Quatre applications du lemme de Zalcman \`a la dynamique complexe

0.61 MB·

by  Tomoki Kawahira

Quatre applications du lemme de Zalcman
a` la dynamique complexe
Tomoki Kawahira ∗
Universit´e de Nagoya
17 janvier 2014
4
1
0
2

n R´esum´e
a
J
Nous donnons quatre applications du lemme de Zalcman `a la dynamique des
6
fractions rationnelles sur la sph`ere de Riemann : un analogue param´etrique de la
1
d´emonstration de la densit´e des cycles r´epulsifs; la ressemblance de l’ensemble

]
S de Mandelbrot avec les ensembles de Julia; une construction de la lamination
D
de Lyubich-Minsky et d’une variante; et une caract´erisation unifi´ee des points
.
h coniques de Lyubich-Minsky et ceux de Martin-Mayer.
t
a Abstract
m
We give four applications of Zalcman’s lemma to the dynamics of rational maps
[

on the Riemann sphere : a parameter analogue of a proof of the density of re-
1
v pelling cycles in the Julia sets; similarity between the Mandelbrot set and the
6
Julia sets; a construction of the Lyubich-Minsky lamination and its variant;
8
0 and a unified characterization of conical points by Lyubich-Minsky and those by
4
Martin-Mayer.
.
1
0
4
0 Lemme de Zalcman
1
:
v
Xi Soient D un domaine dans C et F une famille d’applications holomorphes de D
r dans C(cid:98). Le lemme de Zalcman est une caract´erisation de la (non) normalit´e :
a
Lemme 0.1 (Lemme de Zalcman [Za], [Za2]) La famille F n’est pas normale au
voisinage de z ∈ D si et seulement s’il existe des suites {F } ⊂ F, {ρ } ⊂ C∗
0 k k∈N k k∈N
avec ρ → 0, et {z } ⊂ D avec z → z telles que la suite ψ (w) = F (z + ρ w)
k k k∈N k 0 k k k k
converge vers une fonction m´eromorphe non constante ψ : C → C(cid:98) uniform´ement sur
tout compact de C.
∗financ´e en partie par la Fondation Sumitomo, la Fondation Chubei Itoh, et la JSPS
1
On peut prendre la suite ρ r´eelle positive, mais on utilise cette version complexe dans
k
˜
cet article. De plus, notons qu’on peut remplacer la suite ψ par ψ (w) = F (z +ρ w+
k k k k k
e (w)) ou` e (w) = o(ρ ) sur tout compact de C, sans changer sa limite.
k k k
Applications du lemme `a la dynamique complexe. On prend une fraction ra-
tionnelle f : C(cid:98) → C(cid:98) et on applique le lemme a` la dynamique complexe engendr´ee par
la famille des it´er´ees F = {fn} (voir la Figure 1). Alors le point z dans le lemme
n≥0 0
est un point dans l’ensemble de Julia J = J(f) de f. (Dans ce cas on prend la fonction
F de la forme F = fnk avec n → ∞.)
k k k
Figure 1 – Le lemme de Zalcman pour la famille F = {fn} des it´er´ees d’une applica-
tion rationnelle f.
Le lemme de Zalcman semble parfait pour la th´eorie de la dynamique complexe,
mais il y a peu de r´esultat obtenu en utilisant ce lemme : la premi`ere application est
sans doute une d´emonstration simple de la densit´e des cycles r´epulsifs dans l’ensemble
de Julia par Schwick [Sch]. (Elle a ´et´e am´elior´ee par Bargmann [Ba] et Berteloot-
Duval [BD]. Vois aussi [Za2] et [Sta].) Steinmetz [Ste] a ´etudi´e des propri´et´es des
fonctions m´eromorphes engendr´ees par le lemme, en utilisant la th´eorie de la distribu-
tion des valeurs. Ha¨ıssinsky [Ha] et Martin-Mayer [MM] ont trouv´e des applications
aux ph´enom`enes de rigidit´e. (Le lemme est aussi utilis´e implicitement dans [Mc1]. Le
principe du lemme est souvent utilis´e dans [BM].)
