Quod erat knobelandum: Themen, Aufgaben und Lösungen des Schülerzirkels Mathematik der Universität Regensburg PDF
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Clara Löh Stefan Krauss Niki Kilbertus Hrsg. Quod erat knobelandum Themen, Aufgaben und Lösungen des Schülerzirkels Mathematik der Universität Regensburg Quod erat knobelandum Clara Löh • Stefan Krauss • Niki Kilbertus (Hrsg.) Quod erat knobelandum Themen, Aufgaben und Lösungen des Schülerzirkels Mathematik der Universität Regensburg Herausgeber Clara Löh Niki Kilbertus Fakultät für Math;Offi ce M 232 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Universität Regensburg Universität Regensburg Regensburg, Deutschland Regensburg, Deutschland Stefan Krauss Universität Regensburg Regensburg, Deutschland ISBN 978-3-662-48955-0 ISBN 978-3-662-48956-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-48956-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografi e; detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfi lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be- rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz- Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Dr. Andreas Rüdinger Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Inhaltsverzeichnis 0 Prolog ............................................ ix Quod erat knobelandum? Clara L¨oh, Stefan Krauss, Niki Kilbertus Teil I Erste Schritte .................................... 1 1 Musterthema....................................... 3 Schachbrettmuster und andere F¨arbungen Timo Keller, Alexander Voitovitch 2 Von der Idee zum Beweis............................. 11 Eine kleine Anleitung Clara L¨oh, Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude 3 L¨osungsvorschl¨age zum Musterthema................... 21 Timo Keller, Alexander Voitovitch Teil II Themenbl¨atter .................................. 27 1 Invarianten ........................................ 29 Was ¨andert sich und was bleibt gleich? Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude 2 Zahlentheorie ...................................... 37 Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden? Timo Keller, Alexander Voitovitch 3 Graphentheorie ..................................... 45 ...oder das Haus vom Nikolaus Andreas Eberl, Theresa Stoiber 4 Induktion.......................................... 57 0+1+1+1+1+1+1+1+1+... Clara L¨oh 5 Spiele............................................. 69 Mit Strategie gewinnen Christian Nerf, Niki Kilbertus vi Inhaltsverzeichnis 6 Die verflixte 7 ...................................... 79 Welche Zahlen sind durch 7 teilbar? Stefan Krauss 7 Zahlenschleifen ..................................... 85 Das Slitherlink-Puzzle von nikoli Clara L¨oh 8 Unendliche Mengen ................................. 95 ...und unendlichere Mengen Alexander Voitovitch, Clara Lo¨h 9 Ist doch logisch! .................................... 107 Eine Einfu¨hrung in die Aussagenlogik Theresa Stoiber, Niki Kilbertus 10 Numerakles ........................................ 119 ...und seine sechs Aufgaben Clara L¨oh, Niki Kilbertus 11 RSA-Verschlu¨sselung ................................ 123 Der Satz von Euler-Fermat und die RSA-Verschlu¨sselung Timo Keller 12 Der Eulersche Polyedersatz ........................... 135 Planare Graphen und platonische K¨orper Alexander Engel 13 Folgen und Reihen .................................. 147 1,3,6,10,15,... und was kommt dann? Theresa Stoiber, Stefan Krauss 14 Abrakadalgebra ..................................... 157 Vom Hut zum Hasen und zuru¨ck Clara L¨oh 15 Mehr Folgen und Reihen ............................. 169 ...oder Achilles und die Schildkro¨te Andreas Eberl Inhaltsverzeichnis vii Teil III L¨osungsvorschl¨age............................... 179 1 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 1........................ 181 Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude 2 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 2........................ 185 Timo Keller, Alexander Voitovitch 3 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 3........................ 191 Andreas Eberl, Theresa Stoiber 4 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 4........................ 197 Clara L¨oh 5 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 5........................ 205 Christian Nerf, Niki Kilbertus 6 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 6........................ 213 Stefan Krauss 7 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 7........................ 217 Clara L¨oh 8 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 8........................ 