Questions de maths utiles : soldes, sondages, loto, radars...

82 Pages·2013·2.695 MB·French

by  Lehning, Hervé

Vibrio H L
ervé ehning
Questions
MEM
de maths
utiles
Soldes, sondages, loto, radars...
3€
Questions de maths utiles

Hervé Lehning
Questions
de maths utiles
Soldes, sondages, loto, radars...
Vibrio
Tout au long de cet ouvrage, nous vous proposons
des encadrés ludiques, signalés par une pastille.
Vous touverez en fin d'ouvrage les réponses aux questions.
Questions de maths sympas © Ixelles éditions, 2011.
© E. ]. L., 2015, pour la présente sélection et la présentation.
Dans la vie quotidienne
Après Taddition, les mathématiques les plus simples dont nous
ayons besoin dans la vie quotidienne tournent autour des ques­
tions de taux, que ce soit pour calculer une réduction ou connaître
les intérêts d'un emprunt. Comme toujours en mathématiques, il y
a matière à se tromper et il est facile de s'y perdre.
Les soldes
Les comptes de la vie ordinaire réservent des surprises, en par­
ticulier les jours de soldes. Nous passerons rapidement sur les faux
soldes. Éviter leurs pièges est plus question de bon sens que de
mathématiques.
En dehors de la pure escroquerie, la technique la plus simple
pour créer un faux solde est d'augmenter les prix au préalable pour
les réduire ensuite. Le prix est alors normal mais disparaît sous
l'expression magique « SOLDÉ à 50 % » écrite en rouge et en carac­
tères plus gros que le prix lui-même. Le danger est d'oublier que
seul le prix final compte, la réduction pouvant être factice. Une
autre technique est propre à certains magasins de luxe, qui font
fabriquer pour les soldes des articles spéciaux, de qualité très infé­
rieure à ce qu'ils vendent habituellement. Le client ne paye alors
qu'une étiquette. Dans tous les cas, plusieurs repérages avant la
période des soldes sont nécessaires pour faire des affaires. On ne
gagne rien sans dépenser un peu de son temps. Dans ce qui suit,
nous ne discuterons pas des soldes plus ou moins frauduleux mais
simplement de cas où l'acheteur pourrait se perdre dans les réduc­
tions proposées.
La règle est simple en théorie : on achète un article, pas une
réduction. Sa mise en pratique demande toutefois un effort de
lucidité et même parfois un peu de calcul mental. Prenons un
exemple. Vous trouvez un même article soldé à 20 % dans un
magasin et à 30% dans un autre. Les étiquettes mettent en
valeur ce point et non le prix. Votre instinct peut vous faire voir
la deuxième offre comme la meilleure. Un examen plus appro­
fondi des étiquettes est nécessaire pour en être sûr. Selon le
règlement, vous devez y trouver les prix avant et après réduc­
tion. Le dernier est le seul qui importe vraiment, il est écrit en
caractères minuscules pour cette raison. Pourtant, une réduc­
tion de 20 % sur un prix initial de 200 € est préférable à 30 % sur
240 €. Un calcul mental rapide suffit pour s'en rendre compte !
Dans le premier cas, la réduction est de 40 € et, dans le second,
de 72 €. On pourrait penser que la seconde offre est plus inté­
ressante ; pourtant, dans la première, le prix final est de 160 €,
dans la seconde, de 168 €. Ces deux nombres doivent normale­
ment figurer sur les étiquettes. Il n'est donc pas nécessaire d'être
un as du calcul mental pour les connaître. Cependant, il ne faut
pas oublier de les regarder.
Deux et deux font-ils toujours quatre ?
