Real and Abstract Analysis

730 Pages·2021·4.674 MB·English

by  Kenneth Kuttler

Real and Abstract Analysis
Kenneth Kuttler [email protected]
January 17, 2021
2
Contents
I Topology, Continuity, Algebra, Derivatives 13
1 Some Basic Topics 15
1.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 sup and inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 The Hausdorff Maximal Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Metric Spaces 29
2.1 Open and Closed Sets, Sequences, Limit Points . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Cauchy Sequences, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Closure of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Separable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Continuity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Lipschitz Continuity and Contraction Maps . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10 Compactness in C(X,Y) Ascoli Arzela Theorem . . . . . . . . . . . . . 44
2.11 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.12 Partitions of Unity in Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Linear Spaces 57
3.1 Algebra in Fn, Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Subspaces Spans and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Inner Product and Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 The Inner Product in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Equivalence of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Covering Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1 Vitali Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.2 Besicovitch Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
4 CONTENTS
4 Functions on Normed Linear Spaces 81
4.1 L(V,W) as a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 The Norm of a Linear Map, Operator Norm . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Continuous Functions in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Functions of Many Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7 A Generalization with Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 An Approach to the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.9 The Stone Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10 Connectedness in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.11 Saddle Points∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Fixed Point Theorems 109
5.1 Simplices and Triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Labeling Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 The Schauder Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 The Kakutani Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 The Derivative 131
6.1 Limits of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 The Matrix of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5 A Mean Value Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 Existence of the Derivative, C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.7 Higher Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.8 Some Standard Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.9 The Derivative and the Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.10 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.11 A Cofactor Identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.12 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7 Implicit Function Theorem 155
7.1 Statement and Proof of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2 More Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3 The Case of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5 The Method of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.6 The Taylor Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.7 Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.8 The Rank Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.9 The Local Structure of C1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.10 Invariance of Domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
CONTENTS 5
II Integration 183
8 Abstract Measures and Measurable Functions 185
8.1 Simple Functions and Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.2 Measures and their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.3 Dynkin’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.4 Measures and Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5 Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.7 An Outer Measure on P(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.8 Measures From Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.9 When do the Measurable Sets Include Borel Sets? . . . . . . . . . . . . 204
8.10 One Dimensional Lebesgue Stieltjes Measure . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.11 Completion of a Measure Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.12 Vitali Coverings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.13 Differentiation of Increasing Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.15 Multifunctions and Their Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.15.1 The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.15.2 A Special Case When Γ(ω) Compact. . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.15.3 Kuratowski’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.15.4 Measurability of Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.15.5 Other Measurability Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9 The Abstract Lebesgue Integral 223
9.1 Definition for Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . 223
9.1.1 Riemann Integrals for Decreasing Functions . . . . . . . . . . . . 223
9.1.2 The Lebesgue Integral for Nonnegative Functions . . . . . . . . . 224
9.2 Nonnegative Simple Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.3 The Monotone Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.4 Other Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.5 Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.6 The Integral’s Righteous Algebraic Desires . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.7 The Lebesgue Integral, L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.8 The Dominated Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.9 Some Important General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.9.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.9.2 The Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.10 One Dimensional Lebesgue Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.11 The Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.12 Good Lambda Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.13 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.14 Abstract Product Measures and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10 Regular Measures 255
10.1 Regular Measures in a Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.2 Differentiation of Radon Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.2.1 Maximal Functions, Fundamental Theorem of Calculus . . . . . 257
10.2.2 Symmetric Derivative for Radon Measures . . . . . . . . . . . . . 260
10.2.3 Radon Nikodym Theorem for Radon Measures . . . . . . . . . . 262
10.2.4 Absolutely Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6 CONTENTS
10.3 Constructing Measures from Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.4 The p Dimensional Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.6 Change of Variables, Linear Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.7 Differentiable Functions and Measurability. . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10.8 Change of Variables, Nonlinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.9 Mappings which are not One to One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.10Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11 Integration on Manifolds∗ 295
11.1 Relatively Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.2 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.3 The Area Measure on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.5 Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.6 Volumes of Balls in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12 The Lp Spaces 309
12.1 Basic Inequalities and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.2 Density Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
12.3 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
12.4 Continuity of Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12.5 Mollifiers and Density of Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.6 Smooth Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13 Degree Theory 327
13.1 Sard’s Lemma and Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13.2 Properties of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
13.3 Borsuk’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
13.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
13.5 Product Formula, Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 345
13.6 The Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.7 Uniqueness of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
13.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14 Hausdorff Measure 359
14.1 Lipschitz Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.2 Lipschitz Functions and Gateaux Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.3 Rademacher’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
14.4 Weak Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.5 Definition of Hausdorff Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