Dans cet article on donnera quatre nouvelles applications du lemme de Zalcman :
1. un analogue param´etrique de la d´emonstration de la densit´e des cycles r´epulsifs
par Schwick;
2. une preuve alternative et simplifi´ee des th´eor`emes de Tan Lei [TL] et de Rivera-
Letelier[RL],surlaressemblanceentrel’ensembledeMandelbrotetlesensembles
de Julia aux param`etres semi-hyperboliques;
3. une construction alternative de la lamination de Lyubich-Minsky des fractions
rationnelles au moyen de fonctions g´en´er´ees par le lemme de Zalcman; et
4. une caract´erisation unifi´ee des notions de points coniques de Lyubich-Minsky et
de Martin-Mayer.
2
Notations. Dans toute la suite, N d´esigne l’ensemble des entiers positifs ou nul, i.e.
N := {0,1,2,···}. Pour x ∈ C et r > 0, on note D(x,r) le disque de centre x et de
rayon r. En particulier, D(0,r) et D(0,1) sont respectivement not´es D(r) et D.
Pour deux variables complexes a et b, on ´ecrit a (cid:16) b s’il existe une constante C > 1
telle que |a|/C ≤ |b| ≤ |a|C.
Remerciements. Je voudrais remercier Jean-Yves Briend, Carlos Cabrera, Peter
Ha¨ıssinsky, et les rapporteurs dont les remarques ont permi d’am´eliorer cet article. Je
voudrais aussi remercier le LATP pour son hospitalit´e, ou` j’ai pr´epar´e ce travail. Je
voudrais adresser en particulier mes remerciements `a Peter Ha¨ıssinsky.
Ce travail est partiellement financ´e par la Fondation Sumitomo, la Fondation Chu-
bei Itoh, et la JSPS.
1 Un analogue param´etrique de la m´ethode de Schwick
On commence par un ´echauffement pour s’habituer au lemme de Zalcman. On
montre ici qu’on peut imiter l’id´ee de Schwick [Sch] dans l’espace param´etrique, et
comment on peut remplacer la m´ethode traditionnelle utilisant le th´eor`eme de Montel
pardesm´ethodesutilisantlelemmedeZalcman.(L’originedelam´ethodetraditionnelle
dans l’espace param´etrique se trouve dans l’article [Le] de Levin.)
Remarquons qu’il y a une d´emonstration tr`es simple du th´eor`eme de Montel en
utilisant le lemme de Zalcman. Voir [Za2] ou [BM].
1.1 Lieu de bifurcation et param`etres de Misiurewicz
On consid`ere une famille de fonctions rationnelles param´etr´ees par le disque unit´e
D du plan complexe comme McMullen [Mc2] : soit f : D × C(cid:98) → C(cid:98) une application
holomorphe de la forme f : (t,z) (cid:55)→ f (z), ou` f : C(cid:98) → C(cid:98) est une fraction rationnelle
t t
de degr´e fix´e d ≥ 2.
Lieux de bifurcation et d’activit´e. Le lieu de bifurcation B(f) est l’ensemble des
param`etres t ∈ D tels que t ne soit pas J-stable, i.e., il n’y a pas de famille continue
0 0
de conjugaisons φ : J(f ) → J(f ) entre f |J(f ) et f |J(f ) sur tout voisinage de t .
t t t0 t t t0 t0 0
Supposons qu’il existe une application holomorphe c : D → C(cid:98) telle que c := c(t)
t
soit un point critique de f pour tout t ∈ D, et consid´erons la paire (f,c). Chaque
t
point c est appel´e le point critique marqu´e de f . On dit que c est actif en t = t si
t t t 0
la famille {t (cid:55)→ fn(c )} n’est pas normale sur tout voisinage de t . Le lieu d’activit´e
t t n∈N 0
A(f,c) ⊂ D de la paire (f,c) est l’ensemble des param`etres t ∈ D tels que c est actif.
0 t0
En fait, A(f,c) ⊂ B(f). Voir [Mc1, §4.1].
Exemple. Un exemple typique est la famille des polynˆomes quadratiques f : (t,z) (cid:55)→
f (z) = z2 + 3t avec le point critique marqu´e c(t) = 0 pour tout t ∈ D. On a alors
t
A(f,c) = B(f) = {t ∈ D : 3t ∈ ∂M}, ou` M est l’ensemble de Mandelbrot (voir la
section 2).
