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:71)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:51)(cid:67)(cid:73)(cid:69)(cid:78)(cid:67)(cid:69)(cid:11)(cid:34)(cid:85)(cid:83)(cid:73)(cid:78)(cid:69)(cid:83)(cid:83)(cid:0)(cid:45)(cid:69)(cid:68)(cid:73)(cid:65)
(cid:48)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:79)(cid:78)(cid:0)(cid:65)(cid:67)(cid:73)(cid:68)(cid:13)(cid:70)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:65)(cid:80)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:80)(cid:82)(cid:79)(cid:68)(cid:85)(cid:67)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:70)(cid:82)(cid:79)(cid:77)(cid:0)(cid:67)(cid:72)(cid:76)(cid:79)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:69)(cid:13)(cid:70)(cid:82)(cid:69)(cid:69)(cid:0)(cid:80)(cid:85)(cid:76)(cid:80)(cid:14)(cid:0)(cid:52)(cid:35)(cid:38)(cid:100)(cid:102)
(cid:48)(cid:82)(cid:73)(cid:78)(cid:84)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:73)(cid:78)(cid:0)(cid:39)(cid:69)(cid:82)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:89)
(cid:41)(cid:51)(cid:34)(cid:46)(cid:13)(cid:17)(cid:16)(cid:26)(cid:0)(cid:19)(cid:13)(cid:23)(cid:22)(cid:20)(cid:19)(cid:13)(cid:23)7(cid:18)7(cid:17)7(cid:20)5(cid:13)-(cid:17)5 e-ISBN-10: 3-7643-7776-3
(cid:41)(cid:51)(cid:34)(cid:46)(cid:13)(cid:17)(cid:19)(cid:26)(cid:0)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:13)(cid:19)(cid:13)(cid:23)(cid:22)(cid:20)(cid:19)(cid:13)(cid:23)7(cid:18)7(cid:17)7(cid:20)5(cid:13)-(cid:25)5 e-ISBN-13: 978-3-7643-7776-2
(cid:25)(cid:0)(cid:24)(cid:0)(cid:23)(cid:0)(cid:22)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:19)(cid:0)(cid:18)(cid:0)(cid:17) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:87)(cid:87)(cid:87)(cid:14)(cid:66)(cid:73)(cid:82)(cid:75)(cid:72)(cid:65)(cid:85)(cid:83)(cid:69)(cid:82)(cid:14)(cid:67)(cid:72)
Contents
Preface ................................................................... vii
Introduction .............................................................. ix
P. Aluffi
Celestial Integration, Stringy Invariants, and
Chern-Schwartz-MacPhersonClasses ................................. 1
F. Aroca
Valuations Compatible with a Projection ............................ 15
D. Barlet
Quelques R´esultats sur Certaines Fonctions
`a Lieu Singulier de Dimension 1 ..................................... 23
J. Ferna´ndez de Bobadilla, I. Luengo, A. Melle Herna´ndez and A. N´emethi
Classification of Rational Unicuspidal Projective Curves
whose Singularities Have one Puiseux Pair ........................... 31
V. Cavalier and D. Lehmann
Bounding from below the Degree of an Algebraic One-dimensional
Foliation Having a Prescribed Algebraic Solution .................... 47
M.W. Cocke, P. Donelan and C.G. Gibson
Trajectory Singularities for a Class of ParallelMotions ............... 53
A. Diatta and P. Giblin
Vertices and Inflexions of Plane Sections of Surfaces in R3 ........... 71
A. Dimca and A. Libgober
Local Topology of Reducible Divisors ................................ 99
D. Dreibelbis
The Geometry of Flecnodal Pairs .................................... 113
J.C.F. Costa and A.M. Sitta
Path Formulation for Z ⊕Z -equivariant Bifurcation Problems ...... 127
2 2
T. Gaffney
The Multiplicity of Pairs of Modules and
Hypersurface Singularities ........................................... 143
vi Contents
V.V. Goryunov and V.M. Zakalyukin
Lagrangianand Legendrian Singularities ............................. 169
I. de Gregorio and D. Mond
F-manifolds from Composed Functions .............................. 187
K. Houston
On Equisingularity of Families of Maps (Cn,0)→(Cn+1,0) .......... 201
I.S. Labouriau and E.M. Pinho
Projected Wallpaper Patterns ........................................ 209
B. Martin
Modular Lines for Singularities of the T-series ....................... 219
P. Mormul
Do Moduli of Goursat Distributions Appear on the Level
of Nilpotent Approximations? ........................................ 229
H. Movasati
Calculation of Mixed Hodge Structures, Gauss-Manin Connections
and Picard-Fuchs Equations ......................................... 247
V.H. Jorge P´erez, E.C. Rizziolli and M.J. Saia
Whitney Equisingularity, Euler Obstruction and Invariants
of Map Germs from Cn to C3, n>3 ................................. 263
A.A. du Plessis
Versality Properties of Projective Hypersurfaces ..................... 289
A.A. du Plessis
Minimal Intransigent Hypersurfaces .................................. 299
A. Pratoussevitch
On the Link Space of a Q-Gorenstein Quasi-Homogeneous
Surface Singularity .................................................. 311
D. Siersma and M. Tiba˘r
Singularity Exchange at the Frontier of the Space .................... 327
S. Yokura
Mackey Functors on Provarieties ..................................... 343
Addresses ................................................................. 361
Preface
TheWorkshop on Real and Complex Singularitiesisaseriesofbiennialworkshops
organized by the singularity group at the Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e
de Computac¸˜ao, of the Universidade de Sa˜o Paulo, Sa˜o Carlos (ICMC-USP, Sa˜o
Carlos),Brazil.Itsmainpurposeistobringtogetherspecialistsinthevanguardof
singularities and its applications. Initiated in 1990, it became a key international
event for people working in the field.
