Quelques problèmes de contrôle d'équations aux dérivées partielles

300 Pages·2017·2.81 MB·French

by  Matthieu Léautaud

Quelques problèmes de contrôle d’équations aux dérivées
partielles: inégalités spectrales, systèmes couplés et
limites singulières
Matthieu Léautaud
To cite this version:
Matthieu Léautaud. Quelques problèmes de contrôle d’équations aux dérivées partielles: inégalités
spectrales, systèmes couplés et limites singulières. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie
Curie - Paris VI, 2011. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00607240￿
HAL Id: tel-00607240
https://theses.hal.science/tel-00607240
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teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires
abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Laboratoire Jacques-Louis Lions – UMR 7598
Quelques probl`emes de contrˆole
d’´equations aux d´eriv´ees partielles :
in´egalit´es spectrales, syst`emes coupl´es
et limites singuli`eres
`
THESE DE DOCTORAT
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 22/06/2011
pour l’obtention du
Doctorat de l’universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6
Sp´ecialit´e Math´ematiques Appliqu´ees
par
Matthieu Le´autaud
Composition du jury
Rapporteurs : Enrique Ferna´ndez-Cara
Gilles Lebeau
Examinateurs : Nicolas Burq
Jean-Michel Coron
Olivier Glass Directeur de th`ese
J´eroˆme Le Rousseau Directeur de th`ese
Marius Tucsnak
E´cole Doctorale de Sciences Math´ematiques de Paris Centre UFR 929 - Math´ematiques

1
Remerciements
Mestoutpremiersremerciementsvont`amesdeuxdirecteursdeth`ese,OlivieretJ´erˆome.Jeleur
suis infiniment reconnaissant de m’avoir fait confiance d`es le d´ebut de la th`ese, de m’avoir soumis
des sujets passionnants, et de m’avoir encourag´e tout au long de cette aventure. La qualit´e ainsi
que la compl´ementarit´e de leur encadrement ont fait de ce travail un v´eritable apprentissage par la
recherche. Merci pour votre disponibilit´e, votre patience et votre indulgence face `a mes questions
parfois idiotes, mes h´esitations et mes doutes (parfois) existentiels.
Merci Olivier pour ton sens de humour et ta culture si vaste qu’elle r´ealise le grand ´ecart entre
James Joyce et le PSG! Merci J´erˆome pour ta gentillesse, ta rigueur et tes cheveux longs qui m’ont
tout de suite mis en confiance (sans pour autant que ceux d’Olivier m’aient effray´e). Vousˆetes pour
moi deux exemples d’enseignants et de chercheurs passionn´es et passionnants, et je mesure un peu
plus chaque jour la chance que j’ai d’ˆetre votre ´el`eve. Merci pour tout.
Je remercie tr`es chaleureusement Enrique Fern´andez-Cara et Gilles Lebeau d’avoir accept´e de
rapporter cette th`ese. Leurs travaux respectifs m’ont beaucoup influenc´e, et c’est pour moi une
grande joie de savoir qu’ils s’int´eressent `a ce que j’ai pu faire. En particulier merci `a Gilles Lebeau
pour m’avoir permis de corriger une subtile erreur et `a Enrique Fern´andez-Cara pour faire pour ma
soutenance une ´etape parisienne, `a mi-parcours entre S´eville et Bilbao.
C’est un honneur pour moi, et je suis tr`es heureux que Jean-Michel Coron, Nicolas Burq et
Marius Tucsnak aient accept´e de faire partie de mon jury. Je tiens aussi `a les remercier pour les
discussions scientifiques que nous avons eues.
Durant cette th`ese, j’ai eu l’occasion et le plaisir de travailler avec Fatiha Alabau-Boussouira,
Belhassen Dehman et Luc Robbiano. J’ai ´enorm´ement appris `a leurs coˆt´es, ce grimoire leur doit
beaucoupetjeleurensuisprofond´ementreconnaissant.Merciaussi`aBelhassenpour(lar´evolution
et) l’invitation `a Tunis.