3
Points critiques pr´ep´eriodiques. Pourunetellepaire(f,c),onnotePrep(k,l)(k ≥
0,l ≥ 1) l’ensemble des param`etres t de D tels que fk+l(c ) = fk(c ), ou` k et l sont
t t t t
minimaux. L’entier k s’appelle le temps d’arriv´ee du point critique marqu´e c . Puisque
t
Prep(k,l) est d´etermin´e par une ´equation analytique, il est discret ou tout le disque D.
Si k = 0 et t ∈ Prep(0,l), le point critique marqu´e c est un point p´eriodique superat-
t
tractif. On a donc t ∈/ A(f,c) et on appelle t ∈ Prep(0,l) un param`etre superattractif.
Pour k ≥ 1 et l ≥ 1, on dit que t ∈ Prep(k,l) est un param`etre de Misiurewicz
de la paire (f,c) si fk(c ) est un point p´eriodique r´epulsif. On note Mi(k,l) l’ensemble
t t
des param`etres de Misiurewicz dans Prep(k,l). Il est facile de montrer que Mi(k,l) est
un sous-ensemble dense de A(f,c), par une m´ethode simple et traditionnelle. (Voir par
exemple [Le, Thm. 2] ou [Mc2, Prop 2.1].)
La m´ethode de Schwick dans l’espace param´etrique. On donne un peu plus
d’informations sur la distribution de Mi(k,l) et Prep(k,l) lorsque k ≥ 0 ou l ≥ 1 est
fix´e, en utilisant la m´ethode de Schwick [Sch] :
Th´eor`eme 1.1 (Distribution de Prep(k,l)) SupposonsqueA(f,c)nesoitpasvide,
et t ∈ D soit un ´el´ement de A(f,c). Alors on a les propri´et´es suivantes :
0
(1) Si f a un cycle r´epulsif de p´eriode l ≥ 3, alors il existe une suite t ∈ Mi(k ,l)
t0 j j
telle que t → t et k → ∞ quand j → ∞.
j 0 j
(2) S’il existe un entier k ≥ 1 avec deg(f ,fk−1(c )) < degf , alors il existe une
t0 t0 t0 t0
suite t ∈ Prep(k,l ) telle que t → t et l → ∞ quand j → ∞.
j j j 0 j
(3) Pour tout t ∈ A(f,c) il existe une suite t ∈ Prep(0,l ) de param`etres superattrac-
0 j j
tifs telle que t → t et l → ∞ quand j → ∞.
j 0 j
Dans (2) on note deg(f ,a) le degr´e local de f en un point a ∈ C(cid:98).
t0 t0
Remarquons que (1) est une propri´et´e locale de t ∈ A(f,c). Mais il garantit la
0
densit´e des param`etres de Misiurewicz dans tout A(f,c).
Corollaire 1.2 Supposons que le lieu de bifurcation B(f) ne soit pas vide. Alors l’en-
semble des param`etres t tels que f ait un point critique pr´e-r´epulsif est dense dans
t
B(f). De plus, B(f) est contenu dans l’adh´erence de l’ensemble des param`etres t ayant
un point critique p´eriodique.
D´emonstration. Supposons que t ∈ B(f). Alors f a au moins un point critique
0 t0
actif (voir [Mc1, Thm.4.2]) et donc on peut appliquer le Th´eor`eme 1.1, mais il peut y
avoir des points critiques multiples. Dans ce cas, on utilise des s´eries de Puiseaux (voir
[Mc2, Prop.2.4] et [Fo, §8.13]).
Les points critiques de {f } forment une vari´et´e analytique dans D×C(cid:98). En prenant
t
une carte locale t (cid:55)→ s de la forme t = t +ηsp pour un |η| (cid:28) 1, la famille holomorphe
0
{f : t = t +ηsp, s ∈ D} repr´esente une perturbation locale de f telle que tout point
t 0 t0
critique soit param´etr´e holomorphiquement. Ainsi on peut trouver un point critique
marqu´e qui est actif en t = t , et appliquer le Th´eor`eme 1.1. (cid:4)
0
4
1.2 D´emonstration du Th´eor`eme 1.1
D´emonstrationde(1). D’abordnousmontrons(1)pourcompareruned´emonstration
traditionnelle utilisant le th´eor`eme de Montel avec une autre d´emonstration utilisant
l’id´ee de Schwick.
Les deux d´emonstrations suivantes reposent sur la d´ependance holomorphe des
points p´eriodiques r´epulsifs : comme par hypoth`ese il y a un cycle r´epulsif contenant
au moins trois points, on peut trouver des applications holomorphes t (cid:55)→ {α ,β ,γ }
t t t
dans un petit voisinage de t = t param´etrant trois points p´eriodiques r´epulsifs de f .
