(re) construção do conceito de limite do cálculo para a análise

134 Pages·2011·3.31 MB·Portuguese

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Lílian Isabel Ferreira Amorim

A (RE) CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE LIMITE
DO CÁLCULO PARA A ANÁLISE:
UM ESTUDO COM ALUNOS DO CURSO DE
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

OURO PRETO

2011
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Lílian Isabel Ferreira Amorim

A (re)construção do conceito de Limite
do Cálculo para a Análise:
Um estudo com alunos do curso de
Licenciatura em Matemática

Dissertação apresentada à Banca Examinadora,
como exigência parcial à obtenção do Título de
Mestre em Educação Matemática pelo Mestrado
Profissional em Educação Matemática da
Universidade Federal de Ouro Preto, sob
orientação do Prof. Dr. Frederico da Silva Reis.

OURO PRETO

2011
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A524r Amorim, Lílian Isabel Ferreira.
A (re)construção do conceito de limite do cálculo para a análise [manuscrito] :

um estudo com alunos do curso de licenciatura em matemática / Lílian Isabel

Ferreira Amorim. – 2011.
133 f.: il., color.; graf.; tabs.; quadros.

Orientador: Prof. Dr. Frederico da Silva Reis.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de

Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática.
Área de concentração: Educação Matemática.

1. Matemática - Estudo e ensino - Teses. 2. Cálculo - Estudo e ensino - Teses.
3. Cálculo diferencial - Teses. 4. Limites - Teses. 5. Ensino superior - Teses.

I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.

CDU: 517.272:378.147

Catalogação: [email protected]
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Mestrado Profissional em Educação Matemática

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

A (re)construção do conceito de Limite
do Cálculo para a Análise:
Um estudo com alunos do curso de
Licenciatura em Matemática

Autor: Lílian Isabel Ferreira Amorim
Orientador: Frederico da Silva Reis

Este exemplar corresponde à redação final da Dissertação
defendida por Lílian Isabel Ferreira Amorim e aprovada
pela Comissão Examinadora.
Data: 26 de agosto de 2011

Assinatura:............................................................................................
Orientador

COMISSÃO EXAMINADORA:

______________________________________________
Prof. Dr. Carlos Alberto Santana Soares (UFJF)
_______________________________________________
Profª. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana (UFOP)
2011
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Ao meu filho Samuel Ferreira
Amorim, por tudo que me ensina
e por tudo o que há de aprender.
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AGRADECIMENTOS

A Deus, princípio e fim de todas as coisas, por me permitir chegar
até aqui!

Aos meus pais, Vicente e Joaninha, gênese de toda a minha vida,
responsáveis pela pessoa que sou hoje. Obrigada pela dedicação,
pelo incentivo e pelas orações constantes.

Ao meu esposo, Jeremias, pelo companheirismo, fazendo valer a
expressão do latim cum paines, aquele que divide o pão, neste caso
especial, o pão saboroso da descoberta e o pão amargo da ausência.
Amo você!

Aos meus irmãos: Claudenise, César e Nara, pelo apoio, pelo
desejo sincero de que tudo desse certo. Obrigada!

Aos sobrinhos, cunhados, tios, primos e amigos, obrigada pela
torcida!

Às babás: Dona Cleide, Benta e Dany, a quem confiei Samuel, o
meu bem mais precioso. Obrigada porque foram a extensão do meu
olhar, do meu braço e do meu colo...

Ao professor, orientador, amigo, Frederico da Silva Reis,
parafraseando Isaac Newton, “se cheguei até aqui, foi porque me
apoiei sobre os ombros de gigantes”. Obrigada porque, há quase
dez anos, você me fez acreditar que seria possível ir mais longe e,
hoje, eu lhe agradeço todos os ensinamentos, não só matemáticos,
mas além. Obrigada pelas lições de vida!
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Kelly, obrigada por tudo, pelo convívio, pelas partilhas, pelos
estudos, com certeza, tudo isso fez esta caminhada mais agradável!
A sua amizade foi o presente mais precioso deste percurso.

Aos amigos Daniel e Osvaldo, integrantes do “Quarteto
Fantástico”, a amizade construída nessa trajetória. Aprendi muito
com vocês!

A todos os colegas da minha turma e das outras turmas que tive a
grata satisfação de conviver, obrigada pelo companheirismo.

Alexandre e Carmem, passageiros da mesma estrada, longa estrada!
506 km para ser mais precisa, suficiente para partilharmos risos,
lágrimas, saudades, histórias, VIDA, suficiente para fazer de nós
bons amigos.

Ao ISEIB, colegas e alunos, agradeço a oportunidade da realização
deste trabalho e a contribuição valiosa no meu crescimento pessoal
e profissional.

À coordenadora do Mestrado, Ana Cristina Ferreira, cuja dedicação
e presteza são essenciais para o bom êxito do Programa e para o
nosso desenvolvimento profissional. Obrigada pelo exemplo!

A todos os professores do Mestrado que contribuíram para minha
formação profissional.

A Carlos Soares e Marger Viana, agradeço as importantes
contribuições dadas ao meu trabalho e, de maneira geral, a valiosa
contribuição à Educação Matemática.