La question se complique si deux réductions consécutives se
cumulent. Il est alors plus facile qu'on ne le pense de se faire pié­
ger ! Voici une petite histoire qui vous montrera où se situe le
problème. Depuis des mois, vous admirez la voiture de vos rêves,
malheureusement trop chère pour vos finances. Le garagiste en
demande 20 000 € ! Tout calcul fait, il vous faudrait une réduction
de 40 % pour vous l'offrir. Le jour des soldes arrive. Vous découvrez
que, suite à une mesure gouvernementale, les prix de toutes les
voitures de la concession sont réduits de 20 %. La moitié du chemin
est faite. Vous entrez, discutez le prix et obtenez une réduction
supplémentaire de 20 % à condition de prendre le modèle en expo­
sition. Vos 40 % sont atteints, cela semble aussi sûr que deux et
deux font quatre.
Vous achetez la voiture. Le vendeur vous demande un chèque
de 12 800 €. Content d'avoir obtenu la réduction espérée, vous
payez sans réfléchir. Une fois au calme, vous réalisez que vous
avez payé 800 € de plus que vous ne pensiez. En effet, sur 20 000 €,
une réduction de 40 % égale 8 000 €, ce qui donne un prix de
12 000 €. Quand vous retournez réclamer, le vendeur effectue un
calcul différent du vôtre : 20 % de réduction sur 20 000 € égale
4 000 €, d’où un prix de 16 000 €, 20 % de réduction sur ce prix
fait 3 200 €, d’où le prix annoncé de 12 800 €. La réduction totale
n’est donc que de 7 200 €, ce qui fait un taux de 7 200 divisé par
20 000, soit 36 %. Autrement dit, deux réductions consécutives de
20 % équivalent à une réduction totale de 36 % et non de 40 %.
D’où vient ce mystère ? Vingt et vingt ne feraient-ils plus qua­
rante, mais trente-six ?
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LA VALSE DES ETIQUETTES
Un pantalon soldé à 40% est vendu 54 €. Le commerçant
décide de le solder à 50 % au lieu de 40.
Quel est le nouveau prix ?
Réponses : a) 42 € b) 45 € c) 48 €
Les taux ne s’additionnent pas
L’explication apparaît quand on suit les calculs méticuleuse­
ment. Une réduction de 20 % sur un prix revient à le multiplier par
0,8, puisque 0,8 est égal à 1 (le prix initial) moins 0,2 (la réduction).
Une réduction supplémentaire des mêmes 20 % aboutit à une nou­
velle application du même taux. Finalement, le prix initial est
multiplié par 0,8 fois 0,8, soit 0,64, ce qui correspond bien à un
taux de réduction de 0,36, soit 36 %. Où est l’erreur ? Tout simple­
ment dans l’idée que les taux s’ajoutent au sens de l’addition
usuelle des nombres. En réalité, les taux ne s’additionnent pas, ils
se multiplient ! Nous voyons à cette occasion qu’en mathématiques,
le langage courant peut être source de confusions. S’il est légitime
de dire que l’on ajoute un taux à un autre, cela ne signifie pas que
l’opération mathématique correspondante soit l’addition. Parfois,
ajouter peut signifier multiplier !
Le même phénomène se produit si on veut, après réduction,
retrouver le prix initial. L’histoire se passe maintenant lors d’une
exposition de peintures en atelier. N’ayant pas d’intermédiaire à
payer, l’artiste y consent une réduction d’un tiers sur les prix de
vente en galerie ; ainsi, une toile valant habituellement 1 200 € n’y
coûte que 800 €. Son argument de vente est : « Vous payeriez un
tiers plus cher en galerie »... Ce qui est faux. Pour monter de 800 à
Dans la vie quotidienne
1200, le taux est de 1 200 divisé par 800, soit 1,5. L’augmentation
serait donc de 50 %. L’explication est du même ordre que précé­
demment. Si nous appliquons une réduction d’un tiers, nous mul­
tiplions le prix initial par 2/3. Pour le retrouver, il faut multiplier
le final par l’inverse de 2/3, soit 3/2, d’où nos 50 % d’augmentation.
Les questions de pourcentages réservent ainsi bien des surprises.
Examinons pour conclure le résultat de deux réductions consécutives
de 2 %. Bien sûr, cela ne fait pas 4 %, ni 3,6 % comme les calculs
précédents pourraient le faire penser, mais 3,96 %. Pourquoi ? Le
calcul est toujours le même : on multiplie deux fois le prix par
0,98. Ce nombre multiplié par lui-même fait 0,9604, d’où le résultat
annoncé ; si bien que, dans ce cas, deux et deux ne font pas quatre
mais 3,96 !