0 t
D´emonstration traditionnelle. Comme la famille {F : t (cid:55)→ fn(c )} n’est pas
n t t n∈N
normale sur tout voisinage de t = t , en vertu du th´eor`eme de Montel, il existe des
0
suites t → t et n → ∞ telles que fnj(c ) ∈ (cid:8)α ,β ,γ (cid:9). On a donc t ∈ Mi(k ,l)
j 0 j tj tj tj tj tj j j
pour un k ≥ 1.
j
Montrons que le temps d’arriv´ee k n’est pas born´e. Si c’´etait le cas, il y aurait un
j
k ≥ 1 avec fk+l(c ) = fk(c ) pour une suite t = t → t , alors {F : t (cid:55)→ fn(c )}
t t t t j 0 n t t n∈N
serait normale au voisinage de t = t . Mais c’est contradictoire avec l’activit´e. (cid:4)
0
D´emonstration utilisant le lemme de Zalcman. Comme {F : t (cid:55)→ fn(c )}
n t t n∈N
n’est pas normale en t = t , par le lemme de Zalcman (Lemme 0.1), il existe des suites
0
n → ∞,u → t ,ρ → 0(j → ∞)tellesqueψ (w) := F (u +ρ w) = fnj (c )
j j 0 j j nj j j uj+ρjw uj+ρjw
converge vers une fonction m´eromorphe non constante ψ : C → C(cid:98) uniform´ement sur
tout compact de C.
Par le th´eor`eme de Picard, il existe un w ∈ C tel que ψ(w ) est un des points
0 0
r´epulsifs {α ,β ,γ }. Supposons que ψ(w ) = α par exemple. La fonction w (cid:55)→
t0 t0 t0 0 t0
fnj (c )−α converge vers w (cid:55)→ ψ(w)−α uniform´ement sur un disque
uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw t0
contenant w = w , et donc le th´eor`eme de Hurwicz affirme qu’il existe une suite
0
w → w tel que fnj (c ) = α . Posons t := u + ρ w . On a alors
j 0 uj+ρjwj uj+ρjwj uj+ρjwj j j j j
t → t (j → ∞), et comme α est un point p´eriodique r´epulsif, t ∈ Mi(k ,l)
j 0 uj+ρjwj j j
pour un k ≥ 1. On peut montrer k → ∞ comme ci-dessus. (cid:4)
j j
D´emonstrations de (3). Ensuitenousmontrons(3)etcomparonslesdeuxm´ethodes
encore une fois.
Esquisse de d´emonstration traditionnelle. Si c est un point exceptionnel (i.e.,
t0
l’ensemble (cid:83) f−n(c ) est au plus deux points : voir [Mi, Lem. 4.9]), alors ce point
n≥0 t0 t0
est p´eriodique et superattractif, donc il n’est pas actif.
`
A l’aide d’une s´erie de Puiseaux, on peut trouver une autre coordonn´ee au voisinage
de t et des fonctions holomorphes t (cid:55)→ {a ,b ,c } telles que les graphes de ces fonctions
0 t t t
soient disjoints et satisfont fm(a ) = fn(b ) = c pour deux entiers n,m ≥ 1.
t t t t t
Maintenant on peut appliquer le mˆeme argument que celui de (1). (cid:4)
D´emonstration utilisant le lemme de Zalcman. On applique le lemme a` la
famille {F : t (cid:55)→ fn(c )} . Supposons que t ∈ A(f,c). Alors on peut trouver des
n t t n∈N 0
5
suites n ,ρ et u → t (j → ∞) telles que ψ (w) := F (u +ρ w) converge vers une
j j j 0 j nj j j
fonction m´eromorphe non constante ψ(w) de C uniform´ement sur tout compact.
Comme c n’est pas un point exceptionnel, on peut trouver un entier m ≥ 1 tel
t0
qu’il existe au moins trois solutions {z ,z ,z } de l’´equation fm(z) = c . Supposons
0 1 2 t0 t0
que z n’est pas une valeur exceptionnelle au sens de Picard pour une telle ψ. Il existe
0
donc un point w ∈ C tel que ψ(w ) = z et donc fm ◦ψ(w ) = c .