Ungrandmerciauxlaboratoiresdanslesquelsj’aipass´eleplusclairdecestroisann´ees:leLJLL,
le laboratoire POEMS de l’ENSTA, ainsi que l’IHP. Merci aussi `a tous leurs membres et employ´es
pour l’ambiance de travail chaleureuse qui r`egne dans ces lieux. Les ANR CoNum et CISIFS ainsi
que le GDRE CONEDP et le projet Franco-Japonais (Unified studies on control theory and inverse
problems) m’ont permis de visiter les math´ematiques et des math´ematiciens `a diff´erents endroits de
la plan`ete et je tiens `a en remercier leurs ´eminents porteurs et tous leurs membres.
Je profite de l’occasion pour remercier tous les professeurs depuis le lyc´ee, qui m’ont donn´e le
gouˆtdesmaths(oudesscienceseng´en´eral),etquiontsumetransmettreleurpassion.Enparticulier
Mme Marmonier et Mr Michel en pr´epa, Eliane B´ecache, Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Laurent
Bourgeois, Christophe Hazard et Fr´ed´eric Jean `a l’ENSTA, ainsi qu’`a Fabrice B´ethuel et `a tous
les enseignants du Master ANEDP. Merci en particulier `a Anne-Sophie et `a Christophe de m’avoir
pr´esent´e J´erˆome! Je suis aussi reconnaissant `a Bernard Guy pour son initiation `a la recherche et `a
Charles Stuart qui m’a mis un pied dans cet univers lors de mon stage de M1.
Je tiens `a remercier les contrˆoleurs pour leur coup de poinc¸on et leur accueil dans cette joyeuse
communaut´e.Entreautres,pourtouteslesdiscussionsmath´ematiquesquenousavonseues,merci`a
Farid(Sherif?)Ammar-Khodja,AssiaBenabdallah(pourlesinvitations`aMarseille),FranckBoyer,
Manolo Gonz´alez-Burgos, Sergio Guerrero, Luc Miller, Arnaud Mu¨nch, Luz de Teresa, Emmanuel
Tr´elat, Lionel Rosier, Tak´eo Takahashi, Khai N’Guyen et Fabio Ancona. Un grand merci `a Hiroshi
Isozaki et Masahiro Yamamoto pour leur chaleureux accueil `a Tsukuba et `a Tokyo.
Merci aussi aux jeunes contrˆoleurs (non pas que les pr´ec´edents soient vieux) pour toutes les
discussions (scientifiques ou pas) et autres parties de time’s up. En particulier Julie Valein, Julien
Lequeurre, Karine Mauffrey, Romain Joly, Yannick Privat. Merci aussi `a Marianne Chapouly pour
unepr´epa-agr´egacc´el´er´eeetunebonnedosedebonnehumeur,`aSylvainErvedozapourlamoussaka
g´eante, `a Camille Laurent pour Pornichet (le petit cochon) et Strichartz (non, lui n’est pas un
animal).
Il va de soi que ma gratitude s’adresse ´egalement `a tous les th´esards et postdocs du labo pour
les pauses caf´e, les GTT (et leurs petits gˆateaux), les repas dans le bon restau de Chevaleret, puis
2
le (je n’ai pas trouv´e l’adjectif ad´equat) restau de Jussieu. Tout d’abord ceux du mˆeme cru 2011 :
Sepideh, Alexis, Vincent, Ange, Pierre G. et Giacomo pour tous ces intenses moments de panique
administrative partag´es... Merci aux vieux des Bureau 3D18 `a Chevaleret, Maya(la) et Rachida,
ainsi qu’`a ceux du 3D24, Evelyne, Jean-Marie, Mathieu, Alex, et ceux, beaucoup plus lointains du
deuxi`eme´etage, Alexandra, Thomas, Nicolas, Etienne et Benjamin B. (qui´etait peut-ˆetre mˆeme au
premier...).Merciaussiauxtoutjeunesdu16-26-333deJussieu:PierreL.(etsonponey),Nastasia,
Fawzia, ainsi qu’`a Tina, Marie, Lima (pour les canap´es), Malik, Jean-Paul, Khaled, Mamadou,
CharlesetNicole(quiconnaˆıttouslesrestaurantsou`mangeraveclesdoigts).JeremercieKhashayar
pour un support informatique sans faille. Un merci tout particulier aux th´esards de l’ENSTA : `a
J´er´emi, Lauris et Benjamin G., pour l’ambiance joviale et les discussions philosophiques ainsi qu’`a
Juliette et Julien.