225 Alexander Voitovitch, Clara L¨oh 9 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 9........................ 229 Theresa Stoiber, Niki Kilbertus 10 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 10....................... 235 Clara L¨oh, Niki Kilbertus 11 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 11....................... 239 Timo Keller 12 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 12....................... 245 Alexander Engel 13 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 13....................... 251 Theresa Stoiber, Stefan Krauss 14 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 14....................... 257 Clara L¨oh 15 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 15....................... 263 Andreas Eberl viii Inhaltsverzeichnis ∞ Epilog ............................................ 269 Quod erat docendum? Stefan Krauss Index ................................................. 275 0 Prolog Quod erat knobelandum? Clara L¨oh, Stefan Krauss, Niki Kilbertus 0.1 Wie funktioniert Mathematik?.................................. x 0.2 Wie funktioniert der Schu¨lerzirkel? .............................. xii 0.3 Wie funktioniert dieses Buch? .................................. xii Literaturverzeichnis ................................................ xiv Danksagungen .................................................... xiv Das vorliegende Buch entha¨lt das u¨berarbeitete und erga¨nzte Material des Schu¨lerzirkelsMathematikderFakult¨atfu¨rMathematikanderUniversita¨tRe- gensburg aus den Schuljahren 2012/13–2014/15. DieOriginalmaterialien finden sich auf der Homepage des Schu¨lerzirkels: http://www.mathematik.uni-regensburg.de/schuelerzirkel Mathematik ist eine der zentralen Kulturtechniken, die auf einmalige Weise dieStrengedeslogischenDenkens,dieNu¨tzlichkeitderNaturwissenschaftenund die Eleganz der Kunst vereint und verbindet. Dennoch erhalten viele Schu¨ler in der Schulausbildung leider nicht ausreichend Gelegenheit, Mathematik als attraktive und aktive Wissenschaft kennenzulernen und zu entdecken. x 0 Prolog Ziel des im Schuljahr 2012/13 gestarteten Schu¨lerzirkels Mathematik an der Fakulta¨t fu¨r Mathematik der Universita¨t Regensburg ist es, Schu¨lerinnen und Schu¨lerandieMathematikheranzufu¨hrenundihreNeugierdefu¨rdieseWissen- schaft zu wecken und die Begeisterung zu f¨ordern. Dieses Angebot ist an alle mathematikbegeisterten Schu¨ler ab Klasse 7 gerichtet, die Spaß am Knobeln und am logischen Denken haben. Bei der Auswahl der Themen haben wir darauf geachtet, dass die Aufgaben mo¨glichst unabha¨ngig vom Schulstoff bearbeitet werden ko¨nnen und dass vie- le verschiedene Gebiete der Mathematik beleuchtet werden. Die Themen sind dabei so aufbereitet, dass sie von Schu¨lern leicht erlernt werden k¨onnen. Fu¨rdiemeistenAufgabenbeanspruchenwirjedochkeinemathematischeOri- ginalit¨at.VielederAufgabengeh¨orenzumweitverbreitetenFundusmathemati- scherProblemewiesiezumBeispielauchinderLiteraturzummathematischen Problemlo¨sen gesammelt sind [2, 1, 3]. Bei spezielleren Aufgaben haben wir versucht,Referenzenanzugeben,auchwennesmanchmalschwierigist,dieOri- ginalquelle ausfindig zu machen. Andererseits gibt es auch Themenbl¨atter, die sowohl das Thema betreffend als auch in den Aufgaben vollst¨andig neu fu¨r den Schu¨lerzirkel konzipiert wurden (wie zum Beispiel Thema II.7 zu Zahlenschlei- fen). 0.1 Wie funktioniert Mathematik? Die Einzigartigkeit der Mathematik beruht auf ihrer Exaktheit. Die formale Sprache der Mathematik mag zuna¨chst abstrakt und abschreckend erscheinen; nach eingehenderer Bescha¨ftigung damit stellt sich aber schnell heraus, dass es ebendieseformaleSpracheermo¨glicht,SachverhalteundArgumentepr¨aziseund nachvollziehbar darzustellen. Der rigorose Aufbau der Mathematik besteht aus den folgenden, immer wie- derkehrenden Schritten: • In Definitionen werden neue Begriffe pra¨zise eingefu¨hrt. • Theoreme (bzw. S¨atze, Lemmata, Korollare, ...) enthalten Behauptun- gen u¨ber mathematische Objekte und deren Zusammenhang. • In der Mathematik muss jede Behauptung durch logische Argumente aus den bereits etablierten Tatsachen abgeleitet werden. Eine solche Kette vonArgumentenbezeichnetmanalsBeweis;traditionellendeteinBeweis mit quod erat demonstrandum (was zu beweisen war). Bemerkenswert dabeiist,dassauchderBegriffdesBeweiseseinestringentemathematische Definition besitzt. Dieser Prozess beno¨tigt natu¨rlich einen Ursprung, an dem diese Schritte be- ginnen. Klassisch sind diese grundlegenden Startpunkte durch die Axiome der
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