0 0 0 t0 0 t0
Comme ψ → ψ (j → ∞) et ψ (w) = fnj (c ), l’´equation
j j uj+ρjw uj+ρjw
fm ◦fnj (c ) = c
uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw
a une solution w tendant vers w . Soit t := u +ρ w , alors t → t (j → ∞) et c est
j 0 j j j j j 0 tj
p´eriodique de p´eriode l := n +m. (La p´eriode de c est non born´ee, sinon la famille
j j tj
{c : t ∈ D} serait normale.) (cid:4)
t
D´emonstration de (2). Il y a une preuve utilisant une id´ee de Douady-Hubbard
[DH, Chapter V.2] (voir aussi [Mc2, Thm. 3.1]), mais on doit controˆler les points de
Misiurewiczd´elicatement,etlapreuven’estpastr`essimple.Nousdonnonsiciuneautre
preuve utilisant le lemme de Zalcman.
Fixonsletempsd’arriv´eek ≥ 1.Parhypoth`eses,ilexisteunpointa ∈ f−1(fk(c ))
0 t0 t0 t0
tel que a (cid:54)= fk−1(c ). Il y a donc un entier m ≥ 1 tel qu’il existe au moins trois
0 t0 t0
solutions diff´erentes {z ,z ,z } de l’´equation fm(z) = a . Prenons des suite n → ∞,
0 1 2 t0 0 j
ρ → 0, et u → t (j → ∞) telles que fnj (u + ρ w) → ψ(w) (j → ∞).Alors
j j 0 uj+ρjw j j
on peut trouver un w ∈ C tel que fm ◦ ψ(w ) = a et w est donc une solution
0 t0 0 0 0
de l’´equation f (fm ◦ ψ(w)) = fk(c ). Pour j (cid:29) 0, il y a aussi une solution w de
t0 t0 t0 t0 j
l’´equation
f (fm ◦fnj (c )) = fk (c )
uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw uj+ρjw
telle que w → w . Soit t := u +ρ w . Comme t → t et fm ◦fnj(c ) → a , on a
j 0 j j j j j 0 tj tj tj 0
fm+nj(c ) (cid:54)= fk−1(c ) et le param`etre t est un ´el´ement de Prep(k,m + n + 1 − k).
tj tj tj tj j j
Posons l := m+n +1−k. (cid:4)
j j
Remarque. Schwick a aussi montr´e la densit´e des cycles r´epulsifs dans l’ensemble de
Julia pour les fonctions enti`eres non polynomiales [Sch], et la mˆeme m´ethode marche
pour les familles de fonctions m´eromorphes. Remarquons que l’analogue param´etrique
marche aussi.
2 Ressemblance entre M et J
Dans cette section, nous donnons une application du lemme de Zalcman a` la dy-
namique des polynoˆmes quadratiques. Dans [TL], Tan Lei a montr´e qu’au voisinage
de tout param`etre de Misiurewicz, l’ensemble de Mandelbrot ressemble `a l’ensemble
de Julia de ce param`etre. Ce r´esultat est am´elior´e par Rivera-Letelier [RL] pour les
param`etres semi-hyperboliques, mais sa m´ethode est diff´erente de celle de Tan Lei.
6
On donne ici une d´emonstration unifi´ee et simplifi´ee de ces r´esultats, en utilisant le
lemme du Zalcman. Plus pr´ecis´ement, nous n’utilisons pas le lemme directement, mais
nous utilisons son principe et l’id´ee de Schwick. De plus, on montre que l’ensemble de
Julia du param`etre faiblement hyperbolique est auto-similaire au voisinage de sa valeur
critique (c’est-`a-dire de ce param`etre).
Figure 2 – Le tableau central repr´esente des petites pi`eces de M (en gris) et de J(f )
c0
(en noir) centr´ees en un param`etre de Misiurewicz c dans la mˆeme coordonn´ee. En
0
zoomant en arri`ere, on voit qu’en fait ils sont globalement diff´erents.