Quel est le taux d’un emprunt ?
Ces questions de taux se retrouvent dans le calcul des emprunts.
Quel est le taux réel de celui que vous venez de souscrire ?
Reprenons l’achat de votre voiture à 20 000 € pour étudier la ques­
tion. Imaginons que vous ayez opté pour un paiement à crédit. Le
concessionnaire vous en propose un sur 24 mois au taux annuel de
6 %, de mensualités fixes, égales à 886,41 €. Il vous fournit de plus
un tableau d’amortissement correspondant à cet emprunt (voir la
figure Tableau d'amortissement).
L’examen des colonnes du tableau montre que la mensualité fixe
de 886,41 € se décompose en des intérêts et un remboursement
de capital. Ainsi, le premier mois, les intérêts sont de 100 € et le
capital de 786,41 €, ce qui fait bien un total de 886,41 €. L’intérêt
(100 €) est égal à 0,5 % du montant (20 000 €). Ce taux de 0,5 % se
retrouve chaque mois. Si vous êtes patient, vous pouvez le vérifier
ligne après ligne, aucune n’échappe à la règle. Ainsi, sur la der­
nière ligne, le montant est de 882 € et les intérêts de 4,41 €, soit
exactement 0,5 % de 882. On en déduit la méthode de calcul du
taux mensuel selon l’organisme de crédit : il s’agit du douzième du
taux annuel. Cela ne choquera personne, sauf celui qui sait que
les taux se multiplient et ne s’additionnent pas. Le taux de 6 % est
donc un taux fictif et non un taux réel, puisqu’il a été calculé addi-
tivement. Ce n’est pas très mathématique mais c’est légal. Voyons
le véritable taux annuel correspondant à notre taux mensuel de
0,5%. Puisque l’on compte les taux multiplicativement comme
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nous l’avons vu avec les soldes, le taux annuel correspond à 1,005
multiplié 12 fois par lui-même, ce que l’on note 1,005’^ (1,005 à la
puissance 12) et donne 6,17 % annuel et non 6 %. La différence est
faible mais elle existe !
RESTANT INTÉRÊTS
PÉRIODE MONTANT INTÉRÊTS CAPITAL
DÛ CUMULÉS
1 20 000,00 100,00 786,41 19 213,59 100,00
2 19 213,59 96,07 790,34 18 423,24 196,07
3 18 423,24 92,12 794,30 17 628,95 288,18
4 17 628,95 88,14 798,27 16 830,68 376,33
5 16 830,68 84,15 802,26 16 028,42 460,48
6 16 028,42 80,14 806,27 15 222,15 540,62
7 15 222,15 76,11 810,30 14 411,85 616,74
8 14 411,85 72,06 814,35 13 597,50 688,79
9 13 597,50 67,99 818,42 12 779,07 756,78
10 12 779,07 63,90 822,52 11 956,56 820,68
11 11 956,56 59,78 826,63 11 129,93 880,46
12 11 129,93 55,65 830,76 10 299,16 936,11
13 10 299,16 51,50 834,92 9 464,25 987,61
14 9 464,25 47,32 839,09 8 625,16 1 034,93
15 8 625,16 43,13 843,29 7 781,87 1 078,05
16 7 781,87 38,91 847,50 6 934,37 1 116,96
17 6 934,37 34,67 851,74 6 082,63 1 151,63
18 6082,63 30,41 856,00 5 226,63 1 182,05
19 5 226,63 26,13 860,28 4 366,35 1 208,18
20 4 366,35 21,83 864,58 3 501,77 1 230,01
21 3 501,77 17,51 868,90 2 632,86 1 247,52
22 2 632,86 13,16 873,25 1 759,62 1 260,68
23 1 759,62 8,80 877,61 882,00 1 269,48
24 882,00 4,41 882,00 0,00 1 273,89
Tableau d’amortissement.
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