Randwertaufgaben der Funktionentheorie: Mit Anwendungen auf singuläre Integralgleichungen und Schwingungsprobleme der mathematischen Physik PDF
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Erhard Meisler Randwerlaufgaben der FunkLionentheorie Leitfäden der angewandten Mathematik nnd Mechanik Unter Mitwirkung von Prof. Dr. E. Becker, Darmstadt Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. P. Kali, Zürich Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Prof. Dr. Dr. h. c. F. K. G. Odqvist, Stockholm herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. H. Görtler, Freiburg Band 59 B. G. Teubner Stuttgart Randwertaufgaben der Funktionentheorie Mit Anwendungen auf singuläre Integralgleichungen und Schwingungsprobleme der mathematisch en Physik Von Dr. rer. nat. Erhard Meisler Professor an der Technischen Hochschule DarmSladl Mil 67 Figuren B. G. Teubner Stuttgart 1983 Prof. Dr. rer. nat. Erhard Meister Geboren 1930 in Bernburg/Saale. Studium der Mathematik, Physik und Astronomie an den Universitäten Heidelberg und Saarbrüeken. 1956 Di plom in Heidelberg, 1958 Promotion und 1%3 Habilitation in Saar brüeken. Von 1958 bis 1964 Assistent und von 1964 bis 1966 Dozent in Saarbrüeken. 1965/66 Lehrstuhlvertretung an der TU Berlin, 1%6 Gastdo zent an der University of Strathclyde in Glasgow. 1966 bis 1970 o. Profes sor an der TU Berlin, 1970 bis 1974 an der Universität Tübingen und ab 1974 an der TH Darmstadt. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Meister , Erhard: Randwertaufgaben der Funktionentheorie : mit An wendungen auf singuläre Integralgleichungen u. Schwingungsprobleme d. math. Physik / von Erhard Meister. - Stuttgart: Teubner, 1983. (Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik; Bd. 59) ISBN 978-3-322-99819-4 ISBN 978-3-322-99818-7 (eBook) DOl 10.1007/978-3-322-99818-7 NE:GT Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, beson ders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäB § 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © B. G. Teubner, Stuttgart 1983 Softcover reprint of the hardcover Ist edition 1983 Gesamtherstellung: Passavia Druckerei GmbH, Passau - 5 - Meinen Söhnen Frithjof und Olaf zu ihrem Abitur gewidmet Vorwort Dieses Buch ist eine Einführung in die funktionentheoretischen Methoden, mit denen sich Randwertprobleme der ebenen Potentialtheorie und allge meinere Kopplungsprobleme für stückweise holomorphe Funktionen lösen lassen. Die Theorie singulärer Integralgleichungen mit Cauchyschem Haupt wert und anderer Klassen läBt sich wie in den klassischen Arbeiten und Büchern von N.l. Mus h k hel i s h v i 1 i, F.D. Gak h 0 v, N.P. V e k u a durch Rückführung auf das Riemannsché Kopplungsproblem aufbauen. Aber auch nach Anwendung der Fourier- oder Laplace-Transfor mat ion können Integralgleichungen vom Wiener-Hopf-Typ oder geroischte Randwertprobleme für die Helmholtzsche Schwingungsgleichung auf derarti ge funktionentheoretische Kopplungsprobleme zurückgeführt werden. Es ist das Ziel des Buches, im ersten Kapitel dem Leser die Grundtat sachen der Funktionentheorie einer komplexen Variablen einschlieBlich ihres geometrischen Aspekts der konformen Abbildungen so zu vermitteln, daB die einfachsten Randwertaufgaben der Potentialtheorie explizit ge löst werden können. Die Transformation der allgemeinen Poincareschen Randwertaufgaben unter konformer Abbildung wird dann ebenfalls darge legt. Im zweiten und dritten Kapitel werden die Hilfsmittel über Integrale vom Cauchy-Typus und deren Randverhalten bei Annäherung an die Integrations kurve und deren Endpunkte untersucht. Das klassische lineare Riemannsche Kopplungsproblem wird dann formuliert und sukzessiv, beginnend mit dem inhomogenen Sprungwertproblem, gelöst. Das homogene Kopplungsproblem führt formal durch Logarithmieren auf ein Sprungwertproblem. Aber es stellt sich dabei das Problem, daB der Logarithmus des Kopplungskoeffi zienten auf einer geschlossenen Jordankurve i.a. nicht eindeutig ist. Die Änderung des Arguments