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Thèse de Doctorat Mohammad AKIL Mémoire présenté en vue de l’obtention du grade de Docteur de l’université de Limoges et de l’université Libanaise Ecole doctorale des sciences et de la technologie-EDST, Université Libanaise, Liban. Ecole doctorale à l’Université de Limoges, Limoges, France. Spécialité Mathématiques Laboratoire de Mathématiques et ses Applications de Limoges-XLIM. Laboratoire de Mathématiques et ses applications-EDST. Laboratoire de Mathématiques et ses applications-KALMA Soutenue le 6 Octobre 2017 Quelques problèmes de stabilisation directe et indirecte d’équations d’ondes par des contrôles de type fractionnaire frontière ou de type Kelvin-Voight localisé JURY Rapporteur: M. LIU Zhuangyi,Professeur,UniversityofMinnesota Examinateurs: M. CHITOUR Yacine,Professeur,UniversitédeParis-Saclay M. MEHRENBERGER Michel,Maîtredeconférences,UniversitédeStrasbourg M. JAZAR Mustapha,Professeur,UniversitéLibanaise Directeursdethèse: M. WEHBE Ali,Professeur,UniversitéLibanaise M. IGBIDA Noureddine,Professeur,UniversitédeLimoges * * * Rapporteur: M. AMMAR-KHODJA Farid,MaîtredeConférenceHabilité,UniversitédeFranche-ComtéBesançon ii>2 ACKNOWLEDGEMENT Je tiens, en premier lieu, à exprimer ma profonde reconnaissance et gratitude aux Messieurs Ali WEHBE et Noureddine IGBIDA qui ont dirigé ce travail avec beaucoup de dynamisme et d’efficacité. Ce qui m’implique toujours à poursuivre mes recherches avec eux dans ma carrière professionnelle. Je tiens à remercier et d’exprimer ma gratitude à mon directeur de thèse au Liban, Mon- sieur Ali WEHBE à la fois en mathématiques et dans la vie quotidienne. J’apprécie vivement sa grande disponibilité continue, son encouragement, sa confiance, ses conseils, son soutien pré- cieux avec patience et sagesse. Je me pourrais jamais imaginer cette thèse sans ses aides qui m’ont été offertes, ce qui me rend assez fier et chanceux d’être son élève. Je tiens à remercier mon directeur de thèse en France, Monsieur Noureddine IGBIDA, pour son intérêt, son soutien, son temps qu’il m’a consacré pour diriger cette recherche. La rigueur et la pertinence de ses conseils m’ont été d’une aide essentielle dans la réalisation de cette thèse. Je me sens fier d’être son élève. J’adresse mes sincères remerciements au Messieurs Zhuangyi LIU et Farid AMMAR-KHODJA d’avoir accepté de relire le manuscrit de thèse étant que le rapporteur de thèse. Merci au Messieurs Michel MEHRENBERGER, Mustapha JAZAR et Yacine CHITOUR pour avoir examiner mes travaux étant que les examinateurs de la soutenance. Je remercie également tous mes collègues au laboratoire KALMA, qui sans eux je n’allé pas pu faire face aux difficultés rencontrées. En particulier, Mouhammad GHADER et Mohammad ALi SAMMOURY j’ai partagé avec eux des moments inoubliables et agréables. Acknowledgement Merci à mon père et ma mère qui ont veillé depuis l’école primaire pour que je puisse arriver à ce niveau et je ne peux pas leur exprimer toute ma gratitude et ma sincère reconnaissance, merci pour votre amour inestimable et votre confiance. Finalement, je veux remercier le centre islamique d’orientation et de l’ enseignement supé- rieur représenté par son directeur Monsieur Ali ZALZALI d’avoir financer mon projet doctorat durant ces trois années. Merci énormement à vous tous. Mohammad AKIL Mohammad AKIL Page vi of 181 [email protected] RÉSUMÉ Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation directe et indirecte de différents systèmes d’équations d’ondes avec un contrôle frontière de type fraction- naire ou un contrôle local viscoélastique de type Kelvin-Voight. Nous considérons, d’abords, la stabilisation de l’équation d’ondes multidimensionnel avec un contrôle frontière fractionnaire au sens de Caputo. Sous des conditions géométriques opti- males, nous établissons un taux de décroissance polynomial de l’énergie de système. Ensuite, nous nous intéressons à l’étude de la stabilisation d’un système de deux équations d’ondes couplées via les termes de vitesses, dont une seulement est amor- tie avec contrôle frontière de type fractionnaire au sens de Caputo. Nous montrons différents résultats de stabilités dans le cas 1-d et N-d. Finalement, nous étudions la stabilité d’un système de deux équations d’ondes couplées avec un seul amortis- sement viscoélastique localement distribué de type Kelvin-Voight. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Mots Clés C semi-groupe, Dérivée Fractionnaire, Stabilité Forte, Stabilité Exponentielle, 0 − Stabilité Polynomiale, Optimalité, Méthode Spectrale, Conditions Géométriques. ABSTRACT This thesis is devoted to study the stabilisation of the system of waves equations with one boundary fractional damping acting on apart of the boundary of the do- main and the stabilisation of a system of waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight type. First, we study the stability of the multidimen- sional wave equation with boundary fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Second, we study the stability of the system of coupled one-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Next, we study the stability of the system of coupled multi-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Finally, we study the stability of the multidimensional waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight is applied for one equation around the boundary of the domain. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Keywords C semigroupe, Fractional Derivative, Strong Stability, Exponential Stability, Po- 0 − lynomial Stability, Optimality, Spectrale Method, Geometric Condition.
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