À UFOP pelos mais de 170 anos dedicados à educação, me sinto
honrada em fazer parte dessa história, obrigada!
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RESUMO

Esta pesquisa discutiu, de forma geral, o ensino de Cálculo e de Análise na perspectiva da
Educação Matemática Superior e, especificamente, investigou o papel das imagens
conceituais e definições conceituais para a aprendizagem de Limites de Funções Reais de
uma Variável. A natureza da pesquisa priorizou os aspectos qualitativos, preponderantes
sobre os aspectos quantitativos. A pesquisa justifica-se já que diversos trabalhos vêm
evidenciando os obstáculos epistemológicos em relação ao conceito de limite e ainda, a
necessidade de se realizarem pesquisas que discutam a transição do Cálculo para a Análise.
Formulamos a seguinte questão de investigação: Como uma proposta de ensino, baseada
nas imagens conceituais, relacionadas ao conceito de limite de uma função, (re)construídas
por alunos do curso de Licenciatura em Matemática, após cursarem Análise Real, pode
contribuir para a aprendizagem desses alunos? O referencial teórico foi primordialmente
baseado nos trabalhos de David Tall, Shlomo Vinner, Bernard Cornu, Márcia Pinto e
Frederico Reis. As atividades foram realizadas pelos sujeitos de pesquisa, alunos do curso
de Licenciatura em Matemática, dentro da disciplina Análise Real. A pesquisa teórico-
bibliográfica contemplou o ensino de Cálculo e de Análise e o Pensamento Matemático
Avançado. Apresentamos também a abordagem do conceito de limites em livros didáticos
de Cálculo e Análise utilizados em cursos de Licenciatura em Matemática de universidades
mineiras e ainda elaboramos um conjunto de atividades didáticas realizadas com alunos do
curso de Licenciatura em Matemática, em uma disciplina de Fundamentos de Análise Real.
As considerações finais do nosso trabalho apontam que uma proposta de ensino, baseada
nas imagens conceituais dos alunos, pode contribuir para que o Professor de Análise
entenda e situe o momento e a aprendizagem de seus alunos; perceba a importância de
identificar e desconstruir imagens conceituais equivocadas e/ou conflitantes; reconheça a
necessidade de (re)construir imagens conceituais coerentes e que explorem elementos
intuitivos; trabalhe na perspectiva de se construir definições conceituais de acordo com as
definições formais; repense a prática pedagógica e planeje as ações; incentive uma postura
mais crítica e ativa nos alunos e, assim, contribua para desmistificar o “horror” à Análise.

PALAVRAS-CHAVE: Limites. Imagens e Definições Conceituais. Ensino de Cálculo e
de Análise. Educação Matemática no Ensino Superior.
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ABSTRACT

This research discussed in general, the teaching of calculus and analysis in the perspective
of the Mathematics Education in college and investigated the role of the conceptual images
and the conceptual definitions for learning the Limits of Real Functions of one Variable.
The research prioritized the qualitative aspects prevailing on the quantitative aspects. This
research is justified just because many studies have evidenced the epistemological
obstacles about the concept of limit and the necessity of doing researches that discuss the
transition from Calculus to Analysis. We formulated the question: How can a teaching
proposal based on concept images related to the concept of a function, (re) created by
students of the Bachelor´s degree in Mathematics, after attending the Real analysis, can
contribute to the learning of these students? The authors analyzed were David Tall, Shlomo
Vinner, Bernard Cornu, Márcia Pinto and Frederico Reis. The activities were developed by
the researches, students of the Bachelor´s Degree in Mathematics, in the Real Analysis
subject. The theoretical and research literature has included the teaching of Calculus and
Analysis, and the Advanced Mathematical Thinking. We also present the approach of the
concept of limits in textbooks used in Calculus and Analysis Degree Courses in
Mathematics at Universities in “Minas Gerais” and developed a set of didactic activities
with students from Bachelor´s Degree in Mathematics, in the Fundamentals of Real
Analysis subject. The final considerations indicate that a proposal based on teaching
students the concept images can help the teacher understand and verify the time and the
students learning, and realize the importance of identifying and deconstructing conceptual
misguided images and/or conflictants, and recognize the necessity of (re)create conceptual
consistent images and explore intuitive elements, as well as working in the perspective of
creating conceptual definitions according to the formal definitions, rethink their practice
and plan their actions, encourage a more critical and active in their students and thus
contribute to demystify the “horror” of the Analysis.

KEYWORDS: Limits. Images and Conceptual definitions. Teaching Calculus and
Analysis. Higher Mathematics Education.
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Lista de Quadros

1. Quadro 1 – Questão 1 – item a .......................................................................................92
2. Quadro 2 – Questão 1 – item b .......................................................................................92
3. Quadro 3 – Questão 2 – itens a, b, c, d, e .......................................................................94
4. Quadro 4 – Questão 3 – itens a, b, c, d, e .......................................................................96
5. Quadro 5 – Questão 5.1.................................................................................................103
6. Quadro 6 – Questão 5.2.................................................................................................103
7. Quadro 7 – Questão 6 – item a .....................................................................................105
8. Quadro 8 – Questão 6 – item b .....................................................................................105
9. Quadro 9 – Atividade 2 – Questão 2.1.........................................................................112
10. Quadro 10 – Atividade 2 – Questão 2.2 .....................................................................113