2.1 La ressemblance
L’ensemble de Mandelbrot. Consid´erons la famille quadratique
(cid:8)f (z) = z2 +c : c ∈ C(cid:9)
c
comme [TL]. Soit M l’ensemble de Mandelbrot, i.e.,
M := {c ∈ C : |fn(c)| ≤ 2 (∀n ∈ N)}.
c
D’apr`eslasection1,lafronti`ere∂M estcaract´eris´eecommelelieud’activit´e/bifurcation
du point critique z = 0. Lorsqu’on a c ∈ M, on d´efinit l’ensemble de Julia rempli de f
c
par
K(f ) := {z ∈ C : |fn(z)| ≤ 2 (∀n ∈ N)}.
c c
En fait, on a toujours J(f ) = ∂K(f ).
c c
7
Param`etressemi-hyperboliques. Unparam`etrec ∈ ∂M estappel´esemi-hyperbolique
0
si l’adh´erence de l’orbite de c ne contient pas c lui-mˆeme. Par exemple, si c ∈ ∂M
0 0 0
est Misiurewicz, i.e., c est strictement pr´ep´eriodique, alors c est semi-hyperbolique.
0 0
Si c ∈ ∂M est semi-hyperbolique, alors tous les cycles p´eriodiques dans C sont
0
r´epulsifs, et on a donc J(f ) = K(f ). La propri´et´e la plus importante pour nous est
c0 c0
le suivant :
Lemme 2.1 Soit c ∈ ∂M un param`etre semi-hyperbolique. Alors :
0
(1) il existe des suites n ∈ N avec n → ∞ et ρ ∈ C∗ avec ρ → 0 (k → ∞) telles
k k k k
que la suite des fonctions
φ (w) = fnk(c +ρ w)
k c0 0 k
converge uniform´ement sur tout compact de C vers une fonction φ : C → C non
constante; de plus,
(2) il existe une constante Q (cid:54)= 0 telle que la suite
Φ (w) := fnk (c +Qρ w)
k c0+Qρkw 0 k
converge vers la mˆeme fonction φ(w) uniform´ement sur tout compact de C.
La d´emonstration du lemme sera donn´ee dans la sous-section suivante. Remarquons
que la fonction φ(w) = lim fnk(c + ρ w) a la mˆeme forme que la fonction du
k→∞ c0 0 k
lemme de Zalcman.
Exemple (La fonction de Poincar´e). Dans le cas de Misiurewicz, il existe deux
entiers l,p ≥ 1 tels que fl (c ) = fl+p(c ), et a := fl (c ) est un point p´eriodique
c0 0 c0 0 0 c0 0
r´epulsif de p´eriode p. On pose A := (fl )(cid:48)(c ) et λ := (fp)(cid:48)(a ). (On a A (cid:54)= 0 parce
0 c0 0 0 c0 0 0
que c n’est pas un point p´eriodique superattractif.) Par un th´eor`eme de Kœnigs (voir
0
[Mi, Thm.8.2, Cor.8.12]), la fonction fkp(a +w/λk) converge vers une fonction enti`ere
c0 0 0
φ : C → C avec φ(λ w) = fp ◦φ(w) quand k → ∞. La fonction φ s’appelle la fonction
0 c0
de Poincar´e. Comme on a fl (c +∆z) = a +A ∆z +o(∆z) pour tout ∆z ≈ 0,
c0 0 0 0
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
w w
φ(w) = lim fkp a + = lim fl+kp c + +o(λ−k)
k→∞ c0 0 λk0 k→∞ c0 0 A0λk0 0
sur tout compact de C. On obtient donc φ(w) = lim fl+kp(c +w/(A λk)), et alors on
k c0 0 0 0
peut prendre n = l+kp et ρ = 1/(A λk) dans le Lemme 2.1.
k k 0 0
TopologiedeHausdorff. OnrappellelatopologiedeHausdorff dansl’espaceComp∗(C)
des sous-ensembles compacts (non vides) de C.
Pour une suite {K } ⊂ Comp∗(C), on dit que K converge vers K ∈ Comp∗(C)
k k∈N k
quand k → ∞ si pour tout (cid:15) > 0, il existe k ∈ N tel que K ⊂ N (K ) et K ⊂ N (K)
0 (cid:15) k k (cid:15)
pour tout k ≥ k , ou` N (·) est le (cid:15)-voisinage ouvert dans C.
0 (cid:15)
Posons D(r) := {|z| < r}. Pour K ⊂ C ferm´e, notons [K] l’ensemble (K ∩D(r))∪
r
∂D(r) ∈ Comp∗(C). Pour des constantes a ∈ C∗ et b ∈ C, notons a(K −b) l’ensemble
{a(z −b) : z ∈ K}.