14.5.1 Properties of Hausdorff Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
14.6 Hp and m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
p
14.7 Technical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
14.7.1 Steiner Symmetrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.7.2 The Isodiametric Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
14.8 The Proper Value of β(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
14.8.1 A Formula for α(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
CONTENTS 7
15 The Area Formula 379
15.1 Estimates for Hausdorff Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
15.2 Comparison Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
15.3 A Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
15.4 Estimates and a Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
15.5 The Area Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
15.6 Mappings that are Not One to One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
15.7 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
15.8 The Reynolds Transport Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
15.9 The Coarea Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
15.10Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
16 Orientation in Higher Dimensions 413
16.1 The Wedge Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
16.2 The Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
16.3 Stoke’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.4 Green’s Theorem and Stokes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
16.5 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
16.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
III Abstract Theory 437
17 Hausdorff Spaces And Measures 439
17.1 General Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
17.2 The Alexander Sub-basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
17.3 Stone Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
17.3.1 The Case of Locally Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
17.3.2 The Case of Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . 447
17.4 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
17.5 Measures on Hausdorff Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
17.6 Measures and Positive Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
17.7 Slicing Measures∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
17.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
18 Product Measures 467
18.1 Measure on Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
18.2 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
18.3 Caratheodory Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
18.4 Kolmogorov Extension Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
18.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
19 Banach Spaces 479
19.1 Theorems Based on Baire Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
19.1.1 Baire Category Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
19.1.2 Uniform Boundedness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
19.1.3 Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
19.1.4 Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
19.2 Hahn Banach Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
19.2.1 Partially Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
19.2.2 Gauge Functions and Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . 486
19.2.3 The Complex Version of the Hahn Banach Theorem . . . . . . . 487
19.2.4 The Dual Space and Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . 488
8 CONTENTS
19.3 Uniform Convexity of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
19.4 Closed Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
19.5 Weak And Weak ∗ Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
19.5.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
19.5.2 Banach Alaoglu Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
19.5.3 Eberlein Smulian Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
19.6 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
20 Hilbert Spaces 513
20.1 Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
20.2 The Hilbert Space L(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
20.3 Approximations in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
20.4 Orthonormal Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
20.5 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
20.5.1 Compact Operators in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . 523
20.5.2 Nuclear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
20.5.3 Hilbert Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
20.6 Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
20.7 Ordinary Differential Equations in Banach Space . . . . . . . . . . . . . 536
20.8 Fractional Powers of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
20.9 General Theory of Continuous Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
20.9.1 An Evolution Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
20.9.2 Adjoints, Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
20.9.3 Adjoints, Reflexive Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
20.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
21 Representation Theorems 567
21.1 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
21.2 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
21.3 Representation for the Dual Space of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
21.4 The Dual Space of L∞(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
21.5 Non σ Finite Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
21.6 The Dual Space of C (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
0
21.6.1 Extending Righteous Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
21.6.2 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
21.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
22 Fourier Transforms 591
22.1 Fourier Transforms of Functions In G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
22.2 Fourier Transforms of just about Anything . . . . . . . . . . . . . . . . 594
22.2.1 Fourier Transforms of G∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
22.2.2 Fourier Transforms of Functions in L1(Rn) . . . . . . . . . . . . 597
22.2.3 Fourier Transforms Of Functions In L2(Rn) . . . . . . . . . . . . 600
22.2.4 The Schwartz Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
22.2.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
22.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
CONTENTS 9
23 The Bochner Integral 611
23.1 Strong and Weak Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
23.1.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
23.2 The Bochner Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
23.2.1 Definition and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
23.2.2 Taking a Closed Operator Out of the Integral . . . . . . . . . . . 624
23.3 Operator Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
23.3.1 Review of Hilbert Schmidt Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 629
23.3.2 Measurable Compact Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
23.4 Fubini’s Theorem for Bochner Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
23.5 The Spaces Lp(Ω;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
23.6 Measurable Representatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
23.7 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
23.8 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
23.8.1 An Example of Polish Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
23.9 Pointwise Behavior of Weakly Convergent Sequences . . . . . . . . . . . 655
23.10Some Embedding Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
23.11Conditional Expectation in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
23.12Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A Review of Some Linear Algebra 673
A.1 The Matrix of a Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
A.2 Block Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
A.3 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
A.4 Hermitian and Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
A.5 The Right Polar Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
A.6 Elementary matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
A.7 The Row Reduced Echelon Form Of A Matrix. . . . . . . . . . . . . . . 689
A.8 Finding the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
A.9 The Mathematical Theory of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . 695
A.9.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
A.9.2 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.9.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
A.9.4 Basic Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 700
A.9.5 Expansion Using Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
A.9.6 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
A.9.7 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
A.9.8 Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
A.9.9 An Identity of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
A.10The Cayley Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
B Stone’s Theorem and Partitions of Unity 711
B.1 Partitions of Unity and Stone’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
B.2 An Extension Theorem, Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
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10 CONTENTS