Forthe firsttime notinSa˜oCarlos,“The 8thworkshoponrealandcomplex
singularities”tookplaceattheCentreInternationaldeRencontresMath´ematiques,
Luminy,France,from19to23ofJuly,2004.Atotalof94mathematiciansfrom19
countries (Brazil, France, Belgium, Canada, Denmark, England, Germany, Hun-
gary, Israel, Italy, Japan, Mexico, Netherlands, New Zealand, Poland, Portugal,
Russia, Spain, U.S.) participated in this very successful event, among these, 24
from Brazil.
Theworkshopprogramconsistedof14plenarysessions,44ordinarysessions,
and 2 mini-courses given by Maxim Kazarian on “Calculations on Thom polyno-
mials”, and Victor Goryunov on “Lagrangianand Legendrian Singularities ”.
We could not have organizedthe workshopwithout the help of many people
and institutions. We start by thanking the members of the Scientific Committee:
JoseManuel Aroca,Jim Damon, GertMartinGreuel, Abramo Hefez, Heisuke Hi-
ronaka, Alcides Lins Neto, Marcio Soares, Bernard Teissier, Terry Wall for their
support for the event. The workshop was funded by Institutions from Brasil:
FAPESP, CNPq, CAPES, USP, and from France: Minist`ere de l’Enseignement
Sup´erieur et de la Recherche, Universit´e de la M´editerran´ee, CNRS (D´el´egation
R´egionale Provence, FRUMAM, IML, LATP), Conseil G´en´eral des Bouches-du-
Rhoˆne, Ville de Marseille. Their support we gratefully acknowledge. We are also
very grateful to the staff of the IML and the CIRM for their help to organize the
event.
It is a pleasure to thank the speakers and the participants whose presence
was the real success of the 8th Workshop.
Marseille, Sa˜o Carlos
Jean-Paul Brasselet, Maria Ruas

Introduction
“Singularities are all over the place. Without singularities, you cannot talk about
shapes.Whenyouwriteasignature,ifthereisnocrossing,nosharppoint,it’sjust
a squiggle. It doesn’t make a signature.Many phenomena are interesting, or some-
times disastrous, because they have singularities. A singularity might be a crossing
or something suddenly changing direction. There are many things like that in the
world, and that’s why the world is interesting. Otherwise, it would be completely
flat. If everything were smooth, then there would be no novels or movies. The
world is interesting because of the singularities. Sometimes people say resolving
the singularities is a useless thing to do – it makes the world uninteresting! But,
technically it is quite useful, because when you have singularities, computation of
change becomes very complicated. If I can make some model that has no singular-
ities but that can be used as a computation for the singularity itself, then that’s
very useful. It’s like a magnifying glass. For smooth things, you can look from a
distance and recognize the shape. But when there is a singularity, you must come
closer and closer. If you have a magnifying glass, you can see better. Resolution of
singularitiesislikeamagnifyingglass.Actually,it’sbetterthanamagnifyingglass.
A very simple example is a roller coaster. A roller coaster does not have
singularities – if it did, you would have a problem! But if you look at the shadow
that the roller coaster makes on the ground, you might see cusps and crossings.
If you can explain a singularity as being the projection of a smooth object, then
computations become easier. Namely, when you have a problem with singularities
in evaluation or differentiation or whatever, you can pull back tothe smooth thing,
and there the calculation is much easier. So you pull back to the smooth object,
you do the computation or analysis, and then pull back to the original object to see
what it means in the original geometry.”
Heisuke Hironaka
Notices of the AMS, v. 52, no. 9.
The papers presented here are a selection of those submitted to the editors. They
are grouped into three categories:
The first set, dedicated to local singularity theory, starts with the notes of
the mini-courseonLagrangianandLegendrianSingularities,by V.Goryunovand
V. Zakalyukin, followed by the papers by F. Aroca, Valuations compatible with