8
Ressemblance. Soit c un param`etre semi-hyperbolique. Par le Lemme 2.1, on peut
0
trouver des suites n → ∞ et ρ → 0 telles que φ (w) = fnk(c + ρ w) converge
k k k c0 0 k
vers une fonction enti`ere non constante, φ : C → C. (Remarquons que φ n’a pas
de pˆoles, comme φ est un polynˆome.) On a aussi une constante Q (cid:54)= 0 telle que
k
Φ (w) = fnk (c +Qρ w) converge vers la mˆeme fonction φ : C → C.
k c0+Qρkw 0 k
Le r´esultat principal de cette section est la modification suivante de [TL, RL] :
Th´eor`eme 2.2 (Ressemblance entre M et J) Soient c ∈ ∂M semi-hyperbolique
0
et φ : C → C la fonction limite de φ (w) = fnk(c +ρ w) et de Φ (w) = fnk (c +
k c0 0 k k c0+Qρkw 0
Qρ w) ci-dessus. Posons J := φ−1(J) ⊂ C, ou` J = J(f ) est l’ensemble de Julia de
k c0
f . Alors pour tout r > 0,
c0
(cid:2) (cid:3)
(a) ρ−1(J −c ) → [J] (k → ∞)
k 0 r r
(cid:2) (cid:3)
(b) Q−1ρ−1(M −c ) → [J] (k → ∞)
k 0 r r
dans la topologie de Hausdorff.
Remarque. Rivera-Letelier a montr´e que le distance de Hausdorff entre [λ(J−c )]
0 R
et [M−c ] est O(R3/2) quand R → 0, ou` λ = (cid:80) 1/(fn)(cid:48)(c ). Voir le premier corol-
0 R n≥0 c0 0
laire de [RL, p.290, Thm. B]. (Dans l’in´egalit´e du corollaire Cr1/d est en fait Cr1+1/d.)
Donc on a Q = λ et le distance de Hausdorff entre [ρ−1(J −c )] et [Q−1ρ−1(M −c )]
√ k 0 r k 0 r
est O(r3/2 ρ ) pour tout r fix´e.
k
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
D´emonstration de (a). Comme fn(J) = J, on a ρ−1(J −c ) = φ−1(J) . Par
c0 k 0 r k r
d´efinition de J, on a [J] = [φ−1(J)] . Puisque φ converge vers φ uniform´ement dans
r r k
D(r), on obtient (a).
D´emonstration de (b). Posons M := Q−1ρ−1(M −c ). Nous montrons que pour
k k 0
tout (cid:15) > 0,
[M ] ⊂ N ([J] ) et [J] ⊂ N ([M ] )
k r (cid:15) r r (cid:15) k r
quand k est assez grand.
D’abord, l’ensemble D(r)−N (J) est compact, donc il existe un entier N = N((cid:15))
(cid:15)
tel que |fN◦φ(w)| > 2 pour tout w ∈ D(r)−N (J). Comme Φ (w) converge vers φ(w)
c0 (cid:15) k
uniform´ement sur tout compact de C (Lemme 2.1), on a
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)fN+nk (c +Qρ w)(cid:12) > 2
(cid:12) c0+Qρkw 0 k (cid:12)
pour tout k (cid:29) 0. Par cons´equent, on a c + Qρ w ∈/ M, i.e., w ∈/ M . Du coup,
0 k k
l’inclusion [M ] ⊂ N ([J] ) est v´erifi´ee.
k r (cid:15) r
Pour l’autre inclusion, prenons un ensemble fini E ⊂ [J] tel que le (cid:15)/2-voisinage
r
de E contienne [J] . Il suffit de trouver une suite w ∈ [M ] pour chaque w ∈ E
r k k r 0
telle que |w −w | < (cid:15)/2 pour tout k (cid:29) 0.
0 k
Posons ∆ := D(w ,(cid:15)/2). Dans le cas ∆ ∩ ∂D(r) (cid:54)= ∅, on prend la suite w dans
0 k
∂D(r).