bei einem vollen Umlauf definiert den sog. "Windungainde:x:". der sich als fundamentaler Begriff der Theorie und ihrer Anwendungen herausstellt und eine Aussage über die Lösungsraum dimension bzw. die Zahl der zu erfüllenden Nebenbedingungen gestattet. Die Ergebnisse sind klassisch und schon in den Büchern der genannten sowjetischen Autoren enthalten, umfassen aber auch periodische und kom binierte Probleme. Ein Schwerpunkt des vorliegenden Buches liegt jedoch in den Anwendungen der Funktionentheorie auf die Behandlung ebener Strö mungen reibungsfreier Fluide. Hier soll an dem komplizierteren problem der Umströmung eines instationär bewegten Profils im freien Raum bzw. im Gitterverband die Stärke der direkten funktionentheoretischen Metho den demonstriert werden. - 6 - Nach Anwendung der komplexen Fouriertransformation läBt sich der Wir kungsbereich der funktionentheoretischen Methode erheblich erweitern. Das klassische Beispiel hierzu ist das sog. "Sommerfeldsahe Halbebenen problem" und die Integralgleichung, die von Wiener & Hopf 1931 zum ersten Male studiert wurde. Entscheidend bei der sog. "Wiener-Hopf-Me thode" ist dabei die multiplikative - "Faktorisierung" - und additive Zerlegung von in Streifen holomorphen Funktionen. Viele Randwertaufgaben der Mikrowellenphysik und der Wasserwellentheorie wurden in den Vierzi ger- und Fünfziger Jahren u.a. von A.E. Heins und vielen anderen Autoren erfolgreich damit behandelt. Vom theoretischen abstrakten Standpunkt aus ist die Wiener-Hopf-Methode der fundamentale Baustein für die moderne allgemeine Theorie gemischter Randwertprobleme für Pseudo-Differential-Gleichungen. Insofern möge das vorliegende Buch, das sich an Studierende in mittleren Semestern und Praktiker wendet, die diese Methoden auch an konkreten Beispielen erler nen wollen, wie sie im nun klassischen Buch 1958 von B. Nob 1 e be handelt werden, neue Interessenten für die funktionentheoretischen Me thoden gewinnen. Das Manuskript besitzt eine lange - vielleicht zu lange - Vorgeschichte, die mit einer Vorlesung über einen Teil des Gegenstands in englischer Sprache an der University of Strathclyde im Sommersemester 1966 begann. Herrn Professor O.c. Pack sei auch an dieser Stelle gedankt für die Gast dozentur, die dem Autor damals in Glasgow gewährt wurde. In verschiedenen Versionen hat der Verfasser dann an der Technischen Universität Berlin, der Universität TÜbingen und an der Technischen Hochschule Darmstadt in Vorlesungsreihen über den Gegenstand des Buches vorgetragen. Viele Anregungen verdankt der Autor seinen Mitarbeitern und manchem Kol legen. Besonders genannt seien die Herren Dr. F.-O. Speek und Dipl.-Math. G. Thelen, die bei der Abfassung von Skripten mitwirkten und der Durch sicht des Manuskripts viele Stunden bereitwillig opferten. Herr Speek hat auch viele Zeichnungen angefertigt, sowie wesentliche Beiträge zur Theorie des schwingenden Einzelflügels beigesteuert. Das mehrfache Schreiben des Manuskripts war mühsam und schien kein Ende zu nehmen. Hier gilt mein groBer Dank meinen Sekretärinnen Frau C. Karl und D. Lohrer, die schlieBlich die vervielfältigungsreife Vorlage mit der Maschine sehr sorgfältig schrieb. Fräulein cand.math. B. Becker danke ich für das Korrekturlesen und das Anfertigen des Sach-, Figuren und Symbolverzeichnisses im endgültigen Manuskript. Darmstadt, im Juli 1983 Erhard Meister - 7 - Inhalt Kapitel 1: Holomorphe und harmonische Funktionen 9 1.1. Einleitung 9 1.2. Ergebnisse der elementaren Funktionentheorie 12 1.3. Einige mehrdeutige analytische Funktionen 31 1.4. Harmonische Funktionen in der Ebene 37 1.5. Konforme Abbildung 49 1.6. Konforme Abbildung und Randwertprobleme für 61 harmonische Funktionen 1.7. Folgen, Reihen und Familien holomorpher Funktionen 74 Kapitel 2: Randverhalten analytischer Funktionen 84 2.1. Integrale vom Cauchy-Typus 84 2.2. Randwerte von Integralen vom Cauchy-Typus 95 2.3. Einfache Anwendungen der Plemelj-Sochozki-Formeln 11 5 Kapitel 3: Riemannsche Kopplungsprobleme und Randwertprobleme 122 für holomorphe Funktionen 3.1. Das Riemannsche Kopplungsproblem für Systeme 122 geschlossener Kurven 3.1.1. Formulierung des allgemeinen problems 122 3.1.2. Das einfache Sprungwertproblem 123 3.1.3. Das homogene Kopplungsproblem • Index 124 3.1.4. Das inhomogene Kopplungsproblem 131 3.2. Das Riemannsche Kopplungsproblem für Bögen und 135 unstetige Koeffizienten 3.3. Periodische Riemannsche Kopplungsprobleme 145 3.4. Allgemeine Kopplungsprobleme für holomorphe 1 51 Funktionen 3.5. Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem 157 3.6. Das kombinierte Riemann-Hilbertsche Kopplungs 169 Randwertproblem - 8 - Kapitel 4: Singuläre Integralgleichungen 173 4.1. Anwendungen auf singuläre Integralgleichungen vom 173 Cauchy-Hauptwert-Typ 4.2. Integralgleichungen vom Abel- und Logarithmustyp 186 4.3. Grundlagen der Fourier- und Laplace-Transformation 196 4.4. Anwendung auf Integralgleichungen vom Faltungstyp 202 Kapitel 5: Anwendungen auf probleme der Strömungsmechanik 212 5.1. Die Grundgleichungen der Hydromechanik 212 5.2. Einfache ebene Potentialströmungen 218 5.3. Ebene Strörnung eines inkompressiblen Gases urn ein 234 instationär bewegtes, dünnes Profil 5.4. Strömung eines inkompressiblen Gases durch ein Gitter 242 schwingender, dünner Profile Kapitel 6: Einige Randwertprobleme aus der Schwingungstheorie 258 6.1. Das Sommerfeldsche Halbebenenproblem 258 6.2. Das sChwingende dünne Profil in einer kompressiblen 269 Unterschallströmung 6.3. Beugung ebener elektromagnetischer Wellen an Systemen 283 von dünnen, parallelen Platten Literaturverzeichnis 300 Symbolverzeichnis 310 Verzeichnis der Definitionen 311 Verzeichnis der Lemmata, Sätze und Korollare 312 Figurenverzeichnis 314 Sachverzeichnis 316 - 9 - KAPITEL 1: HOLOHORPHE UND HARMONISCHE FUNKTIONEN 1.1. Einleitung Viele probleme der mathematischen Physik und der Ingenieurwissenschaften führen auf die sogen. Potentialgleichung 60 = 0 oder auf die allgemei nere Helmholtzsche Schwingungsgleichung {6+k2)0 = O. So genügt beispielsweise das elektrische. Potential, das Geschwindig keitspotential einer wirbelfreien Strömung eines inkompressiblen, rei bungsfreien Gases oder das zeitlich nicht veränderliche Temperaturfeld in einem Körper der homogenen Potentialgleichung. Zeitlich stationäre (eingeschwungene) Wellenvorgänge wie beispielsweise in der Akustik, Elektrodynamik (Mikrowellenausbreitung) oder Elastodynamik resultieren in sogen. Randwertproblemen zur skalaren oder vektoriellen Schwingungs gleichung, die durch Abspaltung des Zeitfaktors e-iwt vom Wellenpo- tential, d.h. ~(x,y,z,t) = ~{x,y,z)e-iwt, aus der d'Alembertschen Wel- o2~ lengleichung --- = 0 entsteht. ot2 In der Theorie elastischer Körper treten als Verallgemeinerungen der ge nannten partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung auch Glei chungen vierter Ordnung auf: beispielsweise die Bipotentialgleichung o oder die Plattengleichung (62_k4)0 = O. Der mathematisch einfachste Fall liegt offenbar dann vor, wenn möglichst wenige unabhängige VariabIe vorhanden sind, d.h. z,.ei (x,y) bei der Po- 2 2 tentialqleichunq. Die Lösunqen von 6 0 = ~ + 2.~ o in einem zwei- 222 eX ily dimensionalen Gebiet D nennt man ebene harmonische Funktionen oder Po tential-Funktionen. Sie können als Real- oder Imaginärteile von holomorphen, d.h. komplex analytischen Funktionen F{z) = 0{x,y) + i·o/{x,y) der komplexen unab hängigen Variablen z = x+iy in D dargestellt werden. Viele Eigenschaften harmonischer Funktionen - und auch der Lösungen der anderen genannten Differentialgleichungen (DGLn) - sind dimensionsunab hängig, so da~ die funktionentheoretische 11ethode gewissermal3en exempla risch ist. Es sollen in diesem Buch Rand- und übergangsprobleme für (ebene) harmonische bzw. holomorphe Funktionen formuliert und effektiv mit analytischen Methoden gelöst werden. Die einfachsten Randbedingungen lassen sich in der Form (1.1.1) a{x,y).0{x,y) + b{x,y).o/{x,y) Re [(a-ib)F{z)] c{x,y)
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