Real and Abstract Analysis Kenneth Kuttler [email protected] January 17, 2021 2 Contents I Topology, Continuity, Algebra, Derivatives 13 1 Some Basic Topics 15 1.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 sup and inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8 The Hausdorff Maximal Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Metric Spaces 29 2.1 Open and Closed Sets, Sequences, Limit Points . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Cauchy Sequences, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Closure of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Separable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7 Continuity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.8 Lipschitz Continuity and Contraction Maps . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.9 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.10 Compactness in C(X,Y) Ascoli Arzela Theorem . . . . . . . . . . . . . 44 2.11 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.12 Partitions of Unity in Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Linear Spaces 57 3.1 Algebra in Fn, Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Subspaces Spans and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Inner Product and Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.1 The Inner Product in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Equivalence of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 Covering Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.1 Vitali Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.2 Besicovitch Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3 4 CONTENTS 4 Functions on Normed Linear Spaces 81 4.1 L(V,W) as a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 The Norm of a Linear Map, Operator Norm . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Continuous Functions in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5 Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.6 Functions of Many Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.7 A Generalization with Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . 90 4.8 An Approach to the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.9 The Stone Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 96 4.10 Connectedness in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.11 Saddle Points∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5 Fixed Point Theorems 109 5.1 Simplices and Triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2 Labeling Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.3 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4 The Schauder Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.5 The Kakutani Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6 The Derivative 131 6.1 Limits of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4 The Matrix of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.5 A Mean Value Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.6 Existence of the Derivative, C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.7 Higher Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.8 Some Standard Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.9 The Derivative and the Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.10 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.11 A Cofactor Identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.12 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7 Implicit Function Theorem 155 7.1 Statement and Proof of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.2 More Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.3 The Case of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.5 The Method of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.6 The Taylor Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.7 Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.8 The Rank Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.9 The Local Structure of C1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.10 Invariance of Domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 CONTENTS 5 II Integration 183 8 Abstract Measures and Measurable Functions 185 8.1 Simple Functions and Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.2 Measures and their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.3 Dynkin’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4 Measures and Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.5 Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.7 An Outer Measure on P(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.8 Measures From Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.9 When do the Measurable Sets Include Borel Sets? . . . . . . . . . . . . 204 8.10 One Dimensional Lebesgue Stieltjes Measure . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.11 Completion of a Measure Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.12 Vitali Coverings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.13 Differentiation of Increasing Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.15 Multifunctions and Their Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.15.1 The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.15.2 A Special Case When Γ(ω) Compact. . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.15.3 Kuratowski’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.15.4 Measurability of Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.15.5 Other Measurability Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9 The Abstract Lebesgue Integral 223 9.1 Definition for Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . 223 9.1.1 Riemann Integrals for Decreasing Functions . . . . . . . . . . . . 223 9.1.2 The Lebesgue Integral for Nonnegative Functions . . . . . . . . . 224 9.2 Nonnegative Simple Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.3 The Monotone Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.4 Other Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.5 Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.6 The Integral’s Righteous Algebraic Desires . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.7 The Lebesgue Integral, L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.8 The Dominated Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.9 Some Important General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.9.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.9.2 The Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.10 One Dimensional Lebesgue Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.11 The Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.12 Good Lambda Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.13 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.14 Abstract Product Measures and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10 Regular Measures 255 10.1 Regular Measures in a Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.2 Differentiation of Radon Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.2.1 Maximal Functions, Fundamental Theorem of Calculus . . . . . 257 10.2.2 Symmetric Derivative for Radon Measures . . . . . . . . . . . . . 260 10.2.3 Radon Nikodym Theorem for Radon Measures . . . . . . . . . . 262 10.2.4 Absolutely Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 6 CONTENTS 10.3 Constructing Measures from Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.4 The p Dimensional Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 10.6 Change of Variables, Linear Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.7 Differentiable Functions and Measurability. . . . . . . . . . . . . . . . . 282 10.8 Change of Variables, Nonlinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 10.9 Mappings which are not One to One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.10Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 11 Integration on Manifolds∗ 295 11.1 Relatively Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 11.2 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 11.3 The Area Measure on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.5 Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 11.6 Volumes of Balls in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 12 The Lp Spaces 309 12.1 Basic Inequalities and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 12.2 Density Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 12.4 Continuity of Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 12.5 Mollifiers and Density of Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 318 12.6 Smooth Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 12.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 13 Degree Theory 327 13.1 Sard’s Lemma and Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.2 Properties of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.3 Borsuk’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 13.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 13.5 Product Formula, Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 345 13.6 The Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 13.7 Uniqueness of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 13.