Merci depuis toutes ces inoubliables ann´ees aux amis st´ephanois pour les vacances, les folles
aventures,lesrandos,lesfeuxdeboisettouscesconseilsgrˆaceauxquelsjegardelespiedssurterre.
Enparticuliermerci`aAur´eletP´epette,auxnouveauxCal´edoniens,`aMab´eetCl´ement(onn’aqu’a`
fairedeux´equipes:ceuxquivontskieret“ceux”quir´edigentleurth`ese),`aEdmond...etauxautres.
Merci de tout coeur `a mes parents et mes trois adorables petites soeurs, toujours pr´esents `a mes
coˆt´es. Merci pour vos encouragements et votre soutien (et parfois votre ´emerveillement dubitatif).
Merci aussi Papi, pour ta foi en la science et ton n´enuphar (qui double de surface chaque jour).
Mes derniers remerciements sont pour Claire, qui r´eussit l’exploit de me supporter au quotidien.
Ta patience, ton dynamisme et ton sourire ´equilibrent ma vie. Merci pour tout.
Avous,quiˆetessurlepointd’entamerunelecture(exhaustiveetacharn´ee)decegrimoire,merci
(et bon courage).
Table des mati`eres
1 Introduction 7
1.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Contrˆole de syst`emes lin´eaires autonomes : un cadre g´en´eral . . . . . . . 8
1.1.2 Quelques probl`emes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Probl´ematique de ce m´emoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Autour de la m´ethode de Lebeau-Robbiano pour le contrˆole des´equations para-
boliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 In´egalit´es spectrales pour les op´erateurs elliptiques non-autoadjoints et
applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Analyse et contrˆole d’un mod`ele d’interface diffusive . . . . . . . . . . . 27
1.3 Contrˆole de syst`emes d’´equations hyperboliques, et applications . . . . . . . . . 35
1.3.1 Stabilisation indirecte de syst`emes d’´equations d’ondes localement coupl´ees 39
1.3.2 Contrˆole indirect de syst`emes sous des conditions g´eom´etriques . . . . . 42
1.3.3 Analyse microlocale de la contrˆolabilit´e de syst`emes de deux ´equations
d’ondes sur une vari´et´e compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4 Contrˆole uniforme de lois de conservation scalaires dans la limite de viscosit´e
´evanescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
I Autour de la m´ethode de Lebeau-Robbiano pour le contrˆole des
´equations paraboliques 63
2 In´egalit´es spectrales pour des op´erateurs elliptiques non-autoadjoints 65
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.1 Results in an abstract setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.2 Some applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2 Spectral theory of perturbated selfadjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Spectral inequality for perturbated selfadjoint elliptic operators . . . . . . . . . 72
2.4 From the spectral inequality to a parabolic control . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.1 Elliptic controllability on Π H with initial datum in P H . . . . . . . . 76
α k
2.4.2 Parabolic controllability on Π H with initial datum in P H . . . . . . . 77
α k
2.4.3 Parabolic controllability on Π H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
α
3
4 Table des mati`eres
2.4.4 Decay property for the semigroup and construction of the final control . 82
2.5 Application to the controllability of parabolic coupled systems . . . . . . . . . . 84
2.6 Application to the controllability of a fractional order parabolic equation . . . . 88
2.7 Application to level sets of sums of root functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.8 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.8.1 Properties of the Gevrey function e Gσ, 1<σ <2 . . . . . . . . . . . 91
∈
2.8.2 A Paley-Wiener-type theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Analyse et controˆle d’un mod`ele d’interface diffusive 95
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.1 Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 Statement of the main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.3 Some additional results and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.4 Notation : semi-classical operators and geometrical setting . . . . . . . . 103
3.2 Well-posedness and asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.1 Well-posedness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.2 Asymptotic behavior of the solutions as δ 0 . . . . . . . . . . . . . . . 108
→
3.3 Local setting in a neighborhood of the interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.1 Properties of the weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.2 A system formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.3 Conjugation by the weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.4 Phase-space regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.5 Root properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.6 Microlocalisation operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4 Proof of the Carleman estimate in a neighborhood of the interface . . . . . . . . 118
3.4.1 Preliminary observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.2 Estimate in the region G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.3 Estimate in the region F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.4 Estimate in the region Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4.5 Estimate in the region E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.4.6 A semi-global Carleman estimate : proof of Theorem 3.2 . . . . . . . . . 134
3.5 Interpolation and spectral inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.5.1 Interpolation inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.5.2 Spectral inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6 Derivation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.7 Facts on semi-classical operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.8 Proofs of some technical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5