9
Dans le cas ∆ ⊂ D(r), puisque φ(w ) ∈ J(f ) et les cycles r´epulsifs sont denses
0 c0
dans J(f ), on peut trouver un w(cid:48) tel que |w − w(cid:48)| < (cid:15)/4 et tel que φ(w(cid:48)) soit
c0 0 0 0 0
un point p´eriodique r´epulsif de p´eriode m. Alors w = w(cid:48) est un z´ero de la fonction
0
χ : w (cid:55)→ fm(φ(w))−φ(w). Consid´erons la fonction χ : w (cid:55)→ fm (Φ (w))−Φ (w).
c0 k c0+Qρkw k k
La fonction Φ converge vers φ uniform´ement sur tout compact de C, donc pour k (cid:29) 0
k
il existe un z´ero w ∈ ∆ de χ avec |w −w(cid:48)| < (cid:15)/4. En particulier, c := c +Qρ w
k k k 0 k 0 k k
satisfait fnk+m(c ) = fnk(c ). On a donc c ∈ M. Par suite, on peut trouver une suite
c k c k k
k k
w ∈ M avec |w −w | < (cid:15)/2. (cid:4)
k k k 0
2.2 D´emonstration du Lemme 2.1
Ensemble hyperbolique. Soit c ∈ ∂M un param`etre semi-hyperbolique, et X
0 0
l’ensemble des points d’adh´erence de l’orbite de c . L’ensemble X est un ensemble
0 0
hyperbolique, c’est-a`-dire, X est compact, f (X ) = X , et il existe des constantes
0 c0 0 0
κ,η > 0 telles que |(fn)(cid:48)(x)| ≥ κ(1+η)n pour tout x ∈ X et tout n ∈ N (voir [CJY]).
c0 0 (cid:8) (cid:9)
Par exemple, si c ∈ ∂M est Misiurewicz, alors l’orbite fn(c ) tombe en un
0 c0 0 n∈N
temps fini sur un cycle r´epulsif. Dans ce cas, X est ce cycle r´epulsif. En fait, l’orbite
0
de c toujours tombe sur X :
0 0
Lemme 2.3 Si c ∈ ∂M est semi-hyperbolique, il existe un l ∈ N tel que fl (c ) ∈ X .
0 c0 0 0
D´emonstration. Parhyperbolicit´edeX ,onpeutprendreunp ∈ Ntelque|(fp)(cid:48)(x)| ≥
0 c0
3pourtoutx ∈ X .CommeX estcompact,ilexisteunδ > 0telquesiz ∈ N (X )−X
0 0 δ 0 0
on a dist(fp(z),X ) ≥ 2dist(z,X ). Si fn(c ) ∈/ X pour tout n ∈ N, il y a un autre
c0 0 0 c0 0 0
point d’adh´erence de l’orbite de c dans C(cid:98) −N (X ), mais c’est contradictoire avec la
0 δ 0
d´efinition de X . (cid:4)(Lemme 2.3)
0
Pour montrer le Lemme 2.1, on utilise une id´ee de [LM, Lemma 4.7] :
D´emonstration du Lemme 2.1, (1). On fixe f := f avec c ∈ ∂M semi-
c0 0
hyperbolique. Par le Lemme 2.3, il existe un l > 0 tel que a := fl(c ) ∈ X . Pour
0 0 0
m ∈ N, posons a := fm(a ) ∈ X , λ := (fm)(cid:48)(a ), et T (w) := a +w/λ (w ∈ C).
m 0 0 m 0 m 0 m
Puisque |λ | ≥ κ(1+η)m → ∞ (m → ∞), on peut trouver un p ∈ N et un µ > 1 tels
m 0
que |(fp)(cid:48)(x)| ≥ µ pour tout x ∈ X . Comme X est l’ensemble ω-limite de 0 et de a ,
0 0 0 0
il existe un x ∈ X et une suite {m(k)} ⊂ pN tels que a → x quand k → ∞.
0 0 k≥0 m(k) 0
(Par exemple, si c est Misiurewicz et c tombe sur un point p´eriodique r´epulsif a de
0 0 0
p´eriode p ≥ 1, alors on peut choisir x = a , µ = |(fp)(cid:48)(a )|, et m(k) = kp.) Soit
0 0 0 0
ψ := fm(k) ◦T : C → C. Alors on a :
k m(k)
Proposition 2.4 La suite {ψ } converge uniform´ement sur tout compact de C vers
k k≥0
une application enti`ere ψ telle que ψ(cid:48)(0) = 1 et ψ(0) = x .
0
D´emonstration. D’abord on montre qu’il existe un δ > 0 tel que ψ |D(δ) est uni-
k
valente pour tout k ∈ N : comme |(fp)(cid:48)| ≥ µ > 1 sur X , il existe un δ > 0 tel
0 0 0
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