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 14 Hausdorff Measure 359 14.1 Lipschitz Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 14.2 Lipschitz Functions and Gateaux Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 359 14.3 Rademacher’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 14.4 Weak Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 14.5 Definition of Hausdorff Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 14.5.1 Properties of Hausdorff Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 14.6 Hp and m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 p 14.7 Technical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 14.7.1 Steiner Symmetrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 14.7.2 The Isodiametric Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 14.8 The Proper Value of β(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 14.8.1 A Formula for α(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 CONTENTS 7 15 The Area Formula 379 15.1 Estimates for Hausdorff Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 15.2 Comparison Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 15.3 A Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 15.4 Estimates and a Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 15.5 The Area Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 15.6 Mappings that are Not One to One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 15.7 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 15.8 The Reynolds Transport Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 15.9 The Coarea Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 15.10Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 16 Orientation in Higher Dimensions 413 16.1 The Wedge Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 16.2 The Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 16.3 Stoke’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 16.4 Green’s Theorem and Stokes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 16.5 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 16.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 III Abstract Theory 437 17 Hausdorff Spaces And Measures 439 17.1 General Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 17.2 The Alexander Sub-basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 17.3 Stone Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 17.3.1 The Case of Locally Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 17.3.2 The Case of Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . 447 17.4 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 17.5 Measures on Hausdorff Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 17.6 Measures and Positive Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 17.7 Slicing Measures∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 17.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 18 Product Measures 467 18.1 Measure on Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 18.2 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 18.3 Caratheodory Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 18.4 Kolmogorov Extension Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 18.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 19 Banach Spaces 479 19.1 Theorems Based on Baire Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 19.1.1 Baire Category Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 19.1.2 Uniform Boundedness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 19.1.3 Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 19.1.4 Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 19.2 Hahn Banach Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 19.2.1 Partially Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 19.2.2 Gauge Functions and Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . 486 19.2.3 The Complex Version of the Hahn Banach Theorem . . . . . . . 487 19.2.4 The Dual Space and Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . 488 8 CONTENTS 19.3 Uniform Convexity of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 19.4 Closed Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 19.5 Weak And Weak ∗ Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 19.5.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 19.5.2 Banach Alaoglu Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 19.5.3 Eberlein Smulian Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 19.6 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 20 Hilbert Spaces 513 20.1 Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 20.2 The Hilbert Space L(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 20.3 Approximations in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 20.4 Orthonormal Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 20.5 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 20.5.1 Compact Operators in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . 523 20.5.2 Nuclear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 20.5.3 Hilbert Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 20.6 Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 20.7 Ordinary Differential Equations in Banach Space . . . . . . . . . . . . . 536 20.8 Fractional Powers of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 20.9 General Theory of Continuous Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 20.9.1 An Evolution Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 20.9.2 Adjoints, Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 20.9.3 Adjoints, Reflexive Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 20.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 21 Representation Theorems 567 21.1 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 21.2 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 21.3 Representation for the Dual Space of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 21.4 The Dual Space of L∞(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 21.5 Non σ Finite Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 21.6 The Dual Space of C (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 0 21.6.1 Extending Righteous Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 21.6.2 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 21.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 22 Fourier Transforms 591 22.1 Fourier Transforms of Functions In G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 22.2 Fourier Transforms of just about Anything . . . . . . . . . . . . . . . . 594 22.2.1 Fourier Transforms of G∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 22.2.2 Fourier Transforms of Functions in L1(Rn) . . . . . . . . . . . . 597 22.2.3 Fourier Transforms Of Functions In L2(Rn) . . . . . . . . . . . . 600 22.2.4 The Schwartz Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 22.2.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 22.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 CONTENTS 9 23 The Bochner Integral 611 23.1 Strong and Weak Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 23.1.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 23.2 The Bochner Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 23.2.1 Definition and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 23.2.2 Taking a Closed Operator Out of the Integral . . . . . . . . . . . 624 23.3 Operator Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 23.3.1 Review of Hilbert Schmidt Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 629 23.3.2 Measurable Compact Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 23.4 Fubini’s Theorem for Bochner Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 23.5 The Spaces Lp(Ω;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 23.6 Measurable Representatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 23.7 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 23.8 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 23.8.1 An Example of Polish Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 23.9 Pointwise Behavior of Weakly Convergent Sequences . . . . . . . . . . . 655 23.10Some Embedding Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 23.11Conditional Expectation in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 23.12Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 A Review of Some Linear Algebra 673 A.1 The Matrix of a Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 A.2 Block Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 A.3 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 A.4 Hermitian and Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 A.5 The Right Polar Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 A.6 Elementary matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 A.7 The Row Reduced Echelon Form Of A Matrix. . . . . . . . . . . . . . . 689 A.8 Finding the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 A.9 The Mathematical Theory of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . 695 A.9.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 A.9.2 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 A.9.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 A.9.4 Basic Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 700 A.9.5 Expansion Using Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 A.9.6 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 A.9.7 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 A.9.8 Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 A.9.9 An Identity of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 A.10The Cayley Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 B Stone’s Theorem and Partitions of Unity 711 B.1 Partitions of Unity and Stone’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 B.2 An Extension Theorem, Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 Copyright (cid:13)c 2018, You are welcome to use this, including copying it for use in classesorreferringtoitonlinebutnottopublishitformoney. Idoconstantlyupgrade it when I find errors or things which could be improved, and I am constantly finding such things. 10 CONTENTS