II Stabilisation et contrˆole de syst`emes d’´equations hyperboliques, et
applications 165
4 Stabilisationindirectedesyst`emesd’´equationsd’ondeslocalementcoupl´ees167
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.1 Motivation and general context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.2 Results for two coupled wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.2 Abstract formulation and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2.1 Abstract setting and well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 Proof of the main results, Theorems 4.9 and 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3.1 The stability lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3.2 Proof of Theorem 4.9, the case B bounded . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3.3 Proof of Theorem 4.12, the case B unbounded . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.4.1 Internal stabilization of locally coupled wave equations . . . . . . . . . . 185
4.4.2 Boundary stabilization of locally coupled wave equations . . . . . . . . . 188
4.4.3 Internal stabilization of locally coupled plate equations . . . . . . . . . . 191
5 Controˆle indirect de syst`emes sous des conditions g´eom´etriques 199
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.1.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2 Abstract setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2.1 Main results : admissibility, observability and controllability . . . . . . . 206
5.2.2 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.3 Two energy levels and two key lemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.1 Two energy levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.2 Two key lemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4 Proof of Theorem 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4.1 The coupling Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4.2 A first series of estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4.3 A second series of estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.4.4 End of the proof of Theorem 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5 From observability to controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.5.1 First case : (v ,v )=B v with B (H,Y). . . . . . . . . . . . . . 223
B∗ 1 1′ ∗ 1′ ∗ ∈L
5.5.2 Second case : (v ,v )=B v with B (H ,Y). . . . . . . . . . . . 225
B∗ 1 1′ ∗ 1 ∗ ∈L 2
5.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6.1 Control of wave systems : Proof of Theorem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6.2 Control of diffusive systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.6.3 Control of Schr¨odinger systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6 Table des mati`eres
5.7 Observability for a wave equation with a right hand-side . . . . . . . . . . . . . 227
6 Contrˆolabilit´e de syst`emes de deux ´equations d’ondes sur une vari´et´e com-
pacte 231
6.1 Introduction and main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Preliminary remarks, definitions and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.1 Measures, symbols and operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.2 Some geometric facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.3 Well-posedness of System (6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.3 Observability for T >T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
ω ω
→O→
6.3.1 Proof of a relaxed observability inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.3.2 End of the proof of Theorem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.4 Lack of observability for T <T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
ω ω
→O→
6.5 Une remarque sur l’obstruction au prolongement unique pour les syst`emes ellip-
tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
III Contrˆole uniforme d’un probl`eme non-lin´eaire en limite singu-
li`ere 253
7 Contrˆolabilit´e uniforme de lois de conservation en limite de viscosit´e ´evanes-
cente 255
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.1.1 Motivation and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.1.2 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.1.3 Structure of the paper, idea of the proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.2 Three intermediate propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.2.1 Approximate controllability using a traveling wave . . . . . . . . . . . . 261
7.2.2 Approximate controllability using a rarefaction wave . . . . . . . . . . . 267
7.2.3 Local exact controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.3 Proofs of the three theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.3.1 Proof of Theorems 7.1 and 7.2, the convex case . . . . . . . . . . . . . . 280
7.3.2 Proof of Theorem 7.3, the non-convex case . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.4 Appendix : parabolic regularity estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.4.1 Parabolic regularity estimates for classical solutions . . . . . . . . . . . . 283
7.4.2 Well-posedness of an initial-boundary value problem with low regularity 283
Bibliographie 287
R´esum´e/Abstract 295
Chapitre 1
Introduction
1.1 Pr´eliminaires
Une des pr´eoccupations centrales en th´eorie du contrˆole est la question de“contrˆolabilit´e”sui-
vante : est-il possible d’amener un syst`eme d’´evolution (par exemple d’origine physique, chimique
ou biologique) depuis son´etat initial en un´etat fix´e au pr´ealable. Si c’est le cas, peut-on trouver un
contrˆole“meilleur”que les autres : moins cher, plus stable...
Plus pr´ecis´ement, on se donne un syst`eme dynamique
d
u=F(u,g), u , (1.1)
dt ∈H
ou` u est la variable d’´etat dans l’espace d’´etat , et t d´esigne le temps. La dynamique du sys-
H
t`eme (1.1) d´epend d’un“param`etre”g, appel´e le contrˆole, grˆace auquel on peut agir sur l’´evolution
de l’´etat. La question g´en´erale que l’on se pose est la suivante : est-il possible pour un temps T >0
etdeux´etatsdusyst`emeu etu detrouveruncontrˆoleg =g(t)telquelasolutionu de(1.1)issue
0 1
de u(0)=u satisfasse u(T)=u ?
0 1
Les propri´et´es de contrˆolabilit´e du syst`eme (1.1) peuvent ˆetre tr`es diverses, selon la nature
du probl`eme ´etudi´e. On peut ainsi distinguer le contrˆole des ´equations diff´erentielles ordinaires
(ou contrˆole en dimension finie), le contrˆole des ´equations aux d´eriv´ees partielles (ou contrˆole en
dimension infinie), le contrˆole des ´equations lin´eaires, non-lin´eaires...
Lorsque l’espace des ´etats est de dimension finie, le probl`eme de contrˆole est compl`etement
H
r´esolu si F est lin´eaire autonome (grˆace au crit`ere de Kalman) et assez bien compris dans le cas
d’un syst`eme affine en le contrˆole F(u,g) = f (u)+ g f (u) (grˆace `a l’´etude de l’alg`ebre de Lie
0 i i
engendr´ee par les f ).
k
P
Danslecasou`l’espaced’´etat estdedimensioninfinie,etenparticulierlorsquelesyst`eme(1.1)
H
correspond`aune´equationauxd´eriv´eespartielles(EDP),iln’yapasdetelr´esultatg´en´eral.Chaque
´equationdoitˆetre´etudi´eeaucasparcas.LesEDPetladiversit´edesph´enom`enesqu’ellesmod´elisent
ont, depuis les ann´ees 60, apport´e de nouvelles probl´ematiques en th´eorie du contrˆole. Apr`es avoir
´et´e formalis´es math´ematiquement, nombre de ces probl`emes ont ´et´e r´esolus dans les ann´ees 80-
90, introduisant dans la th´eorie du contrˆole de nouvelles techniques et m´ethodes comme l’analyse
microlocale, les in´egalit´es de Carleman, la m´ethode du retour...
OnrenvoielelecteurauxlivresdeJ.-L.Lions[Lio88a],deJ.-M.Coron[Cor07a],etdeM.Tucsnak
etG.Weiss[TW09],ainsiqu’auxarticlesdesynth`esedeD.L.Russell[Rus78]etdeE.Zuazua[Zua07]
pour des pr´esentations plus d´etaill´ees, des r´ef´erences historiques et des probl`emes actuels.
Une autre question `a laquelle on s’int´eressera dans cette th`ese concerne les probl`emes de contrˆo-
labilit´e uniforme. Dans ce cadre on se donne une famille de syst`emes dynamiques
d
uε =F(ε,uε,gε), uε ε, gε , (1.2)
dt ∈H ∈Y
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